Latar belakang

Alasan publikasi ini adalah artikel yang ambigu tentang prinsip tindakan terkecil (IPA) , yang diterbitkan pada sumber daya beberapa hari yang lalu. Ini ambigu karena pengarangnya dalam bentuk yang populer mencoba menyampaikan kepada pembaca salah satu prinsip dasar deskripsi matematis tentang alam, dan ia sebagian berhasil. Kalau bukan karena satu tetapi mengintai di akhir publikasi. Di bawah spoiler adalah kutipan lengkap dari bagian ini


Jadi, menurut saya, apa masalahnya?

Masalahnya adalah bahwa penulis, mengutip contoh ini, membuat sejumlah kesalahan mendasar. Hal ini diperparah oleh kenyataan bahwa bagian kedua yang direncanakan, menurut penulis, akan didasarkan pada kesalahan-kesalahan ini. Dipandu oleh prinsip mengisi sumber daya dengan informasi yang dapat dipercaya, saya dipaksa untuk keluar dengan penjelasan tentang posisi saya dalam masalah ini secara lebih rinci, dan format komentar untuk ini kecil.

Artikel ini akan berbicara tentang bagaimana mekanika dibangun berdasarkan PND, dan akan mencoba menjelaskan kepada pembaca bahwa masalah yang ditimbulkan oleh penulis publikasi yang dikutip hilang.

1. Definisi tindakan Hamilton. Prinsip tindakan paling tidak

Tindakan Hamilton disebut fungsional

$$

$$S = \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ kiri (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ kanan) \, dt$$

dimana

$$

$$L \ kiri (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ kanan) = T \ kiri (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ kanan) - \ Pi (\ mathbf q)$$

Apakah fungsi Lagrange untuk beberapa sistem mekanis di mana (menghilangkan argumen di bawah) T adalah energi kinetik dari sistem; P - energi potensinya; q (t) adalah vektor koordinat umum dari sistem ini, yang merupakan fungsi waktu. Diyakini bahwa waktu instance t ₁ dan t ₂ adalah tetap.

Mengapa fungsionalitas, bukan berfungsi? Karena fungsi, menurut definisi, adalah aturan yang menurutnya satu nomor dari domain definisi (argumen fungsi) dikaitkan dengan nomor lain dari domain nilai. Fungsional berbeda karena argumennya bukan angka, tetapi keseluruhan fungsi. Dalam hal ini, ini adalah hukum gerak sistem mekanik q (t), yang didefinisikan setidaknya selama interval waktu antara t1 dan t2.

Jangka panjang (dan ini dikatakan enteng!) Karya ilmuwan mekanis (termasuk Leonard Euler yang menakjubkan) memungkinkan kami untuk merumuskan

Prinsip tindakan paling tidak:

Sistem mekanis yang fungsi Lagrange ditentukan $$$L \ kiri (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ kanan)$ , bergerak sedemikian rupa sehingga hukum geraknya q (t) memberikan minimum ke fungsional

$$

$$S = \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ kiri (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ kanan) \, dt \ to \ min$$

disebut aksi Hamilton.

Sudah dari definisi PND itu mengikuti fakta bahwa prinsip ini mengarah ke persamaan gerak hanya untuk kelas terbatas dari sistem mekanis. Untuk apa? Dan mari kita cari tahu.

2. Batas penerapan prinsip tindakan terkecil. Beberapa definisi untuk yang terkecil

Sebagai berikut dari definisi, sekali lagi, fungsi Lagrange, PND memungkinkan seseorang untuk memperoleh persamaan gerak untuk sistem mekanik, aksi gaya yang ditentukan secara eksklusif oleh energi potensial. Untuk mengetahui sistem yang sedang kita bicarakan, kami akan memberikan beberapa definisi, yang, untuk menyimpan artikel, saya letakkan di bawah spoiler

3. Konsep variasi koordinat umum. Pernyataan masalah variasional

Jadi, kami sekarang mempertimbangkan sistem mekanis yang bergerak di bawah aksi kekuatan potensial, posisi yang secara unik ditentukan oleh vektor koordinat umum

$$

$$\ mathbf q = \ kiri [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ kanan] ^ T \ quad (4)$$

di mana s adalah jumlah derajat kebebasan dari suatu sistem.

Sebenarnya, tetapi masih belum diketahui oleh kita , hukum gerak sistem ini ditentukan oleh ketergantungan koordinat umum (4) tepat waktu. Pertimbangkan salah satu koordinat umum $$$q_i = q_i (t)$ , dengan asumsi yang sama untuk semua koordinat lainnya.


Gambar 1. Pergerakan aktual dan bundaran sistem mekanik

Angka tersebut menunjukkan ketergantungan $$$q_i (t)$ digambarkan oleh kurva merah. Kami memilih dua instance waktu tetap acak t ₁ dan t ₂ , pengaturan t ₂ > t ₁ . Posisi sistem $$$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ kami setuju untuk memanggil posisi awal sistem, dan $$$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - posisi akhir sistem.

Namun, saya sekali lagi bersikeras bahwa teks berikut ini harus dibaca dengan cermat! Terlepas dari kenyataan bahwa kita mengatur posisi awal dan akhir dari sistem, posisi pertama atau kedua tidak diketahui oleh kita sebelumnya! Serta hukum gerak sistem yang tidak diketahui! Ketentuan ini dianggap tepat sebagai posisi awal dan akhir, terlepas dari arti khusus.

Lebih lanjut, kami percaya bahwa dari posisi awal ke sistem akhir dapat datang dengan cara yang berbeda, yaitu ketergantungan $$$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ dapat dimungkinkan secara kinematis. Gerakan sebenarnya dari sistem akan ada dalam varian tunggal (kurva merah), varian yang mungkin secara kinematis akan disebut gerakan bundaran $$$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (kurva biru pada gambar). Perbedaan antara nyata dan bundaran

$$

$$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5)$$

akan disebut variasi isochronous dari koordinat umum

Dalam konteks ini, variasi (5) harus dipahami sebagai fungsi sangat kecil yang mengungkapkan penyimpangan bundaran dari yang asli. "Delta" kecil untuk penunjukan tidak dipilih secara kebetulan dan menekankan perbedaan mendasar antara variasi dan perbedaan fungsi. Diferensial adalah bagian linier utama dari kenaikan fungsi yang disebabkan oleh kenaikan argumen. Dalam kasus variasi, perubahan nilai fungsi dengan nilai konstan argumen disebabkan oleh perubahan bentuk fungsi itu sendiri! Kami tidak memvariasikan argumen dalam peran waktu, oleh karena itu variasi disebut isokron. Kami memvariasikan aturan dengan mana setiap nilai waktu dimasukkan ke dalam korespondensi dengan nilai tertentu dari koordinat umum!

Faktanya, kita memvariasikan hukum gerak, yang dengannya sistem dari kondisi awal bergerak ke kondisi akhir. Keadaan awal dan akhir ditentukan oleh hukum gerak yang sebenarnya, tetapi saya menekankan sekali lagi bahwa kita tidak tahu nilai-nilai spesifiknya dan dapat dimungkinkan secara kinematis, kami hanya percaya bahwa mereka ada dan sistem dijamin untuk berpindah dari satu posisi ke posisi lain! Dalam posisi awal dan akhir sistem, kami tidak mengubah hukum gerak, oleh karena itu, variasi koordinat yang digeneralisasi dalam posisi awal dan akhir sama dengan nol

$$

$$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6)$$

Berdasarkan pada prinsip aksi paling tidak, pergerakan aktual sistem harus sedemikian rupa untuk memberikan fungsionalitas aksi minimum. Memvariasikan koordinat menyebabkan perubahan fungsional aksi. Suatu kondisi yang diperlukan untuk fungsional untuk mencapai nilai ekstrim adalah kesetaraan ke nol dari variasinya

$$

$$\ delta S = \ delta \ int \ limit_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ quad ( 7)$$

4. Solusi masalah variasional. Persamaan lagrange dari jenis ke-2

Mari kita selesaikan masalah variasional kita, untuk itu kita menghitung variasi penuh aksi fungsional dan menyamakannya dengan nol

$$

$$\ begin {align} \ delta S = & \ int \ limit_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ dots, q_s + \ delta q_s, \, \ dot q_1 + \ delta \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s + \ delta \ dot q_s) \, dt - \\ & - \ int \ limit_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ end {align}$$

Mari kita dorong semuanya dalam satu integral, dan karena semua operasi dengan jumlah sangat kecil valid untuk variasi, kami mengubah buaya ini ke bentuk

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ kiri [\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i + \ jumlah \ limit_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ kanan] \, dt = 0 \ quad (8)$$

Berdasarkan definisi kecepatan umum

$$

$$\ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$$

Kemudian ungkapan (8) ditransformasikan ke bentuk

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ kiri [\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i \, dt + \ sum \ limit_ { i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} d (\ delta q_i) \ kanan] = 0$$

Istilah kedua terintegrasi dalam beberapa bagian

$$

$$\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ kiri [\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i - \ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \ kiri (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ kanan) \ delta q_i \ kanan] \, dt = 0 \ quad (10)$$

Berdasarkan kondisi (7), kami memiliki

$$

$$\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$$

lalu kita dapatkan persamaannya

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ kiri [\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ kiri (\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ kiri (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ kanan) \ kanan) \, \ delta q_i \ kanan] \, dt = 0$$

Untuk batas integrasi sewenang-wenang, lenyapnya integral tertentu dipastikan dengan lenyapnya integrand

$$

$$\ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ s \ kiri [\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ kiri (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ kanan) \ kanan] \, \ delta q_i = 0 \ quad (11)$$

Mengingat bahwa variasi dari koordinat umum adalah independen, (11) hanya valid jika semua koefisien variasi sama dengan nol, yaitu.

$$

$$\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ kiri (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ kanan) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s}$$

Tidak ada yang mengganggu kita untuk mengalikan masing-masing persamaan dengan (-1) dan mendapatkan notasi yang lebih akrab

$$

$$\ frac {d} {dt} \ kiri (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ kanan) - \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (12)$$

Persamaan (12) adalah solusi untuk masalah tersebut . Dan pada titik ini, perhatian sekali lagi - memecahkan masalah variasional dengan prinsip tindakan paling tidak, ini bukan fungsi yang memberikan tindakan minimum menurut Hamilton, tetapi sistem persamaan diferensial, dengan memecahkan fungsi yang dapat ditemukan . Dalam hal ini, ini adalah persamaan diferensial Lagrange orde kedua yang ditulis dengan fungsi Lagrange, yaitu, dalam perumusan untuk sistem mekanik konservatif.

Dan itu saja, prinsip aksi paling tidak berakhir di sana , dan teori persamaan diferensial biasa dimulai, yang, khususnya, menyatakan bahwa solusi untuk persamaan (12) adalah fungsi vektor dari bentuk

$$

$$\ mathbf q = \ mathbf q (t, C_1, C_2, \ dots, C_ {2s})$$

di mana C ₁ , ..., C ₂ adalah konstanta integrasi yang berubah-ubah.

Dengan cara ini

PND adalah prinsip dasar yang memungkinkan seseorang untuk mendapatkan persamaan gerak dari suatu sistem yang fungsi Lagrange didefinisikan

Satu titik! Dalam masalah mekanika analitis, perhitungan di atas tidak perlu lagi dilakukan, cukup menggunakan hasilnya (12). Fungsi yang memenuhi persamaan (12) adalah hukum gerak sistem yang memenuhi PND.

5. Masalah dengan bola dan dinding

Sekarang kembali ke tugas dengan mana semuanya dimulai - tentang gerakan satu dimensi bola di dekat dinding yang benar-benar elastis. Tentu saja, untuk masalah ini, seseorang dapat memperoleh persamaan gerak diferensial. Karena ini adalah persamaan gerak diferensial, apa pun, saya tekankan ini, salah satu solusinya memberikan aksi fungsional minimum, yang berarti PND dieksekusi! Solusi umum dari persamaan gerak bola dapat direpresentasikan dalam bentuk potret fase yang disebut dari sistem mekanik yang sedang dipertimbangkan. Potret fase ini


Gambar 2. Fase potret sistem dalam masalah bola

Koordinat bola diplot pada sumbu horizontal, dan proyeksi kecepatan pada sumbu x pada sumbu vertikal. Ini mungkin tampak aneh, tetapi gambar ini mencerminkan semua lintasan fase yang mungkin dari bola, di bawah kondisi awal apa pun, atau jika Anda inginkan, batas. Bahkan, ada banyak garis paralel yang tak terhingga pada grafik, gambar menunjukkan beberapa dari mereka dan arah gerakan sepanjang lintasan fasa.

Ini adalah solusi umum untuk persamaan gerak bola. Masing-masing lintasan fase ini memberikan minimum aksi fungsional, yang langsung mengikuti dari perhitungan yang dilakukan di atas.

Apa yang dilakukan penulis tugas? Dia mengatakan: di sini bola diam, dan untuk periode waktu dari t _A ke t _B aksinya nol. Jika bola didorong ke dinding, maka dalam periode waktu yang sama aksi akan lebih besar, karena bola memiliki energi kinetik yang tidak nol dan tidak berubah. Tetapi mengapa bola bergerak ke arah dinding, karena saat istirahat aksinya akan berkurang? Jadi PND mengalami masalah dan tidak berfungsi! Tapi kita pasti akan menyelesaikan ini di artikel selanjutnya.

Apa yang penulis katakan adalah omong kosong. Mengapa Ya, karena ia membandingkan tindakan pada cabang yang berbeda dari lintasan fase nyata yang sama! Sementara itu, ketika menerapkan PND, aksi pada lintasan yang sebenarnya dan pada banyak lintasan bundaran dibandingkan.Artinya, aksi pada lintasan nyata dibandingkan dengan aksi pada lintasan yang tidak ada di alam, dan tidak akan pernah terjadi!

Tidak mengerti Saya akan menjelaskannya dengan lebih cerdas. Pertimbangkan keadaan istirahat. Ini dijelaskan oleh cabang potret fase yang bertepatan dengan sumbu absis. Koordinat tidak berubah seiring waktu. Ini adalah gerakan nyata. Dan gerakan seperti apa yang akan berputar. Kemungkinan lain secara kinematis. Misalnya, getaran bola kecil di dekat posisi istirahat yang kami pertimbangkan. Apakah masalah membuat bola berosilasi di sepanjang sumbu x? Dia mengakui, maka gerakan seperti itu secara kinematis mungkin dan dapat dianggap sebagai salah satu bundaran.

Mengapa bola masih beristirahat? Ya, karena aksi saat istirahat, dihitung selama periode waktu tertentu dari t _A ke t_B , akan ada lebih sedikit aksi, dengan fluktuasi kecil dalam periode waktu yang sama. Ini berarti bahwa alam lebih memilih kedamaian daripada getaran dan “pengadukan” bola lainnya. Sesuai penuh dengan IPA.

Katakanlah kita mendorong bola ke arah dinding. Mari kita dorong itu seperti yang diinginkan penulis, dengan kecepatan yang dipilih dari kondisi batas, sehingga pada saat t _B bola berada pada posisi yang sama dari mana ia dimulai. Bola, dengan kecepatan konstan mencapai dinding, memantul secara elastis dan kembali ke posisi semula pada waktu t _B , sekali lagi pada kecepatan konstan. Ok, ini adalah gerakan nyata. Gerakan mana yang akan menjadi salah satu bundaran? Misalnya, jika bola bergerak ke arah dan menjauh dari dinding dengan kecepatan yang berubah seiring waktu. Apakah gerakan seperti itu secara kinematis dimungkinkan? MungkinMengapa modul kecepatan bola tidak berubah? Ya, karena aksi pada lintasan fase seperti itu akan memiliki nilai minimum, dibandingkan dengan opsi lain, di mana kecepatan tergantung pada waktu.

Itu saja.Tidak ada yang begitu ajaib terjadi di sini. IPA berfungsi tanpa masalah.

Kesimpulan dan harapan

PND adalah hukum alam yang mendasar. Secara khusus, hukum mekanika mengikuti darinya, misalnya, persamaan gerak diferensial (12). PND memberi tahu kita bahwa alam terstruktur sehingga persamaan gerak sistem mekanik konservatif persis seperti ekspresi (12) dan tidak ada yang lain. Lebih banyak tidak diperlukan darinya.

Tidak perlu menemukan masalah di mana mereka tidak.