Apa yang bisa dikatakan matematika tentang menemukan keteraturan dalam kekacauan kehidupan
Apakah pertemuan dengan orang tersayang Anda kebetulan, atau ada semacam alasan tersembunyi untuk ini? Dan bagaimana dengan mimpi aneh kemarin - apakah itu hanya melempar sinapsis otak secara acak, atau apakah dia mengungkapkan sesuatu yang mendalam tentang alam bawah sadar Anda? Mungkin mimpi itu mencoba memberi tahu Anda tentang masa depan Anda. Mungkin juga tidak. Apakah fakta bahwa kerabat dekat Anda sakit dengan jenis kanker yang berbahaya memiliki makna mendalam, atau apakah itu hanya konsekuensi dari mutasi DNA acak?
Dalam kehidupan kita, kita sering berpikir tentang pola peristiwa yang terjadi di sekitar kita. Kita bertanya-tanya apakah hidup kita acak, atau mereka memiliki semacam makna, benar unik dan mendalam. Sebagai ahli matematika, saya sering beralih ke angka dan teorema untuk ide-ide tentang masalah seperti itu. Dan kebetulan saya belajar sesuatu tentang mencari makna dalam hukum kehidupan berkat salah satu teorema logika matematika yang paling mendalam. Teorema ini, secara sederhana, menunjukkan bahwa pada prinsipnya tidak mungkin untuk mengetahui apakah penjelasan hukum adalah yang paling mendalam atau menarik dari semua penjelasan. Sama seperti dalam kehidupan, pencarian makna dalam matematika tidak terbatas.
Pendahuluan kecil. Pertimbangkan tiga baris karakter berikut.
1.100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100
2.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 73, 79, 79, 89, 89, 97
3.38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418.
Bagaimana kita menggambarkannya? Sebagai contoh, kita dapat dengan mudah melakukan ini hanya dengan menuliskannya - seperti yang baru saja kita lakukan. Namun, segera jelas bahwa dua baris pertama dapat dijelaskan secara singkat. Yang pertama hanyalah urutan pengulangan "100-an". Yang kedua adalah daftar bilangan prima pertama. Bagaimana dengan yang ketiga? Ini dapat dijelaskan hanya dengan menampilkan seluruh baris. Tetapi adakah deskripsi yang lebih baik dan lebih pendek untuknya?
Pada awal 1960-an, remaja Amerika
Gregory Haitin , matematikawan Rusia dan Soviet yang terkenal di dunia,
Andrei Nikolaevich Kolmogorov , dan perintis ilmu komputer
Ray Solomonov secara independen merumuskan cara untuk mengukur kompleksitas urutan karakter. Ide-ide mereka mulai disebut
teori kompleksitas atau
teori informasi algoritmik Kolmogorov . Mereka mendalilkan bahwa kompleksitas string ditentukan oleh panjangnya program komputer terpendek yang dapat memproduksinya. Artinya, ambil jalur dan cari program komputer terpendek yang memproduksinya. Suatu program adalah satu jenis deskripsi garis. Jika program terpendek seperti itu ternyata sangat pendek, maka ada pola sederhana dalam garis, dan itu tidak terlalu rumit. Kami mengatakan bahwa dalam garis seperti itu ada sedikit konten algoritmik. Sebaliknya, jika program yang panjang diperlukan untuk menghasilkan string, maka string itu kompleks, dan konten algoritmiknya lebih besar. Untuk setiap baris, Anda harus mencari program terpendek yang menghasilkan garis seperti itu. Panjang program semacam itu disebut kompleksitas string Kolmogorov.
Mari kita kembali ke tiga baris pertama. Dua baris pertama dapat dijelaskan menggunakan program komputer yang relatif singkat:
1. Cetak "100" 30 kali.
2. Cetak 25 primes pertama.
Kompleksitas Kolmogorov dari baris pertama kurang dari kompleksitas Kolmogorov dari baris kedua, karena program pertama lebih pendek dari yang kedua. Bagaimana dengan yang ketiga? Garis ini tidak memiliki pola yang jelas. Namun, Anda dapat menulis program bodoh yang menampilkan urutan ini:
3. Keluaran “38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418”
Program seperti itu mengatasi tugas itu, tetapi tidak memuaskan. Mungkin ada program yang lebih pendek yang menunjukkan adanya pola di baris ini. Ketika program terpendek yang menghasilkan string adalah program "print a string", kami mengatakan bahwa string ini sangat kompleks dan tidak mengandung pola yang diketahui. String tanpa pola disebut acak. Tetapi meskipun kita belum melihat polanya, itu bisa ada. Dalam matematika, seperti dalam kehidupan, kita dihadapkan dengan banyak pola yang tampak acak.
Kita dapat mencoba menggunakan kemampuan luar biasa dari komputer modern untuk menemukan pola dan program terpendek. Bukankah lebih bagus jika ada komputer yang mampu menghitung kompleksitas Kolmogorov dari sembarang string? Komputer seperti itu akan menerima string sebagai input, dan menampilkan panjang dari program terpendek yang mampu menghasilkan string ini. Tentu saja, dengan semua hal bermodel seperti AI, pembelajaran mendalam, data besar, komputasi kuantum, dll., Seharusnya mudah untuk membuat komputer seperti itu.
Sayangnya, komputer seperti itu tidak mungkin dibuat! Meskipun komputer modern sangat kuat, tugas ini tidak mungkin. Itulah isi dari salah satu teorema terdalam dari logika matematika. Teorema itu, pada kenyataannya, mengatakan bahwa kompleksitas Kolmogorov dari suatu string tidak dapat dihitung. Tidak ada perangkat mekanis yang menentukan ukuran program terkecil yang menghasilkan string yang diberikan. Intinya bukan bahwa tingkat teknologi komputer kita saat ini tidak sesuai dengan tugas, atau bahwa kita tidak cukup pintar untuk menulis algoritma seperti itu. Terbukti bahwa gagasan deskripsi dan perhitungan menunjukkan bahwa komputer, pada prinsipnya, tidak dapat melakukan tugas seperti itu untuk semua lini. Dan jika komputer mungkin mampu mencari pola-pola tertentu dalam string, ia tidak dapat menemukan pola terbaik. Kami mungkin menemukan program pendek yang menampilkan urutan tertentu, tetapi selalu ada yang lebih pendek. Kami tidak akan pernah tahu tentang itu.
Bukti paling tidak komputabilitasnya kompleksitas Kolmogorov untuk suatu urutan cukup formal. Tetapi ini adalah bukti dari kontradiksi, dan kita dapat membayangkan bagaimana cara kerjanya dengan melihat beberapa paradoks kecil dan manis.
Paradoks angka menarik dihubungkan dengan pernyataan bahwa semua angka natural menarik. 1 adalah angka pertama, dan itu menarik. 2 adalah angka genap pertama. 3 adalah prime odd pertama. 4 adalah angka yang menarik karena 4 = 2 × 2 dan 4 = 2 + 2. Dengan cara ini, Anda dapat melanjutkan lebih jauh, dan menemukan properti menarik dari banyak angka. Pada titik tertentu, kita dapat bertemu nomor tanpa properti yang menarik. Dan kita bisa menyebut nomor ini nomor tidak menarik pertama - tetapi ini sendiri sudah merupakan properti yang menarik. Akibatnya, angka yang tidak menarik juga menarik!
Ide-ide yang terkandung dalam bukti Kolmogorov mirip dengan ide-ide
paradoks Berry mengenai deskripsi angka besar. Perhatikan bahwa semakin banyak kata yang kita gunakan, semakin besar angka yang bisa kita gambarkan. Misalnya, dalam tiga kata Anda dapat menggambarkan "triliun triliun," dan lima - "triliun triliun triliun triliun," yang merupakan jumlah yang jauh lebih besar. Sekarang perhatikan nomor yang dijelaskan oleh frasa berikut:
Angka terkecil yang tidak dapat dijelaskan dalam kurang dari 15 kata]
Dibutuhkan 15, 16, atau bahkan lebih banyak kata untuk menggambarkan nomor tersebut. Itu tidak dapat dijelaskan dalam 12, 13 atau 14 kata. Namun, ini masalahnya: frasa di atas menggambarkan angka ini dengan 10 kata [
12 kata / kira-kira. perev. ] Deskripsi kami tentang angka bertentangan dengan deskripsi angka - inilah paradoksnya.
Dalam paradoks angka yang menarik dan dalam paradoks Berry, kita sampai pada kontradiksi, menyarankan keberadaan cara yang tepat untuk menggambarkan sesuatu. Demikian pula, bukti dari kompleksitas Kolmogorov yang tidak dapat dihitung mengikuti fakta bahwa jika itu dapat dihitung, kita akan sampai pada suatu kontradiksi.
Fakta bahwa kompleksitas Kolmogorov tidak dapat dihitung adalah hasil dari matematika murni, dan kita seharusnya tidak membingungkan dunia ideal ini dengan kenyataan yang jauh lebih kompleks dan tidak teratur. Namun, ada beberapa poin umum terkait dengan kompleksitas Kolmogorov yang bisa kita bawa ke dunia nyata.
Sering kali kami menemukan apa yang tampak benar-benar kacau balau bagi kami. Keacakan membuat kita gugup, dan kita mencari pola yang menghilangkan kekacauan sebagian. Jika kita menemukan suatu pola, masih belum jelas apakah itu pola terbaik yang menjelaskan pengamatan kita. Kita mungkin bertanya-tanya apakah ada pola yang lebih dalam yang memberikan penjelasan yang lebih baik. Teori kompleksitas Kolmogorov mengajarkan kita bahwa pada tingkat dasar tidak ada cara yang pasti untuk menentukan pola terbaik. Kita tidak akan pernah tahu apakah pola yang kita temukan adalah yang terbaik.
Tapi inilah yang membuat pencarian menjadi sangat menarik. Menurut definisi, sesuatu itu menarik jika membutuhkan pemikiran tambahan. Fakta yang jelas dan dipahami sepenuhnya tidak membutuhkan pemikiran lebih lanjut. Fakta bahwa enam akan menjadi empat puluh tujuh benar-benar dapat dimengerti dan tidak menarik. Hanya ketika kita tidak yakin tentang ide-ide, kita perlu mengkonfirmasi dan merenungkannya. Pencarian untuk pola yang ditingkatkan akan selalu menarik.
Dunia nyata menambah kompleksitas. Jika tidak ada kesalahan di dunia string dan program komputer, Anda bisa membuat kesalahan di dunia nyata. Kita dapat dengan mudah mengetahui apakah suatu program tertentu menampilkan string atau tidak. Dan meskipun kita mungkin tidak akan dapat menentukan program optimal untuk menghasilkan garis tertentu, kita dapat menentukan apakah akan menampilkan garis yang diinginkan. Dan dunia nyata, sebaliknya, jauh lebih kompleks. Tampaknya bagi kita bahwa kita melihat urutan ketika, pada kenyataannya, itu tidak ada.
Pemahaman kita tentang pencarian makna mulai terbentuk. Kami membenci peluang dan mengagumi pola. Kami diprogram secara biologis untuk menemukan pola yang menjelaskan apa yang kami lihat. Tetapi kita tidak dapat yakin bahwa pola yang kita temukan akan benar. Bahkan jika kita entah bagaimana bisa menjamin tidak adanya kesalahan dan mencapai kesempurnaan yang mirip dengan komputer, di suatu tempat masih selalu ada kebenaran yang lebih dalam. Ketegangan ini memicu kecintaan kami pada sastra, teater, dan bioskop. Ketika kita membaca novel atau menonton drama, penulis atau sutradara memberi kita urutan peristiwa dengan tema, pola, atau moralitas yang sama. Sastra, drama, dan bioskop menawarkan kita cara yang bagus untuk melarikan diri dari kekacauan yang biasanya tidak dapat dipahami dan tidak masuk akal yang kita temui di dunia di sekitar kita. Literatur yang sangat bagus melangkah lebih jauh dan meninggalkan kita dengan banyak interpretasi. Kami dihadapkan dengan kompleksitas Kolmogorov yang tak terhitung.
Ketegangan ini juga menentukan bagaimana kita menjalani hidup kita. Bepergian melalui acara yang seharusnya acak, kami mencari pola dan struktur. Hidup ini penuh dengan pasang surut. Ada sukacita jatuh cinta, bersenang-senang dengan anak-anak, perasaan pencapaian besar di akhir pekerjaan yang sulit. Ada rasa sakit dari hubungan yang terputus, penderitaan kegagalan setelah upaya aktif untuk menyelesaikan tugas, tragedi kematian orang yang dicintai. Kami mencoba melihat semua ini untuk maknanya. Kami membenci perasaan peluang penuh dan gagasan bahwa kami hanya mengikuti hukum fisika yang kacau dan tidak rumit. Kami ingin tahu apakah ada makna, tujuan, makna di dunia sekitarnya. Kita membutuhkan kisah hidup yang ajaib, dan kita menceritakan kepada diri kita sendiri kisah-kisah.
Terkadang kisah-kisah ini benar-benar salah. Terkadang kita menipu diri sendiri dan orang lain. Dan terkadang kita mengidentifikasi pola dengan benar. Tetapi bahkan ketika cerita itu benar, itu tidak selalu menjadi yang terbaik. Kami tidak akan pernah yakin bahwa di kedalaman tidak ada cerita yang lebih mendasar dan akurat. Setelah menua dan jatuh dalam kesedihan, kita memperoleh gagasan-gagasan tertentu tentang Semesta, yang tidak dapat kita aksesi sebelumnya. Kami menemukan pola yang lebih baik. Mungkin kita mulai melihat sesuatu dengan lebih jelas. Atau tidak. Kami tidak akan pernah tahu. Tetapi kita tahu bahwa pencarian dijamin tidak berakhir.
Nozon Janowski - Doktor Ilmu Matematika, bekerja di Pusat Pendidikan Universitas Kota New York, profesor ilmu komputer di Brooklyn College di universitas yang sama.