Apa pentingnya 196 884 = 196 883 +1? Bagaimana menjelaskannya dengan jari?

Tanggapan quora oleh Michael Griffin, postdoc matematika

Senia Scheidwasser memberikan jawaban yang sangat bagus dan sederhana untuk pertanyaan ini, saya sarankan membaca versi singkat ini. Tetapi ada kisah yang jauh lebih menakjubkan dari hipotesis Monstrous Moonshine yang dicampur dengan persamaan Mackay: dari wiski Jack Daniel hingga lubang hitam dan gravitasi kuantum.

Dalam cerita ini, simetri dan "kelompok" matematika sering disebutkan, jadi mari kita mulai dengan apa yang dimaksud dengan kelompok dalam matematika. Grup dapat direpresentasikan sebagai cara untuk menyusun ulang satu set objek sambil mempertahankan struktur tertentu. Operasi dalam grup harus mengikuti aturan tertentu, misalnya, harus selalu ada kemampuan untuk membatalkan operasi, dan jika Anda melakukan satu operasi dan kemudian yang lain, Anda mendapatkan operasi ketiga dalam grup .


Empat opsi rotasi dan empat sumbu simetri persegi. Sumber gambar

Jika Anda suka merepresentasikan angka, maka contoh sederhana dari sebuah grup adalah simetri dari sebuah bujur sangkar. Dapat diputar dengan tiga cara: 90 ° ke kanan (searah jarum jam), 180 ° dan 90 ° ke kiri (berlawanan arah jarum jam); ada empat simetri: vertikal, horizontal dan dua sumbu diagonal); dan ada satu simetri identitas ketika tidak ada yang berubah. Jika Anda memutar bujur sangkar 90 ° ke kanan, dan kemudian membalikkannya sepanjang sumbu vertikal, Anda mendapatkan simetri yang berbeda. Secara khusus, hasilnya akan sama seperti jika langsung tercermin pada sumbu diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Ini adalah semacam tabel perkalian untuk elemen grup. Bahkan, kita dapat menulis tabel perkalian untuk lebih memahami struktur grup. Saya melakukannya di sini. Simbol "i" dalam tabel adalah simetri identitas ketika tidak ada yang berubah. "R" dan "L" - berturut-turut 90 ° ke kanan dan kiri. "F" adalah rotasi 180 °, dan setiap garis adalah refleksi sepanjang sumbu ke arah garis ini.



Beberapa kelompok dapat dipecah menjadi beberapa bagian yang lebih kecil. Misalnya, jika Anda memiliki dua kotak, maka mungkin ada dua salinan dari operasi simetri yang sama, masing-masing bertindak pada satu kotak secara terpisah dari yang lainnya. Grup sederhana tidak dapat dibagi menjadi kelompok independen yang lebih kecil, sehingga mereka adalah jenis utama dalam teori grup. Tetapi grup prime yang terbatas sedikit lebih sulit untuk diklasifikasikan daripada bilangan prima. Selama paruh kedua abad terakhir, kemajuan signifikan telah dibuat dalam upaya untuk sepenuhnya mengklasifikasikan semua kelompok sederhana hingga. Sebagian besar kelompok sederhana cocok dengan keluarga yang tertata rapi. Misalnya, satu keluarga berisi semua simetri N-gon reguler (seperti segitiga sama sisi, bujur sangkar, pentagon biasa, dll.). Tetapi tidak semua kelompok cocok dengan keluarga normal. Tepatnya ada 26 kelompok "sporadis" yang menjadi yatim piatu. Mereka biasanya sedikit lebih sulit untuk didefinisikan, tetapi banyak dari mereka dapat dibangun dari simetri kisi dalam beberapa dimensi. Yang terbesar dari kelompok sporadis sederhana adalah Monster .

Pada tahun 1973, Fisher dan Griss pertama kali menemukan (secara independen) bukti bahwa kelompok sederhana yang sangat besar dapat ada jika memenuhi sifat-sifat tertentu. Tetapi hanya satu dekade kemudian, adalah mungkin untuk membuktikan bahwa sifat-sifat ini stabil, dan kelompok itu benar-benar ada. Griss menyebut kelompok hipotesis yang sulit dipahami ini sebagai Raksasa Ramah (Friendly Giant, inisial F. G. untuk Fischer-Griss). Tetapi Conway, ahli matematika yang lebih terkenal, memanggilnya Monster - dan nama seperti itu telah diperbaiki. Ngomong-ngomong, Conway ini memainkan peran penting dalam sejarah kita, tetapi kemungkinan besar Anda pernah mendengarnya sebelumnya. Ini adalah Conway yang menemukan game "Life" dan membuktikan teorema kehendak bebas. Jika Anda tidak ingat, baca saja!

Pada tahun 1975, dua matematikawan, Augg dan Tits, bertemu di sebuah konferensi di Paris. Teats menghitung bahwa jika Monster itu ada, maka ukurannya akan seperti ini:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 47 · 59 · 71
≈ 8 × 10 ^ 53

Ini jumlah yang sangat besar. Sangat, sangat, sangat besar. Ini adalah perkiraan jumlah atom di Saturnus dan Jupiter yang digabungkan. Tetapi perhatian Augg tidak tertarik pada ukuran, tetapi oleh faktorisasi sederhana.

Augg pada waktu itu mempelajari benda-benda yang disebut kurva modular. Jika N adalah bilangan bulat positif, maka ada permukaan, sebut saja X (N), yang menangkap beberapa informasi aritmatika penting tentang angka N (jika Anda ingat bilangan kompleks dari sekolah, maka permukaan tersebut dapat diperoleh dengan "menggulung" atau "melipat" kompleks tersebut. pesawat menggunakan serangkaian simetri, tergantung pada nomor N). Augg mengajukan pertanyaan seperti ini: jika N adalah bilangan prima, maka dalam hal apa permukaan ini (atau kurva modular) akan terlihat seperti bola, dan bukan donat dengan satu atau lebih pegangan (yaitu, "lubang" di donat)? Dia menemukan bahwa hanya jika N milik set

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}

Ini adalah bilangan prima yang sama yang digunakan dalam menghitung Tits untuk ukuran Monster! Tetapi sama sekali tidak ada hubungan yang jelas antara kedua perhitungan ini. Augg begitu terpesona oleh kebetulan yang jelas ini sehingga ia menawarkan sebotol wiski kepada Jack Daniel kepada siapa saja yang bisa menjelaskannya.

Untuk alasan yang jelas, menyusun tabel multiplikasi tidak akan membantu mempelajari Monster. Jika kita menulis tabel perkalian dengan atom hidrogen, itu tidak akan cocok di galaksi kita. Sebagai gantinya, matematikawan berhasil menyusun tabel karakter Monster . Ya, ini terdengar seperti panduan permainan Dungeons & Dragons, dan mungkin ini bukan cara yang buruk untuk menyajikan tabel. Ini adalah semacam Necronomicon untuk Monster; tabel angka 194 × 194 yang memberi ahli matematika beberapa wawasan tentang Monster yang sangat besar. Kolom pertama berisi daftar "ukuran representasi yang tidak dapat direduksi" dari Monster. Ini adalah kata-kata yang aneh, tetapi inti dari cerita kami adalah bahwa dua arti pertama dalam kolom pertama adalah angka 1 dan 196.883 . Di sinilah persamaan Mackay muncul.

Mackay dengan terkenal menunjuk ke Conway

196884 = 1 + 196883

Conway menemukan hipotesis McKay sangat absurd sehingga ia menyebutnya fantasi atau omong kosong (nonsen). Dalam persamaan ini, 196884 adalah koefisien pertama dari fungsi penting yang disebut fungsi- J , yang telah dipelajari oleh matematikawan sejak lama. Di sini kita kembali mulai kembali ke Augg dan pertanyaannya pada botol "Jack Daniels."

Fungsi-J adalah fungsi modular, yaitu, ia mengambil titik dengan kurva modular, seperti yang dipelajari oleh Ogg - dan memberikan angka (sekali lagi, jika Anda terbiasa dengan bilangan kompleks, Anda dapat mewakili fungsi modular sebagai fungsi pada bilangan kompleks biasa, tetapi dengan jumlah simetri yang cabul). Sulit untuk menjelaskan lebih jelas apa fungsi modular itu, tetapi jangan memikirkan hal ini.


Sumber gambar

Selain itu, fungsi-J adalah fungsi modular paling dasar untuk kurva modular paling sederhana X (1). Ini adalah fungsi paling "dasar" dalam arti bahwa fungsi modular lain untuk X (1) dapat ditulis sebagai polinomial atau rasio polinomial dalam fungsi-J. Beberapa kurva modular lain, seperti X (2), memiliki fungsi modular dasar yang berbeda. Sebut saja J_2. Bahkan, X (N) memiliki fungsi modular dasar J_N dari jenis ini tepatnya ketika bentuk X (N) adalah bola (tanpa "pegangan" atau "lubang"), persis sama dengan Ogg.

Ahli matematika lain, Thompson, menyadari bahwa pengamatan Mackay dapat dikembangkan. Dia mencatat bahwa beberapa koefisien berikutnya dari fungsi-J yang asli juga dapat ditulis sebagai jumlah nilai dari kolom pertama dari tabel karakter Monster. Selain itu, Anda dapat menulis beberapa koefisien fungsi J_N lainnya sebagai jumlah dari nilai lain dari tabel. Pada saat itu, Thompson masih bekerja dengan tabel karakter yang tidak lengkap. Baru pada tahun 1979 Fisher, Livingston, dan Thorne menyelesaikan perhitungan tabel simbol, dan kemudian pada tahun itu Conway dan Norton mengubah pengamatan Thompson menjadi hipotesis yang tepat. Mereka berpendapat bahwa ada cara untuk menulis koefisien fungsi-J apa pun sebagai jumlah dari dimensi representasi Monster yang tidak dapat direduksi (mis., Catatan dari kolom pertama tabel simbol Monster). Selain itu, ini dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga jika kita menukar entri dari kolom pertama dengan entri dari kolom lain dari tabel simbol, kita memperoleh koefisien dari salah satu fungsi lainnya J_N! Sebagai contoh, berikut adalah tiga koefisien pertama dari fungsi-J asli (di sebelah kiri persamaan):

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876, dan

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

di mana 1 , 196883 , 21296876 , dan 842609326 adalah empat nilai pertama di kolom pertama dari tabel karakter Monster. Dan inilah tiga koefisien pertama dari fungsi J_2 (sekali lagi, di sisi kiri persamaan):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 dan

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374,

di mana 1 , 4371 , 91884 dan 1139374 adalah empat nilai pertama di kolom kedua dari tabel karakter Monster. Dan seterusnya: setiap kolom dari tabel simbol memberikan koefisien fungsi modular dasar untuk beberapa kurva modular. Conway dan Norton menyebut hipotesis mereka monstrous nonsense (Monstrous Moonshine).

Sekitar setahun yang lalu saya memiliki kesempatan untuk berbicara dengan Conway tentang bagaimana hipotesis ini muncul. Dia mengatakan bahwa dia melihat nilai-nilai segar dalam tabel simbol Monster, yang membutuhkan banyak upaya untuk menghitung, dan kemudian pergi ke perpustakaan matematika dan membuka sebuah buku yang ditulis puluhan tahun sebelumnya dengan tabel koefisien fungsi modular. Dan dia menggambarkan perasaan ngeri yang dalam ini ketika angka-angka yang sama atau kombinasi mereka yang jelas memandangnya dari halaman-halaman sebuah buku tua.

Pada tahun 1982, Griss akhirnya menunjukkan cara membangun Monster. Untuk pertama kalinya, matematikawan dapat menyingkirkan klausa "jika monster itu ada." Sepuluh tahun kemudian, Borcherds, mantan mahasiswa Conway, membuktikan hipotesis tersebut dengan menggunakan teori "vertex operator algebras", yang ia ciptakan khusus untuk tujuan ini. Teori ini dibuat atas dasar teori fisik lama tahun 1960-an. Borcherds menerima Medali Fields 1998 dalam banyak cara untuk bukti ini. Ini adalah semacam Hadiah Nobel dalam matematika, dengan pengecualian bahwa untuk beberapa alasan yang tidak dapat dijelaskan, Anda harus berusia di bawah 40 tahun untuk menerimanya. Seperti yang saya dengar, Augg memuaskan jawaban Borcherds untuk pertanyaannya, tetapi Borcherds tidak minum, jadi botol Jack Daniels tetap tidak diklaim. Di sisi lain, meskipun Conway sangat senang dengan pekerjaan Borcherds, ia masih melihat di dalamnya hanya cek, tetapi bukan penjelasan. Ya, sekarang kita tahu bahwa koefisien fungsi modular adalah jumlah dari nilai-nilai karakter Monster, tetapi, Conway percaya bahwa kita masih belum memiliki gambaran yang jelas, BAGAIMANA ANDA BISA MENGHARAPKAN INI?

Ceritanya tidak berakhir di situ. Pada 2007, Witten mengerjakan resolusi konflik dalam gravitasi kuantum. Mekanika kuantum dan relativitas umum tidak begitu cocok. Witten mengerjakan pertanyaan yang disederhanakan, menjatuhkan segalanya kecuali gravitasi dari teori relativitas. Dia menemukan alasan untuk percaya bahwa VOA dari hipotesis adalah kunci teori gravitasi dalam konstruksi yang disederhanakan ini. Dalam teori ini, fungsi-J berubah menjadi fungsi pembagian yang menghitung berbagai keadaan energi. Di sini muncul berbagai simbol Monster yang sesuai dengan kondisi lubang hitam. Witten bertanya apakah beberapa dari kondisi lubang hitam ini lebih umum daripada yang lain. Kembali ke Monster, pada dasarnya muncul pertanyaan, berapa banyak unit yang kita harapkan untuk melihat ketika kita memecah koefisien fungsi-J yang diberikan? Atau berapa kali 196.883? Apakah unit langka? Atau ada sebagian besar unit dengan beberapa makna menarik yang tersebar di sana-sini? Saya pikir banyak orang memiliki pertanyaan ini ketika mereka pertama kali menemukan hipotesis omong kosong mengerikan. Jika semuanya turun terutama ke unit , maka ini akan membuat teorinya jauh kurang menarik. Tapi jangan khawatir tentang itu. Terlepas dari kenyataan bahwa kita melihat unit dari awal, mereka menjadi sangat langka ketika kita pindah ke koefisien yang lebih besar, dan simbol yang lebih besar mulai mengambil alih. Setelah koefisien ke-200, simbol-simbol terutama muncul secara proporsional dengan ukuran pengukurannya. Rasio 1 dengan semua karakter lain adalah sekitar 1 dalam 5,8 × 10 ^ 27. Ini kira-kira rasio massa klip kertas dan massa Bumi. Simbol terbesar kedua terjadi 196883 kali lebih sering, yang ketiga - 21296876 kali lebih sering, dll. Kembali ke konfigurasi Witten, ini berarti bahwa keadaan energi yang lebih besar untuk black hole lebih umum, sedangkan keadaan vakum sepele ( 1 ) praktis tidak ada.

Ada banyak studi tentang topik ini. Kami (ahli matematika) mengamati (dan dalam beberapa kasus terbukti) fenomena untuk kelompok lain di luar Monster. Ahli teori string terus mengintip ke dalam pekerjaan kami, berharap untuk mengubah variasi baru ini menjadi teori gravitasi baru.

Untuk pembaca yang lebih mengerti teknologi yang tertarik pada detail, saya merekomendasikan buku Terry Gannon, "Nonsense Beyond the Monster" atau artikel sains ini (tersedia untuk umum).