Saya harap ada penggemar olahraga di antara pembaca. Jika Anda bermain bulutangkis atau tenis meja, maka Anda mungkin bertanya-tanya: berapa probabilitas memenangkan permainan dengan probabilitas yang diketahui untuk memenangkan poin? Misalkan Anda kalah dari lawan Anda dengan skor sekitar 11: 7. Tampaknya hanya selisih 4 poin, tetapi pada saat yang sama tidak berhasil memenangkan permainan. Tidak beruntung Saya mengusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dan mendapatkan jawaban untuk pertanyaan ini.
Memiliki hubungan tidak langsung dengan matematika keuangan, saya tahu bahwa untuk matematika keuangan tugas seperti itu akan tampak tidak rumit. Metode yang mungkin untuk menyelesaikannya sangat mirip dengan metode penghitungan harga opsi. Tetapi ada nuansa dalam tugas ini yang agak tidak lazim untuk keuangan. Mari kita lihat opsi solusinya.
Pertama-tama, saya mempercayakan putra saya yang berusia 15 tahun, yang melakukan sedikit pemrograman dengan Python, dengan metode numerik untuk menyelesaikan masalah ini (menggunakan kata kunci "sedikit"). Saya menyarankan agar dia mencoba metode pohon biner (dalam risiko finansial, analitik biasanya disebut metode binomial atau kisi) dan Monte Carlo. Son secara mengejutkan dengan cepat menangani Monte Carlo, menulis kode yang cukup ringkas. Jika ada yang tidak tahu, ide Monte Carlo adalah membuat sejumlah besar lemparan acak dengan mensimulasikan masalah dan menemukan jawaban. Misalkan Anda adalah pemain pertama. Dalam hal ini, kami memiliki kemungkinan memenangkan poin (7 / (11 + 7)) ~ = 0,39. Kami memulai permainan dengan menghasilkan angka acak X dalam kisaran [0., 1.]. Jika X <0,39, maka Anda memenangkan poin. Kami mengakhiri pertandingan dan mencatat siapa yang menang. Untuk mencapai akurasi yang dapat diterima, kami melakukan prosedur ini berkali-kali. Di bidang keuangan, kisaran dari 100K hingga 1M biasanya digunakan, ini memastikan keakuratan 8 digit signifikan. Anak saya menghitung sampai 10 ribu, itu secara instan dan pasti memberikan akurasi yang cukup. Namun, yang tidak kami kejar, karena untuk kesederhanaan kami memutuskan untuk mengabaikan pertarungan kambing. Artinya, skor 11:10 dianggap sebagai kemenangan. Setengah halaman kode cukup mudah untuk menyelesaikan masalah seperti itu. Cobalah dan Anda akan menyukainya.
Saya tidak puas dengan kesederhanaan solusi dengan bantuan Monte Carlo dan memutuskan untuk memuat anak saya dengan metode pohon biner. Dia membantah untuk waktu yang lama dan mengeluh tentang kesulitannya. Dia harus sedikit membantu dengan materialnya.
Pohon biner dibangun sebagai berikut. Kami mulai dari skor 0-0. Jika pemain pertama memenangkan poin pertama, naik dan naik ke kanan, jika pemain kedua menang, turun dan ke kanan. Langkah ke kanan adalah gerakan pada poin dari awal permainan sampai akhir. Untuk permainan, maksimal 3 pohon diberikan di bawah ini. Verteks hasil antara disorot dengan warna biru, kuning - pemain pertama memenangkan pertandingan, dan hijau - pemain kedua menang.
Kami mulai dari skor 0: 0, probabilitasnya adalah 100%. Setiap transisi ke kanan memiliki probabilitasnya sendiri. Nyatakan probabilitas memenangkan poin oleh pemain pertama - p1, dan kedua - p2. Secara alami, jumlah p1 + p2 = 1. Kita berjalan di sepanjang pohon dari awal hingga akhir dan menghitung probabilitas masuk ke sel ini. Untuk sel atas dan bawah, transisi hanya dimungkinkan dari satu sel dari tingkat sebelumnya. Misalnya, skor 3: 0 hanya mungkin setelah 2: 0. Entri ke sel yang tersisa terjadi dari dua sel tetangga di sebelah kiri. Misalnya, skor 1: 1 dimungkinkan setelah 1: 0 ketika pemain kedua selanjutnya memenangkan poin, atau ketika 0: 1 saat pemain pertama menang.
Puncak disorot dengan warna biru, hit yang berasal dari salah satu simpul sebelumnya, kuning - dari dua. Sel-sel yang disorot menunjukkan akhir permainan, yaitu kemenangan salah satu pemain. Saat menghitungnya, hanya satu verteks sebelumnya juga digunakan, karena yang lain adalah akhir dari partai setelah transisi tidak dilakukan.
Masalah anak laki-laki adalah mewakili pohon seperti itu menggunakan alat bahasa. Grafik menyarankan sendiri, tetapi dalam Python entah bagaimana sulit dengan ini, atau dia tidak tahu. Saya sendiri hampir tidak terbiasa dengan bahasa ini. Saya harus memindahkan struktur ini ke dalam array, sedikit menyimpangkannya sebagai berikut.
Selanjutnya ia tetap berjalan dalam siklus ganda dari kiri ke kanan dan dari atas ke bawah, menghitung probabilitas sel dan memperhitungkan kondisi batas. Mereka dilemparkan jika / jika / yang lain. Yah, masih meringkas probabilitas sel yang menang untuk salah satu pemain (adalah mungkin bagi yang kedua untuk memeriksa bahwa jumlah mereka adalah 1).
Dan akhirnya, metode ketiga. Skor akhir permainan apa pun (misalnya 11: 7) menyiratkan sejumlah opsi. Statistik mengatakan bahwa ini adalah jumlah kombinasi dari 7 hingga 17. Nilainya adalah 17! / ((17-7)! 7!). 17 adalah jumlah total poin yang dicetak untuk akun ini minus satu, karena poin terakhir selalu menang untuk pemenang, yaitu, 7 kekalahan tidak dapat di tempat ini. Opsi yang memungkinkan untuk memenangkan akun adalah sebagai berikut (Abaikan pertarungan kambing) - 11: 0, 11: 1, ..., 11: 10.
Artinya, Anda dapat memilah semua hasil dari skor kemenangan untuk pemain dengan menambahkan jumlah opsi di masing-masing, dikalikan dengan probabilitas hasil ini. Tabel berisi hasil perhitungan untuk kemungkinan memenangkan poin 39%. power1 adalah sejauh mana probabilitas untuk memenangkan suatu poin dinaikkan oleh pemenang, power2 oleh yang kalah.
Semua metode di atas bekerja dengan andal dan memberikan hasil yang sama.
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan grafik probabilitas memenangkan pertandingan di tenis meja (hingga 11) dan bulutangkis (hingga 21) tergantung pada probabilitas rata-rata memenangkan poin.
Garis biru mewakili tenis meja, garis oranye mewakili bulu tangkis. Seperti yang dapat Anda lihat dari grafik, untuk memiliki setidaknya beberapa peluang (~ 3%) untuk memenangkan permainan tenis meja, Anda harus memenangkan setidaknya 30% poin. Sudah di 25%, peluangnya di bawah 1%.
Dalam bulu tangkis, persyaratannya bahkan lebih keras. Di sana, akan dibutuhkan lebih dari 35% untuk berharap menang permainan dengan probabilitas sekitar 3%.
Secara alami, probabilitas untuk memenangkan pertandingan (dari beberapa pertandingan) turun bahkan lebih banyak jika Anda mencetak kurang dari 50% untuk setiap poin.
Saran yang berharga menunjukkan dirinya sendiri - untuk memenangkan pertandingan, Anda harus berusaha memenangkan setiap poin.