Bagaimana matematika jaringan dapat membantu Anda mendapatkan teman

Meneliti struktur pertemanan yang ada di lingkungan Anda dapat membantu Anda lebih baik menciptakan hubungan baru sambil membuat lingkaran teman baru.

Pindah ke sekolah baru, pekerjaan baru, pindah ke kota baru - bagaimana Anda mendapat teman baru? Anda dapat mendekati masalah secara aktif, membentuk hubungan yang bermanfaat secara strategis dengan orang-orang populer. Atau Anda dapat membiarkan semuanya kebetulan, bergantung pada kelompok dan koneksi acak. Dalam pendekatan apa pun, memahami struktur pertemanan yang ada di lingkungan baru dapat membantu Anda membentuk hubungan baru terbaik, yang pada akhirnya akan menentukan lingkaran kenalan Anda.

Bayangkan pindah ke kota baru yang tidak biasa, Regularsk, di mana ada aturan aneh: setiap orang dapat memiliki tidak lebih dari empat teman, tetapi semua orang ingin memaksimalkan jumlah koneksi mereka. Seperti apa struktur obligasi Regularsk? Untuk mempelajari pertanyaan ini, kami menggunakan objek matematika yang disebut jaringan.

Sederhananya, jaringan adalah kumpulan objek yang disebut "node" dan koneksi di antara mereka. Jaringan adalah konsep yang fleksibel secara matematis. Mereka dapat menunjukkan komputer dan kabel yang menghubungkan mereka, penulis dan asisten mereka, keadaan kubus Rubik dan transformasi yang memungkinkan transisi di antara mereka - pada kenyataannya, semua jenis koneksi, nyata atau abstrak. Untuk mempelajari pertemanan di Regularsk, kami akan membuat jaringan di mana orang akan menjadi simpul, dan pertemanan di antara mereka.

Mendenotasikan jaringan, akan berguna untuk merepresentasikan node dalam bentuk titik, dan koneksi dalam bentuk garis, yang juga bisa kita sebut edge. Diagram jaringan seperti itu dapat membantu kita memahami strukturnya. Jadi seperti apa jaringan pertemanan Regularsk? Pada titik tertentu, mungkin terlihat seperti ini:



Setiap orang akan berusaha menemukan empat teman, dan orang baru yang datang ke kota akan mencari mereka yang masih memiliki kurang dari empat teman. Jaringan ini akan tumbuh seiring waktu, dan akan terus berkembang dengan penambahan node baru. (Dimungkinkan untuk membentuk kelompok independen, tetapi dalam contoh ini kami mengabaikan mereka).

Diagram jaringan dapat membantu untuk memahaminya, menunjukkan struktur yang jelas. Tetapi ketika jaringan tumbuh, atau tidak menunjukkan struktur reguler seperti jaringan Reguler, diagram mungkin menjadi kurang bermanfaat. Dalam hal ini, berguna untuk mengembangkan berbagai metode untuk menganalisis struktur jaringan. Salah satunya adalah mengevaluasi distribusi derajat simpul.

Dalam suatu jaringan, jumlah tautan dari suatu simpul tertentu disebut derajatnya. Suatu simpul sangat terkait dengan banyak lainnya; simpul dengan derajat rendah dikaitkan dengan lebih sedikit simpul lainnya.


Di sebelah kiri - sebuah simpul dengan derajat 8, di sebelah kanan - dengan derajat 3

Tingkat node adalah karakteristik penting dari jaringan, tetapi lokal: ini menggambarkan struktur jaringan hanya dalam satu node. Tetapi jika Anda mencakup derajat semua node sekaligus, Anda dapat membuat alat yang berguna untuk mempelajari struktur jaringan global.

Dalam jaringan pertemanan kami, tingkat setiap simpul adalah jumlah teman dari satu orang. Di Regularsk, kebanyakan orang memiliki empat teman, sehingga sebagian besar simpul memiliki gelar 4. Tidak ada yang akan memiliki lebih banyak teman, tetapi seseorang akan memiliki lebih sedikit, sehingga akan ada simpul dengan derajat 3, 2, atau 1. Anda dapat meringkas distribusi derajat sebagai berikut:



Histogram ini menyampaikan informasi penting tentang struktur jaringan kami. Dalam contoh sederhana ini, itu mungkin tidak menyampaikan kepada kami sebanyak diagram jaringan yang lengkap, tetapi kita akan melihat bagaimana distribusi derajat dapat sangat berguna untuk mempelajari berbagai jaringan.

Mari kita pindah ke kota lain. Dalam kekacauan, kencan dimulai secara acak. Karena kebetulan adalah hal yang rumit, mari kita jelaskan cakupannya: setiap penduduk kota ditunjuk oleh node jaringan, dan setiap tepi yang memungkinkan adalah koneksi yang ramah. Untuk membuat koneksi acak, kita akan memilih salah satu dari kemungkinan tepi ini secara acak, dan menggambarnya, sehingga menciptakan koneksi antara dua node, dan, oleh karena itu, persahabatan antara dua orang.

Seperti apa jaringan mess itu? Jika kita berasumsi bahwa kita mulai dengan beberapa node dan menambahkan beberapa sisi secara acak, gambarnya bisa sebagai berikut:



Dalam diagram seperti itu, sulit untuk melihat strukturnya. Namun, banyak yang akan memberi tahu kami distribusi derajat dalam jaringan ini. Sulit untuk menghitung secara langsung, tetapi dapat direpresentasikan menggunakan beberapa properti penting dan contoh sederhana.

Misalkan Anda adalah satu dari sepuluh penghuni Mess. Berapa banyak kemungkinan persahabatan yang bisa ada di dalamnya? Masing-masing dari sepuluh penghuni dapat dihubungkan dengan sembilan lainnya, oleh karena itu, pada prinsipnya, adalah mungkin untuk menggambar 10 × 9 = 90 tepi. Tetapi perhitungan seperti itu memperhitungkan setiap koneksi dua kali - satu kali untuk masing-masing dari dua teman. Karena itu, pada kenyataannya, jumlah total obligasi harus 90/2 = 45.

Sekarang, katakanlah kita secara acak memilih hubungan persahabatan - yaitu, salah satu dari 45 kemungkinan sisi. Seberapa besar kemungkinan tulang rusuk untuk terhubung dengan Anda? Sembilan tepi dapat meninggalkan Anda, ke salah satu dari sembilan simpul yang tersisa. Karena sembilan dari 45 kemungkinan tepi mengarah ke Anda, probabilitas bahwa tepi yang dipilih secara acak terhubung ke Anda adalah 9/45 = 1/5, atau 20%.

Tetapi argumen yang sama berlaku untuk Gangguan, sehingga setiap node akan memiliki peluang 20% ​​untuk terhubung ke tepi yang dipilih secara acak. Dengan peningkatan jumlah edge dan node, probabilitas ini akan sedikit berubah, tetapi dalam jangka panjang mereka akan tetap berada pada level yang kira-kira sama. Artinya, persahabatan akan didistribusikan secara merata di seluruh Mess. Di beberapa tempat penyimpangan kecil akan diamati, tetapi probabilitas bahwa seseorang akan memiliki terlalu banyak atau terlalu sedikit pertemanan akan kecil. Dalam Gangguan, sebagian besar penduduk kemungkinan akan memiliki teman dekat dengan teman rata-rata.

Fitur-fitur ini berhubungan dengan " distribusi binomial " derajat dari suatu jaringan acak yang khas.



Memiliki akses hanya ke distribusi derajat dalam jaringan, kita sudah dapat menemukan keseragaman tertentu di dalamnya: sebagian besar node dalam hal konektivitas rata-rata, dan sejumlah kecil node berada di posisi ekstrem. Informasi ini berguna untuk memahami struktur jaringan. Dengan penambahan node, yaitu, dengan kedatangan orang baru di kota, distribusi akan sedikit berubah, sambil tetap mempertahankan fitur utama.

Tetapi tidak satu pun dari contoh ini - tidak lebih dari empat teman di Regularsk atau pertemanan yang muncul secara acak di Disorder - adalah model hubungan pertemanan yang realistis. Orang dapat memiliki lebih dari empat teman, dan kehadiran sejumlah besar kenalan sama sekali tidak jarang seperti dalam distribusi binomial. Apa yang akan menjadi model persahabatan yang lebih realistis?

Saat membangun koneksi dengan teman dan teman dari teman, struktur pertemanan Anda kemungkinan besar akan menyerupai jaringan dunia nyata lainnya - jaringan makanan , interaksi protein-protein, atau Internet. Properti mereka mencirikan apa yang disebut jaringan tanpa skalabilitas - model konektivitas semacam itu telah mendominasi ilmu jaringan selama lebih dari 20 tahun. Para peneliti dari matematika, fisika, ekonomi, biologi, dan ilmu sosial telah mengamati tanda-tanda khas dari keberadaan jaringan tanpa skala di daerah penelitian mereka.


Jejaring Sosial Bebas Skala Canggih

Struktur jaringan tanpa skala tergantung pada prinsip sederhana "koneksi yang disukai." Koneksi yang disukai adalah aturan "kaya menjadi kaya", yang mengacu pada pertumbuhan jaringan. Sebuah node dengan sejumlah besar koneksi yang ada jauh lebih mungkin untuk mendapatkan koneksi baru daripada sebuah node dengan sejumlah kecil. Koneksi baru menunjukkan kecenderungan ke arah node dengan sejumlah besar koneksi.

Apakah ini masuk akal dalam konteks membentuk persahabatan? Pada prinsipnya, masuk akal untuk berasumsi bahwa seseorang dengan lebih banyak teman lebih mungkin untuk membuat yang baru. Karena ia sudah dikaitkan dengan sejumlah besar orang, kemungkinan bertemu orang baru karena koneksi yang ada tinggi. Semakin banyak teman, semakin banyak peluang untuk mendapatkan teman baru. Dan fakta bahwa mereka sudah memiliki banyak teman, mengatakan bahwa mereka memiliki semacam peluang atau kegemaran akan persahabatan. Ini lebih cenderung menarik orang lain kepada mereka, sama seperti situs populer menarik tautan dari situs dan blog lain, dan kota-kota maju menciptakan jalur kereta api dan rute udara baru.

Meskipun beberapa faktor mempengaruhi pertumbuhan jaringan tanpa skalabilitas, banyak yang menganggap koneksi pilihan sebagai yang paling penting. Dia juga memiliki efek luar biasa pada distribusi derajat dalam jaringan.



Ini memprediksi penampilan distribusi "ekor tebal". Sebagian besar node dalam jaringan akan memiliki derajat yang kecil, tetapi akan ada juga node dengan derajat yang meningkat. Ini sangat berbeda dari jaringan ramah Regularsk dan Disorder, di mana ada sangat sedikit atau tidak ada node dengan derajat besar.

Node-node ini, dengan derajat besar, beroperasi sebagai hub jaringan dan merupakan karakteristik kritis dari jaringan tanpa skalabilitas. Mereka adalah kupu-kupu sosial dalam jaringan pertemanan, bank-bank di pusat ekonomi, router terpusat yang memungkinkan koneksi Internet regional melaluinya, Kevinov Beykonov di dunia akting . Hub dapat memberikan kesan dunia yang ketat dalam jaringan besar - misalnya, setiap dua orang yang dipilih secara acak dari 2 miliar pengguna Facebook rata-rata tidak lebih jauh dari satu sama lain selain dalam empat ikatan persahabatan . Jumlah dan variasi hub memberikan ketahanan jaringan skala besar terhadap jenis diskontinuitas tertentu. Misalnya, bahkan dengan kegagalan banyak koneksi Internet, pesan masih akan dapat menjangkau, khususnya karena masih akan ada banyak cara untuk mencapai banyak hub ke banyak hub lainnya.

Dan meskipun banyak yang setuju bahwa jaringan bebas-skala dan propertinya berguna, ada kontradiksi dalam bidang penelitian ini. Karakteristik matematika yang tepat dari distribusi derajat semacam itu kadang-kadang sulit ditafsirkan. Dalam Linked: The New Science of Networks, pelopor penelitian jaringan dan fisikawan Albert Lazlo Barabasi menulis bahwa dalam jaringan yang menunjukkan koneksi yang disukai, distribusi derajat akan mengikuti hukum kekuatan. Distribusi daya sering ditemukan dalam banyak situasi fisik - misalnya, dalam hukum kuadrat terbalik untuk gravitasi atau medan listrik. Mereka dapat direpresentasikan sebagai fungsi yang memiliki bentuk

$$

$$f (x) = {{a} \ over {x ^ k}}$$

Grafik mereka biasanya terlihat seperti ini:



Distribusi daya memang memiliki "ekor tebal". Tapi seberapa tebal? Berapa banyak hub dengan derajat tertentu harus ditemukan dalam jaringan seperti itu? Dalam sebuah penelitian yang diterbitkan tahun ini, lebih dari 1000 jaringan nyata dipelajari, dan ditemukan bahwa hanya sepertiga dari mereka yang dapat memiliki distribusi gelar yang dijelaskan oleh undang-undang kekuasaan. Untuk banyak jaringan, distribusi derajat dapat lebih akurat digambarkan sebagai eksponensial atau lognormal . Mereka mungkin memiliki properti tingkat tinggi dari jaringan tanpa skalabilitas, tetapi dapatkah mereka dianggap demikian jika derajat di dalamnya tidak didistribusikan seperti yang diharapkan? Dan apakah itu penting?

Itu penting jika kita ingin menghubungkan teori kita dengan data kita. Apakah komunikasi yang disukai merupakan faktor utama dalam membangun jaringan bebas skala? Apakah ada faktor lain yang memainkan peran penting dan dapat mengarahkan distribusi gelar ke pihak lain? Dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan ini dan memahami pertanyaan apa yang harus diajukan selanjutnya, kita akan benar-benar lebih memahami sifat dan struktur jaringan, bagaimana mereka berkembang dan berevolusi.

Kontradiksi ini juga mengingatkan kita bahwa matematika, seperti jaringan, juga merupakan kumpulan koneksi yang berkembang. Penelitian saat ini menantang hipotesis berusia 20 tahun di bidang penelitian jaringan yang relatif baru. Ide-ide baru, bergabung dengan jaringan, menghubungkan kita semua dengan matematika dari masa lalu dan masa depan. Jadi dalam hal matematika, seperti dalam bidang persahabatan, akan berguna untuk menemukan hub dan memaksimalkan gelar Anda.

Latihan

• Akan seperti apa jaringan pertemanan jika setiap orang memiliki dua teman?
• Di Regularsk, setiap orang dapat membuat hingga empat teman. Mungkin ada kelompok terpisah di mana setiap orang memiliki empat teman. Berapa banyak orang yang dapat dimasukkan dalam kelompok seperti itu? (Petunjuk: jawabannya terkait dengan polihedron reguler ).
• Jaringan kami didasarkan pada kenyataan bahwa persahabatan adalah konsep simetris. Jika A berteman dengan B, maka B berteman dengan A. Bagaimana kita dapat memperbaiki model jaringan kita sehingga dapat menyertakan koneksi asimetris di mana A dapat berteman dengan B, dan B tidak dapat berteman dengan A?
• Di Teman, setiap penduduk adalah teman dengan orang lain. Jika ada n orang yang tinggal di Teman, berapa banyak ikatan persahabatan yang terbentuk di sana?