Dapatkah Anda membayangkan sesuatu yang lebih besar dari Semesta, tetapi pada saat yang sama diam-diam diletakkan di kepala Anda? Apa ini Tak terbatas! Eugenia Cheng mengirim kita pada perjalanan matematika yang luar biasa untuk memahami abstraksi matematika yang paling misterius. Mengapa beberapa angka tidak mungkin dihitung? Mengapa infinity + 1 tidak sama dengan 1+ infinity? Kita akan belajar tentang paradoks Grand Hotel, kita akan dapat memberi makan 7 miliar orang menggunakan papan catur, dan bahkan mendapatkan cookie dalam jumlah tak terbatas dari sepotong kecil adonan. Semua ini akan memungkinkan kita untuk memahami dan menyukai matematika abstrak yang aneh dan misterius. Buku luar biasa tentang Alam Semesta yang luas dan tak terbatas ini sangat menarik dan membangkitkan minat, menunjukkan bagaimana satu simbol matematika kecil mengandung gagasan besar.
Kutipan. Sangat kecil
Salah satu dari beberapa hal yang dapat saya lihat di depan saya saat ini tidak ada hubungannya dengan analisis matematika - ini adalah meja saya. Tabel ini ada jauh sebelum munculnya analisis matematika, tetapi tabel khusus ini dibuat di pabrik Ikea, yang benar-benar akurat menggunakan analisis matematika dalam produksinya. Saya ingin mengatakan bahwa studi infinity mungkin tampak sesuatu yang abstrak dan di luar dunia kita, secara harfiah dan kiasan ("kiasan" sebagai salah satu teman saya suka bercanda), tetapi pada akhirnya itu juga membawa kita ke analisis matematika, yang adalah bagian integral dari kehidupan kita.
Titik awal untuk semua ini adalah refleksi pada objek yang "sangat dekat satu sama lain." Ketika kita menggambar lingkaran di komputer atau mengetik huruf O, mereka terlihat mulus dan rata. Tetapi jika kita melihat lebih dekat pada gambar, mereka menjadi pixelated. Ini adalah huruf O pada skala yang lebih besar di layar komputer saya.
Kami melihat sejumlah kecil kotak kecil yang menyamar sebagai lingkaran. Komputer saya dengan hati-hati membentuk lingkaran, ia menambahkan beberapa titik abu-abu. Komputer tidak dapat melakukan yang sebaliknya, karena ia mampu memahami dan memproses hanya masing-masing titik dalam jumlah terbatas dan ukuran tetap.
Bagaimana dengan otak kita? Arti dari analisis matematis adalah bahwa otak kita, pada prinsipnya, mampu melakukan lebih banyak hal: kita dapat melihat dan memproses sejumlah besar objek yang tak terhingga jumlahnya, bahkan jika mereka sangat kecil. Ini adalah topik yang akan kita pelajari sekarang.
Saya pernah membantu matematika di sekolah dasar Cambridge di Park Street. Saya harus menjelaskan simetri kepada dua anak berusia enam tahun. Pada awalnya saya meminta mereka untuk menggambar garis simetri pada beberapa segitiga, lalu pada kotak, lalu pada segi lima, kemudian pada segi enam. Hal yang paling lucu adalah ketika salah satu dari anak-anak itu berkata: "Saya tahu bahwa octahedron memiliki delapan sisi, karena kata" octahedron "terlihat seperti OCTOPUS." Pada akhirnya, saya memberi mereka lingkaran. Salah satu dari mereka menggambar garis seperti itu pada sebuah lingkaran:
Selanjutnya menjadi lebih menyenangkan. Anak pertama berseru: "Ada ratusan dari mereka!", Dan yang kedua berkata: "Ada satu juta!", Setelah itu yang pertama berkata: "Anda dapat menggambar garis-garis ini sepanjang hidup Anda dan tidak pernah selesai!", Lalu ada jeda, setelah itu anak kedua diangkat pensil, lukis di atas seluruh lingkaran dengan mereka dan berkata: "Lihat! Saya selesai! "
Saya bingung, tetapi terpaksa mengakui bahwa mereka berdua benar. Anda dapat menghabiskan seluruh hidup Anda menggambar garis simetri pada lingkaran dan tidak pernah selesai, karena ada jumlah tak terbatas dari mereka. Faktanya, mereka tak ada habisnya. Kami dapat memverifikasi ini. Bayangkan kita menentukan di mana garis simetri berjalan, mengatur sudut yang terbentuk dengan horizontal.
Kita dapat mengambil sudut mana saja - dari 0 hingga 180 ° atau dalam radian - dari 0 hingga π. Jika sudut lebih besar, garis akan mengulangi salah satu yang sudah ditarik:
Ambil bilangan real dari 0 hingga 180, dan tidak harus bilangan bulat atau bilangan rasional. Kita sudah tahu bahwa ada bilangan real yang tak terhitung mulai dari 0 hingga 180.
Kami akan memiliki garis simetri yang tak terhitung jumlahnya di lingkaran, tetapi jika Anda melukis di seluruh lingkaran, Anda akan benar-benar melukis di atas semuanya. Mungkin sekarang Anda mengira itu seperti scam, karena garis simetri yang sebenarnya harus berpotongan berkali-kali di tengah lingkaran, dan di pusat kami ada banyak lapisan pensil. Tetapi jika kita tidak memperhatikan pusatnya, tetapi hanya mencoba menandai titik-titik di sepanjang tepi lingkaran yang disentuh oleh garis-garis simetri, maka itu akan cukup untuk menggambar pensil di sepanjang tepi lingkaran. Akankah kita menggambar sejumlah besar poin dengan cara ini? Apakah akan ada jumlah poin yang sangat besar di baris ini?
Jika demikian, seberapa jauh jarak mereka? Dan jika jumlahnya terbatas, lalu berapa?
Pembagian tanpa batas
Jika kita membagi garis menjadi lebih banyak dan lebih banyak segmen, maka segmen menjadi lebih kecil dan lebih kecil. Bisakah kita membagi garis menjadi sejumlah besar segmen? Saya ingin mengatakan jika kita dapat membuat sesuatu yang sangat kecil dengan membaginya menjadi tak terbatas.
Bayangkan lotere di mana semua bilangan real bisa jatuh. Drum lotre akan memiliki jumlah bola yang tak terbatas, tetapi masing-masing akan menunjukkan jumlah terbatas tertentu. Dalam hal ini, kemungkinan menang akan agak aneh. Biasanya dalam lotere di Inggris 6 dari 59 bola rontok. Ada sekitar 45 juta kombinasi, dan semua kombinasi ini memiliki kemungkinan yang sama. Peluang Anda untuk menang adalah 1: 45 juta. Ini adalah angka yang sangat kecil (sekitar 0,00000002), tetapi bukan 0; walaupun bagi saya itu mendekati 0 sehingga dapat dianggap 0. Jika Anda mengalikannya dengan jumlah total kombinasi yang mungkin (45 juta), Anda mendapatkan 1, yang benar-benar benar, karena itu akan menjadi probabilitas menang jika Anda membeli semua tiket lotre.
Lotre tak terbatas memiliki jumlah kombinasi tak terbatas, jadi peluang Anda untuk menang adalah "1 hingga tak terbatas." Bagaimana cara mengekspresikannya dengan pecahan? Jawabannya tidak boleh lebih dari 0, karena jika lebih dari 0, maka, mengalikannya dengan jumlah total hasil yang mungkin (tak terbatas), kita mendapatkan angka lebih besar dari 1. Apakah ini berarti bahwa probabilitas menang adalah 0? Tetapi seseorang dapat benar-benar menang setiap saat. Anda dapat dengan tepat mencatat bahwa dalam praktik lotere seperti itu tidak mungkin, tetapi argumen Anda ini tidak membatalkan paradoks ini. Semuanya persis sama dengan Hotel Hilbert: fakta bahwa hotel seperti itu tidak ada tidak membatalkan paradoks.
Kami kembali ke salah satu upaya pertama kami untuk menemukan infinity, dengan alasan itu
Kita tahu bahwa persamaan seperti itu menimbulkan kontradiksi jika kita mencoba untuk melipatgandakan kedua belah pihak dengan 0. Tapi sekarang kita ingin mengatakan bahwa pembagian dengan tak terhingga menghasilkan 0 atau
Sekarang kita sudah tahu lebih banyak tentang ketidakterbatasan dan segera melihat bahwa ada sesuatu yang salah dengan persamaan ini. Masalahnya di sini adalah cara kita mencoba menemukan infinity, yaitu, menggunakan seperangkat objek yang tak terbatas, tidak menyiratkan pembelahan oleh infinity. Jawaban matematis yang benar dalam kasus ini adalah: “Baiklah, mari kita coba! Jika kita belum melakukannya, ini tidak berarti bahwa itu tidak mungkin. ”
Mari kita coba melakukan persis sama seperti yang kita lakukan dengan pengurangan. Mari kita kembali ke gagasan bahwa segala sesuatu di sekitar adalah banyak objek. Ini seperti menghitung tongkat penghitungan: Anda tidak dapat mematahkan tongkat penghitungan menjadi dua (banyak yang membuat banyak anak cemas). Jika kita mengambil banyak bilangan asli, maka kita tidak dapat menguranginya sebagian.
Ingat, ketika kami mencoba untuk mengungkapkan pengurangan melalui tak terhingga, kami mengingat alasan anak-anak: 6 - 3 berarti "berapa yang harus saya hitung kembali dari 3 hingga kembali ke 6". Dengan kata lain, kami memecahkan persamaan ini: 3 + x = 6.
Sekarang mari kita ambil 6: 3. Kita dapat melihat 6: 3 dalam dua cara berbeda.
- Berapa kali 3 cocok dalam 6? Dengan kata lain, berapa kali saya harus menambahkan 3 pada diri saya sendiri untuk mendapatkan 6? Itu sama dengan memecahkan persamaan ini: 3 × x = 6.
- Berapa angka yang cocok dengan 6 tepat tiga kali? Dengan kata lain, angka apa yang dapat saya tambahkan ke diri saya sendiri tiga kali untuk mendapatkan 6? Itu sama dengan memecahkan persamaan ini: x × 3 = 6.
Dalam kedua kasus, jawabannya akan 2, karena formulasi ini tidak masalah jika kita berbicara tentang angka yang terbatas. Tetapi kita sudah tahu bahwa dengan ketakterhinggaan itu tidak sesederhana itu. Misalnya, menambahkan 3 jumlah kali tak terbatas tidak sama dengan menambahkan 3 kali hingga
tak terbatas . Yaitu, 3 × ω ≠ ω × 3.
Mari kita tanyakan pada diri sendiri pertanyaan: "Berapa kali saya harus menambahkan 3 untuk diri saya sendiri untuk mendapatkan ω?" Jawab: ω. Bayangkan Anda berubah lagi menjadi orang yang membagikan tiket sobek dalam antrian. Orang-orang datang dalam kelompok yang terdiri dari 3 orang. Berapa banyak grup yang terdiri dari 3 orang yang harus mengakhiri bundel tiket Anda yang tidak ada habisnya? Jawab: ω. Anda akan terus mengeluarkan 3 tiket tanpa henti untuk setiap grup.
Jika kita melihat di sisi lain: "Nomor apa yang bisa saya tambahkan ke diri saya 3 kali untuk mendapatkan ω?", Maka dalam hal ini tidak ada jawaban yang memungkinkan. Jika Anda menambahkan 3 angka hingga bersamaan, jawabannya akan selalu terbatas. Jika Anda menambahkan 3 angka tak terbatas, masing-masing akan setidaknya sama dengan ω (karena ω adalah angka tak terhingga terkecil), dan bersama-sama mereka akan menjadi lebih besar, itu seperti "tak terhingga dan satu hari lagi". Kita dapat kembali mempertimbangkan ini dengan contoh tiket sobek. Jika satu bus penuh tak terhingga tiba, maka Anda akan menghabiskan semua bundel tiket sobek (setidaknya) pada penumpangnya. Jika setelah ini datang bus lain yang tak terhingga penuh, maka Anda akan dipaksa untuk mengambil paket dengan tiket warna berbeda.
Kedua pertanyaan ini adalah upaya untuk "membagi tak terbatas menjadi 3," tetapi mereka memberi kami jawaban yang berbeda. Ini membuktikan bahwa pembagian, seperti halnya perkalian, bukanlah solusi terbaik dalam hal ketidakterbatasan, bahkan jika itu hanya pembagian dengan jumlah terbatas yang kecil. Jika sebaliknya kita mencoba membagi sesuatu menjadi tak terhingga, maka semuanya akan menjadi lebih buruk. Misalkan kita ingin melakukan hal berikut:
. Maka kita akan memiliki dua opsi. Pertama: berapa kali kita harus menambahkan ω ke diri kita sendiri untuk mendapatkan 1? Ini jelas tidak mungkin, karena ω terlalu banyak. Opsi kedua: angka berapa yang bisa kita tambahkan ke diri kita number berapa kali untuk mendapatkan 1? Dan lagi, itu sama sekali tidak mungkin.
Terlepas dari semua hal di atas, sepertinya 1 dibagi dengan infinity harus sama dengan 0. Bisakah pernyataan ini menjadi jawaban yang masuk akal untuk pertanyaan yang diajukan di atas? Jika kita menambahkan ω ke diri kita 0 kali, kita tidak mendapatkan apa-apa, jadi tidak ada gunanya dalam tindakan ini. Ini akan seperti dengan 0 bus penuh tanpa batas, bagi mereka Anda tidak perlu tiket robek sama sekali. Adapun pertanyaan kedua: "Bisakah kita menambahkan 0 ke diri kita sendiri ω kali untuk mendapatkan 1?", Maka semuanya akan seperti dalam kasus 0 orang yang mengantri dalam jumlah tak terbatas kali. Anda lagi tidak akan membutuhkan tiket sobek untuk mereka.
Di sini kita bisa menyerah dan berkata, “Oke, jadi
"Ini bukan nol." Atau cobalah untuk bertindak seperti ahli matematika dan berkata: "Semua ini benar-benar masuk akal, mungkin kita dapat memberikannya makna matematika lainnya jika alasan kita tidak didasarkan pada set yang tidak terbatas?" Salah satu tugas matematika adalah mengambil apa yang secara intuitif tampak benar, dan memberikan penjelasan logis yang akurat. Kita tidak harus menyerah begitu saja!
Sisi lain dari ketidakterbatasan
Mungkin sekarang Anda bertanya pada diri sendiri pertanyaan mengapa kita tidak bisa membuat sesuatu yang sangat kecil dan tidak sama dengan 0, karena sebelum saya mengatakan bahwa kita dapat membuat hal-hal abstrak hanya dengan memikirkannya. Matematikawan telah mencoba menggunakan metode ini, meskipun tampaknya tidak ada gunanya (seperti gagasan tentang ketakterhinggaan, yang juga tampaknya tidak ada gunanya sampai Anda mulai mempelajarinya secara cukup intensif). Itu seperti sisi lain dari ketidakterbatasan. Infinity lebih besar dari angka apa pun, dan nilai sangat kecil lebih kecil dari angka apa pun. Jika Anda menambahkan infinity ke diri Anda sendiri, Anda akan menerima infinity, dan jika Anda menambahkan nilai sangat kecil ke diri Anda sendiri, Anda akan lagi menerima nilai sangat kecil. Dan jika Anda mengalikan tak terhingga dengan jumlah yang sangat kecil, Anda akan mendapatkan 1, seperti dalam contoh tentang probabilitas memenangkan lotre.
Pendekatan semacam itu memunculkan masalah yang sama dengan ketakberhinggaan "jadian" kita sebelumnya. Di sini perlu untuk bertindak dengan ketepatan khusus atau keterampilan teknis, seperti yang kami lakukan sebelumnya, ketika kami ingin merumuskan definisi yang jelas tentang konsep "infinity", tetapi karena masalah muncul terlalu sering, akan lebih elegan untuk mencoba mengatasinya. Jika saat berjalan-jalan, Anda akan menemukan genangan air kotor yang besar, maka Anda dapat menginjaknya, berharap sepatu tidak akan basah, atau mencoba menyiasatinya. (Tentu saja, beberapa orang, terutama anak-anak, suka melangkah tepat di tengah genangan air. Dalam matematika ini juga terjadi.)
Inilah cara menghindari masalah pembagian dengan tak terhingga. Bayangkan Anda perlu membagi kue cokelat menjadi beberapa orang. Jika Anda membaginya menjadi dua, maka semua orang mendapat banyak. Jika Anda membaginya dengan tiga, maka semua orang masih mendapatkan banyak, tetapi kurang dari pada kasus pertama. Jika ini empat orang, mereka akan menerima lebih sedikit. Semakin banyak orang, semakin sedikit kue yang mereka dapatkan. Jika jumlah orang menjadi sangat besar, bodoh jika mencoba membagikan satu kue yang tidak bahagia untuk semua orang. Pernahkah Anda mencoba membagi kue menjadi seratus orang? (Kue pengantin biasanya terdiri dari beberapa tingkatan, yang pada dasarnya adalah kue yang terpisah.) Bagaimana dengan seribu orang? Dan sejuta? Pada titik tertentu, ketika akan ada terlalu banyak orang, setiap orang akan mendapatkan bagian yang sangat kecil sehingga secara praktis jumlahnya tidak signifikan, yaitu hampir tidak ada.
Jika kita memiliki satu juta orang dan hanya satu kue, maka secara teknis setiap orang akan mendapatkan bagian mereka sendiri - mungkin, ini akan menjadi miliaran miliaran molekul kue. Tetapi secara lahiriah, jumlah kue akan hampir sama dengan 0, dan dengan peningkatan jumlah orang, itu akan cenderung semakin dan semakin ke 0. Jadi kami memberikan makna matematika pada gagasan bahwa pembagian berdasarkan tak terhingga menghasilkan 0. Bahkan, kami tidak pernah membaginya dengan tak hingga (oleh karena itu bahwa tidak ada akal sehat). Mari kita kembali ke contoh yang kita sebutkan di Bab 11 ketika sesuatu cenderung tak terbatas. Kami mencoba untuk membagi dengan apa yang cenderung tak hingga, dan menemukan bahwa jawabannya juga akan cenderung ke 0. Mungkin beberapa orang bijak sekarang akan membawa mikroskop dan mengatakan bahwa mereka masih melihat sejumlah kue di atas piring. Tapi kami selalu bisa membagikannya sedikit lebih banyak, dan kue itu tidak akan terlihat lagi. Ini tidak berarti bahwa 1, dibagi dengan tak terhingga, adalah 0, tetapi argumen ini memberi tebakan intuitif kita penjelasan matematis, dan ini adalah awal dari seluruh analisis matematika modern.
Paradoks Zeno
Analisis matematika berakar pada zaman kuno. Pertanyaan tentang bagaimana sesuatu dapat terdiri dari bagian tak terhingga dalam jumlah tak terbatas diajukan oleh filsuf Yunani Zenon lebih dari 2,5 ribu tahun yang lalu. Sama seperti Hilbert ribuan tahun kemudian, Zeno mempelajari paradoks yang membuktikan bahwa jumlah objek yang tak terbatas harus ditangani dengan sangat hati-hati.
Salah satu paradoks Zeno mirip dengan pemikiran seorang anak tentang kue coklat: jika saya makan setengah dari apa yang tersisa, maka setengah dari apa yang tersisa, dan seterusnya, maka saya akan makan hanya setengah dari apa yang tersisa, dan apakah Apakah kue itu akan menjadi tidak ada habisnya?
Zeno merumuskan paradoks ini sebagai berikut: jika Anda ingin pergi dari titik A ke titik B, maka Anda harus terlebih dahulu mengatasi setengah jarak. Maka Anda harus pergi setengah jarak yang tersisa. Setelah itu Anda harus menempuh setengah jarak yang tersisa, dan seterusnya. Anda terus-menerus pergi hanya setengah jarak yang tersisa.
Setelah setiap tahap, selalu ada setengah jarak, dan Anda selalu bisa pergi hanya setengah dari yang tersisa. Apakah ini berarti Anda tidak akan pernah sampai ke tempat itu?
, . . , , , , «». , . , . :
n, , . , : n. , ? : , — . , , . ( , .)
, , , . , , 1, , ! . , , 2. ; , , 3. 3, 4. , , , , . , ?
, . . , , . , , , .
, , . , .
, , ; , , . , , , , , .
, , , : , — . , , , , . , , , . , , . . , .
, , . , , , . , , - , . , , , , .
, , . , 4 . , 15 . ?
- , 7,5 .
- , 3,75 .
- , 1,875 .
- , 0,9375 .
- ...
, . , ? : ; , .
, , , , , , , . , : , , . , . , , , . , «» , . ( , .)
. ? ? , , - XIX . .
»Informasi lebih lanjut tentang buku ini dapat ditemukan di
situs web penerbit»
Isi»
Kutipan25% —