Tentang hubungan bilangan prima dan irasional

Setelah beberapa penelitian saya tentang bilangan prima, saya menemukan hubungan yang menarik dengan bilangan irasional. Koneksi ini memberikan jawaban untuk pertanyaan mengapa bilangan prima begitu "kacau" dan mengapa bilangan tersebut begitu rumit. Di bawah cut adalah penjelasan tentang koneksi ini dan varian dari algoritma RSA yang ditingkatkan.

Pendahuluan

Pertimbangkan set $$$\ lbrace 2n + 3m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Sekarang cobalah untuk mengaturnya. Yaitu, temukan cara untuk menemukan pasangan angka berikutnya n dan m, dengan mengetahui yang sebelumnya. Jelas: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 dan 2 + 2> 3, 2 <3. Dengan demikian, pasangan angka didistribusikan sebagai berikut:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5) , 0) ...

Perhatikan bahwa urutan dan, karenanya, metode untuk memperoleh pasangan angka berikutnya dengan jelas dilacak. Tidak ada masalah dan tugasnya sepele.
Sekarang pertimbangkan set $$$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Sayangnya atau untungnya, tetapi set ini tidak dapat dipesan dalam arti seperti yang sebelumnya:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3) , 1), (0,3) ...

Jika Anda memutuskan bahwa Anda telah menemukan urutan yang tepat, maka selesaikan lebih lanjut pasangan ini dan lihat apakah itu rusak. "Kekacauan" dari pasangan angka ini secara langsung terkait dengan irasionalitas angka $$$\ pi$ dibuktikan oleh Johann Lambert pada 1761. Memang, untuk menyejajarkan pasangan secara berurutan, pertama-tama kami mencoba menyesuaikan segmen panjang 2 menjadi segmen panjang $$$\ pi$ . Kami mencoba untuk menempatkan saldo yang diperoleh ke dalam segmen dengan panjang 2. Itu hanya akan cocok sekali. Ini berarti bahwa sisanya akan "memainkan" perannya pada segmen panjang $$$2 \ pi$ , di mana itu akan cocok bukan dua segmen dengan panjang 2, tetapi tiga. Melakukan operasi lebih lanjut, menjadi jelas bahwa segera setelah kami mendapat kesan bahwa kami telah menemukan pesanan, itu akan pecah dalam sejumlah langkah. Karena yang terakhir, yang belum digunakan, keseimbangan akan cepat atau lambat "memainkan" perannya dan urutannya akan berubah. Oleh karena itu, pertanyaan untuk menemukan algoritma "baik" untuk masalah ini tetap terbuka.

Beberapa definisi

Biarkan $$$(\ mathbb {R}, +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0}, \ oplus)$ dimana $$$f$ - sebuah isomorfisme sedemikian rupa sehingga:
$$$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
Dan, karenanya, untuk $$$g$ - balik ke $$$f$ :
$$$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$ .
Sekarang kami mendefinisikan set minat kepada kami:
$$$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ dots + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}, a_ {m} \ dalam \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$
$$$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subset \ mathbb {R} _ {> 0}$
Dan biarkan $$$F (x, y) = f (x) + f (y)$ . Lalu:
$$$g (F (x, y)) = x \ oplus y$
Dan $$$\ mathbb {T}$ - gambar set $$$W _ {\ oplus}$ untuk ditampilkan $$$g$ .
Dan akhirnya $$$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1}, w_ {2} \ dalam W _ {\ oplus}, g (w_ {1} + + w_ {2}) \ neq p \ rbrace$ - Banyak bilangan prima untuk operasi $$$\ oplus$ .
Sekarang mudah untuk memperjelas definisi-definisi ini dengan contoh yang umum. Untuk operasi multiplikasi, $$$f (x) = log_ {2} (x)$ . Banyak $$$W$ Apakah itu $$$log_ {2} (\ mathbb {N})$ . Perlu berhenti dan menjelaskan mengapa ini penting.

Koneksinya sendiri

Bahkan, dengan menggunakan isomorfisme, kami menemukan bahwa kompleksitas semua masalah tentang bilangan prima setara dengan masalah tentang jumlah logaritma yang tidak rasional. Yaitu, seperti yang telah kita lihat dalam contoh dengan serangkaian angka $$$\ pi$ dan 2, irasionalitaslah yang menyebabkan kekacauan. Jadi di sinilah, irasionalitas logaritma mendistribusikan bilangan prima pada garis bilangan dengan cara yang hampir kacau. Ada kesulitan dalam memesan pasangan n dan m dalam satu set, misalnya, $$$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ . Dengan kata lain, kesederhanaan suatu angka secara langsung tergantung pada, misalnya, beberapa tempat desimal dalam angka tersebut $$$log_ {2} 3$ . Tetapi kami telah mendefinisikan bilangan prima tidak hanya untuk perkalian, tetapi secara umum untuk operasi biner yang sewenang-wenang. Saya melakukan ini untuk menunjukkan bahwa bilangan prima kami tidak unik dengan cara apa pun.

RSA

Untuk operasi biner x + xy + y:
$$$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$ .
Keacakan set ini dicirikan oleh nilai-nilai irasional isomorfisme pada bilangan asli. Selain itu, isomorfisma tampaknya tidak diekspresikan dalam hal fungsi dasar. Di sini, dengan operasi, kami membangun bilangan prima lain yang distribusinya jelas tidak bergantung pada distribusi bilangan prima biasa. Ini memungkinkan kita untuk membangun RSA pada operasi biner yang arbitrer sehingga isomorfisme tidak rasional. Bagaimanapun, fungsi logaritma terlalu "baik" untuk cryptanalysts. Dan di sini dia berperilaku dengan cara yang sama sekali tidak terduga. Adalah mungkin, dan sebaliknya, untuk membangun isomorfisme yang dengannya operasi biner komutatif akan ditentukan.

Dengan mengambil bilangan prima sewenang-wenang sebagai dasar, kami mengubah masalah memfaktorkan bilangan majemuk menjadi masalah penguraian bilangan irasional yang hampir sewenang-wenang ke dalam jumlah dua lainnya dari himpunan tertentu. Sesuatu mengatakan kepada saya bahwa tugas ini harus menjadi milik NP kelas.

Kesimpulannya

Umat ​​manusia belum memecahkan banyak masalah tentang bilangan prima, karena matematika memunculkan sejumlah masalah serupa yang tak terbatas. Secara alami akan bertanya-tanya apa yang harus dilakukan. Saran saya adalah untuk mempertimbangkan semua teorema dari Teori Bilangan bukan untuk penambahan dan perkalian, tetapi untuk penambahan dan operasi biner komutatif sewenang-wenang ditutup pada bilangan alami. Maka setiap pernyataan tentang bilangan prima hanya akan menjadi konsekuensi dari sifat-sifat tertentu dari operasi. Sebagai contoh, tak terhingga bilangan prima akan menjadi konsekuensi dari kemonotonan operasi dan pertumbuhannya yang agak cepat. Tetapi ini adalah topik untuk artikel terpisah. Terima kasih atas perhatian anda