Mari kita hilangkan angka empat dari semua mesin 3D

Pemrogram grafik menggunakan angka empat untuk merekam putaran tiga dimensi. Namun, angka empat sulit untuk dipahami karena mereka dipelajari secara dangkal . Kami hanya mengambil tabel perkalian yang aneh dan definisi samar lainnya tentang iman, dan menggunakannya sebagai "kotak hitam" yang memutar vektor sesuai kebutuhan. Mengapa $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ dan $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ? Mengapa kita mengambil vektor dan mengubahnya menjadi vektor "imajiner" untuk mengubahnya, misalnya $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ? Tapi siapa yang peduli jika semuanya bekerja, kan?

Ada cara untuk menggambarkan rotasi yang disebut rotor , yang mengacu pada bidang bilangan kompleks (dalam 2D) dan angka empat (dalam 3D), dan bahkan digeneralisasikan ke sejumlah dimensi.

Kita dapat membuat rotor hampir sepenuhnya dari awal , alih-alih menentukan angka empat dari nol dan mencoba menjelaskan bagaimana mereka bekerja secara surut . Butuh lebih banyak waktu, tetapi bagi saya itu sepadan, karena mereka jauh lebih mudah dipahami!

Selain itu, untuk visualisasi dan pemahaman rotor tiga dimensi, tidak perlu menggunakan dimensi spasial keempat.

Akan lebih bagus jika mereka mulai menggantikan penggunaan dan studi angka empat, menggantinya dengan rotor. Menggantinya sangat sederhana, tetapi kodenya akan tetap hampir sama . Segala sesuatu yang dapat dilakukan dengan angka empat, misalnya, menyisipkan dan melepas kunci gandar (kunci Gimbal), dapat dilakukan dengan rotor. Tetapi kita mulai mengerti lebih banyak.

(Dalam artikel asli, semua bagan bersifat interaktif, dan artikel diikuti oleh video. Dengan mengeklik tombol putar, Anda dapat memulai bagian yang sesuai dari video. Anda juga dapat mengklik tombol transisi di bawah video untuk pergi ke bagian yang sesuai dari artikel. Anda dapat memperluas jendela sehingga ada lebih banyak ruang untuk video , atau atur ukuran konstan untuk itu.)

1. Mengubah pesawat

1.1. Giliran dilakukan pada pesawat dua dimensi.

Dalam ruang tiga dimensi, kita biasanya melihat belokan terjadi di sekitar sumbu, seperti roda yang berputar pada sumbu, tetapi sebaliknya akan lebih tepat untuk mewakili bidang di mana roda berada. Bidang ini tegak lurus terhadap sumbu.


Wanita tua ini memutar roda di pesawat $$$\ mathbf {xz}$ tegak lurus terhadap sumbu $$$\ mathbf {y}$ .

Ini terjadi karena jika kita membagi vektor menjadi dua bagian, salah satunya terletak pada bidang ( $$$\ mathbf {v} _ \ parallel$ ), dan yang lainnya di luar ( $$$\ mathbf {v} _ \ pelaku$ ), maka rotasi memutar bagian dalam, dan bagian luar tetap tidak berubah.


Rotasi di pesawat $$$yx$ [ dalam artikel asli, animasi ini dan kamera bisa dipindahkan ]

Dalam ruang dua dimensi hanya ada satu bidang di mana rotasi dimungkinkan ( tidak ada bagian eksternal ). Oleh karena itu, untuk mengasumsikan bahwa rotasi yang terjadi di sekitar sumbu ketiga (tegak lurus terhadap bidang 2D) adalah benar-benar salah, karena untuk menyelesaikan rotasi kita tidak boleh menambahkan dimensi lain.

Jika kita memberi tahu "pemilik tanah datar" dua dimensi (yang tinggal di dalam bidang 2D dan tidak pernah keluar dari ruang dua dimensi) tentang sumbu rotasi tegak lurus, dia akan bertanya: "Di mana arah titik sumbu ini? Saya tidak bisa membayangkannya! "

1.2. Arah belokan yang tepat

Selain itu, ketika kita berpikir tentang rotasi di sekitar sumbu, arah rotasi tidak ditentukan, dan karena itu harus ditentukan oleh aturan (yang disebut "aturan tangan kanan").

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa belokan terjadi di dalam pesawat, maka arahnya menjadi jelas: rotasi di pesawat $$$\ mathbf {xy}$ berarti rotasi yang menggerakkan vektor (unit) $$$\ mathbf {x}$ ke vektor (unit) $$$\ mathbf {y}$ di dalam pesawat mereka bersama-sama terbentuk. Rotasi di pesawat $$$\ mathbf {yx}$ Adalah rotasi ke arah yang berlawanan: ia menggerakkan vektor $$$\ mathbf {y}$ ke vektor $$$\ mathbf {x}$ .

2. Bivektor

2.1. Pekerjaan eksternal

Untuk menghitung sumbu rotasi ketika memutar satu vektor $$$\ mathbf {a}$ ke vektor lain $$$\ mathbf {b}$ kami mengambil produk vektor dari dua vektor untuk mendapatkan vektor yang tegak lurus terhadap keduanya. Tetapi mengapa kita perlu "meninggalkan" pesawat jika rotasi pada dasarnya adalah operasi dua dimensi?

Sebagai gantinya, kami mengambil apa yang disebut produk eksternal (juga dikenal sebagai produk vektor dua dimensi), dua vektor, menciptakan elemen baru yang disebut "bivector" (atau 2-vektor) $$$\ mathbf {B}$ mewakili bidang yang membentuk dua vektor bersama. Jika produk vektor membuat vektor normal ke bidang, maka produk eksternal membuat bidang itu sendiri . Perhitungan normal ke pesawat tidak relevan.

$$ $$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ dapat direpresentasikan sebagai jajaran genjang yang dibangun dari vektor $$$\ mathbf {a}$ dan $$$\ mathbf {b}$ di pesawat yang mereka bersama membentuk.

Pada awalnya, gagasan bivektor mungkin tampak aneh, tetapi segera kita akan melihat bahwa mereka hampir sama mendasarnya dengan vektor itu sendiri . Jika vektor dapat dibandingkan dengan garis lurus, maka bivektornya mirip dengan bidang ... Sifat-sifat produk eksternal menangkap sifat-sifat penting pesawat.

2.2. Dasar untuk bivektor

Bivektor, seperti vektor, memiliki komponen. Tetapi mereka ditentukan berdasarkan pesawat , dan bukan garis lurus , seperti vektor.

Tiga bidang dasar ortogonal adalah $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ dan $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ seperti yang kita lihat dari gambar.

Tapi pertama-tama, mari kita lihat kasus dua dimensi yang lebih sederhana ...

2.3. Bivektor dua dimensi

Dalam 2D, hanya ada satu bidang, yaitu $$$\ mathbf {xy}$ . Artinya, bivektor dua dimensi hanya memiliki satu komponen. Untuk bivektor terdiri dari vektor $$$\ mathbf {a}$ dan $$$\ mathbf {b}$ adalah nomornya $$$B_ {xy}$ sama dengan luas (dengan tanda) dari jajar genjang yang dibentuk oleh dua vektor.

$$ $$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

Dalam artikel asli dengan bivektor 2D, Anda dapat bereksperimen pada grafik interaktif dengan mengubah vektor (tunggal) yang terdiri dari:


Anda dapat melihat bahwa ketika sudut antara vektor berubah, area jajaran genjang berubah (sesuai dengan sinus sudut).

Jika vektor-vektornya sama atau paralel, maka vektor-vektor itu tidak membentuk bidang biasa dan hasilnya akan nol. Properti sederhana ini mendefinisikan apa yang dimaksud bivektor:

$$ $$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

Melihat jumlah dari dua vektor, Anda dapat melihat bahwa properti mengikuti:

$$ $$\ begin {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \ end {eqnarray}$$

Oleh karena itu:

$$ $$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

Sama seperti arah rotasi , urutan argumen dalam karya eksternal juga penting. Menyusun ulang argumen mengubah tanda hasil (ini disebut "antisimetri").

Pada bagan, tanda ditandai dengan warna yang berubah dari biru menjadi hijau. Tanda berubah saat pergantian $$$\ mathbf {a}$ masuk $$$\ mathbf {b}$ bergerak dari searah jarum jam ke berlawanan arah jarum jam (mis., jika cocok dengan arah (dari $$$\ mathbf {x}$ untuk $$$\ mathbf {y}$ ) atau arah (dari $$$\ mathbf {y}$ untuk $$$\ mathbf {x}$ )).

Anda dapat melihat bahwa sifat-sifat produk eksternal diatur sehingga mereka menyampaikan sifat-sifat pesawat dan belokan.

2.4. Bivektor dua dimensi vektor nonunit

Jelas, vektor tidak harus memiliki panjang satuan, dan batasan ini telah dihapus pada grafik ini:


Luas jajaran genjang dengan tanda sebanding dengan panjang kedua vektor: $$$B_ {xy} = sin (\ alpha) \ | a \ | \ | b \ |$ dimana $$$\ alpha$ Apakah sudut antara $$$\ mathbf {a}$ dan $$$\ mathbf {b}$ . Misalnya, ketika menggandakan panjang satu vektor, area tersebut berlipat ganda.

Kita bisa mendapatkan nilai sebenarnya dengan mengganti vektor sebagai komponen:

$$ $$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x ( \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$ $$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5. Bivektor 3D

Sama seperti koordinat vektor $$$\ mathbf {v}$ dapat dianggap proyeksi vektor pada tiga sumbu dasar ortogonal ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ ), koordinat bivector $$$\ mathbf {B}$ dapat dianggap proyeksi lebih kecil dari pesawat pada tiga bidang dasar ortogonal.

Proyeksi vektor adalah panjang vektor ini di sepanjang setiap vektor basis, dan proyeksi bivektor adalah area bidang pada setiap bidang basis.

Untuk vektor:

$$ $$\ mathbf {v} = \ bbox [5px, batas-bawah: 2px merah solid] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px, batas-bawah: hijau solid 2px] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5px, batas bawah: 2px biru solid] {v_z} \ mathbf {z}$$

Untuk bivector:

$$ $$\ mathbf {B} = \ bbox [5px, batas-bawah: 2px solid coral] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + \ bbox [5px, batas-bawah: 2px emas murni] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5px, batas bawah: 2px solid DarkViolet] {B_ {yz}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

Dimana $$$B_ {xy}$ , $$$B_ {xz}$ , $$$B_ {yz}$ Seperti angka saja $$$v_x$ , $$$v_y$ , $$$v_z$ (mereka digarisbawahi oleh warna yang sesuai dengan warna pada grafik).

Komponen bivektor 3D hanyalah tiga proyeksi 2D dari bivektor ke bidang 2D dasar.

Dengan menggunakan metode yang sama seperti sebelumnya, kami menemukan bahwa nilai sebenarnya dari komponen sangat mirip dengan komponen XY dari kasus dua dimensi, tetapi diterapkan pada ketiga bidang:

$$ $$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$ $$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$ $$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

Anda dapat bereksperimen dengan bivektor 3D pada bagan interaktif di artikel asli:



Jika kita membagi bivektor berdasarkan normanya, maka kita mengurangi dua panjang vektor dan nilai (absolut) dari sinus sudut, yaitu, kita akan memiliki bivektor $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ , yang akan dibangun seolah-olah kedua vektor awalnya tegak lurus dan memiliki panjang satuan. Ini adalah representasi yang sangat bersih dari bidang yang mengandung kedua vektor. Jadi:

$$ $$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

Apakah sesuatu mengingatkan Anda pada pekerjaan eksternal? Dalam 3D, definisi karya eksternal sangat mirip dengan definisi karya vektor. Bahkan, vektor dalam 3D yang diperoleh dari produk vektor (misalnya, vektor normal) akan memiliki tiga komponen yang sama dengan komponen bivektor (angkanya akan sama, tetapi dasarnya berbeda).

$$$$ menampilkan $$ \ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ & & & & (a_y b_z - b_y a_z) (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ kali \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ tampilkan $$

Definisi bivector memiliki arti geometris, dan tidak muncul entah dari mana. Saya ingat ketika saya mempelajari produk-produk vektor, saya berpikir: “Apa-apaan ini mengembalikan vektor yang panjangnya sama dengan area jajaran genjang yang dibentuk oleh dua vektor ini? Sepertinya acak. Dan mengapa kita bisa mengubah area jajaran genjang menjadi panjang vektor? "

2.6. Semantik vektor dan bivektor

Dalam 3D, bivector memiliki tiga koordinat, satu per pesawat: ( $$$\ mathbf {xy}$ , $$$\ mathbf {xz}$ dan $$$\ mathbf {yz}$ ) Vektor juga memiliki tiga koordinat, satu per sumbu ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ dan $$$\ mathbf {z}$ ) Setiap bidang tegak lurus terhadap satu sumbu. Kebetulan ini hanya muncul dalam tiga dimensi (*) dan itulah sebabnya kami terus-menerus mengacaukan bivektor dengan vektor .


Dalam pemrograman, mereka berdua memiliki tata letak memori yang sama, tetapi operasi yang berbeda. Menggunakan vektor 3D alih-alih bivektor 3D mirip dengan "konversi tipe" bivektor.

Berikut ini sebuah contoh: Anda dapat melihat bahwa vektor normal ditransformasikan berbeda dari vektor biasa menggunakan matriks "transfer terbalik" $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ , bukannya matriks itu sendiri. Ini karena, pada kenyataannya, mereka sebenarnya bukan vektor, tetapi bivektor, yang diubah menjadi vektor oleh "konversi tipe". Dalam fisika, ada retasan yang disebut "vektor aksial," yang diperkenalkan untuk membedakan vektor yang diperoleh oleh produk vektor dari vektor biasa. Bivector adalah "tipe" sebenarnya dari suatu objek dan harus dirasakan dan diproses sesuai.

3. Produk geometris

3.1. Multiplikasi vektor satu sama lain

Produk geometris $$$\ mathbf {a b}$ (dilambangkan tanpa simbol) adalah operasi lain yang dapat dilakukan dengan vektor. Produk geometrik didefinisikan sehingga vektor adalah jumlah terbalik (mis. $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ , di mana 1 hanya nomor 1!) dan memiliki sifat yang nyaman, misalnya, asosiatif $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ ) Tujuan dari ini adalah untuk dapat melipatgandakan vektor sehingga (seperti halnya dengan matriks) perkalian sesuai dengan operasi geometris.


Untuk mendefinisikan suatu produk, pertama-tama kita perhatikan bahwa mungkin untuk membagi produk (atau fungsi apa pun yang menggunakan dua argumen) menjadi jumlah bagian yang tidak berubah jika kita menukar argumen dan bagian yang berubah sebagai berikut:

$$ $$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqnarray}$$

Istilah pertama tidak lagi tergantung pada urutan argumen $$$\ mathbf {a}$ dan $$$\ mathbf {b}$ (disebut bagian "simetris"), dan istilah kedua berubah tanda ketika mengubah tempat argumen (disebut bagian "antisimetrik").

Produk skalar dari dua vektor (juga disebut produk dalam) simetris dan merupakan ukuran jarak ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ), oleh karena itu, dari sudut pandang geometris, tampaknya berguna bahwa kita membuatnya sama dengan bagian simetris:

$$ $$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

Demikian pula, produk luar dari dua vektor adalah antisimetri, sehingga akan berguna untuk menyamakannya dengan bagian antisimetrik:

$$ $$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Selain itu, produk skalar mengandung kosinus sudut antara dua vektor ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos (\ alpha)$ ), sedangkan produk eksternal mengandung sinus sudut. Bersama-sama, mereka sepenuhnya menggambarkan sudut antara vektor, serta bidang yang mereka bentuk.


Artinya, produk geometris sama dengan:

$$ $$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Ini aneh karena mengalikan dua vektor memberikan jumlah dua hal yang berbeda: skalar dan bivektor. Namun, ini mirip dengan bagaimana bilangan kompleks adalah jumlah dari skalar dan angka "imajiner", sehingga Anda sudah terbiasa dengannya. Di sini, bagian bivektor sesuai dengan bagian "imajiner" dari bilangan kompleks. Hanya ini bukan nilai "imajiner", itu hanya bivektor yang benar-benar dapat kami tunjukkan secara grafis!

Bahkan, mengalikan dua vektor, kami menghitung sifat berguna mereka ("panjang proyeksi mereka satu sama lain" / "cosinus sudut" ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) dan "bidang yang mereka bentuk bersama" / "sinus sudut" ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )), yang kita hubungkan bersama dengan tanda plus. Produk geometrik juga memberikan operasi "grup properti" yang dapat diterapkan padanya, dan operasi ini memiliki interpretasi geometris (misalnya: rotasi dan refleksi vektor). Ini akan kita lihat segera.

Anda dapat mengekspresikan produk geometris dalam bentuk sinus dan kosinus: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ alpha) + sin (\ alpha) \ mathbf {B})$ dimana $$$\ mathbf {B}$ Adalah bivektor dari kedua vektor pada bidang, terdiri dari dua unit vektor tegak lurus.

3.2. Tabel perkalian

Tabel multiplikasi memungkinkan kita untuk membuat produk lebih spesifik: mari kita lihat apa yang terjadi jika kita mendapatkan produk vektor basis ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ )

Untuk setiap vektor basis, misalnya sumbu $$$\ mathbf {x}$ , hasilnya akan sama $$$1$ :

$$ $$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

Untuk setiap pasangan vektor basis, misalnya, sumbu $$$\ mathbf {x}$ dan $$$\ mathbf {y}$ , hasilnya akan menjadi bivektor, yang bersama-sama mereka bentuk:

$$ $$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$$

(mis. kita bisa memberi nama $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ adil $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ , karena ini satu dan sama!)

Ini memberi kita tabel berikut:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

Bahkan, tabel ini sepele, dibandingkan, misalnya, dengan tabel angka empat.

3.3. Formula refleksi (tampilan tradisional)

Refleksi pada vektor [dalam artikel asli, setiap vektor dapat dipindahkan]

Jika kita memiliki vektor satuan $$$\ mathbf {a}$ dan vektor $$$\ mathbf {v}$ kita bisa bercermin $$$\ mathbf {v}$ melalui pesawat tegak lurus $$$\ mathbf {a}$ .

Ini dilakukan dengan cara biasa: kami berbagi $$$\ mathbf {v}$ pada bagian tegak lurus ke pesawat: $$$\ mathbf {v} _ \ perp = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ , dan bagian yang sejajar dengan pesawat: $$$\ mathbf {v} _ \ parallel = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ perp = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ .

Kemudian, untuk mencerminkan vektor, kita membalik bagian tegak lurus, dan membiarkan bagian paralelnya tidak berubah:

$$ $$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \ parallel - \ mathbf {v} _ \ pel \\ & = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & & & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4. Formula refleksi (tampilan untuk produk geometris)

Pada tahap ini, kita dapat mengganti produk skalar $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ pada versinya dalam bentuk produk geometris $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ , dan dapatkan yang berikut ini:

$$ $$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} } + \ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ sejak itu $$$\ mathbf {a}$ adalah vektor satuan)

Ini memberi kita hal yang persis sama, tetapi dalam entri yang berbeda. Menggunakan catatan dalam bentuk produk sederhana alih-alih formula untuk penyandian operasi fundamental seperti refleksi akan sangat berguna!

3.5. Dua refleksi adalah giliran: situasi dalam 2D

Ternyata jika kita melamar $$$\ mathbf {v}$dua refleksi berturut-turut (pertama dengan vektor) $$$\ mathbf {a}$dan kemudian dengan vektor $$$\ mathbf {b}$), lalu kita dapatkan rotasi dua kali sudut antara vektor $$$\ mathbf {a}$dan $$$\ mathbf {b}$.

Kami dapat menunjukkan setiap tahap refleksi selanjutnya dalam grafik di bawah ini:


Anda juga dapat mengubah vektor di artikel asli. $$$\ mathbf {a}$, $$$\ mathbf {b}$dan $$$\ mathbf {v}$, tetapi konfigurasi awal vektor pada grafik (klik pada tombol "Reset Vector Positions") terutama dengan jelas menunjukkan mengapa rotasi sebagai akibatnya terjadi pada sudut ganda . Konfigurasi bagus lainnya adalah pengaturan sebagai $$$\ mathbf {a}$dan $$$\ mathbf {b}$kapak $$$\ mathbf {x}$dan $$$\ mathbf {y}$.

3.6. Dua refleksi adalah giliran: situasi dalam 3D

Dalam kasus vektor 3D $$$\ mathbf {v}$dapat dibagi menjadi dua bagian, salah satunya terletak pada bidang yang diberikan $$$\ mathbf {a}$dan $$$\ mathbf {b}$, dan yang lainnya terletak di luar bidang (tegak lurus terhadapnya). Seperti yang ditunjukkan pada grafik di bawah ini, ketika vektor dipantulkan oleh masing-masing bidang, bagian luarnya tetap sama. Sedangkan untuk bagian dalam, kami kembali dalam 2D, dan hanya berputar dua kali sudutnya!

3.7. Rotor

Dari sudut pandang produk geometris, dua refleksi cukup sesuai dengan yang berikut:

$$ $$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

Kami memanggil $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$rotor karena dikalikan dengan $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$di kedua sisi vektor, kami melakukan rotasi ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$Apakah sama dengan $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$, hanya di bagian-bivector terbalik).

Aplikasi rotor $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$untuk kedua sisi vektor memutar vektor ini di bidang vektor $$$\ mathbf {a}$dan $$$\ mathbf {b}$dua kali sudut antara $$$\ mathbf {a}$dan $$$\ mathbf {b}$.

Dan itu saja!

Perbandingan rotor 3D dan angka empat

Anda dapat melihat bahwa rotor 3D sangat mirip dengan angka empat:

$$ $$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$$

$$ $$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

Bahkan, kode / matematika hampir sama! Perbedaan utamanya adalah itu $$$\ mathbf {i}$, $$$\ mathbf {j}$dan $$$\ mathbf {k}$diganti oleh $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$, $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$dan $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$tetapi pada dasarnya mereka bekerja sama. Perbandingan kode dapat ditemukan di sini . Saya tidak mengimplementasikan semuanya, misalnya log / exp untuk interpolasi, tetapi mereka cukup sederhana untuk dibuat.


Namun, seperti yang telah kita lihat, rotor 3D adalah konsep tiga dimensi yang tidak memerlukan penggunaan "putaran ganda empat dimensi" atau "proyeksi stereografi" untuk visualisasi. Mencoba memvisualisasikan angka empat yang berjalan dalam 4D untuk menjelaskan rotasi 3D agak mirip dengan mencoba memahami gerakan planet dari sudut pandang geosentris. Yaitu pendekatan ini terlalu rumit karena kita melihatnya dari sudut pandang yang salah.

Seperti yang kita lihat, pemodelan rotasi seperti yang terjadi di dalam pesawat, bukan di sekitar vektor, banyak membantu kita. Sebagai contoh, kuadrat dari bivektor basis memberi $$$-1$, seperti angka empat dasar ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$):

$$ $$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

Mengalikan dua bivektor satu sama lain memberikan bivektor ketiga, tetapi sebenarnya sepele, dan kita tidak perlu mengingat bahwa $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$:

$$ $$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y}) \ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(Perhatikan bahwa kami menggunakan $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$)

Properti ini adalah hasil dari produk geometris, dan tidak muncul dari mana pun!

Bacaan tambahan

(Omong-omong, dalam aljabar geometris tidak hanya ada rotor, tetapi juga hal-hal keren lainnya!)

• Aljabar Linier dan Geometris oleh Macdonald [ tautan ke Amazon ]
  
  Sumber yang sangat baik, sangat jelas dan dapat dimengerti, karena tersirat bahwa itu akan menggantikan buku teks aljabar linier untuk siswa.
• Aljabar Geometris Untuk Ilmu Komputer oleh Dorst et al. [ tautan ke Amazon ]
  
  Sumber yang bagus, karena pemrograman terkadang memungkinkan Anda untuk lebih memahami subjek.

  Catatan: dalam buku ini, penulis memperjelas bahwa aljabar geometris lebih lambat dari angka empat (dan sejenisnya ...). Bahkan, ia harus memiliki kira-kira kode yang sama (mis., Anda tidak boleh menulis kode untuk aljabar geometris, membuat struct umum yang dapat berisi semua jenis vektor k yang mungkin, cukup tulis, jika perlu, satu struct untuk setiap jenis k-vektor Artinya, untuk mengganti angka empat, Anda dapat menulis satu struktur Bivector dan satu struktur Rotor, yaitu Scalar + Bivector).