Teori kebahagiaan. Termodinamika ketidaksetaraan kelas

Saya terus berkenalan dengan para pembaca Habr dengan bab-bab dari bukunya "Theory of Happiness" dengan subtitle "Yayasan Matematika dari Hukum Makna." Ini belum diterbitkan buku sains populer, sangat informal menceritakan tentang bagaimana matematika memungkinkan Anda untuk melihat dunia dan kehidupan orang-orang dengan tingkat kesadaran yang baru. Ini untuk mereka yang tertarik pada sains dan bagi mereka yang tertarik pada kehidupan. Dan karena kehidupan kita kompleks dan, pada umumnya, tidak dapat diprediksi, penekanan dalam buku ini terutama pada teori probabilitas dan statistik matematika. Di sini teorema tidak terbukti dan dasar-dasar sains tidak diberikan, ini sama sekali bukan buku teks, tetapi apa yang disebut ilmu rekreasi. Tetapi justru pendekatan yang hampir menyenangkan yang memungkinkan kami untuk mengembangkan intuisi, mencerahkan kuliah untuk siswa dengan contoh-contoh nyata dan, akhirnya, menjelaskan kepada non-matematikawan dan anak-anak kami bahwa kami menemukan hal-hal menarik dalam ilmu kering kami.



Dalam bab ini, kita akan membahas uang, pasar, dan entropi, dan juga melihat gif animasi, yang, sayangnya, tidak dapat dicetak dalam buku.

Pengamatan Hongren:
Di antara para ekonom, dunia nyata sering dianggap sebagai kasus khusus.

Ekonomi adalah ilmu yang besar, serius, tetapi khas. Tidak diragukan lagi, sangat penting sebagai suatu disiplin yang mempelajari fenomena nyata dan penting dari dunia kita: realitas ekonomi. Ilmu ekonomi berjuang untuk provabilitas dan formalisasi, ia memiliki banyak matematika, terkadang rumit dan menarik. Namun, ketika membuka buku pelajaran ekonomi yang serius, Anda kemungkinan besar akan menemukan beberapa perhitungan yang relatif sederhana, resep siap pakai dan banyak alasan informal dalam semangat ini: “tetapi pada kenyataannya, semuanya mungkin salah dan, secara umum, sesuka Anda, jika itu terjadi kehendak pemain kunci atau pemerintah. " Pada akhirnya, orang mungkin merasa bahwa intuisi, pengetahuan psikologi, dan kemampuan untuk memahami konteks umum lebih penting dalam disiplin ini daripada perhitungan yang akurat dan pertimbangan detail yang cermat (ini tentang ekonomi, bukan akuntansi). Akhirnya, hampir setengah dari disertasi palsu ditulis secara khusus tentang ekonomi, oleh karena itu, tidak begitu sulit untuk berdebat tentang topik ekonomi. Kami juga akan mencoba kekuatan kami di bidang ini, bagus, tidak ada tempat di mana ketidakadilan dunia ini lebih akut daripada dalam masalah distribusi kekayaan. Selain itu, tidak peduli apa yang dilakukan seseorang, tidak peduli apa profesi yang dimilikinya, ia terlibat dalam ekonomi dan permainannya, dari hukum ekonomi, serta dari hukum fisika, untuk tidak bersembunyi.

Dari seluruh masalah yang diselesaikan oleh ekonomi matematika, kami hanya akan mempertimbangkan satu - bagaimana ternyata bahkan di bawah kondisi yang sama untuk semua peserta pasar dan pertukaran dana yang adil, orang miskin menjadi lebih kaya daripada orang kaya dan mengapa bahkan masyarakat matematika yang ideal rentan terhadap ketidaksetaraan finansial. Nah, sepanjang jalan kita belajar sesuatu yang menarik tentang statistik matematika dan distribusi variabel acak.

Saya seorang ahli fisika oleh pendidikan dan profesi, dan deformasi profesional saya dinyatakan dalam pandangan khusus tentang dunia, seperti dalam berbagai sistem dan proses fisik yang berbeda. Dari sudut pandang seorang fisikawan, pasar riil adalah sistem terbuka yang pada dasarnya tidak stasioner, dengan banyak derajat kebebasan, di mana proses stokastik (acak) memainkan peran penting. Dalam pengertian ini, pasar mirip dengan subjek mempelajari cabang-cabang fisika seperti termodinamika dan fisika statistik, di mana, mengingat ketidakmungkinan untuk mempertimbangkan semua detail yang tak terhitung dan perilaku semua komponen sistem, mereka beralih ke sifat generalisasi dan terukur, seperti energi, suhu atau tekanan . Tidak mengherankan, upaya untuk secara termodinamika menggambarkan sistem ekonomi dan menciptakan ekonofisika telah dilakukan selama lebih dari seratus tahun. Tetapi masalahnya adalah: sementara para ilmuwan mempertimbangkan rinciannya, meringkas pengetahuan yang diperoleh dan berdebat tentang hukum-hukum mendasar, objek utama studi adalah realitas ekonomi, dan memiliki waktu untuk berubah tanpa bisa dikenali. Perilakunya tampaknya berusaha untuk melestarikan, atau bahkan meningkatkan ketidakpastian dan ketidakpastiannya.

Contoh yang baik adalah sejarah dua abad menggunakan analisis teknis saat bermain di bursa saham. Ketika alat baru yang kuat muncul yang memungkinkan Anda untuk meraba-raba pola tersembunyi dan memprediksi harga sekuritas atau saham, itu mulai membuat keuntungan bagi mereka yang menggunakannya. Tapi segera pasar mulai "merasakan" pemain baru dan beradaptasi dengan strategi mereka, akurasi prediksi metode yang luar biasa mulai turun dan, setelah beberapa waktu, itu jatuh ke dalam daftar besar alat usang dan tidak terlalu dapat diandalkan. Algoritme jaringan belajar mandiri modern yang fleksibel dan modern, maupun pedagang robot super cepat yang melakukan jutaan operasi per menit tidak mengubah properti utama dari permainan bursa selama dua dekade terakhir - tidak dapat diprediksi. Dan sampai sekarang, keuntungan utama seorang profesional di industri ini adalah kemauan, daya tahan karakter, keengganan terhadap hasrat ... baik, atau kepemilikan pertukaran. Semuanya seperti di kasino di mana game didasarkan pada kesempatan murni! Di satu sisi, ini, tentu saja, menghina, dan di sisi lain, ini memberi kesempatan untuk terus meningkatkan metode dan pendekatan. Sekali waktu, baik teori probabilitas dan statistik matematika lahir dari upaya untuk menganalisis perjudian dan permainan ekonomi, dan baru kemudian mereka menemukan aplikasi di hampir semua ilmu pengetahuan alam.

Dalam diskusi lebih lanjut, kita akan berbicara tentang uang, tetapi kategori yang biasa digunakan sehari-hari ini ternyata sangat kompleks dan ambigu. Arti dan nilai uang tergantung pada banyak faktor, dan di luar konteks memanggil sejumlah uang, kami tidak mengatakan apa-apa tentang nilai sebenarnya. Ini membedakan nilai moneter dari sebagian besar kuantitas fisik yang menggambarkan dunia kita dan membuatnya sulit untuk melakukan diskusi yang ketat dalam perekonomian. Tetapi tujuan dari pembicaraan kami: dasar matematika dari hukum kekejaman, setiap hari, dapat dimengerti dan sederhana. Oleh karena itu, di masa depan kita akan berbicara tentang beberapa "rubel", merujuk pada tiket resmi atau koin, dan menyiratkan bahwa semakin banyak "rubel" yang dimiliki seseorang, semakin kaya mereka. Diskusi lain tentang daya beli, nilai tidak berwujud atau tidak likuid, dan "kebahagiaan tidak ada dalam uang", akhirnya, kita akan meninggalkan pembicaraan.

Ayo, hentikan!

Kita mulai dengan menganalisis keadilan dari beberapa strategi sederhana untuk mendistribusikan sejumlah uang kepada sekelompok orang yang terbatas.

Strategi pertama, yang paling jelas: “ambil semuanya, dan bagilah,” yaitu, untuk memberi setiap anggota kelompok bagian yang sama dari jumlah total. Distribusi semacam itu disebut degenerate , ia memiliki indeks Gini sama dengan nol dan sesuai dengan kurva kesetaraan dalam diagram Lorentz.


Distribusi uang yang benar-benar adil: semua orang terbagi rata.

Pilihan bagus! Kami akan menyebutnya "strategi Sharikov" untuk menghormati pahlawan novel karya Mikhail Bulgakov "Dog Heart", yang diusulkan dengan cara ini untuk menyelesaikan semua masalah ekonomi.

Strategi kedua, yang lebih realistis adalah mendistribusikan kepada semua orang satu rubel secara acak. Siapa yang beruntung? Kita dapat menyebut strategi ini "Poisson" , karena ini adalah bagaimana peristiwa acak independen dalam proses Poisson didistribusikan pada skala waktu. Untuk grup $$$n$ orang kemungkinan masing-masing peserta untuk menerima rubel $$$1 / n$ . Setelah distribusi dengan cara ini $$$M$ rubel, setiap orang harus menerima jumlah yang sama dengan jumlah hasil "positif" tersebut. Fungsi probabilitas untuk jumlah seperti itu sudah diketahui - itu adalah distribusi binomial , mirip dengan bel, tersebar secara simetris di sekitar nilai rata-rata $$$M / n$ . Biasanya mereka memperkenalkannya kepadanya dengan menghitung probabilitas untuk mendapatkan jumlah yang ditunjukkan dengan melemparkan dadu. Untuk nilai besar $$$M$ distribusi binomial menjadi hampir tidak dapat dibedakan dari normal. Mari kita lihat bagaimana itu akan berubah, ketika uang didistribusikan, distribusi uang dalam kelompok dan keadilannya.


Hasil dari distribusi uang berdasarkan prinsip "yang akan dikirim Tuhan" adalah distribusi binomial. Semakin banyak uang yang kita berikan, semakin besar nilai rata-rata dan spread, tetapi kemungkinan tidak mendapatkan apa pun hampir menghilang.


Distribusi ini, dari sudut pandang keadilan, terlihat sangat bagus, apalagi, menjadi lebih adil semakin banyak uang yang kita berikan kepada publik! Luar biasa! Sangat disayangkan bahwa masyarakat tidak terorganisir dengan cara yang sama dan bahwa hujan tidak mencurahkan uang pada kita semua secara setara.

Untuk melengkapi gambar, mari kita lihat distribusi uang artifisial sederhana lainnya - seragam . Dengan distribusi ini orang miskin akan sebanyak orang kaya.


Bahkan distribusi tidak berarti bahwa uang didistribusikan secara merata di semua. Dengan distribusi ini, jumlah petani kaya, miskin dan menengah adalah sama, tetapi uang utamanya milik orang kaya.


Untuk distribusi yang seragam, kurva Lorentz adalah parabola kuadrat, dan jika batas kiri dari distribusi adalah nol, maka parabola ini tidak tergantung pada posisi batas kanan, dan indeks Gini untuk semua distribusi tersebut persis $$$1/3$ . Nilai indeks seperti itu (tetapi bukan distribusi seperti itu!) Adalah, misalnya, dalam perekonomian Australia pada 2000-an - ini merupakan indikator yang cukup baik.

Namun, pasar adalah pasar! Distribusi yang dipertimbangkan di atas baik, tetapi memerlukan kondisi khusus untuk terjadinya. Jika Anda memberi orang kebebasan untuk menukar uang, menukar uang untuk layanan, menyimpannya dan membelanjakannya dalam satu malam, distribusi ideal akan kehilangan stabilitas dan berubah menjadi beberapa yang lain.

Kebijakan ekonomi baru!

Pertimbangkan sekelompok $$$n$ orangnya. Sebagai hasil dari revolusi, kami akan mendistribusikan kepada semua peserta dalam percobaan jumlah uang yang sama - $$$m$ rubel untuk semua orang, setelah menerima distribusi dana Sharovik paling adil di masyarakat. Sekarang kita akan memberi mereka kebebasan untuk menjadi kaya dan dimiskinkan oleh kehendak nasib mereka sendiri dan membangun model pasar yang primitif. Kami meminta seseorang yang dipilih secara acak untuk memberikan satu rubel kepada siapa pun dalam grup yang juga dipilih secara acak. Katakanlah ini adalah pembelian layanan tertentu dengan harga tetap. Distribusi kekayaan diharapkan berubah: seseorang akan memiliki lebih sedikit uang, seseorang lebih banyak. Mari kita ulangi prosedur pertukaran berulang-ulang dan lihat bagaimana distribusi kekayaan dalam kelompok akan berubah.

Adalah bijaksana untuk merenungkan apa yang kita harapkan untuk dilihat sebelum melakukan percobaan. Pertukaran uang antara peserta terjadi dengan kemungkinan yang sama, seperti dalam kasus strategi distribusi uang Poisson, tetapi pada saat yang sama, pemain kehilangan uang, apalagi, sesuai dengan prinsip Poisson yang sama dan dengan intensitas yang sama. Dengan demikian, dapat diasumsikan bahwa kenaikan positif dan negatif akan terdistribusi normal dan ditempatkan secara simetris berkenaan dengan nol. Setiap pemain, pada akhirnya, akan menerima perbedaan kenaikan ini, yang untuk dua variabel acak yang terdistribusi normal juga akan terdistribusi secara normal, dalam hal ini, sekitar nol, karena kekalahan dan kemenangan simetris.


Setelah banyak pertukaran, setiap pemain akan menerima dan kehilangan jumlah yang mematuhi distribusi mendekati normal. Total pendapatan juga akan didistribusikan secara normal sekitar nol.

Dengan demikian, kita mendapatkan jalan acak klasik dengan peningkatan yang didistribusikan secara normal dan dapat mengharapkan beberapa difusi dana di sekitar rata-rata $$$m$ . Fungsi probabilitas harus dikaburkan, meningkatkan varians pada nilai rata-rata konstan. Segalanya tampak sederhana.

Namun ada nuansa. Jika, karena alasan tertentu, seseorang dari grup tidak memiliki dana tersisa, ia tidak akan dapat membeli layanan dengan memberikan uang, tetapi, pada saat yang sama, ia dapat menerimanya. Nilai kekayaan yang mungkin terbatas pada nol di sebelah kiri, yang berarti bahwa penyebaran kekayaan tidak dapat menyebar tanpa batas waktu, dan fungsi probabilitas yang diamati, cepat atau lambat, akan berhenti menjadi simetris.

Ada satu lagi nuansa. Jumlah uang dalam sistem tertutup kami terbatas dan tidak berubah-ubah, yang berarti jalan acak tidak independen. Beberapa pemain yang beruntung akan bisa mendapatkan jumlah yang sangat besar dan menjadi sangat jauh dari ansambel, tetapi hanya jika total massa menjadi lebih buruk. Para peserta percobaan disatukan oleh jaringan tak kasat mata oleh hukum menyimpan uang dalam sistem. Apa distribusi uang yang akan diperjuangkan dalam kondisi seperti itu? Tampaknya jawabannya tidak sejelas kelihatannya pada pandangan pertama, mari beralih ke simulasi dan lihat apa yang terjadi.


Hasil simulasi untuk berbagi jumlah uang yang sama untuk $$$n = 1000$ dan $$$m = 100$ . Pada awalnya, memang, sebuah fenomena yang mirip dengan difusi diamati, tetapi ketika fungsi probabilitas mencapai batas kiri, distribusi cenderung ke bentuk asimetris dan tidak terlalu adil dengan koefisien Gini mendekati $$$0,5$ .


Jika seorang fisikawan membaca buku ini, maka ia akan dapat dengan yakin berasumsi bahwa ini mungkin sebuah distribusi, ia akan menyebutnya distribusi Gibbs. Pembaca yang penuh perhatian mungkin ingat bahwa kita telah bertemu dengan gambar yang sama dan dengan indeks Gini ketika kita memeriksa frustrasi sambil menunggu bus. Kemudian kami memeriksa distribusi interval antara peristiwa Poisson, yang dijelaskan oleh distribusi eksponensial. Kedua pria yang cerdas ini akan benar, menyebut nama yang berbeda dengan distribusi yang indah.

Manusia adalah molekul

Distribusi Gibbs berasal dari bidang fisika statistik. Ini menggambarkan sifat-sifat sistem yang disebut kata indah "ensemble", yang terdiri dari banyak elemen yang saling berinteraksi, paling sering partikel. Dalam ansambel, Anda dapat memilih subsistem sewenang-wenang (misalnya, partikel individu atau kelompoknya) dan menetapkannya fungsi-fungsi keadaan tertentu (ini dapat berupa koordinat umum, kecepatan, konsentrasi, potensi kimia, dan banyak lagi). Dengan menggunakan metode fisika statistik, dimungkinkan untuk menjelaskan dan menghitung parameter dari berbagai fenomena: proses kimia dan katalitik, turbulensi, feromagnetisme, perilaku kristal cair, superfluiditas dan superkonduktivitas, dan banyak lagi lainnya.

Distribusi Gibbs menjawab pertanyaan: berapakah probabilitas bertemu suatu keadaan subsistem tertentu jika a) energi keadaan diberikan, b) sifat makroskopik (relatif, global) dari sistem, seperti suhu, dan c) apakah diketahui bahwa sistem berada dalam kesetimbangan termodinamika? Secara skematis dapat dinyatakan sebagai berikut:

$$

$$p _ {\ mathrm {Gibbs} (T)} (x) = C e ^ {- \ frac {E (x)} {kT}},$$

dimana $$$x$ - keadaan tertentu dari subsistem, $$$E (x)$ Apakah energi negara ini, $$$T$ Apakah suhu absolut dari sistem (atau analognya), dan $$$C$ dan $$$k$ - nilai yang diperlukan untuk normalisasi dan kesesuaian dimensi. Kondisi keseimbangan sangat penting, itu berarti bahwa waktu menghilang dari pertimbangan dan bahwa keseluruhan sistem akan berada dalam kondisi paling memungkinkan untuk kondisi yang diberikan.

Kita tidak perlu derivasi yang ketat dari ekspresi untuk distribusi Gibbs di sini, sebagai gantinya, saya ingin menunjukkan penalaran matematis murni yang indah yang mengarah ke bentuk eksponensial. Karena kami mempertimbangkan bagian-bagian dari sistem yang menambahkan hingga keseluruhan sistem, ada baiknya memilih kuantitas aditif sebagai karakteristiknya, yaitu, sehingga nilainya untuk ensembel adalah jumlah aritmatika dari nilai-nilai bagian-bagiannya. Energi dapat digunakan sebagai kuantitas dalam mekanika. Di sisi lain, kita menghitung probabilitas mengamati keadaan tertentu dari sistem, dan probabilitas itu multiplikatif , yaitu, jika sistem dapat dibagi menjadi beberapa bagian, maka probabilitas mengamati semua bagian ini pada saat yang sama akan sama dengan produk probabilitas untuk keadaan masing-masing bagian. Jadi, kita membutuhkan fungsi yang mengubah kuantitas aditif menjadi yang multiplikatif. Hanya fungsi eksponensial yang memiliki properti ini. $$$a ^ x$ , jumlah argumen berubah menjadi produk nilai: $$$a ^ {x + y} = a ^ x a ^ y.$ Nah, dari semua fungsi eksponensial, yang paling nyaman adalah eksponen, karena berperilaku sangat baik ketika terintegrasi dan dibedakan.

Dalam model pasar kami, kami memiliki jumlah tambahan - jumlah uang yang dimiliki masing-masing pemain, ini adalah analog energi. Dalam pertukaran yang kami jelaskan, kuantitas ini, seperti energi dalam sistem fisik, dilestarikan. Dan apa gunanya suhu? Sangat mudah untuk mengetahui dengan melihat ekspresi untuk kepadatan probabilitas dari distribusi eksponensial:

$$

$$p _ {\ mathrm {Exp} (\ lambda)} (x) = \ lambda e ^ {- \ lambda x},$$

dan mengingat bahwa rata-rata untuknya adalah $$$1 / \ lambda$ . Karena jumlah pemain selama proses penawaran tidak berubah, jumlah rata-rata aritmatika uang dari para pemain sama dengan jumlah yang awalnya dibagikan $$$m$ . Itu wajar saja $$$\ lambda = 1 / m$ , maka jumlah rata-rata uang dari para pemain bertindak sebagai suhu dalam model ekonomi kita. Dalam pasar "pemanasan" dengan likuiditas besar, kita akan dapat mengamati penyebaran yang lebih besar di tingkat kesejahteraan daripada di yang "dingin", karena dispersi dalam distribusi eksponensial adalah $$$1 / \ lambda ^ 2$ . Seperti yang Ostap Bender katakan dalam “Anak Sapi Emas” oleh I. Ilf dan E. Petrov: “Setelah beberapa uang kertas berkeliaran di negara ini, maka pasti ada orang yang memiliki banyak dari mereka.”

Agar benar-benar tepat, dan ingat bahwa uang dalam percobaan kami adalah kuantitas tersendiri, maka kami amati distribusi geometris - analog diskon eksponensial. Ini terjadi dalam masalah menghitung jumlah kegagalan sebelum kemenangan pertama ketika melemparkan koin dengan berbagai tingkat kejujuran. Kedua distribusi ini serupa dan menjadi tidak dapat dibedakan dengan penurunan probabilitas untuk menang. Dalam percobaan kami, peluang mendapatkan rubel sama $$$1/1000$ , cukup kecil untuk memanggil distribusi eksponensial.

Masih berurusan dengan keseimbangan kondisi akhir pasar. Keseimbangan termodinamika dapat dijelaskan dengan berbagai cara. Pertama, keadaan stasioner harus dalam kesetimbangan , di mana sistem dapat tetap tanpa batas waktu, tanpa mengubah parameter makroskopiknya, dan tanpa membentuk aliran materi dan energi yang tertata di dalamnya. Kedua, itu harus stabil , yaitu, jika sistem tidak seimbang, ia akan cenderung kembali ke sana. Ketiga, ini adalah keadaan yang paling memungkinkan dari sistem, paling sering diamati, ke mana sistem akan cenderung mendapatkan dari keadaan lain yang tidak ada kondisi tenang. Percobaan kami menunjukkan kriteria keseimbangan ini: setelah sampai pada distribusi eksponensial, sistem tetap ada di dalamnya, dan di samping itu, mudah untuk memastikan dalam percobaan bahwa dari distribusi sembarang, setelah beberapa waktu, kami kembali ke eksponensial. Tapi ini bukan bukti, tetapi hanya petunjuk bahwa kita kemungkinan besar berurusan dengan keseimbangan. Kita memerlukan semacam kriteria terukur formal yang akan dengan jelas menunjukkan kepada kita bahwa sistem itu keseimbangan tanpa perlu menunggu tanpa batas waktu atau memilah-milah semua distribusi awal yang mungkin. Ini akan menjadi kriteria yang berguna yang dapat diterapkan ke pasar nyata, tanpa perlu melakukan eksperimen berisiko pada orang yang hidup.

Tao diekspresikan dengan kata-kata - bukan Tao sejati

Refleksi pada keseimbangan membawa fisikawan ke konsep entropi , yang secara bertahap melampaui termodinamika dan sangat disukai oleh para ilmuwan dari semua arah, filsuf dan masyarakat umum, yang sekarang entropi telah menerima aura misteri, tidak dapat dipahami dan Tuhan tahu sesuatu yang lain. Konsep yang sederhana dan istimewa, pada dasarnya, mendapatkan reputasi di benak massa sebagai konsep yang mengatur dunia yang tidak dapat dijelaskan. Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa termodinamika adalah ilmu universal yang menggambarkan pada tingkat abstraksi yang sangat tinggi suatu sistem yang sangat beragam: dari fisik, kimia dan biologis hingga sosial, ekonomi dan bahkan murni kemanusiaan. Namun, setelah kursus sekolah, masih ada perasaan bahwa termodinamika adalah tentang gas ideal yang membosankan, beberapa piston, dan siklus Carnot yang mustahil. Pandangan sepihak yang sangat terkait dengan fakta yang luar biasa bahwa termodinamika, menjadi salah satu cabang ilmu pengetahuan alam yang paling abstrak dan universal, secara elegan memecahkan masalah terapan yang dapat dimengerti oleh anak sekolah dan berguna dalam industri. Ini tidak dapat dikatakan, misalnya, tentang teori kategori atau topologi, yang juga sangat abstrak, universal, dan tidak diragukan lagi disiplin yang bermanfaat, tetapi mereka hampir tidak pernah ditemukan dalam tugas sehari-hari.

Begitu entropi. Pencipta termodinamika, Clausius, dan kemudian Gibbs dan Boltzmann, membutuhkan karakteristik kuantitatif keseimbangan, yang menunjukkan kemungkinan mengamati keadaan sistem yang ditunjukkan atau bagian-bagiannya. Selain itu, nilai ini, yang mencerminkan probabilitas yang bersifat multiplikatif, harus menjadi fungsi status aditif sehingga dapat dihitung untuk sistem dengan menjumlahkan nilai yang dihitung untuk bagian-bagiannya. Ketika kami mencari fungsi yang sesuai untuk distribusi Gibbs, kami melanjutkan dari fakta bahwa itu harus mengubah argumen aditif menjadi nilai multiplikatif. Saat mencari ekspresi untuk entropi, kita membutuhkan fungsi yang multiplikatif dalam argumen dan nilai tambah - ini adalah fungsi logaritmik, kebalikan dari eksponensial. Entropi keadaan sistem kompleks dapat dinyatakan sebagai nilai yang diharapkan untuk logaritma probabilitas mengamati keadaan semua bagiannya, atau, menurut Boltzmann, sebagai logaritma dari sejumlah cara di mana keadaan sistem ini dapat direalisasikan. Dalam hal ini, keadaan yang lebih memungkinkan sesuai dengan nilai entropi yang lebih besar, dan keadaan keseimbangan, maksimum yang dimungkinkan.

Jumlah cara untuk mewujudkan negara ini atau itu tergantung pada jumlah pembatasan atau kondisi di mana negara ini dapat direalisasikan. Semakin sedikit pembatasan seperti itu, semakin besar kemungkinan negara dan semakin besar nilai entropinya. Batasan dan ketentuan ini masuk akal dari informasi status. Karenanya gagasan bahwa entropi mencerminkan tingkat ketidaktahuan kita terhadap sistem: semakin sedikit yang kita ketahui tentang negara, semakin besar entropinya. Shannon kemudian menggeneralisasi konsep ini untuk setiap sistem yang mengandung informasi, termasuk untuk distribusi variabel acak. Inilah yang dia lakukan: untuk variabel acak $$$X$ didefinisikan oleh fungsi probabilitas $$$p (x)$ entropi didefinisikan sebagai berikut:

$$

$$H (X) \ equiv - \ mathrm {M} (\ ln (p (x))) = - \ jumlah {p (x) \ ln (p (x))},$$

di mana penjumlahan dilakukan atas semua nilai $$$x$ di mana $$$p (x)> 0$ . Dengan demikian, kami dapat menghitung entropi keadaan sistem kompleks, dengan deskripsi statistiknya.

Inilah bagaimana entropi berubah ketika model pasar kita mencapai keseimbangan.


Pertumbuhan entropi ketika pasar mendekati keadaan keseimbangan. Garis horizontal pada grafik kanan menunjukkan nilai teoritis entropi untuk distribusi eksponensial, sama dengan $$$1- \ ln (\ lambda)$ . "Rak" perantara sesuai dengan periode selama distribusi melewati tahap difusi dan tampak seperti biasa.

Dengan demikian, setiap distribusi: didefinisikan secara analitik atau diperoleh secara eksperimental dalam bentuk histogram, dapat dikaitkan dengan angka positif - entropinya. Ini berarti bahwa distribusi dapat dibandingkan satu sama lain, menentukan lebih banyak atau lebih sedikit keseimbangan dan kemungkinan untuk kondisi tertentu. Selain itu, untuk kelas distribusi tertentu dimungkinkan untuk membedakan distribusi dengan entropi maksimum, apalagi hanya satu. Kelas didefinisikan oleh batasan, atau ukuran pengetahuan kita tentang sifat statistik suatu sistem. Berikut ini beberapa contoh:

apa yang kita ketahui tentang variabel acak $$$X$	distribusi dengan entropi maksimum
$$$X \ dalam [a, b]$	seragam di atas luka $$$[a, b]$
$$$X \ in \ {0,1 \}$	Distribusi Bernoulli
$$$X \ in [0, \ infty)$ + rata-rata	eksponensial, untuk kuantitas tersendiri - geometris
$$$X \ dalam [x_m, \ infty)$ + rerata geometris	Distribusi pareto (daya)
$$$X \ in [0, \ infty)$ + rata-rata + rata-rata geometrik	distribusi gamma
$$$X \ in [0, \ infty)$ + Berarti geometrik + varians untuk rata-rata geometris	log normal
$$$X \ in (- \ infty, \ infty)$ + rata-rata + varians	normal

Akrab semua wajah! Ini adalah distribusi yang sangat sering digunakan yang diterapkan oleh ahli statistik pada kelas tugas terluas. Universalitas mereka disebabkan oleh fakta bahwa, dengan entropi maksimum, mereka paling mungkin dan dapat diamati. Bagi mereka, sebagai keseimbangan, banyak distribusi dari variabel acak nyata cenderung. Yang paling bebas dari pembatasan di antara yang lainnya adalah distribusi normal: ini memerlukan informasi minimum tentang variabel acak. Less akan gagal: jika kita hanya mengindikasikan nilai rata-rata, maka dalam upaya meningkatkan entropi, distribusi akan "kotor" di sepanjang seluruh sumbu numerik. , , , — . . , , . , , $$$1/2$ .

: , , , - , . — . , — . . , - -. , .

, , . , , . , , , . , , , . , . , ?


, , , . , . .


, , ?

<\br>

, . .

, . , . «» , , , «» «». , — , , , . , , . $$$0.43$ dan $$$0.2$ , .

— , , , , . , , ? ? , , , . , , : , . : . , , , . - . , , , — , , . , . , ? -, , — . . - $$$(1/n)^{n-1}$ — , . , , , . ! , .

, . , , , , - . , , $$$\alpha$ . , , . , , , , , .. , , , , . , , $$$\alpha$ . , , . , , -. , .


-. $$$\alpha = 1/3$ . $$$75\%$ .


, , , . $$$\alpha< 1/2$ . , , . $$$\alpha$ :


, . $$$\alpha$ , .



, (, ), . , $$$\alpha=1/2$ , . -, , , . : $$$\alpha$ . , $$$\alpha=0.75$ :

, «» .

, , , , . , ? , , , , , . . $$$\alpha = 0.75$ , .

, , . - , , , , . , , , — , .


, . $$$\alpha = 0.3, \beta = 0.1$ (. ).

: ( ) , - . , — . , , -. — , . - , , , .

, , , , ! ? , . , , , . , , — . . , , , : — , , . , - , , , .

, , , . , . , .