Alam semesta awal 6. Dinamika alam semesta yang mengembang secara homogen, bagian 2

Di situs kuliah gratis, MIT OpenCourseWare memposting kuliah tentang kosmologi Alan Gus, salah satu pencipta model inflasi alam semesta.

Perhatian Anda diundang pada terjemahan kuliah keenam: "Dinamika alam semesta yang berkembang secara homogen, bagian 2".

Ketidakmungkinan alam semesta statis

Mari kita ulangi secara singkat apa yang kita hentikan terakhir kali, karena kita tidak menyelesaikan topik sebelumnya.

Kami menganggap alam semesta yang sepenuhnya homogen di mana materi mengisi semua ruang. Ingatlah bahwa Newton sampai pada kesimpulan bahwa sistem seperti itu akan statis. Namun, saya berpendapat bahwa sistem seperti itu tidak akan statis bahkan menurut hukum mekanika Newton.


Saya sudah memberikan beberapa bukti. Sebagai contoh, kami memeriksa teorema Gauss untuk hukum gravitasi Newton. Dengan menggunakan alasan yang cukup sederhana, kami bergerak dari hukum gravitasi Newton, yang diformulasikan sebagai gaya yang bertindak dari jauh, ke hukum Gauss. Jika gaya gravitasi dijelaskan oleh hukum Newton, maka untuk partikel apa pun yang menciptakan medan gravitasi, hukum Gauss terpenuhi.

Aliran vektor percepatan gravitasi $$$\ vec g$ melalui setiap permukaan tertutup sama $$$-4πGM$ dimana $$$M$ - massa di dalam permukaan. Jika kita menerapkan hukum Gauss pada distribusi materi yang tak terbatas, dan anggaplah Newton benar, dan tidak ada gaya gravitasi, ini berarti percepatan gravitasi $$$\ vec g$ itu akan nol di mana-mana. Lalu mengalir $$$\ vec g$ melalui permukaan apa pun juga akan menjadi nol. Namun demikian $$$-4πGM$ jelas tidak sama dengan nol untuk volume apa pun dengan ukuran bukan nol yang mengandung massa bukan nol. Jadi, rumusan hukum gravitasi Newton yang demikian jelas menunjukkan bahwa distribusi materi yang tak terbatas tidak mungkin statis.

Selain itu, saya menunjukkan formulasi hukum gravitasi Newton yang lebih modern, persamaan Poisson. Dia diberikan untuk mereka yang mengenalnya. Jika Anda tidak terbiasa dengannya, tidak ada hal buruk. Ini tidak perlu.


Untuk perumusan hukum gravitasi ini, kami memperkenalkan potensi gravitasi φ, dan menuliskan percepatan gravitasi sebagai minus gradien φ. Maka dapat ditunjukkan bahwa φ mematuhi persamaan Poisson,

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = 4πGρ $$ display $$

di mana ρ adalah kepadatan massa.

Sekali lagi, segera terbukti bahwa distribusi materi statis tidak mungkin. Jika distribusi materi bersifat statis, maka vektor $$$\ vec g$ akan sama dengan 0. Ini berarti bahwa gradien φ akan sama dengan 0. Ini berarti bahwa φ akan menjadi konstan. Jika φ akan menjadi konstanta, $$$∇ ^ 2φ$ akan sama dengan 0, dan ini tidak sesuai dengan persamaan Poisson.

Saya juga ingin menambahkan bahwa dari sudut pandang modern, persamaan seperti persamaan Poisson dianggap lebih mendasar daripada persamaan Newton yang asli, yang menganggap gravitasi sebagai aksi pada jarak. Secara khusus, ketika menggeneralisasi hukum Newton ke teori relativitas umum, Einstein mulai dengan persamaan Poisson, dan bukan dengan hukum yang menggambarkan gaya pada jarak.

Dalam teori relativitas umum tidak ada hukum yang menggambarkan aksi kekerasan dari kejauhan. Teori relativitas umum dirumuskan dengan cara yang sangat mirip dengan persamaan Poisson. Gagasan kunci yang mendasari pendekatan ini adalah bahwa semua hukum fisika yang kita kenal dapat diekspresikan secara lokal.

Persamaan Poisson adalah persamaan lokal. Ini adalah persamaan diferensial yang berjalan di setiap titik di ruang dan tidak mengatakan apa pun tentang bagaimana materi di satu titik dalam ruang memengaruhi materi di titik lain. Pengaruh ini merupakan konsekuensi dari persamaan, dan tidak dibangun ke dalam persamaan pada awalnya.

Ketidakjelasan perhitungan percepatan gravitasi

Lalu kami mendiskusikan apa yang akan terjadi jika kami menambah pasukan kami menggunakan hukum dan tindakan Newton dari kejauhan. Saya menunjukkan bahwa kita mendapatkan integral konvergen bersyarat. Integral yang menyatu seperti itu, tetapi dapat menyatu dengan nilai yang berbeda tergantung pada urutan penempatan bagian integral yang berbeda.


Kami memeriksa dua kemungkinan perintah penambahan pasukan. Kami menghitung gaya pada suatu titik $$$P$ terletak di dalam distribusi materi yang tak terbatas. Kita dapat mengasumsikan bahwa keseluruhan gambar dipenuhi dengan substansi. Dalam tugas kita, substansi secara seragam mengisi seluruh gambar dan seluruh alam semesta. Satu-satunya hal yang akan kita lakukan secara berbeda dalam dua perhitungan kita adalah meringkas kekuatan yang diciptakan oleh zat dalam urutan yang berbeda.

Jika Anda mengambil zat yang dipesan oleh kerang konsentris di sekitar $$$P$ , maka setiap shell tidak menciptakan kekuatan apa pun pada titik tersebut $$$P$ . Oleh karena itu, dalam batas, ketika kita menambahkan jumlah kerang yang tak terbatas, jumlahnya akan tetap 0. Jadi, untuk kasus ini kita dapat $$$\ vec g$ sama dengan 0.

Tetapi hukum Newton tidak memberi tahu kita apa pun untuk menyusun kekuatan. Hukum Newton hanya menyatakan bahwa setiap massa menciptakan gaya yang sebanding $$$1 / r ^ 2$ , dan apa itu vektor. Menurut Newton, perlu menambahkan vektor gaya yang dibuat oleh setiap massa. Biasanya penambahan vektor bersifat komutatif. Tidak masalah dalam urutan apa kita menumpuknya. Namun dalam kasus kami, urutan penambahan penting. Karena itu, jawabannya beragam.

Untuk melihat ini, kami akan mempertimbangkan pesanan tambahan yang berbeda. Kami akan terus menggunakan kerang bulat karena mereka lebih mudah untuk dikerjakan. Ini bisa dilipat dengan cara lain, tetapi bentuk lain jauh lebih sulit digunakan.

Kali ini kita akan mempertimbangkan kerang bulat, berpusat di titik lain. Kami akan menyebut titik ini $$$Q$ . Kami akan kembali menghitung gaya pada titik tersebut $$$P$ dibuat oleh distribusi materi yang tak terbatas mengisi ruang, yaitu, kita akan menyelesaikan masalah yang sama seperti sebelumnya, tetapi kita akan menambahkan kekuatan dalam urutan yang berbeda.

Terakhir kali kami menunjukkan bahwa semua materi di dalam bola, berpusat di $$$Q$ dan radius kurang dari jarak dari $$$Q$ sebelumnya $$$P$ , berkontribusi pada gaya pada saat itu $$$P$ . Dan semua sisa zat dapat dibagi menjadi cangkang bulat, untuk itu intinya $$$P$ terletak di dalam. Di dalam cangkang bola, gaya adalah nol. Jadi semua substansi lainnya tidak berkontribusi.

Dalam hal ini, gaya di titik $$$P$ sama dengan gaya yang diciptakan oleh massa titik yang terletak di $$$Q$ , dan massa sama dengan total massa area yang diarsir. Jelas, gaya ini tidak sama dengan nol. Selain itu, jelas bahwa kita bisa mendapatkan kekuatan apa pun yang kita inginkan dengan memilih poin yang berbeda $$$Q$ . Kita dapat meningkatkan kekuatan dengan memilih titik yang lebih jauh. Karena gaya akan selalu menunjuk ke arah titik $$$Q$ , kita bisa mendapatkan kekuatan ke segala arah dengan memilih titik $$$Q$ di tempat yang tepat.

Oleh karena itu, tergantung pada bagaimana kami merangkum kekuatan, kami bisa mendapatkan jawaban. Dengan demikian, deskripsi gravitasi sebagai suatu aksi pada jarak tertentu menyebabkan ambiguitas. Deskripsi gravitasi dalam bentuk hukum Gauss atau hukum Poisson menunjukkan bahwa sistem tidak boleh statis. Segera kita akan mencoba mencari tahu bagaimana dia akan berperilaku.

Masalah simetri

Sekarang saya ingin kembali ke argumen yang meyakinkan Newton tentang sifat statis alam semesta. Newton percaya bahwa ketika menghitung percepatan gravitasi pada titik tertentu dalam distribusi materi yang tak terbatas, muncul masalah simetri. Semua arah dari titik ini terlihat sama. Jika percepatan gravitasi ada pada titik tertentu, lalu ke mana harus diarahkan? Argumen simetri ini sangat logis dan terdengar sangat meyakinkan. Tidak ada akselerasi, hanya karena tidak ada arah yang disukai untuknya.

Mungkin akan sulit untuk meyakinkan Newton tentang kekeliruan argumen ini. Saya tidak tahu apakah kami bisa meyakinkannya atau tidak. Kami tidak memiliki kesempatan untuk mencoba melakukan ini.
Tetapi jika kami memiliki kesempatan seperti itu, kami akan mencoba menjelaskan kepadanya bahwa akselerasi biasanya diukur dalam kerangka referensi inersia. Newton sendiri selalu menggambarkannya seperti itu. Baginya, ada sistem referensi inersia yang unik, akurat untuk kecepatan konstan, ditentukan relatif terhadap bintang tetap. Ini adalah terminologi Newton. Jadi dia menentukan kerangka referensi inersia. Semua hukum fisika-nya berlaku dalam sistem inersia ini.

Di sisi lain, jika semua ruang dipenuhi dengan materi, yang, seperti yang kita klaim, akan berkontraksi, maka bintang tetap tidak ada. Gagasan tentang sistem referensi inersia menghilang. Tidak ada objek yang diam atau bergerak secara seragam sehubungan dengan kerangka referensi inersia potensial.

Dengan tidak adanya kerangka referensi inersia, harus diakui bahwa semua akselerasi, seperti kecepatan, adalah relatif. Kita dapat berbicara tentang percepatan satu partikel relatif terhadap yang lain. Tetapi seseorang tidak dapat berbicara tentang percepatan absolut suatu partikel, karena tidak ada kerangka acuan inersia di mana percepatan dapat diukur.

Ketika semua akselerasi relatif, ternyata deskripsi yang benar, yang akhirnya kami simpulkan, adalah deskripsi yang mirip dengan hukum Hubble. Hukum Hubble adalah hukum kecepatan. Ini menyatakan bahwa dari sudut pandang pengamat mana pun, semua benda lain dikeluarkan dari pengamat ini. Terlepas dari kenyataan bahwa tampaknya pengamat berada di tempat khusus, Anda dapat pergi ke kerangka referensi pengamat lain dan melihat gambar yang persis sama. Dengan demikian, fakta bahwa semua benda dihilangkan dari pengamat tidak melanggar keseragaman. Ini tidak merusak simetri yang kami coba gabungkan ke dalam sistem. Hal yang sama berlaku untuk akselerasi. Saya tidak akan membuktikannya sekarang. Kami akan menunjukkan ini dalam perhitungan kami di masa depan.

Di alam semesta kita yang runtuh ini, setiap pengamat dapat menganggap dirinya tenang. Kemudian pengamat akan melihat bahwa semua partikel lainnya melaju ke arahnya. Meskipun sepertinya pengamat ada di tempat khusus, tidak. Anda dapat pergi ke kerangka referensi dari pengamat lain dan melihat bahwa dia sekarang dalam keadaan diam, dan semua benda lainnya bergerak ke arahnya.

Model matematika alam semesta

Sekarang kita siap untuk melangkah lebih jauh dan membangun model matematika yang akan menunjukkan kepada kita bagaimana distribusi materi yang seragam akan berperilaku. Pertama kita menghilangkan masalah infinity. Untuk melakukan ini, kita mulai dengan bola yang terbatas. Kemudian, di bagian paling akhir, kami akan meningkatkan ukuran bola ini hingga tak terbatas.

Tujuan kami adalah untuk membangun model matematika dari alam semesta kita. Kami ingin memasukkan di dalamnya tiga fitur yang sebelumnya kita bahas - isotropi, homogenitas, dan hukum Hubble. Kami akan membangunnya sebagai sistem mekanis menggunakan hukum mekanika yang dikenal oleh kami. Kami akan menggunakan hukum Newton. Tetapi saya meyakinkan Anda bahwa, meskipun kami akan menggunakan hukum Newton, jawaban yang kami dapatkan akan persis bertepatan dengan jawaban yang diberikan oleh teori relativitas umum. Kita akan membahas nanti mengapa demikian. Kami tidak akan membuang waktu untuk perkiraan perhitungan. Kami akan mendapatkan perhitungan yang benar-benar benar, yang akan memberi kami jawaban yang benar-benar benar.


Untuk membangun model alam semesta, kita membayangkan bahwa alam semesta kita adalah bola ukuran terbatas yang diisi dengan materi. Biarkan $$$t_i$ - Ini adalah titik awal waktu dalam gambar kita. Titik waktu ini tidak harus khusus, dari sudut pandang evolusi alam semesta. Ketika kita membangun model, kita dapat menghitung bagaimana jagat raya akan berperilaku di waktu lebih lambat daripada $$$t_i$ dan pada waktu lebih awal dari $$$t_i$ . $$$t_i$ - hanya saat ini saja.

Untuk waktu $$$t_i$ kami akan memberikan bola kami ukuran maksimum $$$R_ {maks, i}$ . Saya menyebutnya maksimal karena bola diisi dengan partikel. Dengan demikian, ini adalah jarak maksimum awal dari pusat bola ke partikel apa pun. Arti awal selama $$$t_i$ . Kami akan menganggap zat yang mengisi bola sebagai debu dari partikel yang sangat kecil. Zat ini memiliki kepadatan $$$ρ_i$ . Zatnya homogen dan isotropik, setidaknya isotropik dari pusat.

Sekarang kami ingin menambahkan hukum Hubble. Marilah kita memiliki semua masalah, dalam model semesta kita, berkembang, dan berkembang persis sesuai dengan hukum Hubble. Yakni, semua kecepatan akan diarahkan dari pusat dengan nilai sebanding dengan jarak. Saya akan menunjukkan kecepatan partikel $$$v_i$ , $$$i$ berarti kecepatan awal. Untuk partikel apa pun, pada saat awal, kecepatan akan mematuhi hukum Hubble. Itu akan sama dengan beberapa konstanta yang akan saya sebutkan $$$H_i$ Apakah nilai awal konstanta Hubble dikali vektor $$$\ vec r$ yang sama dengan vektor dari pusat bola ke partikel. Ini menunjukkan di mana partikel yang dimaksud berada.

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

Dengan cara ini $$$\ vec v_i$ - kecepatan awal partikel apa pun. $$$H_i$ - Konstanta awal Hubble. A $$$\ vec r$ -Posisi partikel.

Seperti yang saya katakan, kita akan mulai dengan sistem berukuran hingga kita dapat bekerja. Kami tahu cara menghitung secara unik, setidaknya pada prinsipnya, bagaimana sistem seperti itu akan berkembang di bawah kondisi awal yang diberikan. Pada akhir perhitungan, kami akan melewati batas kapan $$$R_ {maks, i}$ cenderung tak terhingga. Dengan demikian, kami akan memperluas model kami ke ruang tanpa batas.

Penyimpangan kecil tentang ketidakterbatasan

Saya juga ingin mengatakan beberapa kata tentang ketidakterbatasan, karena saya baru-baru ini bertemu dengan satu hal yang menarik. Ini adalah penyimpangan kecil, Anda dapat mengabaikannya. Tetapi bagi mereka yang tertarik, konsep infinity memberikan kejutan yang tak terduga ketika mempertimbangkan multiverse, yang saya bicarakan sedikit dalam kuliah peninjauan, dan yang akan kami kembalikan pada akhir kursus.

Multiverse membuat bekerja dengan infinities jauh lebih hati-hati daripada sebelumnya. Dalam prosesnya, saya belajar beberapa hal tentang ketidakterbatasan yang mengejutkan saya. Pada dasarnya, dalam fisika kita menganggap tak terbatas sebagai batas sistem hingga, seperti yang kita lakukan dalam model kita. Jika kita ingin memahami perilaku sistem yang tak terbatas, dalam fisika kita sering memulai dengan melihat sistem yang terbatas, yang jauh lebih mudah untuk dikerjakan secara matematis. Kemudian kita mengambil batas di mana sistem menjadi semakin banyak.

Dalam fisika, ini bekerja di hampir semua situasi. Saya percaya ini berhasil karena kami menganggap interaksi fisik bersifat lokal. Apa yang terjadi sangat jauh tidak mempengaruhi apa yang terjadi di sini.

Saat kita membuat bola kita semakin banyak, kita menambahkan materi pada jarak yang semakin jauh. Substansi baru yang kami tambahkan ini tidak akan terlalu memengaruhi apa yang terjadi di dalam. Bahkan, dalam tugas kami, zat tambahan yang ditambahkan dari luar tidak akan memiliki efek pada apa yang terjadi di dalam, karena kenyataan bahwa medan gravitasi di dalam cangkang bola adalah 0.

Ini adalah situasi yang khas, dan karena ini, fisikawan cenderung selalu menganggap ketidakterbatasan sebagai batas sistem terbatas. Namun, saya ingin mencatat bahwa ini tidak selalu benar. Ada kalanya ini benar-benar salah. Matematikawan tahu ini, tetapi fisikawan biasanya tidak.

Karena itu, saya ingin mencatat bahwa tidak semua infinitas digambarkan dengan baik sebagai batasan sistem hingga. Ini tidak berlaku untuk deskripsi model semesta kita. Semuanya baik-baik saja di sini. Kami akan melanjutkan diskusi kami tentang model kami setelah saya menyelesaikan penyimpangan singkat saya.

Sebagai contoh dari sistem yang tak terbatas dan tidak digambarkan dengan baik sebagai batas sistem hingga, kita dapat mengambil banyak bilangan asli $$$\ mathbb N$ .

Misalkan kita ingin menggambarkan himpunan bilangan asli sebagai batas himpunan berhingga. Anda dapat mencoba mempertimbangkan himpunan semua bilangan asli sebagai himpunan bilangan alami kurang dari N dengan N cenderung tak hingga. Jika kita mengambil set angka lebih banyak dan lebih banyak dan mengambil batas, akankah kita mendapatkan set semua nomor alami?

Anda mungkin berpikir bahwa jawabannya adalah ya. Saya berpendapat bahwa himpunan yang dihasilkan tidak sama dengan himpunan bilangan bulat. Bahkan, saya berpendapat bahwa batas tidak ada sama sekali, jadi tidak bisa sama dengan himpunan bilangan bulat.

Untuk memperjelas hal ini, saya akan mengingatkan Anda apa batasannya. Karena kita tidak memiliki kursus matematika, saya tidak akan memberikan definisi yang ketat. Saya hanya akan memberi Anda sebuah contoh yang akan menyegarkan kembali fakta-fakta yang Anda pelajari dalam kursus matematika.

Misalkan kita mempertimbangkan batasannya $$$sin (x) / x$ di $$$x$ cenderung ke 0. Diketahui sama dengan apa. Biasanya menggunakan aturan Lital. Tetapi Anda cukup menggunakan definisi batas secara langsung. Nilai batas adalah 1.

Untuk apapun $$$x$ tidak sama dengan 0, kita dapat menghitung ungkapan ini. Di $$$x = 0$ ekspresinya ambigu. Sebagai $$$x$ semakin dekat dan mendekati 0, angka yang dihasilkan semakin dekat ke 1. Kita bisa mendapatkan angka mendekati 1 dengan memilih $$$x$ cukup dekat dengan 0.

Jika kita menerapkan konsep yang sama pada himpunan bilangan bulat dari 1 ke N, akankah ia semakin mendekati himpunan semua bilangan alami dengan meningkatnya N? Apakah angka dari 1 hingga 10 dekat dengan himpunan semua bilangan asli? Tidak. Dan dari 1 menjadi satu juta? Masih jauh sekali. 1 hingga satu miliar? Dari 1 hingga 10 ke seratus?

Tidak peduli nomor apa yang kita pilih sebagai batas atas, kita masih jauh dari banyak angka alami. Kami tidak semakin dekat. Set kami tidak menyatu dengan set angka alami. Ini adalah konsep yang berbeda.

Apa bedanya?Apakah ada pertanyaan yang penting, apakah Anda mempertimbangkan bilangan asli yang ditentukan dengan cara lain atau dengan batas ini? Biarkan saya katakan dulu bagaimana mereka didefinisikan.

Jika Anda bertanya kepada ahli matematika bagaimana mereka menentukan himpunan bilangan asli, saya pikir mereka semua akan mengatakan bahwa mereka menggunakan aksioma Peano. Poin kunci dalam aksioma Peano, yang menentukan keberadaan jumlah alamiah yang tak terbatas, adalah aksioma suksesi.

Salah satu aksioma Peano yang secara matematis menggambarkan bilangan asli adalah pernyataan bahwa setiap bilangan alami memiliki angka yang mengikutinya. Selain itu, ada pernyataan lain yang menjamin bahwa nomor berikutnya bukan salah satu dari yang sebelumnya. Jadi, untuk nomor apa pun, ada jumlah yang lebih besar lagi. Rangkaian aksioma ini pada awalnya menjamin jumlah himpunan bilangan tak terbatas. Itu tidak dianggap sebagai batas set hingga dan tidak dapat dianggap sebagai batas set hingga. Karena tidak ada himpunan terbatas seperti himpunan tak terbatas.

Apakah itu penting?Apakah ada masalah yang penting, dapatkah kita menggambarkan bilangan bulat dengan cara ini atau tidak? Saya akui bahwa tugas yang saya tahu terdengar tidak masuk akal. Tetapi saya ingin mengatakan bahwa dalam matematika kata "dibikin" tidak masalah. Jika Anda menemukan kontradiksi di suatu tempat, tidak ada yang akan memberi tahu Anda bahwa kontradiksi ini harus diabaikan, karena itu dibuat-buat. Jika ini benar-benar sebuah kontradiksi, itu penting.

Pertanyaan yang sangat penting adalah apakah kita menganggap bilangan asli sebagai awalnya tidak terbatas, atau kita menganggapnya sebagai batas, misalnya, pertanyaannya adalah - bagian manakah dari bilangan asli yang begitu besar sehingga ketika digandakan mereka berhenti menjadi bilangan alami?

Jika kita menganggap himpunan berhingga, untuk N apa pun, tak peduli seberapa besar N, setengah bilangan bulat dari himpunan ini begitu besar sehingga tidak dapat digandakan sehingga tetap berada di himpunan ini. Rasio ini akan terpenuhi, tidak peduli seberapa besar kita memilih N.

Di sisi lain, jika kita melihat serangkaian bilangan alami yang tak terbatas, kita tahu bahwa bilangan alami mana pun dapat digandakan, kita hanya mendapatkan bilangan alami lain. Ini adalah contoh dari properti bilangan asli, yang akan salah jika kita menganggap himpunan bilangan asli sebagai batas. Anda tidak bisa melakukan ini.

Itu adalah retret kecil. Ini hanya peringatan bahwa Anda harus berhati-hati tentang tak terbatas sebagai batas set yang terbatas. Namun, itu tidak terkait langsung dengan topik kita.

Catatan pada formulir yang digunakan
Mari kita kembali ke model kita. Saya juga ingin membuat beberapa komentar tentang formulir yang digunakan dalam model. Kami menggunakan bola. Anda mungkin bertanya, mengapa bola?

Sejauh ini, bola adalah bentuk paling sederhana yang dengannya kita dapat bekerja. Bola juga menjamin isotropi, setidaknya isotropi dari pusat. Kita dapat, setelah melakukan lebih banyak pekerjaan, menggunakan, misalnya, sebuah kubus, meningkatkan kubus semakin banyak. Saat kubus tumbuh lebih besar dan lebih besar, itu juga akan mengisi seluruh ruang. Dapat diasumsikan bahwa metode lain ini akan memberikan jawaban yang sama. Dan memang benar.

Jika kami menggunakan kubus, kami akan memiliki lebih banyak perhitungan. Tetapi kami akan mendapatkan jawaban yang sama. Kubusnya cukup simetris. Dalam hal ini, ia akan memberikan hasil yang sama seperti bola. Saya tidak akan memberi tahu Anda cara menghitung hasil untuk bentuk arbitrer. Tapi saya jamin kubus akan memberikan jawaban yang sama.

Di sisi lain, jika kita menggunakan paralelepipeds dengan tiga, atau setidaknya dua sisi yang berbeda, maka kita akan mulai dengan angka asimetris awalnya. Salah satu arah akan disorot. Kemudian, jika kita menggunakan parallelepipeds tersebut, dengan cara yang sama seperti kita menggunakan spheres, kita awalnya akan membuat anisotropi. Kita akan mendapatkan model anisotropik dari alam semesta.

Karena kami mencoba mensimulasikan alam semesta nyata yang sangat isotropik, kami menggunakan bentuk yang menjamin isotropi. Bola adalah bentuk paling sederhana yang dapat digunakan.

Peran materi dalam evolusi alam semesta

Sekarang, mari kita tambahkan dinamika ke model kita. Dinamika yang kami tambahkan adalah dinamika Newtonian murni. Kami akan mempertimbangkan substansi yang mengisi bola, debu partikel Newton, atau, jika Anda inginkan, gas partikel Newton.

Partikel-partikel ini akan menjadi non-relativistik, yang dipahami oleh kata Newton. Model ini menggambarkan alam semesta kita yang sebenarnya untuk segmen signifikan dari evolusinya, tetapi tidak untuk seluruh periode evolusi. Sebelum kita melanjutkan, saya ingin mengatakan beberapa kata tentang jagat raya yang sebenarnya dan apa yang mendominasi dalam jaman evolusi yang berbeda.

Pada awalnya, di alam semesta kita, kita percaya, radiasi mendominasi. Ini berarti bahwa jika kita mengikuti evolusi alam semesta kita ke masa lalu, dan melihat apa yang terjadi di masa-masa sebelumnya, foton radiasi latar kosmik akan mengalami perubahan biru.

Kami menemukan bahwa mereka mengalami pergeseran merah ketika alam semesta mengembang. Ini berarti bahwa jika kita memperkirakan di arah yang berlawanan, mereka akan mengalami perubahan biru. Setiap foton menjadi lebih energik. Jumlah foton tetap konstan. Konsentrasi mereka meningkat karena penurunan volume. Dan mereka menjadi lebih energik.

Sementara itu, konsentrasi partikel materi biasa dan materi gelap, apa pun itu, juga meningkat ketika bergerak mundur dalam waktu. Tetapi mereka tidak menjadi lebih energik. Proton tetap merupakan partikel yang energinya sama dengan massa kali proton$$$c^2$ .

Dengan demikian, ketika Anda bergerak mundur dalam waktu, kepadatan energi dari radiasi latar belakang gelombang mikro kosmik menjadi lebih dan lebih dibandingkan dengan kepadatan energi zat tersebut. Nanti kita akan belajar bagaimana cara menghitungnya dengan tepat. Mereka dibandingkan pada usia semesta sekitar 50.000 tahun.

SISWA: Jika partikel adalah gelombang, lalu mengapa mereka tidak berubah?

GURU: Sebenarnya, mereka sedikit berubah. Tetapi kami berasumsi bahwa partikel-partikel ini memiliki kecepatan yang dapat diabaikan. Momentum mereka mengalami perubahan biru. Tetapi offset biru sebanding dengan nilai awal. Jika nilai awal sangat kecil, bahkan ketika itu bergeser ke atas, impuls masih tetap dapat diabaikan.

Dengan demikian, di alam semesta yang nyata, hingga sekitar 50.000 tahun, radiasi mendominasi. Kami akan membicarakan hal ini dalam beberapa kuliah. Tetapi hari ini kita tidak memperhitungkan ini. Kemudian, mulai dari sekitar 50.000 tahun hingga 9 miliar tahun, periode yang agak besar dalam sejarah alam semesta, materi mendominasi alam semesta. Zat berarti zat non-relativistik. Ini adalah istilah standar dalam kosmologi. Ketika kita mengatakan bahwa alam semesta didominasi oleh materi, meskipun kita tidak menggunakan kata nonrelativistik, ini semua tersirat. Inilah kasus yang akan kita bahas hari ini, zat non-relativistik yang biasa mengisi ruang.

Kemudian perubahan lain terjadi di alam semesta kita yang sebenarnya - dari sekitar 9 miliar tahun hingga sekarang dan, mungkin, akan sama di masa depan, energi gelap mulai mendominasi di alam semesta. Energi gelap adalah sesuatu yang membuat alam semesta mengembang dengan cepat. Alam semesta berkembang pesat mulai dari sekitar 9 miliar tahun setelah Big Bang.

Materi biasa tidak berubah menjadi energi gelap, seperti yang mungkin diharapkan karena perubahan dominasi. Mereka hanya berperilaku berbeda ketika memperluas alam semesta. Kepadatan materi biasa berkurang sebanding dengan kubus faktor skala. Sejumlah partikel tetap didistribusikan dengan volume yang meningkat. Energi gelap, untuk alasan yang kita pelajari lebih dekat ke akhir saja, tidak mengubah kepadatan energinya saat alam semesta mengembang. 9 miliar tahun yang lalu, kepadatan materi biasa turun di bawah kepadatan energi gelap. Kemudian energi gelap mulai mendominasi dan alam semesta mulai mengembang dengan cepat. Saat ini, energi gelap membentuk sekitar 60% atau 70% dari total energi. Ini bukan dominasi absolut. Tetapi ini adalah bagian terbesar.

Untuk perhitungan hari ini, kami akan fokus pada periode tengah dan berpura-pura bahwa ini adalah keseluruhan cerita. Kami akan kembali dan membahas era lainnya. Kami tidak akan mengabaikan mereka. Tetapi hari ini kita tidak akan membahasnya.

Hancurkan kerang

Jadi, kita akan mempertimbangkan alam semesta di mana materi mendominasi. Kami akan menggunakan mekanika Newton. Terlepas dari kenyataan bahwa kita akan menggunakan mekanika Newton, saya jamin, dan saya akan coba memberikan beberapa argumen nanti, itu akan memberikan jawaban yang persis sama dengan teori relativitas umum.

Untuk menuliskan persamaan yang menggambarkan ekspansi bola, kita akan menggunakan cangkang bola. Kami akan menyajikan bola kami dalam bentuk cangkang. Dengan kata lain, pada saat awal, kami membagi zat menjadi cangkang. Kami memperkenalkan notasi untuk masing-masing kerang dan melacak evolusi mereka.

Alasan kita dapat menggambarkan semua materi dengan cangkang adalah karena kecepatan awal semua partikel diarahkan sepanjang jari-jari. Menurut hukum Hubble, kecepatan sebanding dengan vektor radius yang di-PHK dari pusat bola. Karena itu, semua kecepatan awal kami diarahkan sepanjang jari-jari.

Selain itu, gravitasi Newton untuk partikel juga akan diarahkan sepanjang jari-jari. Oleh karena itu, pergerakan partikel apa pun akan diarahkan sepanjang jari-jari. Tidak akan pernah ada kekuatan yang bertindak pada partikel dalam arah tangensial, di mana tangensial berarti arah apa pun selain radial. Ketika mengubah jari-jari setiap partikel, variabel sudutnya ϑ dan ϕ akan konstan dalam waktu. Karena itu, saya tidak akan lagi membicarakannya.

Setiap shell memiliki sebutan $$$r_i$ sama dengan jari-jarinya pada saat awal $$$t_i$ . Di masa depan, penunjukan cangkang ini dipertahankan.

Untuk menggambarkan gerakan, kami memperkenalkan fungsinya $$$r (r_i, t)$ . Fungsinya sama dengan jari-jari shell $$$r_i$ pada waktu $$$t$ . Fungsi $$$r (r_i, t)$ menunjukkan kepada kita di mana shell berada di waktu lebih awal atau lebih awal.

Saya harus mengatakan bahwa dalam buku teks Anda akan melihat kesimpulan yang lebih sederhana daripada yang akan saya tunjukkan. Mengapa saya memperumitnya? Faktanya adalah bahwa perhitungan saya akan menunjukkan lebih dari yang diberikan dalam buku teks. Sebagian besar buku teks mengasumsikan bahwa pergerakan cangkang akan terus mematuhi hukum Hubble dan mempertahankan kepadatan yang sepenuhnya seragam. Kami tidak akan berasumsi bahwa zat itu tetap homogen. Kami membuktikan bahwa itu tetap homogen. Bagi saya tampaknya lebih baik untuk membuktikan sesuatu daripada hanya berasumsi tanpa membuktikannya.

Ada masalah lain yang sedikit lebih rumit. Sekali lagi, ini adalah kehalusan yang kemungkinan besar tidak disebutkan dalam buku teks. Kami memiliki berbagai kerang yang dapat diupgrade. Kita dapat menghitung gaya yang bekerja pada shell mana pun jika kita tahu zat apa yang ada di dalam shell ini. Kerang di luar tidak menciptakan kekuatan. Karena itu, sangat penting untuk mengetahui di mana urutan kerang berada. Awalnya, kami, tentu saja, mengetahui hal ini. Mereka dipesan sesuai $$$r_i$ . Tetapi begitu mereka mulai bergerak, pada prinsipnya, ada kemungkinan kerang-kerang itu akan mulai saling bersilangan.

Jika cangkang berpotongan, persamaan gerak kita akan berubah, karena jumlah materi yang bekerja pada cangkang akan berubah. Kami harus mempertimbangkan ini. Untungnya, masalah ini tidak terjadi. Kami akan menunjukkannya sebagai berikut. Awalnya, semua cangkang dilepas dari satu sama lain sesuai dengan hukum Hubble. Hukum Hubble menyatakan bahwa dua partikel bergerak menjauh satu sama lain dengan kecepatan relatif sebanding dengan jaraknya. Ini berlaku untuk dua kerang. Jika kerang mulai berpotongan, mereka pasti tidak akan segera melakukannya. Tidak ada dua cangkang yang awalnya saling mendekati. Semua cangkang pada awalnya dipisahkan satu sama lain.

Situasi ini dapat berubah karena kekuatan yang ada. Namun, kita dapat menuliskan persamaan yang akan dipenuhi setidaknya sampai persimpangan shell muncul. Jika cangkang berpotongan, persamaan ini harus valid hingga waktu perpotongan cangkang. Oleh karena itu, persamaan harus menunjukkan bahwa cangkang akan berpotongan. Kerang tidak dapat mulai berpotongan bertentangan dengan persamaan gerak. Kita akan melihat bahwa menurut persamaan kita, tidak akan ada persimpangan kerang.

Jadi, kami menuliskan persamaan yang valid sampai tidak ada persimpangan dari shell. Selama tidak ada persimpangan shell, massa total di dalam shell tidak tergantung pada waktu. Ini hanyalah kerang lain di dalamnya. Jadi, pada shell dengan radius awal $$$r_i$ , gaya yang diciptakan oleh massa di dalam shell bekerja. Kita dapat menulis rumus untuk massa di dalam shell. Massa di dalam shell dengan jari-jari awal $$$r_i$ sama dengan volume awal shell dikalikan dengan kepadatan massa awal, $$$ρ_i$

$$

$$M (r_i) = \ frac {4π} 3 {r_i} ^ 3ρ_i$$

Kami menyusun persamaan diferensial
Hukum Newton menentukan percepatan partikel arbitrer dalam sistem kami. Hukum Newton menyatakan bahwa akselerasi diarahkan dalam arah yang berlawanan dari vektor radius satuan ke partikel dan sama dengan kali konstanta Newton massa di dalam bola dibagi dengan kuadrat jarak tempurung dari asal. Jarak inilah yang sama dengan fungsi $$$r (r_i, t)$ . Ini adalah jari-jari shell pada titik waktu tertentu.

$$

$$\ vec g = - \ frac {GM (r_i)} {r ^ 2 (r_i, t)} \ hat r$$

Ini berlaku untuk shell yang ditunjukkan oleh variabel. $$$r_i$ .

Ini adalah persamaan yang sangat penting. Segala sesuatu yang lain mengikuti darinya. Ini mencerminkan teorema Newton bahwa jika massa didistribusikan secara simetris bola, maka massa dari setiap cangkang dengan radius lebih besar dari jarak ke partikel tidak berkontribusi pada percepatan partikel. Akselerasi hanya ditentukan oleh massa kulit jari-jari lebih kecil.

Kita tahu bahwa semua gerakan terjadi sepanjang jari-jari. Yang perlu kita lakukan hanyalah mencari tahu caranya $$$r$ berubah seiring waktu. Kita dapat menulis ini sebagai persamaan diferensial biasa untuk $$$r$ , tanpa vektor apa pun.

$$

$$\ ddot r = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ Apakah akselerasi. Kami dijebak $$$M (r_i)$ dari formula sebelumnya. $$$r$ Merupakan fungsi dari $$$r_i$ dan $$$t$ . Saya tidak akan lagi menunjukkan ini.

Saat memperluas sistem $$$r_i$ hanya konstan, berbeda untuk setiap shell, tetapi konstan dalam waktu. Bayangkan kita sedang memecahkan masalah untuk shell tertentu. $$$ρ_i$ - ini juga konstan. Ini sama dengan kepadatan pada saat awal dan mempertahankan nilainya.

Kami mendapat persamaan diferensial yang hanya mengubah waktu $$$r$ , dan tidak lebih. Ini adalah persamaan diferensial orde kedua untuk $$$r$ .

Kondisi awal

Ada satu hal yang Anda semua harus ingat ketika bekerja dengan persamaan diferensial orde kedua. Untuk memiliki solusi tunggal, kita memerlukan kondisi awal. Jika ini adalah persamaan orde kedua, dan persamaan Newton biasanya diperoleh, kita harus menunjukkan posisi awal dan kecepatan awal sehingga persamaan orde kedua memberikan jawaban yang unik.

Kami akan mengatur nilai awal posisi $$$r$ dan nilai awal kecepatan $$$\ dot r$ partikel Kami akan mendapatkan sistem yang bisa kami berikan matematika. Jika ahli matematika itu cukup pintar, dia bisa menyelesaikannya.

Jadi, kami ingin menetapkan nilai awal $$$r$ , Berarti awal pada waktu $$$t_i$ . Jelas itu sama saja $$$r_i$ .

$$

$$r (r_i, t_i) = r_i$$

Jika kita ingin memiliki solusi unik untuk persamaan ini, maka kita juga perlu mengatur nilai awal kecepatan $$$\ dot r$ . Inisial berarti lagi selama $$$t_i$ . Ini ditentukan oleh konstanta Hubble. Setiap kecepatan partikel awal sama dengan nilai awal konstanta Hubble dikali jari-jari.

$$

$$\ dot r = H_ir_i$$

Ini adalah ekstensi Hubble yang awalnya kami perkenalkan ke dalam sistem. Kami memiliki sistem matematika murni. Kami memiliki persamaan diferensial orde kedua dan kondisi awal untuk $$$r$ dan $$$\ dot r$ . Ini memberikan solusi unik. Ini adalah matematika murni. Tidak diperlukan lagi fisika, setidaknya pada tahap ini.

Keseragaman

Orang dapat melihat fitur matematika yang menarik dari sistem persamaan ini. Kita akan melihat bahwa persamaan ini secara ajaib menjaga homogenitas sistem kita. Itu dibangun ke dalam persamaan. Fitur utama dari persamaan ini adalah Anda dapat menyingkirkannya $$$r_i$ dengan mengubah variabel.

Mari kita mendefinisikan fungsi baru $$$u$ . Saya sewenang-wenang memilih surat untuk ditunjuk, Anda dapat mengambilnya.

$$

$$u (r_i, t) = \ frac {r (r_i, t)} {r_i}$$

Untuk fungsi apa pun, $$$r (r_i, t)$ Anda selalu dapat mendefinisikan fungsi baru yang sama dengan fungsi asli dibagi dengan $$$r_i$ .

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi pada persamaan kita. Saya menegaskan itu $$$r_i$ akan hilang. Mari kita lihat bagaimana ini terjadi:

$$$$ menampilkan $$ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r_ir ^ 2} = - \ frac {4π} 3 \ frac { Gr ^ 3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $$ menampilkan $$

Persamaannya menunjukkan bagaimana kontraksi terjadi $$$r_i$ . $$$r_i$ dalam sebuah kubus di pembilang sebanding dengan volume bola. Di penyebutnya $$$r_i$ juga berdiri di sebuah kubus. Satu $$$r_i$ muncul karena penggantian variabel, namun $$$r ^ 2_i$ muncul karena hukum kuadrat terbalik.

Sehingga mengurangi $$$r_i$ muncul jika daya berkurang sebagai $$$1 / r ^ 2$ . Jika kekuatan menurun menurut hukum lain, apakah itu hanya sedikit berbeda dari $$$1 / r ^ 2$ lalu $$$r_i$ tidak akan disingkat dalam formula. Itu adalah pengurangan $$$r_i$ sangat penting untuk memastikan keseragaman dalam evolusi sistem. Jika, menurut Newton, gaya berkurang, seperti $$$1 / r ^ 2$ kuadrat, sistemnya tetap homogen. Kalau tidak, tidak. Ini adalah fakta yang sangat menarik.

Jadi $$$r_i$ kami telah menolak. Sekarang kita mendapatkan persamaan sederhana untuk $$$\ ddot u$ lebih banyak tanpa $$$r_i$ dalam persamaan. Ini artinya $$$u$ memberikan solusi untuk apa saja $$$r_i$ . Kami tidak lagi memiliki solusi berbeda untuk nilai yang berbeda $$$r_i$ . $$$r_i$ menghilang dari tugas. Kami memiliki satu-satunya solusi yang independen $$$r_i$ . Itu adil untuk semua orang. $$$r_i$ .

Apa yang saya lupa sebutkan? Kondisi awal. Untuk mendapatkan solusi tunggal, kita tidak hanya harus memiliki persamaan diferensial yang independen $$$r_i$ . Kami tidak akan memiliki solusi tunggal jika kami tidak memeriksa kondisi awal, yang seharusnya juga tidak bergantung pada $$$r_i$ . Dan mereka tidak tergantung.

Nilai awal $$$u (r_i, t_i)$ sama dengan nilai awal $$$r$ dibagi dengan $$$r_i$ . Namun makna awal $$$r$ sama dengan $$$r_i$ . Untuk apapun $$$r_i$ kami mendapatkan:

$$

$$u (r_i, t_i) = \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

Sekarang pertimbangkan nilai awal $$$\ dot u$ . Itu sama saja

$$

$$\ dot u (r_i, t_i) = \ frac {\ dot r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

Interpretasi Variabel

Jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat memahami interpretasi fisik kuantitas $$$u$ . $$$u$ tidak lebih dari faktor skala besar, yang telah kita bicarakan sebelumnya.

Kami membuktikan bahwa kami memiliki sistem yang dikembangkan secara seragam. Awalnya, kami memiliki ekspansi seragam, tetapi kami tidak tahu sampai kami mempertimbangkan persamaan gerak apakah alam semesta akan terus mengembang secara seragam. Namun demikian, ini benar. Ini berarti bahwa ekspansi dapat digambarkan menggunakan faktor skala.

Kami menemukan itu $$$u$ sepenuhnya ditentukan oleh persamaan di mana tidak ada $$$r_i$ . Dengan cara ini $$$u$ independen dari $$$r_i$ dan dapat dianggap hanya sebagai fungsi waktu $$$t$ . Kami juga dapat mengubah namanya menjadi $$$a (t)$ untuk membangun identitas dengan faktor skala:

$$

$$u (r_i, t) = u (t) \ equiv a (t)$$

Juga terlihat itu

$$

$$r (r_i, t) = u (t) r_i = a (t) r_i$$

Apa artinya ini? $$$r_i$ adalah koordinat teman. Kami menandai setiap shell sesuai dengan posisi awalnya, $$$r_i$ . Saat Anda memperluas, untuk setiap label shell $$$r_i$ disimpan. Ini menandai partikel di mana pun mereka bergerak. A $$$r$ Apakah jarak fisik, dalam hal ini dari titik asal, sama dengan faktor skala dikalikan dengan jarak yang terkait.

Sangat berguna untuk menulis persamaan ini dalam bentuk yang berbeda. Persamaan diferensial sebelumnya digunakan $$$ρ_i$ . Ini sangat nyaman karena $$$ρ_i$ adalah konstan. Itu tidak berubah seiring waktu. Namun, juga berguna untuk menulis persamaan diferensial menggunakan nilai $$$ρ$ , yang berubah seiring waktu untuk melihat hubungan antara jumlah fisik pada titik waktu tertentu. Ini tidak sulit dilakukan, karena kita mengetahui kepadatan pada waktu tertentu.

Untuk setiap shell, kita dapat menghitung kepadatan sebagai massa total di dalam shell dibagi dengan volume. Kita tahu bahwa kerapatan tetap seragam, karena dalam kasus kami semua jarak hanya sebanding dengan faktor skala umum. Karena itu, kepadatannya akan seragam.

Kita dapat menghitung kepadatan di dalam shell dengan mengambil $$$M (r_i)$ , yang kami sudah memiliki formula, dan yang tidak tergantung pada waktu, dan membaginya dengan volume di dalam shell.

$$$$ menampilkan $$ ρ (t) = \ frac {M (r_I)} {\ frac {4π} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^ 3_iρ_i} {\ frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $$ menampilkan $$

Ini adalah hasil yang diharapkan. Kepadatannya sama dengan kepadatan awal dibagi dengan kubus faktor skala. Faktor skala adalah 1 pada saat awal, sesuai dengan definisi kami. Dengan demikian, persamaan memberikan rasio faktor skala dalam kubus. Ketika alam semesta mengembang, kepadatan turun secara terbalik dengan faktor skala dalam kubus.

Sekarang kita dapat menulis ulang persamaan untuk $$$\ ddot a$ menggunakan kepadatan massa saat ini.

$$$$ menampilkan $$ \ ddot a = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} \ frac aa = \ frac {4π } 3Gρ (t) a $$ display $$

Persamaan ini memberikan perlambatan alam semesta model kita tergantung pada kepadatan massa saat ini. Perhatikan bahwa itu benar-benar hanya bergantung pada kepadatan massa. Ini menentukan hubungan $$$\ ddot a / a$ . Seharusnya begitu, karena kita ingat itu $$$a$ diukur dalam divisi per meter. Pada saat yang sama divisi dikurangi. Kami mendapatkan jawabannya dalam satuan fisik.

Saya katakan di awal bahwa ketika kita selesai, kita akan mengambil batas ketika radius maksimum awal $$$R_ {maks, i}$ cenderung tak terhingga. $$$R_ {maks, i}$ tidak muncul dalam salah satu persamaan ini. Karena itu, ketika berjuang $$$R_ {maks, i}$ hingga tak terbatas, tidak ada yang benar-benar terjadi. Ini berarti bahwa jawaban yang kami terima tidak bergantung pada seberapa besar bola itu jika semua yang kami anggap ada di dalam bola. Menambahkan materi tambahan dari luar tidak mengubah apa pun. Jadi, dalam batasnya, kami menambahkan jumlah materi yang tak terbatas di luar. Untuk pergi ke batas $$$R_ {maks, i}$ cenderung tak terhingga, tidak ada yang perlu dilakukan.

Pada akhirnya, kami ingin mendapatkan solusi berbeda untuk persamaan ini dan memahami bagaimana tampilannya. Hari ini saya ingin mengambil langkah lain ke arah ini, menulis ulang persamaannya sedikit berbeda, yang akan membantu kita mencari tahu seperti apa solusinya. Saya ingin menemukan integral pertama dari persamaan ini.

Integral pertama dan hukum kekekalan energi

Untuk menemukan integral pertama, saya ingin kembali ke persamaan di mana digunakan $$$ρ_i$ tapi tidak $$$ρ (t)$ . Keuntungannya adalah itu $$$ρ_i$ tidak tergantung waktu. Di $$$ρ$ Ada ketergantungan waktu yang tidak ingin saya perhitungkan sekarang. Karena itu, jika saya menggunakan rumus yang digunakan $$$ρ_i$ , hanya faktor skala yang akan memiliki ketergantungan waktu.

Saya menggunakan persamaan sebelumnya, tetapi saya akan mengganti $$$u$ pada $$$a$ karena kami berganti nama $$$u$ masuk $$$a$ . Saya juga akan mentransfer semua anggota dalam satu arah. Ternyata

$$

$$\ ddot a + \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

Ini adalah persamaan diferensial orde kedua yang sangat umum dalam mekanika Newton, persamaan ini mendefinisikan $$$\ ddot a$ akselerasi $$$a$ melalui nilai-nilai $$$a$ .

Dalam mekanika Newton, kita sering dapat menggunakan hukum kekekalan energi. Dalam hal ini, saya tidak tahu apakah itu harus disebut konservasi energi. Nanti kita akan berbicara tentang apa arti fisik hasil yang kita miliki. Tetapi, tentu saja, sebagai teknik matematika, kita dapat menggunakan metode yang sama yang digunakan dalam mekanika Newton untuk mendapatkan hukum kekekalan energi.

Untuk mendapatkan hukum konservasi energi yang sesuai dengan persamaan ini, kami mengalikan persamaan dengan faktor pengintegrasian, $$$\ dot a$ . Setelah itu, seluruh ekspresi akan menjadi turunan penuh. Persamaan ini setara

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0, \: \: \: mana \; E = \ frac 12 \ dot a ^ 2 - \ frac {4π} 3 \ frac {G ρ_i} a$$

Ini dapat dengan mudah diverifikasi. Jika saya bedakan $$$E$ , Saya mendapatkan persamaan ini. Jadi mereka setara. Dengan cara ini $$$E$ adalah kuantitas yang dilestarikan.

Sekarang jika kita ingin mengikat $$$E$ dengan energi apa pun, ada berbagai cara untuk melakukan ini. Salah satu caranya adalah dengan memperbanyak diri $$$E$ pada $$$mr ^ 2_i$ dan menganggap ini sebagai energi dari partikel uji pada permukaan bola. $$$m$ Adalah massa partikel uji. $$$r_i$ - Jari-jari awal partikel uji.

Dengan cara ini $$$E_ {phis}$ , atau energi fisik dari partikel uji hipotesis akan sama dengan

$$

$$E_ {phys} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 m (\ dot a r_i) ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} r$$

Jika kita menganggap itu sebagai partikel uji $$$r_i$ Apakah itu $$$R_ {maks, i}$ , yaitu, kita berbicara tentang batas bola kita, maka jelas apa yang dipertahankan di sini. Ternyata energi kinetik ditambah energi potensial - di mana energi potensial negatif - dari partikel titik di batas bola.

Jika kita ingin menerapkan persamaan ini pada partikel di dalam bola, akan sedikit lebih sulit untuk menemukan interpretasi yang benar. Jika partikel ada di dalam bola, jika $$$r_i$ tidak sama dengan jari-jari bola maksimum, lalu $$$E_ {phis}$ , pada kenyataannya, bukanlah energi potensial dari suatu partikel.

Untuk menghitung energi potensial suatu partikel, perlu untuk menghitung pekerjaan apa yang harus dilakukan untuk mengambil partikel tersebut hingga tak terbatas dan meletakkannya di tempatnya. Dalam hal ini, kontribusi massa yang terletak di dalam bola tempat partikel berada, yang menentukan gaya pada titik ini, diperhitungkan. Tetapi kita juga memiliki kontribusi dari materi di luar bola dengan partikel.

Saat menghitung energi potensial, saya tidak mendapatkannya $$$Gm$ kali massa di dalam bola dibagi dengan jarak dari pusat. Saya akan mendapatkan ekspresi yang jauh lebih kompleks. Padahal, energi yang saya dapatkan tidak dilestarikan. Mengapa itu tidak disimpan?

Itu tidak dilestarikan, oleh karena itu, di hadapan massa yang bergerak tidak ada alasan untuk konservasi.Energi partikel titik yang bergerak di bidang massa statis dilestarikan. Inilah yang Anda ketahui dari kursus yang relevan. Jika partikel-partikel lain bergerak, maka energi total seluruh sistem dilestarikan. Tetapi energi potensial dari partikel tertentu yang bergerak di bidang gravitasi partikel lain mungkin tidak terkonservasi.

Selain energi partikel, energi total sistem juga disimpan pada batas. Dia akan dikaitkan dengan$$E adalah konstanta proporsional lainnya dan akan dipertahankan untuk alasan yang jelas. Di sini Anda perlu berhati-hati untuk memahami apa yang disimpan, mengapa dan bagaimana menggunakannya.$E$