Titans matematika berbenturan dengan bukti epik hipotesis abc

Dua ahli matematika mengklaim telah menemukan lubang di jantung bukti yang telah mengguncang komunitas matematika selama enam tahun sekarang.

Dalam sebuah laporan yang diterbitkan pada bulan September 2018 di Internet, Peter Scholze dari Universitas Bonn dan Jacob Styx dari Universitas Goethe di Frankfurt menggambarkan apa yang disebut Styx sebagai "celah yang serius dan tak tergantikan" dalam serangkaian besar karya-karya tebal oleh Shinichi Motizuki , ahli matematika jenius terkenal dari Universitas Kyoto . Karya-karya Motizuki yang diterbitkan di Internet pada tahun 2012 diduga membuktikan hipotesis abc , salah satu masalah yang paling luas dalam teori bilangan .

Meskipun banyak konferensi berusaha menjelaskan bukti Motizuki, para pakar teori bilangan berjuang untuk mengatasi ide-ide di baliknya. Rangkaian karya-karyanya dengan volume total lebih dari 500 halaman ditulis dalam gaya yang tidak jelas, dan merujuk pada karya sebelumnya sekitar 500 halaman, yang mengarah pada munculnya "rasa kemunduran tanpa akhir," seperti yang dikatakan oleh ahli matematika Brian Conrad dari Universitas Stanford.

Dari matematikawan yang mempelajari bukti, 12 hingga 18 orang percaya pada kebenarannya, seperti yang ditulis oleh Ivan Fesenko dari Universitas Nottingham kepada saya melalui email. Tetapi, ketika Konrad mengomentari situasi dalam diskusi bukti di sebuah blog Desember lalu, hanya matematikawan dari "lingkaran dalam Motizuki" yang menjamin buktinya. "Tidak ada lagi orang yang ingin menyatakan, meskipun secara informal, bahwa mereka percaya diri dengan kelengkapan bukti."

Namun, seperti yang ditulis Frank Kalegari dari University of Chicago di blognya pada bulan Desember, "matematikawan enggan melaporkan masalah dengan bukti Motizuki, karena mereka tidak dapat menunjukkan kesalahan tertentu."

Sekarang semuanya telah berubah. Dalam laporan mereka, Scholze dan Styx berpendapat bahwa garis penalaran lebih dekat ke akhir bukti "Konsekuensi 3,12" dalam sepertiga dari empat karya Motizuki pada dasarnya salah. Dan akibat wajar ini diperlukan untuk pembuktian hipotesis abc-nya.

"Tampaknya bagi saya bahwa masalah dengan hipotesis abc tetap terbuka," kata Scholze. "Dan setiap orang memiliki kesempatan untuk membuktikannya."


Peter Scholze

Kesimpulan dari Scholze dan Styx tidak hanya didasarkan pada studi mereka sendiri tentang pekerjaan itu, tetapi juga pada kunjungan mingguan yang mereka buat oleh Motizuki dan rekannya, Yuchiro Hoshi, pada bulan Maret di Universitas Kyoto, diadakan untuk membahas bukti ini. Scholze mengatakan bahwa kunjungan ini sangat membantunya dan Styx sampai pada dasar keberatan mereka. Akibatnya, sepasang ilmuwan ”sampai pada kesimpulan bahwa tidak ada bukti,” tulis mereka dalam laporan itu.

Namun, pertemuan ini berakhir dengan ketidakpuasan para pihak. Motizuki tidak dapat meyakinkan Scholze dan Styx bahwa buktinya benar, dan mereka tidak dapat meyakinkannya bahwa itu salah. Motizuki telah memposting laporan Scholze dan Styx di situs webnya, dan telah menambahkan beberapa keberatannya kepada mereka.

Di dalamnya, Motizuki menghubungkan kritik Scholze dan Styx dengan “salah tafsir mendasar tertentu” dari karyanya. "Sikap negatif mereka," tulisnya, "tidak berarti bahwa ada kekurangan" dalam teorinya.

Sama seperti reputasi serius Motizuki yang membuat matematikawan melihat karyanya sebagai upaya serius untuk membuktikan hipotesis, reputasi Scholze dan Styx memastikan bahwa matematikawan memperhatikan apa yang ingin mereka katakan. Scholze, meskipun baru berusia 30 tahun, dengan cepat naik ke puncak di bidangnya. Pada bulan Agustus, ia menerima Fields Prize , penghargaan tertinggi dalam matematika. Styx adalah seorang ahli dalam studi Mochizuki, geometri anabelian.

"Peter dan Jacob adalah ahli matematika yang sangat hati-hati dan bijaksana," kata Conrad. "Jika mereka memiliki masalah, mereka harus diklarifikasi."

Batu sandungan

Hipotesis abc, yang oleh Conrad disebut "salah satu hipotesis paling menonjol dalam teori bilangan," dimulai dengan salah satu persamaan paling sederhana yang secara umum dapat direpresentasikan: a + b = c. Tiga angka a, b, dan c adalah bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi utama yang sama. Artinya, kita dapat mempertimbangkan persamaan 8 + 9 = 17 atau 5 + 16 = 21, tetapi tidak 6 + 9 = 15, karena angka 6, 9 dan 15 dibagi dengan 3.

Dengan mengambil persamaan ini, kita dapat mempertimbangkan semua bilangan prima di mana salah satu dari tiga angka yang terlibat dalam persamaan dibagi - misalnya, dalam kasus persamaan 5 + 16 = 21 bilangan prima ini akan menjadi 2, 3, 5, dan 7. Produk mereka akan 210 , dan itu jauh lebih besar daripada angka yang terlibat dalam persamaan. Dan sebaliknya, dalam persamaan 5 + 27 = 32 bilangan prima 2, 3 dan 5 berpartisipasi, produknya adalah 30 - dan ini kurang dari angka 32 yang terlibat dalam persamaan. Produk ini sangat kecil, karena angka 27 dan 32 memiliki pembagi sederhana yang sangat kecil (3 dan 2), yang cukup diulang berkali-kali untuk mendapatkan angka-angka ini.

Jika Anda mulai bermain dengan tiga kali lipat abc lainnya, Anda mungkin menemukan bahwa opsi kedua ini sangat jarang. Misalnya, di antara 3044 tiga kali lipat yang berbeda dengan ketentuan a dan b kurang dari 100, hanya ada tujuh di mana produk pembagi utama kurang dari c. Hipotesis abc, yang dirumuskan pada 1980-an, memformalkan gagasan intuitif tentang kelangkaan tiga kali lipat seperti itu.

Kembali ke contoh 5 + 27 = 32. 32 lebih dari 30, tetapi tidak banyak. Ini kurang dari 30 ² , atau 30 ^1,5 , atau bahkan 30 ^1,02 , sama dengan 32,11. Hipotesis abc mengatakan bahwa jika Anda memilih gelar yang lebih besar dari 1, maka hanya akan ada jumlah terbatas tiga kali lipat abc, yang c akan lebih dari produk pembagi utama yang diangkat ke tingkat yang dipilih.

"Hipotesis abc adalah pernyataan yang sangat sederhana mengenai perkalian dan pembagian," kata Minyun Kim dari Universitas Oxford. Dia mengatakan bahwa dengan pernyataan ini, "ada perasaan bahwa Anda mengungkapkan beberapa struktur yang sangat mendasar dari sistem numerik yang belum Anda lihat sebelumnya."

Kesederhanaan persamaan a + b = c berarti bahwa berbagai masalah lain berada di bawah pengaruhnya. Misalnya, teorema agung Fermat terhubung dengan persamaan bentuk x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , dan hipotesis Catalan , yang menyatakan bahwa 8 dan 9 adalah satu-satunya dua derajat sempurna sempurna [angka-angka yang dinyatakan sebagai bilangan bulat ke derajat / perkiraan bilangan bulat / kira-kira. transl.] (karena 8 = 2 ³ dan 9 = 3 ² ), berbicara tentang persamaan bentuk x ^m + 1 = y ⁿ . Hipotesis abc (dalam bentuk tertentu) akan memberikan bukti baru pada kedua teorema ini dan memecahkan segunung masalah terbuka yang terkait dengannya.


Jacob Styx

Hipotesis ini "tampaknya selalu berada pada batas antara yang diketahui dan yang tidak diketahui," tulis Dorian Goldfeld dari Universitas Columbia.

Skala konsekuensi pembuktian hipotesis meyakinkan para ahli teori bilangan bahwa akan sangat sulit untuk membuktikannya. Oleh karena itu, ketika pada tahun 2012 informasi menyebar bahwa Motizuki memberikan bukti, banyak ahli matematika senang terjun ke dalam karyanya - tetapi hanya terhenti karena bahasa yang tidak dikenal dan presentasi informasi yang tidak biasa. Definisi membentang beberapa halaman, diikuti oleh teorema dengan pernyataan panjang yang sama, dan bukti mereka dijelaskan dalam frasa seperti "segera mengikuti dari definisi".

"Setiap kali saya mendengar tentang analisis karya Mochizuki oleh seorang ahli (tidak resmi), ulasannya sangat akrab: bidang yang luas dari hal-hal sepele, diikuti oleh gunung besar kesimpulan yang tidak dapat dibenarkan, " tulis Kalegari dalam blognya pada bulan Desember.

Scholze adalah salah satu pembaca pertama karya tersebut. Dia dikenal karena mampu dengan cepat menyerap matematika, menggali dalam-dalam ke dalamnya, jadi dia maju melampaui banyak teori dan menyelesaikan apa yang disebutnya "membaca kasar" dari empat karya utama tak lama setelah penampilan mereka. Scholze bingung oleh teorema panjang dengan bukti pendek, yang baginya benar, tetapi tidak berdasar. Dia kemudian menulis bahwa dalam dua karya perantara, "sedikit yang terjadi."

Kemudian Scholze sampai ke Konsul 3.12 dalam pekerjaan ketiganya. Matematikawan biasanya menggunakan kata "konsekuensi" untuk menunjukkan teorema yang sekunder dari yang sebelumnya, lebih penting. Tetapi dalam kasus Konsol 3.12 dari Motizuki, matematikawan setuju bahwa ini adalah teorema utama untuk membuktikan abc-hipotesis. Tanpa itu, "tidak ada bukti, " tulis Calegari. "Ini adalah langkah kritis."

Akibat wajar ini adalah satu-satunya teorema dalam dua karya antara, buktinya membutuhkan lebih dari beberapa baris - membentang sembilan halaman. Melewati mereka, Scholze mencapai titik di mana dia tidak bisa lagi mengikuti logika.

Saat itu usianya baru 24, dan ia menganggap buktinya salah. Tapi dia praktis tidak masuk ke dalam diskusi tentang karya, kecuali dia langsung ditanya tentang mereka. Bagaimanapun, pada akhirnya, pikirnya, matematikawan lain cenderung menemukan dalam karya-karya ini gagasan-gagasan penting yang ia lewatkan. Atau mungkin mereka pada akhirnya akan sampai pada kesimpulan yang sama dengannya. Dengan satu atau lain cara, ia percaya, komunitas matematika akan dapat mengetahuinya.

Tangga Escher

Sementara itu, matematikawan lain berjuang untuk mengatasi pekerjaan yang sulit dilewati. Banyak yang memiliki harapan tinggi untuk pertemuan yang didedikasikan untuk karya Motizuki, yang dijadwalkan akhir 2015 di Universitas Oxford. Tetapi ketika beberapa rekan dari Motizuki mencoba menjelaskan ide-ide kunci buktinya, "kabut kabut" jatuh di antara hadirin, sebagaimana Konrad menulis dalam laporan tidak lama setelah pertemuan. "Orang-orang yang memahami pekerjaan ini perlu lebih berhasil menjelaskan kepada spesialis dalam geometri aritmatika apa yang menjadi intinya, " tulisnya .

Dalam beberapa hari setelah jabatannya, Conrad menerima surat tak terduga dari tiga matematikawan (salah satunya adalah Scholze), menjelaskan hal yang sama: mereka dapat membaca dan memahami pekerjaan sampai mereka mencapai titik tertentu. "Masing-masing dari ketiganya dihentikan oleh bukti 3.12," tulis Conrad kemudian.

Kim mendengar komentar serupa tentang Korol 3.12 dari matematikawan lain, Teruhisa Koshikawa, yang bekerja di Universitas Kyoto. Styx juga tersandung di tempat ini. Secara bertahap, banyak ahli dalam teori bilangan mengetahui bahwa konsekuensi ini menjadi batu sandungan, tetapi tidak jelas apakah ada lubang di buktinya, atau Motizuki hanya perlu menjelaskan alasannya dengan lebih baik.

Kemudian pada tahun 2017, yang membuat ngeri banyak ahli teori, beredar desas-desus bahwa karya Mochizuki diterima untuk publikasi. Mochizuki sendiri adalah pemimpin redaksi jurnal ini, Publikasi Lembaga Penelitian untuk Ilmu Matematika . Kalegari menyebut situasi ini " jelek " (meskipun editor dalam situasi seperti itu biasanya dikecualikan dari membuat keputusan). Tetapi sebagian besar dari semua ahli matematika khawatir bahwa pekerjaan itu masih tidak dapat dibaca.


Shinichi Motizuki dalam video calling di konferensi 2015 atas pembuktiannya

"Tidak seorang ahli pun yang mengaku memahami bukti telah mampu menjelaskannya kepada banyak ahli yang masih bingung," tulis Matthew Emerton dari University of Chicago.

Calegari menulis sebuah artikel yang menggambarkan situasi ini sebagai " kegagalan total, " dan ahli teori terkemuka mengambil sudut pandangnya. "Kami memiliki situasi konyol di mana abc dianggap sebagai teorema di Kyoto dan hipotesis di semua tempat lain," tulis Kalegari.

Majalah PRIMS segera menanggapi permintaan pers dengan pernyataan yang menjelaskan bahwa karya itu tidak diterima untuk publikasi. Namun, bahkan sebelum ini, Scholze memutuskan untuk secara terbuka menyatakan apa yang telah lama dia katakan dalam percakapan pribadi dengan banyak ahli teori. Dia memutuskan bahwa semua diskusi tentang bukti ini telah menjadi "terlalu sosial." "Semua orang mengatakan bahwa bukti ini tampaknya tidak begitu, tetapi tidak ada yang mengatakan:" Ada tempat di mana tidak ada yang mengerti bukti itu. "

Dalam komentar pada catatan, Kalegari Scholze menulis bahwa ia “tidak bisa mengikuti logika setelah ara. 3,8 dalam bukti Konsekuensi 3.12 “. Dia menambahkan bahwa ahli matematika, "mengaku mengerti buktinya, tidak mau mengakui bahwa sesuatu perlu ditambahkan di sana."

Shigefumi Mori , kolega Motizuki dari Universitas Kyoto, pemenang Fields Prize, menulis kepada Scholze dengan proposal untuk mengatur pertemuan dengan Motizuki. Scholze, pada gilirannya, menghubungi Styx, dan pada bulan Maret pasangan itu pergi ke Kyoto untuk membahas batu sandungan dalam bukti dengan Mochizuki dan Hoshi.

Pendekatan Mochizuki terhadap hipotesis abc membawa masalah ke dalam domain kurva eliptik , jenis khusus persamaan kubik dengan dua variabel, x dan y. Transisi ini, yang dikenal bahkan sebelum Mochizuki, sederhana - Anda perlu menghubungkan setiap persamaan-abc dengan kurva eliptik yang grafiknya memotong sumbu x pada titik a, b dan pada titik asal - namun, ini memungkinkan matematikawan untuk menggunakan struktur kurva elips yang kaya yang menggabungkan teori bilangan dengan geometri, notasi integral dan area lainnya. (Bagian yang sama adalah di pusat bukti Teorema Besar Fermat tahun 1994 oleh Andrew Wiles .)

Akibatnya, hipotesis-abc berkurang untuk membuktikan ketidaksetaraan antara dua kuantitas yang terkait dengan kurva elips. Karya Motizuki menerjemahkan ketimpangan ini ke dalam bentuk lain, yang, seperti kata Styx, dapat direpresentasikan sebagai perbandingan volume dua set. Dalam Corollary 3.12, ia menawarkan bukti ketidaksetaraan ini, yang, jika benar, akan membuktikan abc-hipotesis.

Dalam buktinya, seperti yang dijelaskan Scholze dan Styx, volume dua set dianggap seolah-olah mereka berada di dalam dua salinan bilangan real, disajikan sebagai bagian dari lingkaran enam salinan bilangan real, dan markup diberikan untuk menjelaskan bagaimana setiap salinan terkait dengan tetangganya membentuk lingkaran. Untuk melacak hubungan antara volume set satu sama lain, Anda perlu memahami bagaimana pengukuran volume dalam satu salinan terkait dengan pengukuran di salinan lain, seperti kata Styx.

"Jika Anda memiliki ketimpangan dua objek, tetapi pada saat yang sama penguasa pengukur dikompresi beberapa kali, yang berada di luar kendali Anda, maka Anda kehilangan kendali atas apa arti ketimpangan sama sekali," kata Styx.

Scholze dan Styx percaya bahwa pada saat bukti kritis inilah segalanya runtuh. Dalam tanda-tanda Mochizuki, garis ukur secara logis kompatibel satu sama lain. Tetapi ketika Anda berkeliling lingkaran, kata Styx, Anda memiliki penggaris yang tidak seperti yang akan ada jika Anda pergi ke arah lain. Situasi ini, katanya, menyerupai tangga tertutup Escher yang terkenal, di mana Anda dapat memanjat dan kemudian menemukan diri Anda di tempat yang sama [lebih tepatnya, ini adalah tangga Penrose , berdasarkan mana Escher membuat gambar / catatan terkenal. diterjemahkan.].

Scholze dan Styx menyimpulkan bahwa ketidakcocokan pengukuran volume ini berarti bahwa nilai yang salah dibandingkan dalam ketidaksetaraan yang dihasilkan. Dan jika Anda menyesuaikan semuanya sehingga volume menjadi sebanding, maka ketimpangan menjadi tidak berarti, kata mereka.

Scholze dan Styx "menemukan alasan spesifik mengapa buktinya tidak bekerja," kata Kieran Kedlaya, seorang ahli matematika di University of California di San Diego, yang mempelajari secara rinci karya Motizuki. "Jadi, jika buktinya benar, itu harus bekerja dengan sesuatu yang lain, dengan sesuatu yang kurang jelas" dari apa yang dijelaskan Scholze dan Styx.

Mochizuki mengklaim ini justru kehadiran sesuatu yang kurang jelas. Dia menulis bahwa Scholze dan Styx keliru dalam menyamakan objek matematika yang seharusnya dianggap berbeda. Ketika dia memberi tahu rekan-rekannya tentang esensi keberatan Scholze dan Styx, dia menulis, deskripsinya "disambut dengan kejutan yang sangat universal dan bahkan ketidakpercayaan (dan setelah itu diejek) bahwa kesalahpahaman yang luar biasa seperti itu bisa muncul sama sekali".

Sekarang, matematikawan perlu mencerna argumen Scholze dan Styx dan jawaban Mochizuki. Scholze berharap bahwa, tidak seperti situasi dengan karya awal Motizuki, proses ini tidak akan berlangsung lama, karena sifat mereka dengan Styx keberatan tidak begitu rumit secara teknis. Ahli teori lain "harus bisa mengikuti garis diskusi kami dengan Motizuki tanpa masalah," katanya.

Semua Mochizuki tampaknya sepenuhnya salah. Dari sudut pandangnya, kritik terhadap Scholze dan Styx berasal dari "kurangnya waktu untuk memahami dengan benar matematika yang dibahas", yang mungkin disebabkan oleh "perasaan tidak nyaman yang mendalam, atau tidak terbiasa dengan cara berpikir baru tentang benda-benda matematika yang akrab."

Matematikawan, bahkan skeptis terhadap bukti Motizuki, mungkin memutuskan bahwa laporan Scholze dan Styx mengakhiri cerita ini, kata Kim. Orang lain akan ingin mempelajari laporannya sendiri, dan ini, Kim percaya, sudah dimulai. "Saya tidak berpikir bahwa saya akan dapat menghindari kebutuhan untuk memeriksa semuanya sendiri sebelum saya memutuskan sesuatu untuk diri saya sendiri," tulisnya melalui surat.

Selama beberapa tahun terakhir, banyak pakar teori angka telah berhenti mencoba memahami karya Motizuki. Tetapi jika Mochizuki atau para pengikutnya dapat memberikan penjelasan yang terperinci dan koheren tentang mengapa gambar Scholze dan Styx terlalu disederhanakan (jika demikian), "itu dapat melakukan banyak hal untuk menghilangkan kelelahan yang terkait dengan masalah ini dan menginspirasi orang untuk melakukan upaya baru," - kata Kedlaya.

Sementara itu, Scholze mengatakan: "Saya pikir ini tidak dapat diambil sebagai bukti sampai Mochizuki membuat perubahan serius dan menjelaskan langkah kunci yang jauh lebih baik." Dia sendiri, dalam kata-katanya, "tidak melihat ide kunci yang dapat membawa kita lebih dekat ke bukti hipotesis abc".

Terlepas dari hasil diskusi, penunjukan yang jelas dari tempat bukti tertentu untuk Mochizuki harus mengklarifikasi semuanya dengan sangat baik, kata Kim. "Apa yang dilakukan Yakub dan Peter adalah layanan yang sangat penting bagi masyarakat," katanya. "Apa pun yang terjadi, saya yakin bahwa laporan-laporan ini akan menjadi semacam kemajuan tertentu."