Matematika Merekonsiliasi Newton dengan Dunia Kuantum

Sebagai seorang profesor matematika, ia tidak lagi takut dan jatuh cinta pada geometri aljabar.

Pada lusin keenam, sudah terlambat untuk menjadi spesialis nyata dalam geometri aljabar, tetapi akhirnya saya berhasil jatuh cinta padanya. Seperti namanya, cabang matematika ini menggunakan aljabar untuk mempelajari geometri. Sekitar 1637, Rene Descartes meletakkan dasar dari bidang pengetahuan ini, naik pesawat, menggambar garis di dalamnya secara mental dan menunjuk koordinat untuk x dan y . Anda dapat menulis persamaan bentuk x ² + y ² = 1, dan mendapatkan kurva yang terdiri dari titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan ini. Dalam contoh ini, kita mendapatkan lingkaran.

Untuk saat itu, itu adalah ide revolusioner, karena memungkinkan kita untuk secara sistematis mengubah pertanyaan geometri menjadi pertanyaan tentang persamaan yang dapat diselesaikan dengan pengetahuan aljabar yang cukup. Beberapa ahli matematika telah terlibat dalam bidang luar biasa ini sepanjang hidup mereka. Sampai baru-baru ini, saya tidak menyukainya, tetapi saya dapat menghubungkannya dengan minat saya pada fisika kuantum.

Di masa kecil, saya lebih menyukai fisika daripada matematika. Paman saya Albert Baez, ayah dari penyanyi folk terkenal Joan Baez, bekerja untuk UNESCO dan membantu negara-negara berkembang dengan pelatihan fisika. Orang tua saya tinggal di Washington. Ketika paman saya datang ke kota, ia membuka tasnya, mengeluarkan magnet atau hologram dari sana, dan dengan bantuan mereka ia menjelaskan ilmu fisika kepada saya. Itu luar biasa. Ketika saya berusia delapan tahun, dia memberi saya buku teks fisika yang ditulisnya untuk kuliah. Meskipun saya tidak dapat memahaminya, saya segera menyadari bahwa saya menginginkan ini. Saya memutuskan untuk menjadi seorang ahli fisika, dan orang tua saya khawatir karena saya tahu bahwa fisika membutuhkan matematika, dan saya tidak terlalu kuat dalam hal itu. Pembagian dalam kolom itu terasa membosankan bagi saya, dan saya menolak mengerjakan PR matematika dengan rutinitas yang terus-menerus berulang. Tetapi kemudian, ketika saya menyadari bahwa bermain dengan persamaan, saya bisa belajar lebih banyak tentang Semesta, itu membuat saya terpesona. Simbol-simbol misterius seperti mantra sihir, dan memang begitu. Sains adalah sihir yang benar-benar berfungsi.

Di perguruan tinggi, saya memilih matematika sebagai subjek utama, dan menjadi tertarik pada pertanyaan fisikawan teori Eugene Wigner tentang "efektivitas yang tidak dapat dijelaskan" dari matematika: mengapa Alam Semesta kita begitu mudah tunduk pada hukum matematika? Dia merumuskannya seperti ini: "Keajaiban kecukupan bahasa matematika untuk perumusan hukum fisika adalah hadiah luar biasa yang tidak kita pahami dan tidak pantas kita dapatkan." Sebagai seorang optimis muda, saya merasa bahwa hukum-hukum ini akan memberi kita petunjuk untuk memecahkan teka-teki yang lebih dalam: mengapa Semesta umumnya diatur oleh hukum matematika. Saya sudah mengerti bahwa matematika terlalu banyak untuk mempelajarinya secara keseluruhan, jadi di pengadilan memutuskan untuk fokus pada apa yang penting bagi saya. Dan salah satu yang tampaknya tidak penting bagi saya adalah geometri aljabar.

Bagaimana seorang matematikawan tidak jatuh cinta pada geometri aljabar? Alasannya adalah sebagai berikut: dalam bentuk klasiknya, bidang ini hanya mempelajari persamaan polinomial - persamaan yang menggambarkan tidak hanya kurva, tetapi juga angka dimensi yang lebih tinggi, yang disebut "manifold". Yaitu, x ² + y ² = 1 - ini normal, seperti x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ . Tetapi persamaan dengan sinus, cosinus, atau fungsi lainnya ada di luar area ini, kecuali kita menemukan cara untuk mengubahnya menjadi persamaan polinomial. Bagi seorang mahasiswa pascasarjana, ini tampak seperti batasan yang mengerikan. Lagi pula, fisika menggunakan banyak fungsi yang bukan polinomial.


Ada polinomial untuk ini: menggunakan polinomial saja, banyak kurva menarik dapat dijelaskan. Misalnya, mari kita menggulung lingkaran di dalam lingkaran lain tiga kali lebih besar. Kami mendapatkan kurva dengan tiga sudut tajam, yang disebut "deltoid." Tidak jelas apa yang dapat dijelaskan dengan persamaan polinomialnya, tetapi itu adalah. Ahli matematika hebat Leonard Euler menciptakannya pada tahun 1745.

Mengapa geometri aljabar membatasi diri pada polinomial? Matematikawan mempelajari semua jenis fungsi, tetapi meskipun mereka sangat penting, pada tingkat tertentu kompleksitasnya hanya mengalihkan perhatian dari misteri mendasar hubungan antara geometri dan aljabar. Dengan membatasi luasnya pencariannya, geometri aljabar dapat mengeksplorasi teka-teki ini lebih dalam. Dia telah terlibat dalam hal ini selama berabad-abad, dan sekarang keterampilan dengan polinom benar-benar menakjubkan: geometri aljabar telah menjadi alat yang kuat dalam teori bilangan, kriptografi, dan banyak bidang lainnya. Tetapi bagi pengagumnya yang sejati, nilai dari bidang ini terletak pada dirinya sendiri.

Suatu kali saya bertemu dengan seorang mahasiswa pascasarjana Harvard dan bertanya kepadanya apa yang sedang dia pelajari. Dengan nada sombong, dia mengatakan satu kata: "Hartshorn." Dia ada dalam pikiran buku teks Robin Hartshorn , Algebraic Geometry , yang diterbitkan pada tahun 1977. Seharusnya itu menjadi pengantar untuk subjek, tetapi sebenarnya sangat kompleks. Mengutip deskripsi dari Wikipedia: “Bab pertama, berjudul“ Manifold, ”berbicara tentang geometri aljabar klasik varietas di atas bidang yang tertutup secara aljabar. Bab ini menggunakan banyak hasil klasik dari aljabar komutatif, termasuk teorema Hilbert nol, dan referensi ke buku-buku Atiyah-MacDonald, Matsumura dan Zarissky-Samuel sering ditemukan. "

Jika Anda tidak mengerti apa-apa ... maka inilah yang ada dalam pikiran saya. Untuk memahami bab pertama dari Hartshorn, Anda membutuhkan pengetahuan latar belakang yang cukup besar. Membaca Hartshorn seperti berusaha mengejar kejeniusan dari banyak abad yang telah berusaha untuk berlari secepat mungkin.


Famous Cubic: Ini adalah permukaan nodal kubik Cayley. Ini terkenal karena fakta bahwa itu adalah manifold dengan jumlah terbesar node (potongan-potongan tajam) yang dapat dijelaskan oleh persamaan kubik. Persamaan memiliki bentuk ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 dan disebut "kubik" karena pada saat yang sama kita mengalikan tidak lebih dari tiga variabel.

Salah seorang jenius ini adalah direktur ilmiah Hartshorn - Alexander Grotendik. Dari sekitar tahun 1960 hingga 1970, Grothendieck membuat revolusi revolusioner dalam geometri aljabar, menjadikannya bagian dari perjalanan epik dengan tujuan membuktikan hipotesis Weyl yang menghubungkan varietas dengan solusi untuk masalah dari teori bilangan. Grothendieck menyarankan bahwa hipotesis Weil dapat dikonfirmasi dengan memperkuat dan memperdalam hubungan antara geometri dan aljabar. Dia punya ide yang jelas tentang bagaimana ini harus terjadi. Tetapi untuk memastikan keakuratan ide ini, dibutuhkan kerja yang sangat besar. Untuk memenuhinya, ia mengadakan seminar. Grothendieck membuat presentasi hampir setiap hari dan mengambil keuntungan dari bantuan ahli matematika terbaik di Paris.


Mari kita jalankan latar belakang matematika: Alexander Grotendik di seminarnya.

Bekerja tanpa henti selama satu dekade, mereka menulis ribuan halaman matematika baru yang penuh dengan konsep yang menakjubkan. Pada akhirnya, dengan menggunakan ide-ide ini, Grothendieck berhasil membuktikan semua hipotesis Weyl, kecuali yang terakhir, yang paling kompleks. Yang mengejutkan Grothendieck, itu diputuskan oleh muridnya.

Selama tahun-tahun paling produktifnya, meskipun ia mendominasi sekolah geometri aljabar Prancis, banyak ahli matematika menganggap gagasan Grothendieck "terlalu abstrak." Ini kedengarannya agak aneh, mengingat betapa abstrak semua matematika itu. Tetapi tidak diragukan lagi bahwa waktu dan upaya diperlukan untuk memahami gagasannya. Sebagai seorang mahasiswa pascasarjana, saya mencoba menjauhkan diri dari mereka, karena saya secara aktif berjuang dengan studi fisika: para genius juga bekerja selama berabad-abad dengan kecepatan penuh di dalamnya, dan untuk sampai ke perbatasan, butuh waktu lama untuk mengejar ketinggalan. Tetapi kemudian, ketika saya memulai karir saya, studi saya menuntun saya ke pekerjaan Grothendieck.

Jika saya memilih jalur yang berbeda, saya bisa mendekati karyanya melalui studi teori string . Fisikawan yang mempelajari teori string mendalilkan bahwa selain dimensi ruang dan waktu yang terlihat (tiga dimensi untuk ruang dan satu untuk waktu) ada dimensi ruang tambahan, sehingga diputar sehingga tidak dapat dilihat. Dalam beberapa teorinya, dimensi tambahan ini membentuk keragaman. Oleh karena itu, peneliti teori string dapat dengan mudah menemukan pertanyaan kompleks dari geometri aljabar. Dan ini, pada gilirannya, membuat mereka menghadapi Grothendieck.


Saya benar-benar bingung: sepotong dari satu variasi yang disebut "tiga kali lipat quintic", yang dapat digunakan untuk menggambarkan dimensi ruang berbelit-belit tambahan dalam teori string.

Dan memang. terbaik dari semua, teori string diiklankan bukan oleh prediksi yang sukses dari hasil eksperimen - itu benar-benar tidak dapat menyombongkan hal ini - tetapi oleh kemampuan untuk memecahkan masalah dalam kerangka matematika murni, termasuk geometri aljabar. Sebagai contoh, teori string dapat dengan luar biasa menghitung jumlah kurva dari berbagai jenis yang dapat ditarik dalam varietas tertentu. Oleh karena itu, hari ini orang dapat melihat ahli teori string berkomunikasi dengan geometer aljabar, dan masing-masing pihak dapat mengejutkan yang lain dengan penemuannya.

Tetapi sumber minat pribadi saya pada karya Grothendieck berbeda. Saya selalu memiliki keraguan serius tentang teori string, dan menghitung kurva dalam varietas adalah hal terakhir yang ingin saya lakukan: itu seperti memanjat - itu sangat menarik untuk ditonton, tetapi terlalu menakutkan untuk melakukannya sendiri. Ternyata ide-ide Grothendieck begitu digeneralisasikan dan kuat sehingga mereka melampaui batas-batas geometri aljabar ke banyak bidang lainnya. Secara khusus, saya terkesan dengan naskah setebal 600 halaman yang tidak diterbitkan, yang ditulis pada tahun 1983. Di dalamnya, ia menyatakan bahwa topologi (jika untuk menjelaskan dalam arti luas, adalah teori tentang bentuk apa yang dapat diambil ruang jika kita tidak khawatir tentang pembengkokan atau peregangan, tetapi hanya jenis lubang yang tertarik) dapat sepenuhnya direduksi menjadi aljabar!

Pada awalnya, ide ini mungkin tampak mirip dengan geometri aljabar, di mana kami menggunakan aljabar untuk menggambarkan angka-angka geometris (misalnya, kurva atau bermacam-macam dimensi yang lebih tinggi). Tetapi ternyata "topologi aljabar" memiliki cita rasa yang sama sekali berbeda, karena dalam topologi kita tidak wajib membatasi diri pada angka-angka yang dijelaskan oleh persamaan polinomial. Alih-alih bekerja dengan perhiasan yang indah, kita berurusan dengan gumpalan yang lunak dan fleksibel; oleh karena itu kita memerlukan aljabar yang berbeda.


Jika Anda memerlukan penjelasan: matematikawan terkadang bercanda bahwa ahli topologi tidak melihat perbedaan antara donat dan secangkir kopi.

Topologi aljabar adalah area yang indah yang ada jauh sebelum Grothendieck, tetapi ia adalah salah satu yang pertama yang secara serius mengusulkan metode pengurangan seluruh topologi menjadi aljabar. Berkat pekerjaan saya di bidang fisika, lamarannya tampak sangat menyenangkan bagi saya. Dan inilah sebabnya: pada saat itu saya mengambil tugas yang sulit untuk menggabungkan dua teori fisika terbaik: fisika kuantum, yang menggambarkan semua kekuatan kecuali gravitasi, dan teori relativitas umum, yang menggambarkan gravitasi. Tampaknya sampai kita melakukan ini, pemahaman kita tentang hukum-hukum dasar fisika pasti tidak lengkap. Tetapi untuk menyadari ini sangat sulit. Alasannya adalah bahwa fisika kuantum didasarkan pada aljabar, dan topologi secara aktif digunakan dalam teori relativitas umum. Tetapi ini memberi tahu kita arah serangan: jika kita dapat mengetahui bagaimana mengurangi topologi menjadi aljabar, maka ini dapat membantu kita merumuskan teori gravitasi kuantum.

Rekan-rekan fisika saya saat ini akan melolong dan mulai mengeluh bahwa saya terlalu menyederhanakan semuanya: dalam fisika kuantum tidak hanya aljabar yang digunakan, tetapi teori relativitas umum bukan hanya topologi. Namun demikian, justru keuntungan fisik yang mungkin dari pengurangan topologi menjadi aljabar yang membuat saya senang dengan karya Grothendieck.

Oleh karena itu, sejak tahun 1990-an, saya telah mencoba untuk mencari tahu konsep abstrak yang kuat yang ditemukan oleh Grothendieck, dan sampai saat ini telah mencapai keberhasilan parsial. Beberapa ahli matematika menganggap konsep-konsep ini sebagai bagian kompleks dari geometri aljabar. Tetapi sekarang bagi saya itu adalah bagian yang sederhana. Bagi saya, tidak semua konsep abstrak ini, tetapi detailnya yang membosankan, menjadi bagian yang sulit. Pertama, ini semua bahan dalam teks yang Hartshorn anggap sebagai prasyarat wajib: "buku-buku Atiyah-MacDonald, Matsumura dan Zarissky-Samuel", dan ini adalah volume aljabar yang sangat banyak. Tetapi ada banyak lagi.

Oleh karena itu, walaupun sekarang saya memiliki beberapa hal yang diperlukan untuk membaca Hartshorn, sampai saat ini, studi tentang materi ini terlalu menakutkan bagi saya. Seorang siswa fisika pernah bertanya kepada seorang spesialis terkenal berapa banyak matematika yang harus diketahui oleh seorang ahli fisika. Spesialis menjawab: "Lebih dari yang dia tahu." Memang, studi matematika tidak pernah bisa dianggap lengkap, jadi saya fokus pada aspek yang tampaknya paling penting dan / atau menarik. Sampai tahun lalu, geometri aljabar tidak pernah di bagian atas daftar ini.

Apa yang berubah? Saya menyadari bahwa geometri aljabar terhubung dengan hubungan antara fisika klasik dan kuantum . Fisika klasik adalah fisika Newton, di mana kita mengasumsikan bahwa kita dapat mengukur segala sesuatu dengan akurasi lengkap, bahkan dalam teori. Fisika kuantum adalah fisika Schrödinger dan Heisenberg, ia diatur oleh prinsip ketidakpastian: jika kita mengukur beberapa aspek sistem fisik dengan akurasi lengkap, yang lain harus tetap tidak pasti.

Sebagai contoh, objek yang berputar memiliki "momentum sudut". Dalam mekanika klasik, kita memvisualisasikannya dengan panah yang diarahkan sepanjang sumbu rotasi, dan panjang panah ini sebanding dengan kecepatan rotasi objek. Dan dalam mekanika klasik, kita mengasumsikan bahwa kita dapat mengukur panah ini secara akurat. Dalam mekanika kuantum - deskripsi realitas yang lebih akurat - ini ternyata salah. Misalnya, jika kita tahu seberapa jauh panah menunjuk ke arah x , kita tidak bisa mengetahuinya. seberapa jauh dia menunjuk ke arah y . Ketidakpastian ini terlalu kecil untuk diperhatikan oleh bola basket, tetapi untuk sebuah elektron itu sangat penting: sampai fisikawan mulai memperhitungkan ini, mereka hanya memiliki pemahaman kasar tentang elektron.

Fisikawan sering berusaha untuk "mengukur" masalah fisika klasik. Yaitu, mereka mulai dengan deskripsi klasik dari beberapa sistem fisik dan mencoba untuk mendapatkan deskripsi kuantum. Untuk melakukan pekerjaan ini, tidak ada prosedur umum dan sistematik sepenuhnya. Dan ini seharusnya tidak mengejutkan Anda: dua pandangan tentang dunia ini sangat berbeda. Namun, ada resep yang berguna untuk melakukan kuantisasi. Yang paling sistematis dari mereka dapat diterapkan pada serangkaian masalah fisik yang sangat terbatas.

Sebagai contoh, dalam fisika klasik, kadang-kadang kita dapat menggambarkan suatu sistem sebagai titik dalam bermacam-macam . Anda seharusnya tidak berharap bahwa ini mungkin dalam kasus umum, tetapi dalam banyak kasus penting ini terjadi. Sebagai contoh, perhatikan objek yang berputar: jika kita memperbaiki panjang panah dari momentum sudutnya, maka panah masih dapat menunjuk ke arah mana pun, yaitu ujungnya harus terletak pada bola. Dengan demikian, kita dapat menggambarkan objek yang berputar dengan titik pada sebuah bola. Dan bola ini sebenarnya beragam, " bola Riemann ", dinamai berdasarkan salah satu geometer aljabar terbesar abad ke-19 Bernhard Riemann.


Keragaman: permukaan Endrass urutan ke delapan adalah contoh “manifold” yang indah dan sangat simetris: sosok yang digambarkan oleh persamaan polinomial. Geometri aljabar dimulai sebagai studi tentang angka-angka tersebut.

Ketika tugas fisika klasik dijelaskan oleh keberagaman, keajaiban terjadi. Proses kuantisasi menjadi sangat sistematis dan sangat sederhana. Bahkan ada semacam proses terbalik, yang dapat disebut "klasifikasi" - ini memungkinkan Anda untuk mengubah deskripsi kuantum kembali menjadi deskripsi klasik. Pendekatan klasik dan kuantum dalam fisika semakin erat hubungannya, kita dapat mengambil gagasan dari pendekatan apa pun dan mengamati apa yang dapat mereka katakan kepada kita tentang hal-hal lain. Sebagai contoh, setiap titik dalam manifold tidak hanya menggambarkan keadaan sistem klasik - dalam contoh kami, ini adalah arah spesifik dari momentum sudut - tetapi juga keadaan sistem kuantum yang sesuai, meskipun yang terakhir dikendalikan oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg. Keadaan kuantum adalah "perkiraan kuantum terbaik" untuk keadaan klasik. Selain itu, dalam situasi ini, banyak teorema dasar dari geometri aljabar dapat dianggap sebagai fakta tentang kuantisasi. Karena saya telah terlibat dalam kuantisasi untuk waktu yang lama, itu membuat saya sangat bahagia.

Richard Feynman pernah mengatakan bahwa untuk maju dalam memecahkan masalah fisik yang kompleks, dia perlu melihatnya dari sudut pandang khusus:

"[...] Saya perlu berpikir bahwa saya memiliki beberapa cara terpendek untuk menyelesaikan masalah saat ini. Yaitu, seolah-olah saya memiliki bakat yang tidak digunakan orang lain, atau pandangan khusus yang mereka anggap bodoh tidak menganggapnya sebagai pandangan yang sangat baik tentang berbagai hal. , - , . , , , . : , , ".

Mungkin inilah yang sampai saat ini kurang saya miliki dalam geometri aljabar. Tentu saja, geometri aljabar bukan hanya masalah yang harus dipecahkan, tetapi juga pengetahuan yang kompleks - tetapi rangkaian yang sangat besar dan menakutkan sehingga saya tidak berani menyentuhnya sampai saya menemukan jalan terpendek ini. Sekarang saya dapat membaca Hartshorn, menerjemahkan beberapa hasil menjadi fakta tentang fisika, dan saya memiliki kesempatan untuk memahami semua ini. Ini adalah perasaan yang luar biasa.

Tentang Pengarang : John Baez adalah seorang profesor matematika di University of California di Riverside dan seorang peneliti tamu di Singapore Centre for Quantum Technologies. Dia menjalankan blog Azimuth tentang matematika, sains, dan masalah lingkungan. Ikuti dia di Twitter: @johncarlosbaez .