Untuk mengenang guru saya, dekan pertama Fakultas Fisika dan Matematika Institut Politeknik Novocherkassk, kepala Departemen Mekanika Teoritis, Alexander Nikolayevich Kabelkov

Pendahuluan

Agustus, musim panas hampir berakhir. Orang-orang mati-matian bergegas ke laut, dan ya itu tidak mengejutkan - musim itu sendiri. Dan di Habr, sementara itu, bunga-bunga pseudosain bermekaran dan berbau warna-warna kasar . Jika kita berbicara tentang topik "Modeling ...", maka di dalamnya kita akan menggabungkan bisnis dengan kesenangan - kita akan melanjutkan siklus yang dijanjikan dan berjuang sedikit dengan ini sangat pseudosains untuk pikiran ingin tahu pemuda modern.


Tetapi pertanyaan itu tidak sah menganggur - sejak tahun-tahun sekolah, kami dulu percaya bahwa satelit terdekat kami di luar angkasa - Bulan bergerak mengelilingi Bumi dengan periode 29,5 hari, terutama tanpa masuk ke rincian terkait. Faktanya, tetangga kita adalah sejenis dan sampai batas tertentu objek astronomi yang unik, dengan gerakan yang mengelilingi Bumi tidak sesederhana yang diinginkan oleh beberapa rekan saya dari negara terdekat.

Jadi, mengesampingkan polemik itu, kita akan mencoba dari sisi yang berbeda, sejauh kemampuan kita, untuk mempertimbangkan tugas yang indah tanpa syarat ini, menarik dan sangat terbuka.

1. Hukum gravitasi dan kesimpulan apa yang bisa kita tarik darinya

Ditemukan pada paruh kedua abad ke-17, oleh Sir Isaac Newton, hukum gravitasi menunjukkan bahwa Bulan tertarik ke Bumi (dan Bumi ke Bulan!) Dengan kekuatan yang diarahkan sepanjang garis yang menghubungkan pusat-pusat benda langit yang dipertimbangkan dan sama besarnya.

$$

$$F_ {1,2} = G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}$$

di mana m ₁ , m ₂ adalah massa, masing-masing, Bulan dan Bumi; G = 6.67e-11 m ³ / (kg * s ² ) - konstanta gravitasi; r _1,2 adalah jarak antara pusat-pusat bulan dan bumi. Jika kita hanya memperhitungkan gaya ini, maka, setelah menyelesaikan masalah gerakan Bulan sebagai satelit Bumi dan telah belajar menghitung posisi Bulan di langit dengan latar belakang bintang-bintang, kita akan segera diyakinkan, dengan pengukuran langsung koordinat khatulistiwa Bulan, bahwa di konservatori kita tidak semuanya berjalan semulus Saya ingin. Dan intinya di sini bukanlah hukum gravitasi universal (dan pada tahap awal pengembangan mekanika langit, pikiran seperti itu cukup sering diungkapkan), tetapi kemarahan yang tidak terhitung tentang pergerakan bulan dari benda lain. Yang mana Kita melihat ke langit dan pandangan kita segera bertumpu pada bola plasma yang besar dan kuat 1,99e30 kilogram tepat di bawah hidung kita - Matahari. Apakah bulan tertarik pada matahari? Sama seperti, dengan gaya yang sama dalam nilai absolut

$$

$$F_ {1,3} = G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}$$

di mana m ₃ adalah massa matahari; r _1.3 adalah jarak dari bulan ke matahari. Bandingkan kekuatan ini dengan yang sebelumnya.

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}} {G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ kiri (\ frac {r_ {1,2}} {r_ {1,3}} \ benar) ^ 2$$

Mari kita mengambil posisi tubuh di mana daya tarik Bulan ke Matahari akan minimal: ketiga benda berada pada satu garis lurus dan Bumi terletak di antara Bulan dan Matahari. Dalam hal ini, rumus kami akan berbentuk:

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ kiri (\ frac {\ rho} {a + \ rho} \ kanan) ^ 2$$

dimana $$$\ rho = 3.844 \ cdot 10 ^ {8}$ , m - jarak rata-rata dari Bumi ke Bulan; $$$a = 1.496 \ cdot10 ^ {11}$ , m - jarak rata-rata dari Bumi ke Matahari. Kami mengganti parameter nyata ke dalam rumus ini

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {1.99 \ cdot 10 ^ {30}} {5.98 \ cdot10 ^ {24}} \, \ kiri (\ frac {3.844 \ cdot10 ^ {8}} {1.496 \ cdot10 ^ {11} + 3.844 \ cdot10 ^ {8}} \ kanan) ^ 2 = $ 2.1$$

Ini angkanya! Ternyata Bulan tertarik pada Matahari dengan kekuatan lebih dari dua kali gaya tariknya ke Bumi.

Gangguan seperti itu tidak bisa lagi diabaikan dan pasti akan memengaruhi lintasan akhir bulan. Mari kita melangkah lebih jauh, dengan mempertimbangkan asumsi bahwa orbit Bumi berbentuk lingkaran dengan jari-jari a, kita menemukan tempat geometris dari titik-titik di sekitar Bumi, di mana gaya tarik benda apa pun ke Bumi sama dengan gaya tariknya ke Matahari. Ini akan menjadi bola dengan jari-jari

$$

$$R = \ frac {a \, \ sqrt {\ gamma}} {1 - \ gamma}$$

bergeser di sepanjang garis yang menghubungkan Bumi dan Matahari ke sisi yang berlawanan dengan arah ke Matahari dengan jarak

$$

$$l = R \, \ sqrt {\ gamma}$$

dimana $$$\ gamma = m_2 / m_3$ - rasio massa bumi terhadap massa matahari. Mengganti nilai numerik dari parameter, kami mendapatkan dimensi aktual dari wilayah ini: R = 259300 kilometer, dan l = 450 kilometer. Bola ini disebut bola gravitasi Bumi relatif terhadap Matahari.

Orbit bulan yang diketahui terletak di luar wilayah ini. Artinya, pada titik mana pun di lintasan, Bulan mengalami daya tarik yang jauh lebih besar dari sisi Matahari daripada dari sisi Bumi.

2. Satelit atau planet? Lingkup gravitasi

Informasi ini sering menimbulkan perdebatan bahwa Bulan bukanlah satelit Bumi, tetapi sebuah planet independen dari tata surya, yang orbitnya terganggu oleh daya tarik Bumi di dekatnya.

Mari kita mengevaluasi gangguan yang diperkenalkan oleh Matahari ke lintasan Bulan relatif terhadap Bumi, serta gangguan yang diperkenalkan oleh Bumi ke lintasan Bulan relatif terhadap Matahari, menggunakan kriteria yang diajukan oleh P. Laplace. Pertimbangkan tiga benda: Matahari (S), Bumi (E) dan Bulan (M).
Kami berasumsi bahwa orbit bumi relatif terhadap matahari dan bulan relatif terhadap bumi adalah lingkaran.


Pertimbangkan pergerakan bulan dalam kerangka referensi inersia geosentris. Percepatan absolut bulan dalam sistem referensi heliosentris ditentukan oleh gaya gravitasi yang bekerja padanya dan sama dengan:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} { m_1} \, \ vec F_ {1,2}$$

Di sisi lain, menurut teorema Coriolis, percepatan absolut bulan

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1,2}$$

dimana $$$\ vec a_2$ - akselerasi portabel sama dengan akselerasi Bumi relatif terhadap Matahari; $$$\ vec a_ {1,2}$ - Akselerasi Bulan relatif terhadap Bumi. Tidak akan ada akselerasi Coriolis di sini - sistem koordinat yang dipilih oleh kami bergerak secara progresif. Dari sini kita mendapatkan akselerasi bulan relatif terhadap bumi

$$

$$\ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2} - \ vec a_2$$

Bagian dari akselerasi ini sama dengan $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ karena daya tarik bulan ke bumi dan menjadi ciri gerakan geosentrisnya yang tak terganggu. Sisa dari

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1,3} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} - \ vec a_2$$

Akselerasi bulan disebabkan oleh gangguan dari matahari.

Jika kita mempertimbangkan pergerakan bulan dalam sistem referensi inersia heliosentris, maka semuanya lebih sederhana, percepatan $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3}$ mencirikan pergerakan heliosentris bulan yang tidak terganggu, dan akselerasi $$$\ Delta \ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ - Gangguan gerakan ini dari sisi Bumi.

Mengingat parameter orbit Bumi dan Bulan yang ada di zaman saat ini, ketimpangan

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

yang dapat diperiksa dengan perhitungan langsung, tapi saya akan merujuk ke sumbernya , agar tidak mengacaukan artikel yang tidak perlu.

Apa arti ketimpangan (1)? Ya, fakta bahwa secara relatif efek dari gangguan Bulan oleh Matahari (dan sangat signifikan) kurang dari efek tarik-menarik Bulan ke Bumi. Sebaliknya, kemarahan Bumi terhadap lintasan geolosentris Bulan memiliki pengaruh yang menentukan pada sifat geraknya. Pengaruh gravitasi bumi dalam hal ini lebih signifikan, yang berarti bahwa Bulan "milik" Bumi dengan benar dan merupakan satelitnya.

Hal lain yang menarik - mengubah ketimpangan (1) menjadi persamaan, Anda dapat menemukan tempat geometris dari titik-titik di mana efek dari gangguan Bulan (dan benda lain) identik dengan Bumi dan Matahari. Sayangnya, ini tidak sesederhana dalam kasus gravitasi. Perhitungan menunjukkan bahwa permukaan ini digambarkan oleh persamaan tatanan gila, tetapi dekat dengan ellipsoid revolusi. Yang bisa kita lakukan tanpa masalah adalah mengevaluasi dimensi keseluruhan permukaan ini relatif terhadap pusat Bumi. Memecahkan persamaan secara numerik

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

relatif terhadap jarak dari pusat bumi ke permukaan yang diinginkan pada jumlah titik yang cukup, kita mendapatkan penampang permukaan yang diinginkan oleh bidang ekliptika


Untuk lebih jelasnya, orbit geosentris bulan dan bola gravitasi bumi yang kami temukan di atas relatif terhadap matahari ditunjukkan di sini. Dapat dilihat dari gambar bahwa bola pengaruh, atau bola dari aksi gravitasi Bumi relatif terhadap Matahari, adalah permukaan revolusi relatif terhadap sumbu X, diratakan sepanjang garis lurus yang menghubungkan Bumi dan Matahari (sepanjang sumbu gerhana). Orbit bulan jauh di dalam permukaan imajiner ini.

Untuk perhitungan praktis, permukaan ini mudah diperkirakan oleh bola dengan pusat di pusat bumi dan jari-jari sama dengan

$$

$$r = a \, \ kiri (\ frac {m} {M} \ kanan) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

di mana m adalah massa benda langit yang lebih kecil; M adalah massa tubuh yang lebih besar di mana medan gravitasinya bergerak lebih kecil; a adalah jarak antara pusat-pusat tubuh. Dalam kasus kami

$$

$$r = a \, \ kiri (\ frac {m_2} {m_3} \ kanan) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \, \ kiri (\ frac {5.98 \ cdot10 ^ {24}} {1.99 \ cdot10 ^ {30}} \ kanan) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000, \, km$$

Jutaan kilometer yang belum selesai ini adalah batas teoretis di mana kekuatan wanita tua Bumi tidak meluas - pengaruhnya terhadap lintasan benda-benda astronomi sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Ini berarti bahwa meluncurkan Bulan dalam orbit melingkar pada jarak 38,4 juta kilometer dari Bumi (seperti yang dilakukan beberapa ahli bahasa) akan gagal, secara fisik tidak mungkin.

Lingkup ini, sebagai perbandingan, ditunjukkan pada gambar oleh garis putus-putus biru. Dalam perhitungan evaluatif, diasumsikan bahwa benda di dalam bola ini akan mengalami gravitasi secara eksklusif dari sisi Bumi. Jika tubuh berada di luar bidang ini, kami menganggap bahwa tubuh bergerak di bidang gravitasi Matahari. Dalam astronotika praktis, metode konjugasi bagian kerucut diketahui, yang memungkinkan seseorang untuk kira-kira menghitung lintasan pesawat ruang angkasa menggunakan solusi dari masalah dua tubuh. Selain itu, semua ruang yang dikuasai aparat dibagi menjadi bidang-bidang pengaruh yang serupa.

Sebagai contoh, sekarang jelas bahwa untuk memiliki kemampuan teoretis untuk melakukan manuver memasuki orbit bulan-dekat, pesawat ruang angkasa harus jatuh ke dalam bidang tindakan Bulan relatif terhadap Bumi. Radiusnya mudah dihitung dengan rumus (3) dan 66 ribu kilometer.

Dengan demikian, Bulan dapat dianggap sebagai satelit Bumi. Namun, karena pengaruh signifikan medan gravitasi Matahari, ia tidak bergerak di medan gravitasi pusat, yang berarti lintasannya bukan bagian kerucut.

3. Masalah tiga tubuh dalam formulasi klasik

Jadi, kami akan mempertimbangkan masalah model dalam pengaturan umum, yang dikenal dalam mekanika langit sebagai masalah tiga tubuh. Mari kita perhatikan tiga tubuh massa sewenang-wenang yang terletak sewenang-wenang di ruang angkasa dan bergerak secara eksklusif di bawah pengaruh kekuatan gaya tarik gravitasi timbal balik


Kami menganggap tubuh sebagai poin materi. Posisi badan akan dihitung secara sewenang-wenang, yang terkait dengan sistem referensi inersia Oxyz . Posisi masing-masing badan diatur oleh radius vektor, masing-masing $$$\ vec r_1$ , $$$\ vec r_2$ dan $$$\ vec r_3$ . Kekuatan tarikan gravitasi dari sisi dua benda lain bekerja pada setiap benda, apalagi, sesuai dengan aksioma ketiga dinamika titik (hukum ke-3 Newton)

$$

$$\ vec F_ {i, j} = - \ vec F_ {j, i} \ quad \ quad (4)$$

Kami menulis persamaan diferensial gerak setiap titik dalam bentuk vektor

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ vec F_ {2,1} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3,1} + \ vec F_ {3,2} \ end {align}$$

atau, dengan mempertimbangkan (4)

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,3} - \ vec F_ {2,3} \ end {align}$$

Sesuai dengan hukum gravitasi universal, kekuatan interaksi diarahkan sepanjang vektor

$$

$$\ begin {align} & \ vec r_ {1,2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1,3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {2 , 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {align}$$

Di sepanjang masing-masing vektor ini, kami mengeluarkan vektor satuan yang sesuai

$$

$$\ vec e_ {i, j} = \ frac {1} {r_ {i, j}} \, \ vec r_ {i, j}$$

maka masing-masing gaya gravitasi dihitung dengan rumus

$$

$$\ vec F_ {i, j} = G \, \ frac {m_i \, m_j} {r_ {i, j} ^ 2} \, \ vec e_ {i, j}$$

Mengingat semua ini, sistem persamaan gerak mengambil bentuk

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \, m_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2 } + \ frac {G \, m_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {G \, m_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {G \, m_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

Kami memperkenalkan notasi yang diterima dalam mekanika selestial

$$

$$\ mu_i = G \, m_i$$

Merupakan parameter gravitasi dari pusat penarik. Kemudian persamaan gerak akan mengambil bentuk vektor terakhir

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {\ mu_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

4. Penjatahan persamaan untuk variabel tak berdimensi

Teknik yang cukup populer dalam pemodelan matematika adalah pengurangan persamaan diferensial dan hubungan lainnya yang menggambarkan proses menjadi koordinat fase tanpa dimensi dan waktu tanpa dimensi. Parameter lain juga dinormalisasi. Ini memungkinkan kita untuk mempertimbangkan, meskipun dengan menggunakan pemodelan numerik, tetapi dalam bentuk yang cukup umum seluruh kelas masalah khas. Saya meninggalkan pertanyaan tentang bagaimana dibenarkan ini dalam setiap masalah yang harus diselesaikan, tetapi saya setuju bahwa dalam hal ini pendekatan ini cukup adil.

Jadi, kami memperkenalkan beberapa benda langit abstrak dengan parameter gravitasi $$$\ mu$ , sedemikian rupa sehingga periode rotasi satelit dalam orbit elips dengan semi-sumbu utama $$$a$ di sekitarnya sama $$$T$ . Semua jumlah ini, berdasarkan hukum mekanika, dihubungkan oleh relasi

$$

$$T = 2 \, \ pi \, \ kiri (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ kanan) ^ {\ frac {1} {2}}$$

Kami memperkenalkan penggantian parameter. Untuk posisi poin dari sistem kami

$$

$$\ vec r_i = a \, \ vec \ xi_i$$

dimana $$$\ vec \ xi_i$ - Vektor radius berdimensi dari titik ke-i;
untuk parameter gravitasi benda

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \, \ mu$$

dimana $$$\ varkappa_i$ - parameter gravitasi tanpa dimensi dari titik ke-i;
untuk waktu

$$

$$t = T \, \ tau$$

dimana $$$\ tau$ - waktu tanpa dimensi.

Sekarang, kami menghitung ulang titik akselerasi sistem melalui parameter tanpa dimensi ini. Kami menerapkan diferensiasi waktu ganda langsung. Untuk kecepatan

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a, \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau }.$$

Untuk akselerasi

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {1 } {dt} \ kiri (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ kanan) = \ frac {1} {4 \, \ pi ^ 2} \, \ frac {\ mu} {a ^ 2} \, \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

Saat mengganti relasi yang diperoleh ke dalam persamaan gerak, semuanya dengan elegan runtuh menjadi persamaan yang indah:

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {align}$$

Sistem persamaan ini masih dianggap tidak terintegrasi dalam fungsi analitik. Mengapa itu dianggap dan tidak? Karena keberhasilan teori fungsi dari variabel kompleks mengarah pada fakta bahwa solusi umum untuk masalah tiga-tubuh memang muncul pada tahun 1912 - Karl Zundman menemukan algoritma untuk menemukan koefisien untuk deret tak hingga sehubungan dengan parameter kompleks, yang secara teoritis merupakan solusi umum untuk masalah tiga-tubuh. Tapi ... untuk aplikasi seri Sundman dalam perhitungan praktis dengan akurasi yang diperlukan untuk mereka, itu memerlukan memperoleh sejumlah anggota seri ini sehingga tugas ini jauh melebihi kemampuan komputer bahkan hari ini.

Oleh karena itu, integrasi numerik adalah satu-satunya cara untuk menganalisis solusi persamaan (5)

5. Perhitungan kondisi awal: kami memperoleh data awal

Seperti yang saya tulis sebelumnya , sebelum memulai integrasi numerik, Anda harus berhati-hati dalam menghitung kondisi awal untuk masalah yang sedang dipecahkan. Dalam masalah yang dipertimbangkan, pencarian kondisi awal berubah menjadi subproblem independen, karena sistem (5) memberi kita sembilan persamaan skalar orde kedua, yang, ketika beralih ke bentuk Cauchy normal, meningkatkan urutan sistem dengan faktor 2. Artinya, kita perlu menghitung sebanyak 18 parameter - posisi awal dan komponen kecepatan awal semua titik dalam sistem. Di mana kita mendapatkan data tentang posisi benda langit yang menarik minat kita? Kita hidup di dunia di mana seseorang berjalan di bulan - secara alami, umat manusia harus memiliki informasi tentang bagaimana bulan ini bergerak dan di mana ia berada.

Artinya, Anda berkata, Anda, kawan, menawarkan kami untuk mengambil buku-buku astronomi tebal dari rak-rak, meniup debu dari mereka ... Jangan kira! Saya sarankan pergi ke NASA untuk mereka yang benar-benar berjalan di Bulan, yaitu Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, California. Di sini - antarmuka web JPL Horizonts .

Di sini, setelah menghabiskan waktu mempelajari antarmuka, kita akan mendapatkan semua data yang kita butuhkan. Pilih tanggal, misalnya, ya, kami tidak peduli, tetapi biarkan tanggal 27 Juli 2018 UT 20:21. Tepat pada saat ini, fase penuh gerhana bulan diamati. Program ini akan memberi kita alas kaki yang besar


Brrr, ada apa? Tanpa panik, tidak ada yang perlu ditakuti bagi seseorang yang telah mempelajari astronomi, mekanik, dan matematika dengan baik di sekolah. Jadi, yang terpenting adalah koordinat akhir yang dicari dan komponen kecepatan bulan.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

Ya, ya, ya, mereka Cartesian! Jika Anda membaca dengan seksama seluruh tapak kaki, kami akan menemukan bahwa asal sistem koordinat ini bertepatan dengan pusat bumi. Pesawat XY terletak di bidang orbit Bumi (bidang ekliptika) untuk era J2000. Sumbu X diarahkan sepanjang garis persimpangan ekuator Bumi dan ekliptika ke titik balik musim semi. Sumbu Z terlihat ke arah kutub utara Bumi tegak lurus terhadap bidang ekliptika. Nah, sumbu Y melengkapi semua kebahagiaan ini dengan tiga vektor yang tepat. Secara default, unit koordinat: unit astronomi (smarties dari NASA juga memberikan besaran unit otonom dalam kilometer). Satuan kecepatan: unit astronomi per hari, hari diasumsikan 86400 detik. Isian penuh!

Kami bisa mendapatkan informasi serupa untuk Bumi.


Di sini, barycenter (pusat massa) tata surya dipilih sebagai asal. Data yang menarik bagi kami

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

Untuk bulan, kita membutuhkan koordinat dan kecepatan relatif terhadap pusat barisan tata surya, kita bisa menghitungnya, atau kita bisa meminta NASA untuk memberi kita data seperti itu

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

Luar biasa! Sekarang Anda perlu sedikit memproses data yang diterima dengan file.

6.38 burung beo dan satu sayap burung beo

Untuk mulai dengan, kita akan menentukan skala, karena persamaan gerak kita (5) ditulis dalam bentuk tanpa dimensi. Data yang disediakan oleh NASA sendiri memberi tahu kita bahwa ada baiknya mengambil satu unit astronomi untuk skala koordinat. Dengan demikian, kita akan mengambil Matahari sebagai badan standar yang akan menormalisasi massa tubuh lain, dan periode revolusi Bumi di sekitar Matahari sebagai skala waktu.

Semua ini, tentu saja, sangat baik, tetapi kami tidak menetapkan kondisi awal untuk Matahari. "Kenapa?" Seorang ahli bahasa akan bertanya kepada saya. Dan saya akan menjawab bahwa matahari sama sekali tidak bergerak, tetapi juga berputar dalam orbitnya di sekitar pusat massa tata surya. Ini bisa dilihat dengan melihat data NASA untuk Matahari.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

Melihat parameter RG, kita melihat bahwa matahari berputar di sekitar barycenter tata surya, dan pada 27 Juli 2018, pusat bintang berjarak sejuta kilometer jauhnya dari itu. Jari-jari Matahari, untuk referensi - 696 ribu kilometer. Artinya, pusat barisan tata surya terletak setengah juta kilometer dari permukaan bintang. Mengapa Ya, karena semua benda lain yang berinteraksi dengan Matahari juga memberikan akselerasi, terutama, tentu saja, Jupiter yang berat. Dengan demikian, Matahari juga memiliki orbitnya sendiri.

Tentu saja, kita dapat memilih data ini sebagai kondisi awal, tetapi tidak - kita sedang menyelesaikan masalah model tiga tubuh, dan Jupiter dan karakter lain tidak termasuk di dalamnya. Jadi, dengan merugikan realisme, mengetahui posisi dan kecepatan Bumi dan Bulan, kami menghitung ulang kondisi awal untuk Matahari, sehingga pusat massa sistem Matahari-Bumi-Bulan berada pada titik asal. Untuk pusat massa sistem mekanik kita, persamaan

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \, \ vec r_C = m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3$$

Kami menempatkan pusat massa pada titik asal, yaitu, kami bertanya $$$\ vec r_C = 0$ lalu

$$

$$m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3 = 0$$

dari mana

$$

$$\ begin {align} & m_3 \, \ vec r_3 = -m_1 \, \ vec r_1 - m_2 \, \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \, \ vec r_2 \ end {align}$$

Mari kita beralih ke koordinat dan parameter tanpa dimensi dengan memilih $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad \ quad (6)$$

Membedakan (6) sehubungan dengan waktu dan melewati ke waktu tanpa dimensi, kami juga mendapatkan hubungan untuk kecepatan

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \, \ vec u_1 - \ varkappa_2 \, \ vec u_2$$

dimana $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3}$

Sekarang kami akan menulis sebuah program yang akan membentuk kondisi awal di "burung beo" pilihan kami. Apa yang akan kita tulis? Tentu saja dengan Python! Bagaimanapun, seperti yang Anda tahu, ini adalah bahasa terbaik untuk pemodelan matematika.

Namun, jika kita lolos dari sarkasme, maka kita benar-benar akan mencoba python untuk tujuan ini, dan mengapa tidak? Saya pasti akan memberikan tautan ke semua kode di profil Github saya .


Program buang

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. Integrasi persamaan gerak dan analisis hasil

Sebenarnya, integrasi itu sendiri direduksi menjadi prosedur yang kurang lebih standar untuk menyiapkan sistem persamaan untuk SciPy: mengubah sistem ODE ke bentuk Cauchy dan memanggil fungsi solver yang sesuai. Untuk mengkonversi sistem ke bentuk Cauchy, kami ingat itu

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3} \ quad \ quad (7)$$

Kemudian memperkenalkan vektor status sistem

$$

$$\ vec y = \ kiri [\ vec \ xi_1, \ vec \ xi_2, \ vec \ xi_1, \ vec u_1, \ vec u_2, \ vec u_3 \ kanan] ^ T$$

kita mereduksi (7) dan (5) menjadi satu persamaan vektor

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau, \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

Untuk mengintegrasikan (8) dengan kondisi awal yang ada, kami menulis sedikit, sangat sedikit kode


Mari kita lihat apa yang kita dapat. Lintasan spasial Bulan selama 29 hari pertama dari titik awal pilihan kami


serta proyeksi ke bidang ekliptika.


"Hei paman, apa yang kamu berikan kepada kami ?! Ini lingkarannya! ”

Pertama, ini bukan lingkaran - perubahan dalam proyeksi lintasan dari asal ke kanan dan ke bawah terlihat. Kedua - tidak memperhatikan apa pun? Tidak benar


Saya berjanji untuk menyiapkan pembenaran atas fakta (berdasarkan analisis kesalahan akun dan data NASA) bahwa jalur offset yang diperoleh bukanlah konsekuensi dari kesalahan integrasi. Sejauh ini saya menyarankan pembaca untuk mengambil kata saya untuk itu - perpindahan ini adalah konsekuensi dari gangguan matahari dari lunar lintasan. Putar lagi



Jam berapa! Selain itu, perhatikan fakta bahwa, berdasarkan data awal dari masalah, Matahari terletak tepat di sisi di mana lintasan Bulan bergeser pada setiap revolusi. Ya, Matahari yang kurang ajar ini mencuri dari kita teman terkasih kita! Oh, ini matahari!

Kita dapat menyimpulkan bahwa gravitasi matahari mempengaruhi orbit bulan cukup signifikan - wanita tua itu tidak berjalan di langit dua kali dengan cara yang sama. Gambar selama setengah tahun gerakan memungkinkan (setidaknya secara kualitatif) diyakinkan tentang hal ini (gambar dapat diklik)



Menarik? Tentu saja Anda akan. Astronomi umumnya merupakan ilmu yang lucu.

Catatan tambahan

Di universitas tempat saya belajar dan bekerja selama hampir tujuh tahun - Politeknik Novocherkassk - Olimpiade zonal mahasiswa dalam mekanika teoretis universitas Kaukasus Utara diadakan setiap tahun. Tiga kali kami mengikuti Olimpiade All-Rusia. Pada pembukaan, "Olimpiade" utama kami, Profesor A. Kondratenko, selalu berkata: "Akademisi Krylov menyebut mekanika puisi ilmu pasti."

Saya suka mekanik. Semua hal baik yang telah saya raih dalam hidup dan karier saya telah terjadi berkat ilmu ini dan guru-guru saya yang luar biasa. Saya menghormati mekanik.

Oleh karena itu, saya tidak akan pernah membiarkan siapa pun mengejek ilmu ini dan secara terang-terangan mengeksploitasinya untuk tujuan mereka sendiri, bahkan jika ia setidaknya tiga kali menjadi doktor ilmu pengetahuan dan empat kali ahli bahasa, dan telah mengembangkan setidaknya satu juta program studi. Saya sungguh-sungguh percaya bahwa menulis artikel tentang sumber daya publik yang populer harus menyediakan untuk pemeriksaan ulang yang cermat, desain normal (formula LaTeX bukan kehendak pengembang sumber daya!) Dan tidak adanya kesalahan yang mengarah pada hasil yang melanggar hukum alam. Yang terakhir umumnya harus dimiliki.

Saya sering memberi tahu murid-murid saya: "komputer membebaskan tangan Anda, tetapi ini tidak berarti Anda perlu mematikan otak juga."

Untuk menghargai dan menghormati mekanika, saya mendorong Anda, para pembaca yang saya kasihi. Saya dengan senang hati akan menjawab pertanyaan apa pun, dan, seperti yang dijanjikan, saya memposting kode sumber dari contoh untuk menyelesaikan masalah tiga tubuh dengan Python, saya memposting Github di profil saya .

Terima kasih atas perhatian anda!