Fungsi Bessel dalam Program Matematika Symbolic SymPy

Pendahuluan:
Sejumlah besar masalah paling beragam yang berkaitan dengan hampir semua cabang fisika matematika yang paling penting dan dirancang untuk menjawab pertanyaan teknis topikal terkait dengan penerapan fungsi Bessel.

Fungsi Bessel banyak digunakan dalam menyelesaikan masalah akustik, radiofisika, hidrodinamika, masalah atom dan fisika nuklir. Banyak aplikasi fungsi Bessel untuk teori konduktivitas termal dan teori elastisitas (masalah pada getaran pelat, masalah teori shell, masalah menentukan konsentrasi tegangan dekat retakan)

Popularitas fungsi Bessel tersebut dijelaskan oleh fakta bahwa penyelesaian persamaan fisika matematika yang mengandung operator Laplace dalam koordinat silindris dengan metode klasik pemisahan variabel mengarah ke persamaan diferensial biasa, yang berfungsi untuk menentukan fungsi-fungsi ini [1].

Fungsi Bessel dinamai astronom Jerman Friedrich Bessel, yang pada tahun 1824, mempelajari gerakan planet di sekitar matahari, memperoleh hubungan perulangan untuk fungsi Bessel $$$J_ {v} (x)$ diterima untuk bilangan bulat $$$v$ representasi integral dari suatu fungsi $$$J_ {v} (x)$ , membuktikan adanya nol fungsi yang tak terhitung jumlahnya $$$J_ {0} (x)$ dan menyusun tabel pertama untuk fungsi $$$J_ {1} (x)$ dan $$$J_ {2} (x)$ .

Namun, untuk pertama kalinya salah satu fungsi Bessel $$$J_ {0} (x)$ Itu dianggap kembali pada 1732 oleh Daniel Bernoulli dalam sebuah karya yang ditujukan untuk osilasi rantai berat. D. Bernoulli menemukan ekspresi fungsi $$$J_ {0} (x)$ dalam bentuk seri kekuatan dan memperhatikan (tanpa bukti) bahwa persamaan $$$J_ {0} (x) = 0$ memiliki akar valid yang tak terhitung jumlahnya.

Karya berikutnya, di mana fungsi Bessel ditemui, adalah karya Leonardo Euler pada 1738, yang dikhususkan untuk studi getaran dari membran melingkar. Dalam karya ini, L. Euler ditemukan untuk bilangan bulat $$$v$ Ekspresi fungsi Bessel $$$J_ {v} (x)$ dalam bentuk serangkaian kekuatan $$$x$ , dan dalam makalah berikutnya memperluas ungkapan ini untuk kasus nilai indeks sewenang-wenang $$$v$ . Selain itu, L. Euler membuktikan itu untuk $$$v$ sama dengan bilangan bulat dan setengah, fungsi $$$J_ {v} (x)$ diekspresikan melalui fungsi-fungsi dasar.

Dia mencatat (tanpa bukti) bahwa dengan valid $$$v$ fungsi $$$J_ {v} (x)$ memiliki nol nyata yang tak terhitung jumlahnya dan memberikan representasi integral untuk $$$J_ {v} (x)$ . Beberapa peneliti percaya bahwa hasil utama yang terkait dengan fungsi Bessel dan aplikasinya dalam fisika matematika dihubungkan dengan nama L. Euler.

Untuk mempelajari properti fungsi Bessel dan pada saat yang sama menguasai metode untuk menyelesaikan persamaan yang direduksi menjadi fungsi Bessel, memungkinkan program matematika simbolik SymPy - the Python library yang didistribusikan secara bebas.

Dalam program matematika simbolik SymPy, grafik fungsi Bessel dari jenis pertama dari bilangan bulat pesanan dapat dibangun menggunakan relasi untuk jumlah seri:

$$

$$J_ {p} (x) = \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2m + p} (- 1) ^ {m}} {2 ^ {2m + p} m! \ Gamma (p + m + 1)}$$

Dengan menggunakan relasi untuk jumlah seri, kami dapat membuktikan properti dari fungsi-fungsi ini untuk seluruh pesanan

$$

$$J_ {1} (x) = - J _ {- 1} (x):$$

Untuk menunjukkan kondisi Cauchy, kami membangun sebuah fungsi $$$J_ {1/3} (x)$ dan turunannya $$$\ frac {dJ_ {1/3} (x)} {dx}:$ :




Namun, untuk perhitungan praktis, modul mpmath yang luar biasa digunakan, yang memungkinkan tidak hanya menyelesaikan persamaan dengan fungsi Bessel jenis pertama dan kedua, termasuk yang dimodifikasi dari semua pesanan yang dapat diterima, tetapi juga membuat grafik dengan penskalaan otomatis.

Selain itu, modul mpmath tidak memerlukan alat khusus untuk berbagi matematika simbolik dan numerik. Sejarah pembuatan modul ini dan kemungkinan penggunaannya untuk transformasi Laplace terbalik telah saya pertimbangkan dalam publikasi [2]. Sekarang kami melanjutkan diskusi mpmath untuk bekerja dengan fungsi Bessel [3].

Fungsi Bessel dari jenis pertama $$$J_ {N} (x)$
mpmath.besselj (n, x, turunan = 0) - memberikan fungsi Bessel dari jenis pertama $$$Jn (x)$ . Fungsi $$$J_ {N} (x)$ adalah solusi untuk persamaan diferensial berikut:

$$

$$x ^ {2} {y} '' + x {y} '+ (x ^ {2} -n ^ {2}) y = 0$$

Untuk semuanya positif $$$n$ berperilaku seperti sinus atau kosinus, dikalikan dengan koefisien yang perlahan-lahan berkurang $$$x \ rightarrow \ pm \ infty$
Fungsi Bessel dari jenis pertama $$$J_ {N} (x)$ adalah kasus khusus fungsi hipergeometrik $$${o} F_ {1}$ :

$$

$$J_ {n} (x) = \ frac {x ^ {n}} {2 ^ {n} \ Gamma (n + 1)} {o} F_ {1} (n + 1, \ frac {x ^ { 2}} {4})$$

Fungsi Bessel dapat dibedakan $$$m$ kali asalkan turunan ke-saya tidak sama dengan nol:

$$

$$\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} J_ {n} (x)$$

Fungsi Bessel dari jenis pertama $$$J_ {N} (x)$ untuk pesanan bilangan bulat positif n = 0,1,2,3 - solusi dari persamaan Bessel:

 from mpmath import* j0 = lambda x: besselj(0,x) j1 = lambda x: besselj(1,x) j2 = lambda x: besselj(2,x) j3 = lambda x: besselj(3,x) plot([j0,j1,j2,j3],[0,14] 

Fungsi Bessel dari jenis pertama $$$J_ {N} (x)$ di bidang kompleks:

 from sympy import* from mpmath import* cplot(lambda z: besselj(1,z), [-8,8], [-8,8], points=50000) 

Contoh:
Fungsi $$$besselj (N, x)$ memberikan hasil dengan jumlah digit tertentu $$$(mp.dps)$ setelah koma:

 from mpmath import* mp.dps = 15; mp.pretty = True print(besselj(2, 1000)) nprint(besselj(4, 0.75)) nprint(besselj(2, 1000j)) mp.dps = 25 nprint( besselj(0.75j, 3+4j)) mp.dps = 50 nprint( besselj(1, pi)) 

Argumen fungsi bisa berupa sejumlah besar:

 from mpmath import* mp.dps = 25 nprint( besselj(0, 10000)) nprint(besselj(0, 10**10)) nprint(besselj(2, 10**100)) nprint( besselj(2, 10**5*j)) 

Fungsi Bessel dari jenis pertama memenuhi simetri sederhana sehubungan dengan $$$x = 0$ :

 from sympy import* from mpmath import* mp.dps = 15 nprint([besselj(n,0) for n in range(5)]) nprint([besselj(n,pi) for n in range(5)]) nprint([besselj(n,-pi) for n in range(5)]) 

Akar tidak periodik, tetapi jarak antara akar berturut mendekati tanpa gejala $$$2π$ . Fungsi Bessel dari jenis pertama memiliki kode berikut:

 from mpmath import* print(quadosc(j0, [0, inf], period=2*pi)) print(quadosc(j1, [0, inf], period=2*pi)) 

Untuk $$$n = 1/2$ atau $$$n = −1 / 2$ Fungsi Bessel direduksi menjadi fungsi trigonometri:

 from sympy import* from mpmath import* x = 10 print(besselj(0.5, x)) print(sqrt(2/(pi*x))*sin(x)) print(besselj(-0.5, x)) print(sqrt(2/(pi*x))*cos(x)) 

Derivatif pesanan apa pun dapat dihitung, pesanan negatif terkait dengan integrasi :

 from mpmath import* mp.dps = 25 print(besselj(0, 7.5, 1)) print(diff(lambda x: besselj(0,x), 7.5)) print(besselj(0, 7.5, 10)) print(diff(lambda x: besselj(0,x), 7.5, 10)) print(besselj(0,7.5,-1) - besselj(0,3.5,-1)) print(quad(j0, [3.5, 7.5])) 

Diferensiasi dengan orde non-integer memberikan turunan fraksional dalam arti integral diferensial Riemann-Liouville, dihitung menggunakan fungsi $$$difint ()$ :

 from mpmath import* mp.dps = 15 print(besselj(1, 3.5, 0.75)) print(differint(lambda x: besselj(1, x), 3.5, 0.75)) 

Cara lain untuk memanggil fungsi Bessel dari jenis pertama nol dan urutan pertama
mpmath.j0 (x) - Menghitung fungsi Bessel $$$J_ {0} (x)$ ;
mpmath.j1 (x) - Menghitung fungsi Bessel $$$J_ {1} (x)$ ;

Fungsi Bessel dari jenis kedua
bessely (n, x, turunan = 0) Menghitung fungsi Bessel jenis kedua dari relasi:

$$

$$Y_ {n} (x) = \ frac {J_ {n} (x) cos (\ pi \ cdot n) -J _ {- n} (x)} {sin (\ pi \ cdot n)}$$

Untuk bilangan bulat $$$n$ Rumus berikut harus dipahami sebagai batas. Fungsi Bessel dapat dibedakan $$$m$ kali asalkan turunan ke-saya tidak sama dengan nol:
$$$\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} Y_ {n} (x)$
Fungsi Bessel dari jenis kedua $$$Y_ {n} (x)$ untuk pesanan positif bilangan bulat $$$n = 0,1,2,3$ .

 from sympy import* from mpmath import* y0 = lambda x: bessely(0,x) y1 = lambda x: bessely(1,x) y2 = lambda x: bessely(2,x) y3 = lambda x: bessely(3,x) plot([y0,y1,y2,y3],[0,10],[-4,1]) 

Fungsi Bessel jenis 2 $$$Y_ {n} (x)$ di bidang kompleks

 from sympy import* from mpmath import* cplot(lambda z: bessely(1,z), [-8,8], [-8,8], points=50000) 

Contoh:
Beberapa nilai fungsi $$$Y_ {n} (x)$ :

 from sympy import* from mpmath import* mp.dps = 25; mp.pretty = True print(bessely(0,0)) print(bessely(1,0)) print(bessely(2,0)) print(bessely(1, pi)) print(bessely(0.5, 3+4j)) 

Argumen bisa jadi besar:

 from sympy import* from mpmath import* mp.dps = 25; mp.pretty = True print(bessely(0, 10000)) print(bessely(2.5, 10**50)) print(bessely(2.5, -10**50)) 

Derivatif pesanan apa pun, termasuk negatif, dapat dihitung:

 from sympy import* from mpmath import* mp.dps = 25; mp.pretty = True print(bessely(2, 3.5, 1)) print(diff(lambda x: bessely(2, x), 3.5)) print(bessely(0.5, 3.5, 1)) print(diff(lambda x: bessely(0.5, x), 3.5)) print(diff(lambda x: bessely(2, x), 0.5, 10)) print(bessely(2, 0.5, 10)) print(bessely(2, 100.5, 100)) print(quad(lambda x: bessely(2,x), [1,3])) print(bessely(2,3,-1) - bessely(2,1,-1)) 

Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis pertama

 mpmath.besseli(n, x, derivative=0) 

besseli (n, x, turunan = 0) memodifikasi fungsi Bessel dari jenis pertama

$$

$$I_ {n} (x) = \ mathit {i} ^ {- n} J_ {n} (ix)$$

$$

$$\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} I_ {n} (x)$$

Fungsi Bessel yang Dimodifikasi $$$I_n (x)$ untuk pesanan nyata $$$n = 0,1,2,3$ :

 from mpmath import* i0 = lambda x: besseli(0,x) i1 = lambda x: besseli(1,x) i2 = lambda x: besseli(2,x) i3 = lambda x: besseli(3,x) plot([i0,i1,i2,i3],[0,5],[0,5]) 

Fungsi Bessel yang Dimodifikasi $$$I_ {n} (x)$ di bidang kompleks

 from mpmath import* cplot(lambda z: besseli(1,z), [-8,8], [-8,8], points=50000) 

Contoh:
Beberapa arti $$$I_ {n} (x)$

 from mpmath import* mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseli(0,0)) print(besseli(1,0)) print(besseli(0,1)) print(besseli(3.5, 2+3j)) 

Argumen bisa jadi besar:

 from mpmath import* mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseli(2, 1000)) print(besseli(2, 10**10)) print(besseli(2, 6000+10000j)) 

Untuk bilangan bulat n, representasi integral berikut ini berlaku:

 from mpmath import* mp.dps = 15; mp.pretty = True n = 3 x = 2.3 print(quad(lambda t: exp(x*cos(t))*cos(n*t), [0,pi])/pi) print(besseli(n,x)) 

Derivatif pesanan apa pun dapat dihitung:

 from mpmath import* mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseli(2, 7.5, 1)) print(diff(lambda x: besseli(2,x), 7.5)) print(besseli(2, 7.5, 10)) print(diff(lambda x: besseli(2,x), 7.5, 10)) print(besseli(2,7.5,-1) - besseli(2,3.5,-1)) print(quad(lambda x: besseli(2,x), [3.5, 7.5])) 

Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua,

 mpmath.besselk(n, x) 

besselk (n, x) memodifikasi fungsi Bessel jenis kedua

$$

$$K_ {n} (x) = \ frac {\ pi} {4} \ frac {I _ {- n} (x) -I_ {n} (x)} {sin (\ pi \ cdot n)}$$

Untuk bilangan bulat $$$n$ rumus ini harus dipahami sebagai batasan.
Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua $$$K_ {n} (x)$ untuk material $$$n = 0,1,2,3$ :

 from mpmath import* k0 = lambda x: besselk(0,x) k1 = lambda x: besselk(1,x) k2 = lambda x: besselk(2,x) k3 = lambda x: besselk(3,x) plot([k0,k1,k2,k3],[0,8],[0,5]) 

Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua $$$K_ {n} (x))$ di bidang kompleks

 from mpmath import* cplot(lambda z: besselk(1,z), [-8,8], [-8,8], points=50000) 

Contoh:
Argumen yang rumit dan kompleks:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselk(0,1)) print(besselk(0, -1)) print(besselk(3.5, 2+3j)) print(besselk(2+3j, 0.5)) 

Argumen adalah Bilangan Besar

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselk(0, 100)) print(besselk(1, 10**6)) print(besselk(1, 10**6*j)) print(besselk(4.5, fmul(10**50, j, exact=True))) 

Fitur perilaku fungsi pada suatu titik $$$x = 0$ :

 from mpmath import * print(besselk(0,0)) print(besselk(1,0)) for n in range(-4, 5): print(besselk(n, '1e-1000')) 

Fungsi Bessel Nol

 besseljzero() mpmath.besseljzero(v, m, derivative=0) 

Untuk pesanan nyata $$$\ mathit {\ nu} \ geq 0$ dan bilangan bulat positif $$$m$ kembali $$$j _ {\ nu, m}$ , nol positif pertama dari fungsi Bessel jenis pertama $$$J _ {\ nu} (z)$ (lihat besselj () ). Atau, dengan $$$derivatif = 1$ memberikan nol perdana non-negatif pertama $$${j} '_ {\ nu, m}$ dari $$${J} '_ {\ nu} (z)$ . Penunjukan perjanjian pengindeksan menggunakan Abramowitz & Stegun dan DLMF. Perhatikan kasus khusus. $$${j} '_ {0,1} = 0$ sementara semua nol lainnya positif.

Pada kenyataannya, hanya nol sederhana yang dihitung (semua nol dari fungsi Bessel sederhana, kecuali kapan $$$z = 0$ ), dan $$$j _ {\ nu, m}$ menjadi fungsi monoton dari $$$\ nu$ dan $$$m$ . Nol bergantian sesuai dengan ketidaksetaraan:

$$

$${j} '_ {\ nu, k} <j _ {\ nu, k} <{j}' _ {\ nu, k + 1}$$

$$

$$j _ {\ nu, 1} <j _ {\ nu + 1,2} <j _ {\ nu, 2} <j _ {\ nu + 1,2} <j _ {\ nu, 3} \ cdots$$

Contoh:
Memimpin nol fungsi Bessel $$$J_ {0} (z)$ , $$$J_ {1} (z)$ , $$$J_ {2} (z)$

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseljzero(0,1)) print(besseljzero(0,2)) print(besseljzero(0,3)) print(besseljzero(1,1)) print(besseljzero(1,2)) print(besseljzero(1,3)) print(besseljzero(2,1)) print(besseljzero(2,2)) print(besseljzero(2,3)) 

Memimpin nol turunan dari fungsi Bessel $$${J} '_ {0} (z)$ , $$${J} '_ {1} (z)$ , $$${J} '_ {2} (z)$

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseljzero(0,1,1)) print(besseljzero(0,2,1)) print(besseljzero(0,3,1)) print(besseljzero(1,1,1)) print(besseljzero(1,2,1)) print(besseljzero(1,3,1)) print(besseljzero(2,1,1)) print(besseljzero(2,2,1)) print(besseljzero(2,3,1)) 

Nol dengan indeks besar:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseljzero(0,100)) print(besseljzero(0,1000)) print(besseljzero(0,10000)) print(besseljzero(5,100)) print(besseljzero(5,1000)) print(besseljzero(5,10000)) print(besseljzero(0,100,1)) print(besseljzero(0,1000,1)) print(besseljzero(0,10000,1)) 

Nol fungsi dengan pesanan besar:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseljzero(50,1)) print(besseljzero(50,2)) print(besseljzero(50,100)) print(besseljzero(50,1,1)) print(besseljzero(50,2,1)) print(besseljzero(50,100,1)) 

Nol fungsi dengan urutan fraksional:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besseljzero(0.5,1)) print(besseljzero(1.5,1)) print(besseljzero(2.25,4)) 

Dan $$$J _ {\ nu} (z)$ . dan $$${J} '_ {\ nu} (z)$ dapat dinyatakan sebagai produk tanpa batas di nol mereka:

 from mpmath import * mp.dps = 6; mp.pretty = True v,z = 2, mpf(1) nprint((z/2)**v/gamma(v+1) * \ nprod(lambda k: 1-(z/besseljzero(v,k))**2, [1,inf])) print(besselj(v,z)) nprint((z/2)**(v-1)/2/gamma(v) * \ nprod(lambda k: 1-(z/besseljzero(v,k,1))**2, [1,inf])) print(besselj(v,z,1)) 

 besselyzero() mpmath.besselyzero(v, m, derivative=0) 

Untuk pesanan nyata $$$\ mathit {\ nu} \ geq 0$ dan bilangan bulat positif $$$m$ kembali $$$y _ {\ nu, m}$ , $$$m$ , nol positif positif dari jenis kedua dari fungsi Bessel $$$Y _ {\ nu} (z)$ (lihat Bessely () ). Atau, dengan $$$derivatif = 1$ memberikan nol positif pertama $$${y} '_ {\ nu, m}$ dari $$${Y} '_ {\ nu} (z)$ . Nol bergantian sesuai dengan ketidaksetaraan:

$$

$$y _ {\ nu, k} <{y} '_ {\ nu, k} <y _ {\ nu, k + 1}$$

$$

$$y _ {\ nu, 1} <y _ {\ nu + 1,2} <y _ {\ nu, 2} <y _ {\ nu + 1,2} <y _ {\ nu, 3} \ cdots$$

Contoh:
Memimpin nol fungsi Bessel $$$Y_ {0} (z)$ , $$$Y_ {1} (z)$ , $$$Y_ {2} (z)$

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselyzero(0,1)) print(besselyzero(0,2)) print(besselyzero(0,3)) print(besselyzero(1,1)) print(besselyzero(1,2)) print(besselyzero(1,3)) print(besselyzero(2,1)) print(besselyzero(2,2)) print(besselyzero(2,3)) 

Memimpin nol turunan dari fungsi Bessel $$${Y} '_ {0} (z)$ , $$${Y} '_ {1} (z)$ , $$${Y} '_ {2} (z)$

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselyzero(0,1,1)) print(besselyzero(0,2,1)) print(besselyzero(0,3,1)) print(besselyzero(1,1,1)) print(besselyzero(1,2,1)) print(besselyzero(1,3,1)) print(besselyzero(2,1,1)) print(besselyzero(2,2,1)) print(besselyzero(2,3,1)) 

Nol dengan indeks besar:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselyzero(0,100)) print(besselyzero(0,1000)) print(besselyzero(0,10000)) print(besselyzero(5,100)) print(besselyzero(5,1000)) print(besselyzero(5,10000)) print(besselyzero(0,100,1)) print(besselyzero(0,1000,1)) print(besselyzero(0,10000,1)) 

Nol fungsi dengan pesanan besar:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselyzero(50,1)) print(besselyzero(50,2)) print(besselyzero(50,100)) print(besselyzero(50,1,1)) print(besselyzero(50,2,1)) print(besselyzero(50,100,1)) 

Nol fungsi dengan urutan fraksional:

 from mpmath import * mp.dps = 25; mp.pretty = True print(besselyzero(0.5,1)) print(besselyzero(1.5,1)) print(besselyzero(2.25,4)) 

Aplikasi Fungsi Bessel
Pentingnya fungsi Bessel bukan hanya karena seringnya muncul persamaan Bessel dalam aplikasi, tetapi juga pada kenyataan bahwa solusi dari banyak persamaan diferensial linier orde dua lainnya dapat diekspresikan dalam hal fungsi Bessel. Untuk melihat bagaimana mereka muncul, kita mulai dengan persamaan urutan Bessel $$$p$ dalam bentuk:

$$

$$z ^ {2} \ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}} + z \ frac {dw} {dz} + (z ^ {2} -p ^ {2}) w = 0 , (1)$$

dan gantikan di sini

$$

$$w = x ^ {- \ alpha}, z = kx ^ {\ beta}, (2)$$

Kemudian, menggunakan (2) dan memperkenalkan konstanta $$$A, B, C$ dari persamaan (1), kita memperoleh:

$$

$$x ^ {2} {y} '' + Axe {y} '+ (B + Cx ^ {q}) y = 0, (3)$$

$$

$$A = 1-2 \ alpha, B = \ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} p ^ {2}, C = \ beta ^ {2} k ^ {2}, q = 2 \ beta, (4)$$

Dari persamaan (4) kita dapatkan:

$$

$$\ left \ {\ begin {matrix} \ alpha = \ frac {1-A} {2}, \\ \ beta = \ frac {q} {2}, \\ k = \ frac {2 \ sqrt {C }} {q} \\ p = \ frac {\ sqrt {(1-A ^ {2} -4B}} {q} \\ \ end {matrix} \ kanan. (5)$$

Jika $$$C> 0$ , $$$q \ neq 0$ , $$$(1-A) ^ {2} \ geqslant 4B$ , maka solusi umum (untuk $$$x> 0$ ) dari persamaan (3) memiliki bentuk:

$$

$$y (x) = x ^ {\ alpha} \ kiri [c_ {1} J_ {p} (kx ^ {\ beta}) + c_ {2} J _ {- p} (kx ^ {\ beta}) \ kanan] (6)$$

dimana: $$$\ alpha$ , $$$\ beta$ , $$$k$ ditentukan dari sistem (5). Jika $$$p$ Adalah bilangan bulat kalau begitu $$$J_ {p}$ perlu diganti oleh $$$Y_ {p}$ .

Pembengkokan longitudinal pada kolom vertikal
Kami sekarang akan mempertimbangkan tugas yang penting untuk aplikasi praktis. Dalam tugas ini, diperlukan untuk menentukan kapan kolom vertikal yang seragam ditekuk di bawah bobotnya sendiri. Kami kira $$$x = 0$ di ujung atas kolom dan $$$x = L> 0$ di dasarnya; kita asumsikan bahwa alasnya dimasukkan dengan kaku (mis., tidak bergerak) ke dalam alas (ke tanah), mungkin ke dalam beton.

Nyatakan deviasi sudut kolom pada titik tersebut $$$x$ melalui $$$\ theta (x)$ . Dari teori elastisitas dalam kondisi-kondisi ini dapat disimpulkan bahwa:

$$

$$EI \ frac {d ^ {2} \ theta} {dx ^ {2}} + g \ rho x \ theta = 0, (7)$$

dimana $$$E$ - Modulus Young dari bahan kolom, $$$I$ - momen inersia dari penampang melintang, $$$\ rho$ - Kerapatan linear kolom dan $$$g$ - percepatan gravitasi. Kondisi batas adalah dalam bentuk:

$$

$${\ theta} '(0) = 0, \ theta (L) = 0, (8)$$

Kami akan memecahkan masalah menggunakan (7) dan (8) dengan:

$$

$$\ lambda = \ gamma ^ {2} = \ frac {g \ rho} {EI} (9)$$

Kami menulis ulang (7) dengan mempertimbangkan (9) dalam kondisi (8):

$$

$$\ frac {d ^ {2} \ theta} {dx ^ {2}} + \ gamma ^ {2} x \ theta = 0; \ frac {d \ theta} {dx} = 0, \ theta (L) = 0. (10)$$

Kolom dapat dideformasi hanya jika ada solusi non-sepele untuk masalah (10); jika tidak, kolom akan tetap pada posisi yang tidak menyimpang dari vertikal (mis., secara fisik tidak dapat menyimpang dari vertikal).
Persamaan diferensial (10) adalah persamaan Airy. Persamaan (10) memiliki bentuk persamaan (3) untuk $$$A = B = 0$ , $$$C = \ gamma ^ {2}$ , $$$q = 3$ . Dari sistem persamaan (5) kita dapatkan $$$\ alpha = \ frac {1} {2}$ , $$$\ beta = \ frac {3} {2}$ , $$$k = \ frac {2} {3} \ gamma$ , $$$p = \ frac {1} {3}$ .
Oleh karena itu, solusi umum memiliki bentuk:

$$

$$\ theta (x) = x ^ {1/2} \ kiri [c_ {1} J_ {1/3} (\ frac {2} {3} \ gamma x ^ {3/2}) + c_ {2 } J _ {- 1/3} (\ frac {2} {3} \ gamma x ^ {3/2}) \ kanan]. (11)$$

Untuk menerapkan kondisi awal, kami mengganti $$$p = \ pm \ frac {1} {3}$ masuk

$$

$$J_ {p} = \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {m}} {m! \ Gamma (p + m + 1)} \ kiri (\ frac {x } {2} \ kanan) ^ {2m + p} (12)$$

Setelah transformasi (12), dengan mempertimbangkan solusi (11), kami memperoleh:

$$

$$\ theta (x) = \ frac {c_ {1} \ gamma ^ {1/3}} {3 ^ {1/3} \ Gamma (4/3)} \ kiri (x- \ frac {\ gamma ^ {2} x ^ {4}} {12} + \ frac {\ gamma ^ {4} x ^ {7}} {504} - \ cdot \ cdot \ cdot \ kanan) + \\ + \ frac {c_ { 2} 3 ^ {1/3}} {\ gamma ^ {1/3} \ Gamma (\ frac {2} {3})} \ kiri (1- \ frac {\ gamma ^ {2} x ^ {3 }} {6} + \ frac {\ gamma ^ {4} x ^ {6}} {180} - \ cdot \ cdot \ cdot \ right). (13)$$

Disediakan di titik awal $$${\ theta} '(0) = 0$ kita dapatkan $$$c_ {1} = 0$ , lalu (11) berbentuk:

$$

$$\ theta (x) = c_ {2} x ^ {1/2} J _ {- 1/3} (\ frac {2} {3} \ gamma x ^ {3/2}), (14)$$

Disediakan pada titik akhir $$$\ theta (L) = 0$ , dari (14) kita dapatkan:

$$

$$J _ {- 1/3} (\ frac {2} {3} \ gamma L ^ {3/2}) = 0 (15)$$

Perlu dicatat bahwa transformasi (13), (14) tidak dapat dilakukan jika grafik fungsi dibangun $$$J_ {1/3} (x), J _ {- 1/3} (x)$ menggunakan kemampuan yang dipertimbangkan dari modul mpmath:

 from mpmath import* mp.dps = 6; mp.pretty = True f=lambda x: besselj(-1/3,x) f1=lambda x: besselj(1/3,x) plot([f,f1], [0, 15]) 

Dari grafik berikut bahwa untuk x = 0 fungsi $$$J_ {1/3} (0) = 0$ dan dengan mempertimbangkan solusi (11), kami segera mendapatkan persamaan yang diperlukan (15), tetap hanya untuk menemukan z, seperti yang akan ditunjukkan di bawah ini.

Dengan demikian, kolom hanya berubah bentuk jika $$$z = \ frac {2} {3} \ gamma L ^ {3/2}$ Apakah akar dari persamaan $$$J _ {- 1/3} (z) = 0$ . Bangun sebuah fungsi $$$J _ {- 1/3} (z)$ pada grafik terpisah:

 from mpmath import* mp.dps = 6; mp.pretty = True f=lambda x: besselj(-1/3,x) plot(f, [0, 15]) 

Grafik menunjukkan bahwa root pertama sedikit kurang dari 2. Temukan root $$$z0$ dari persamaan $$$J _ {- 1/3} (z) = 0$ Anda dapat, menggunakan fungsi findroot (f, z0) , menerima, sesuai dengan grafik, pencarian $$$x0 = 1$ dan enam tempat desimal mp.dps = 6 :

 from mpmath import* mp.dps = 6; mp.pretty = True f=lambda x: besselj(-1/3,x) print("z0=%s"%findroot(f, 1) 

Kami mendapatkan:
$$$z0 = 1.86635$
Kami menghitung panjang kritis, misalnya, tiang bendera, menggunakan rumus (15):

Kami mendapatkan:
8,47 m
10,25 m

Tiang bendera berlubang mungkin lebih tinggi dari yang solid.

Perambatan gelombang dalam membran tipis.

Selaput tipis ketika gelombang suara masuk tidak hanya berosilasi dengan frekuensi gelombang. Bentuk getaran membran dapat diperoleh dalam fungsi Bessel sesuai dengan daftar berikut, menggunakan rumus besselj () dan besseljzero () :

Alternatif untuk modul mpmath dalam fungsi Bessel khusus dari perpustakaan SciPy

Tanpa menggali diskusi rinci tentang fungsi Bessel dari perpustakaan SciPy [4], saya hanya akan memberikan dua daftar untuk fungsi plot dari jenis pertama dan kedua jv (v, x) , yv (v, x) :

Kesimpulan:

Artikel ini menjelaskan dasar-dasar bekerja dengan fungsi Bessel menggunakan pustaka mpmath, sympy, dan scipy, memberikan contoh penggunaan fungsi untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Artikel ini mungkin berguna dalam mempelajari persamaan fisika matematika.

Referensi:

1. Fungsi Bessel
2. Menggunakan transformasi Laplace terbalik untuk menganalisis tautan dinamis sistem kontrol
3. Fungsi terkait fungsi Bessel
4. Fungsi khusus (scipy.special).