Rahasia Pikiran dan Matematika

Di Mesir kuno, matematikawan tidak menggunakan bukti. Semua pernyataan mereka hanya dibuktikan secara empiris. Namun demikian, piramida berdiri, dan pesawat terbang . Dan, mungkin, tidak ada yang akan menuntut bukti kuat jika bukan karena keinginan untuk membantah sesuatu. Bersama-sama dengan orang-orang Yunani, matematika menemukan kehidupan baru di mana masalah seperti mengkuadratkan lingkaran, irasionalitas akar dua, dan masalah pemotongan tiga sudut muncul. Sejak saat itu, aksioma, hukum logika, dan teorema diperlukan. Tetapi matematika modern juga tertarik pada apa yang mungkin untuk dibuktikan dan apa yang tidak. Teorema ketidaklengkapan Gödel , formalisasi logika, dan teori bukti dipromosikan . Saya mengusulkan sebuah teori dan satu aksioma yang akan membantu menjawab beberapa pertanyaan yang tersisa dan menguraikan batas-batas kesadaran kita. Secara khusus, ini adalah pertanyaan tentang kelengkapan, masalah kesetaraan dan aksioma imajinasi kita.



Teori Objek
Logika matematika mempelajari hubungan antara pernyataan, tetapi bukan struktur internal mereka. Tetapi mari kita coba memformalisasikan pernyataan itu sendiri. Misalkan kita memiliki beberapa objek. Kami tidak akan meminta mereka untuk ditetapkan atau apa pun. Sekarang biarkan objek ketiga diberikan untuk pasangan objek yang dipesan - “interkoneksi” mereka. Kami akan menulis seperti ini:

$$

$$a * b = ab = c; *: (a, b) \ mapuntuk $$$

Struktur yang dihasilkan dapat didefinisikan sebagai magma (satu set dengan operasi biner), tetapi tidak pada beberapa set, tetapi sepenuhnya arbitrer. Dan sekarang kita mendefinisikan pernyataan itu sebagai persamaan aljabar (atau ketidaksetaraan) dalam magma yang diberikan.
Sekarang saya akan menjelaskan bagaimana tepatnya definisi ini mencerminkan struktur internal ucapan. Sebagai contoh, marilah kita diberi pernyataan berikut:
Marker dapat mengecat papan warna biru.
Kami menulis ini sebagai persamaan:
$$$M * D = SD$ - menerapkan penanda ( $$$M$ ) di papan tulis ( $$$D$ ), kami mendapat papan biru ( $$$Cd$ )
Sekarang contoh yang lebih kompleks:
Seorang pria berlari di tengah hujan di jalan.

$$

$$\ begin {cases} Man * Run = Do; \\ Man * Rain = Terletak \ "di bawah"; \\ Street * Man = Miliki diri sendiri. \ end {cases}$$

Di sini perlu dicatat bahwa “To Do”, “To Have on Yourself” juga objek. Sistem seperti itu mendefinisikan dengan tepat pernyataan kami. Tentu saja, desain seperti itu mungkin terlihat liar dan tidak nyaman, tetapi hanya kemungkinan presentasi seperti itu yang penting bagi kami. Selanjutnya akan ada contoh yang lebih substansial.

Seperti yang mungkin sudah Anda perhatikan, kami tidak memerlukan apa pun dari objek, kecuali untuk beberapa koneksi dengan yang lain. Dan itu benar. Misalnya, semua definisi dari kamus diberikan sebagai tautan ke kata lain. Suatu titik dan garis lurus adalah konsep yang tidak dapat didefinisikan, tetapi semua interkoneksinya didefinisikan. Ini membawa kita pada satu pemikiran penting.
Setiap sistem aksiomatik didefinisikan oleh hubungan objek. Misalnya, jika ada pasangan objek yang berperilaku relatif terhadap satu sama lain dengan cara yang persis sama dengan garis lurus dengan titik, maka mereka akan menjadi. Contoh paling sepele adalah keluarga set, di mana elemen adalah poin. Perpotongan dua set adalah elemen tunggal atau set kosong. Dan biarkan tiga elemen mendefinisikan secara unik seluruh rangkaian dan seterusnya. Artinya, jika saya hanya mengganti nama objek, maka tidak ada yang akan berubah.
Aksioma adalah magma.

Kami tidak meminta magma untuk diberikan di set, karena tidak ada set semua set:

$$

$$\ # 2 ^ {X}> \ # X$$

Kami mengatakan bahwa aksioma bertentangan jika tidak memiliki objek dan konsisten jika setidaknya ada satu objek.
Untuk kenyamanan, definisi yang kita peroleh disebut Teori objek atau Teori objek klasik .

Imajinasi
Karena Teori Objek juga merupakan aksioma, maka ia dapat dijelaskan dalam bahasa objeknya sendiri. Yaitu, kami ingin menggambarkan semua jenis objek dalam semua jenis aksioma. Tidak sepenuhnya berbicara, kita membutuhkan deskripsi matematika dari imajinasi manusia. Saya mengusulkan aksioma tunggal untuk ini:

$$

$$\ forall (x) _i, (y) _i, (x ') _ j, (y') _ j, z \ \ ada x \ \ forall i \ di I, j \ di J \ begin {cases} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {case}$$

Itu dapat digambarkan sebagai "ada segala yang dapat Anda bayangkan." Perhatikan bahwa kita tidak memerlukan keberadaan setidaknya satu objek. Hal ini dilakukan agar konsistensi aksiomatik setara dengan keberadaan setidaknya satu objek. Sekarang kami membuktikan beberapa teorema:
Teorema 1. Teori objek adalah himpunan kosong atau tidak himpunan.

Teorema 2. Ada objek yang tidak pasti apakah itu set atau tidak.

Konsekuensi dari teorema kedua adalah hipotesis kontinum. Ini dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: apakah suatu himpunan objek yang kekuatannya lebih besar dari kekuatan himpunan yang dapat dihitung, tetapi kurang dari kontinum?
Kita menyebut aksioma kecil jika ada banyak objeknya dan besar jika tidak.
Teorema 3. Aksioma besar tidak lengkap.

Ini membawa kita ke batas-batas kesadaran manusia. Akan selalu ada pernyataan bahwa kita tidak dapat membuktikan atau membantah. Dan ini, ternyata, adalah konsekuensi dari paradoks Cantor. Kasus khusus ini adalah teorema Godel. Karenanya ketidaklengkapan Teori Objek. Kita tidak bisa mengatakan dengan pasti apa itu objek dan apa yang bukan. Misalnya, perisai yang tidak dapat dipatahkan adalah benda atau bukan? Dan pedang yang menghancurkan segalanya? Namun, mereka tidak bisa hidup bersama. Dan setelah membuat satu pilihan seperti itu, Anda harus membuatnya berulang kali.
Sebutkan dua benda $$$x$ dan $$$y$ sama jika:
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Dan sama untuk banyak orang $$$X$ jika:
$$$\ forall z \ dalam X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Biarkan dua benda diberikan. Membelah dua objek $$$x$ dan $$$y$ sebut objek semacam itu $$$z$ itu:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

Karena dua objek membentuk satu set, pemisahan ada untuk dua objek. Oleh karena itu:
Teorema 4. Objek yang sama tidak ada.
Tidak mudah untuk mengatakan bahwa dalam matematika tidak ada persamaan, hanya ada isomorfisme.
Misalnya, bayangkan ada dua anak kembar yang terlihat persis sama. Bagi banyak orang yang diambil dari jalan, ini adalah orang yang sama, hanya salinannya. Tetapi bagi sang ibu, ini adalah dua orang yang berbeda. Oleh karena itu, sehubungan dengan orang, mereka sama, tetapi dengan hormat kepada ibu, mereka tidak sama. Kita hanya bisa mengatakan bahwa kembar isomorfik bagi manusia, tetapi tidak sama. Sehubungan dengan Teorema 4, hasil yang sangat paradoks dapat diperoleh. Mari kita diberi beberapa objek $$$A$ . Dan setidaknya kami ingin $$$A = A$ . Tapi mari kita berikan objeknya $$$A$ untuk kenyamanan, juga namanya $$$A '$ , hanya sebutan. Maka harus demikian $$$A = A '$ . Tapi sekarang saya bisa menganggap benda-benda ini sebagai dua yang berbeda dan menemukan mereka terbelah. Secara paradoks, tetapi A tidak sama dengan dirinya sendiri. Artinya, tidak ada pernyataan benar tunggal tentang suatu objek dalam Teori objek.
Memang, intinya adalah bahwa kita tidak dapat dengan jelas mengatakan objek mana yang ada dalam pikiran kita. Kita dapat mengatur objek hanya untuk set tertentu, tetapi ada banyak objek seperti itu. Apalagi jumlahnya lebih banyak. Oleh karena itu, berbicara tentang objek A, yang kami maksudkan adalah bahwa tidak masalah bagi kami objek mana yang memiliki sifat yang kita butuhkan. Tetapi untuk objek apa pun, kita dapat membuat properti yang akan membedakan mereka. Misalnya: nama, panjang deskripsi, bentuk, lokasi, dan sebagainya. Namun, ini, secara umum, tidak berarti bahwa kita tidak dapat memilih objek yang sewenang-wenang atau faktorasinya.

Makna terapan
Kami akan menyebut aksioma enumerable jika himpunan pernyataannya (persamaan dan ketidaksetaraan) dihitung . Sebagai berikut dari definisi, untuk aksioma yang disebutkan ada algoritma yang secara otomatis dapat membuktikan teorema dan merumuskan yang baru. Selain itu, berdasarkan definisi pernyataan kami, algoritma seperti itu akan identik dengan algoritma yang bekerja dengan beberapa struktur aljabar. Penafsiran seperti itu berpotensi memenuhi impian yang telah lama dipegang untuk menyelamatkan para ahli matematika dari menemukan bukti.

Pemikiran alien

Kategori Teori memiliki kategori $$$\ mathfrak {SET}$ . Objek dari kategori ini adalah himpunan. Ini berarti bahwa teori kategori dengan $$$\ mathfrak {SET}$ tidak dapat dirumuskan dalam bahasa Teori objek klasik, karena ia bekerja dengan koleksi objek yang lebih besar dari banyak ( $$$\ mathfrak {SET}$ - kategori besar). Namun untuk memperbaikinya, cukup membangun teori ultra-set. Biarkan ultra-set terdiri dari elemen atau set. Lalu ada ultra-set yang berisi semua set. Sekarang menggantikan konsep set di aksioma imajinasi dengan konsep ultra-set, kami mendapatkan hasil yang diinginkan. Dalam Teori objek yang diperoleh, kita akan dapat secara unik menentukan konsep himpunan. Proses semacam itu dapat dilakukan lebih dari sekali, dan di kedua arah, karena ultra-set yang berisi semua ultra-set tidak ada. Ini mengarah pada munculnya Teori-teori objek alternatif. Tetapi ini bukan akhir dari masalah.
Salah satu bidang Teori Kategori adalah Teori Topos. Dia menggambarkan semua ruang seperti di mana ada konsep elemen dan "berbaring." Kasus tertentu adalah teori himpunan klasik. Juga, seperti diketahui, teori himpunan apa pun secara unik mendefinisikan beberapa logika. Karena itu, toposs juga menjelaskan semua jenis logika. Sekarang, jika kita melihat lagi aksioma imajinasi kita, kita akan melihat di dalamnya jejak topos "asli" kita. Konsep "berbaring": " $$$\ forall i \ di I, j \ di J$ ", dan logika biner terletak pada konsep kesetaraan. Lagi pula, atau $$$A = B$ atau $$$A \ neq B$ .
Secara teoritis, kita dapat merumuskan kembali Teori objek ke topos lain, sehingga mendapatkan dunia yang tidak biasa bagi kita dengan hukumnya sendiri. Salah satu fakta dari Teori Topos adalah independensi dari hipotesis kontinum. Artinya, bahwa masalah ini ada pada bahaya lain. Rupanya, hampir semuanya akan memiliki penampilan serupa di sana. Namun, ada kemungkinan bahwa perbedaan signifikan akan bertemu yang mendorong kami ke ide-ide baru.

Kesimpulan
Hasil penelitian kami adalah: formalisasi struktur internal pernyataan logis, aksioma imajinasi, teori objek dan empat teorema. Yang terakhir menyatakan tidak adanya persamaan global dalam matematika, ketidaklengkapan aksioma besar, dan derivasi dari beberapa hasil yang diketahui sebelumnya dan generalisasi mereka dengan cara yang sederhana (hipotesis Continuum dan teorema Godel). Deskripsi struktur pernyataan logis juga telah menerapkan makna, yang membuatnya lebih mudah untuk memahami makna kalimat, memecahnya menjadi sistem persamaan aljabar. Pengembangan lebih lanjut melibatkan pencarian logika (topos) di mana aksioma besar akan lengkap. Ini akan memberikan kesempatan untuk aksioma terpadu dari semua matematika (teori segalanya).

Bacaan lebih lanjut
Teori kategori untuk programmer.
Bukti teorema otomatis. Presentasi
Teori topos