🤦🏻 🎍 🕸️ Apakah matematika itu logis atau mengapa teori aksiomatik bersifat paradoks 🕵🏿 👌🏼 🖖🏿

Hari ini kita akan berbicara tentang dasar-dasarnya. Fondasi teoretis menetapkan batas yang mungkin dan menunjukkan cara untuk mencapai tujuan, dan oleh karena itu kedalaman pemahaman dalam hal-hal seperti itu tidak akan pernah berlebihan.

Kami tidak akan dapat mencakup semua dasar-dasarnya, jadi untuk sekarang, kami akan mengarahkan sorotan pendidikan kami ke tugas-tugas menghibur yang disebut paradoks. Dalam perjalanan meliput topik, kita secara bertahap akan menggali ke dalam usus pendekatan yang disebut logika, dan kemudian memperhatikan hubungan antara logika dan matematika, setelah itu pembaca kita dapat dengan mudah memahami tidak hanya alasan kegunaan logika dalam menurunkan teori aksiomatik, tetapi mengapa teori aksiomatik diperlukan sama sekali, dan mereka juga akan memahami bagaimana tidak perlu mendekati konstruksi teori yang konsisten.

Mari kita mulai dengan daftar teka-teki yang menghibur. Masalah-masalah ini disebut paradoks, karena tidak peduli bagaimana kita menjawab pertanyaan yang diajukan dalam masalah, penulis paradoks akan selalu dengan mudah membuktikan bahwa kita salah. Artinya, dengan kata lain, masalah tidak menyiratkan solusi, tetapi agak menghibur menunjukkan non-triviality dari penalaran logis.

Paradox Barber

Di sebuah desa tertentu, seorang tukang cukur menyatakan bahwa ia mencukur di desanya semua yang tidak mencukur dirinya sendiri. Pertanyaannya adalah siapa yang mencukur tukang cukur?

Jika Anda menjawab bahwa pencukur mencukur pencukur itu sendiri, maka para pendukung paradoks akan dengan cepat menjelaskan kepada Anda bahwa sesuai dengan kondisi tugas, pencukur mencukur mereka yang tidak mencukur diri mereka sendiri, yang berarti ia tidak dapat mencukur sendiri, kalau tidak, ia akan mencukur dirinya sendiri dan dengan demikian mencukurnya. orang yang mencukur dirinya sendiri.

Jika Anda menjawab bahwa ada orang lain yang bercukur, para pendukung paradoks akan mengingat kembali kondisi tugas - itu menunjukkan bahwa jika seseorang tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia harus mencukur tukang cukur, karena katanya - ia mencukur semua orang yang tidak bercukur. diriku sendiri Jadi, jika orang lain mencukurnya, maka ia tidak mencukur dirinya sendiri dan, dengan syarat, harus menjadi pencukur.

Meskipun Anda tidak harus masuk jauh ke dalam kontradiksi logis dari tugas ini, itu hanya memperkenalkan Anda ke dunia paradoks dan beberapa tugas yang lebih bertentangan akan mengikuti. Meskipun jika Anda menemukan solusi yang tidak terduga - jangan terburu-buru, maka Anda akan melihat bagaimana para pendukung paradoks akan menghindari solusi yang tidak terduga.

Paradoks set

Mirip dengan paradoks tukang cukur, lebih dari seratus tahun yang lalu, sebuah paradoks ditemukan yang secara serius mempengaruhi fondasi matematika, dan dengan begitu banyak keseriusan sehingga periode ini disebut krisis fondasi matematika. Yang benar adalah bahwa tidak ada gunanya mengkhawatirkan terlalu banyak untuk matematika, karena krisis ini bukan yang pertama, dan itu mempengaruhi bagian substantif matematika dengan lemah. Namun demikian, krisis jelas menunjukkan kelemahan pengetahuan kita di bidang itu, yang selalu dianggap ketat dan hampir komprehensif.

Pertama, kami menunjukkan dasar dari salah satu paradoks pada contoh yang disederhanakan. Bayangkan himpunan (atau daftar, larik) dari semua bilangan bulat positif, dan kemudian bayangkan angka yang sesuai dengan jumlah angka di set kami. Disajikan? Jika demikian, apa yang akan terjadi pada set setelah menambahkan nomor sama dengan jumlah elemen dengan unit yang ditambahkan? Jika sudah ada semua elemen di sana, ingatlah bahwa mereka dapat diurutkan dalam urutan naik dan kemudian akan menjadi jelas bahwa elemen terbesar sama dengan jumlah elemen di set kami. Tetapi jika kita menambahkan satu ke kuantitas, maka kita mendapatkan elemen yang tidak ada di set, sehingga tampaknya Anda tidak dapat membayangkan daftar seperti itu, karena setiap kali pertanyaan tentang elemen baru akan muncul. Tetapi di sisi lain, kita dapat merumuskan kalimat "himpunan semua bilangan bulat positif". Jadi apa yang bisa kita benar-benar dan tidak bisa?

Sementara Anda mempertimbangkan jawaban untuk pertanyaan sebelumnya, kami akan menanyakan kepada Anda yang berikut. Dan jika Anda membayangkan himpunan semua himpunan, tetapi sedemikian sehingga tidak ada himpunan akan memasukkan dirinya sebagai elemen? Apakah ini mungkin? Misalnya, himpunan angka {1, 2, 3} tidak menyertakan dirinya sebagai elemen. Jadi mungkin semua set lainnya juga bisa dibayangkan?

Jika Anda mengatakan bahwa ini mungkin, maka para pendukung paradoks akan mengajukan pertanyaan - apakah perangkat yang disajikan termasuk itu sendiri?

Jika Anda mengatakan "ya", maka pendukung paradoks akan menjawab bahwa, sesuai dengan kondisi masalahnya, himpunan tersebut tidak boleh termasuk set yang termasuk diri mereka sendiri, tetapi karena Anda mengatakan "ya", maka Anda memasukkan himpunan yang disajikan di dalam dirinya sendiri dan dengan demikian melarang penyertaannya, karena ia telah menjadi seperangkat termasuk dirinya sendiri, yang bertentangan dengan kondisi masalah.

Jika Anda mengatakan "tidak", maka pendukung paradoks akan menjawab bahwa, sesuai dengan kondisi masalah, set yang disajikan harus mencakup semua set yang tidak termasuk itu sendiri, dan oleh karena itu set yang disajikan itu sendiri (yang tidak dengan sendirinya) juga harus di set kami.

Sama seperti, mungkin, Anda sekarang, ahli matematika di seluruh dunia sedikit dipengaruhi oleh kurangnya akal sehat dalam paradoks yang diusulkan. Memang, tidak hanya akal sehat lari di suatu tempat, tetapi tak lama sebelum itu, matematikawan berhasil mengusulkan menggunakan teori himpunan (dan kita hanya berbicara tentang perwakilannya - himpunan semua himpunan yang tidak termasuk diri mereka sendiri) untuk membangun semua matematika berdasarkan dasarnya. Dan akibatnya, krisis terjadi - pada inti matematika, ternyata, tidak ada akal sehat. Bagaimana kamu menyukai matematika ini? Winnie the Pooh menjelaskan topik ini dengan baik - itu bagus, tapi untuk beberapa alasan itu lumpuh.

Tapi itu belum semuanya. Lebih lanjut, untuk kelengkapan, kami menyajikan beberapa paradoks rencana yang sedikit berbeda.

Paradoks penerapan diri

Ada kata-kata yang maknanya bisa diterapkan pada kata-kata ini. Misalnya, kata "tiga suku kata" terdiri dari tiga suku kata dan artinya juga memberi tahu kita tentang tiga suku kata, oleh karena itu kata seperti itu dapat disebut dapat diterapkan sendiri. Demikian pula, kata "Rusia" ditulis dalam bahasa Rusia dan menyatakan makna milik Rusia, yaitu, sekali lagi dapat diterapkan sendiri. Tetapi kata "lilac" biasanya ditulis sama sekali tidak dalam warna lilac dan tidak tumbuh pada lilac, yang berarti itu tidak berlaku. Tetapi masih ada kata (dan kami baru saja melihatnya) "tidak berlaku". Apakah kata seperti itu berlaku untuk diri sendiri?

Jika perjuangan dengan akal sehat di dalam diri Anda telah berakhir dengan sukses dan Anda mengatakan bahwa kata itu dapat diterapkan sendiri, maka para pendukung paradoks akan mengatakan - bagaimana hal itu dapat diterapkan sendiri, jika dituliskan di dalamnya - tidak dapat diterapkan sendiri?

Jika Anda mengatakan bahwa kata itu tidak berlaku, maka para pendukung paradoks akan menjawab bahwa makna kata tersebut sesuai dengan definisi yang Anda berikan (tidak berlaku), yang berarti bahwa Anda sendiri telah menunjukkan metode penerapan diri, yang berarti Anda salah lagi!

Tetapi sukacita para pendukung paradoks tidak akan lengkap jika kita tidak menunjukkan satu masalah lagi.

Paradoks Mengatakan Palsu

Tugasnya sangat sederhana - Anda harus menjawab "ya" atau "tidak" untuk pertanyaan - apakah pernyataan berikut salah - "pernyataan ini salah".

Jika Anda menjawab "tidak", maka pendukung paradoks akan mengatakan bahwa pernyataan itu mengatakan - itu salah, sehingga Anda mengatakan ada sesuatu yang tidak benar.

Jika Anda mengatakan ya, maka para pendukung paradoks akan mengatakan bahwa karena Anda mengatakan bahwa pernyataan itu salah (menjawab "ya") dan pernyataan itu sendiri mengatakan bahwa itu salah, lalu di mana letak kebohongannya? Jadi sekali lagi Anda menjawab salah! Pendukung paradoks selanjutnya bersukacita lagi.

Demistifikasi kecil

Kita tidak akan berkecil hati dengan menonton kesenangan di kubu pendukung paradoks, tetapi kita akan mencoba untuk mengungkap kejahatan yang, dengan kata lain, secara intens membedaki otak kita dalam semua paradoks yang dikutip. Apa yang terjadi pada kita - sekelompok ahli matematika masih belum yakin akan konsistensi fondasi sains mereka!

Pertama tentang tukang cukur. Mari kita melihat lebih dekat komposisi peserta dalam paradoks. Kami akan melihat beberapa entitas, ini adalah tukang cukur dan beberapa "semua" yang dicukur tukang cukur. Kita juga akan melihat hubungan tertentu di mana tukang cukur datang dengan mereka yang dicukurnya. Mari kita sebut hubungan ini sederhana - "mencukur". Dalam bahasa matematika, kita bisa menulis - x mencukur y, yaitu X tertentu dalam hubungan dengan pemain tertentu, dan hubungannya disebut - mencukur. Lebih lanjut dalam paradoks kita melihat algoritma seleksi sebagai bagian dari entitas "semua". Inti dari algoritma ini adalah memeriksa kondisi “tidak mencukur sendiri”. Kami juga melihat kewajiban alat cukur untuk mencukur semua orang yang merupakan bagian dari esensi "semua" yang disebutkan.

Sekarang, setelah menulis bagian "diberikan" untuk masalah kita, kita beralih ke bagian "solusi".

Misalkan komisi tertentu memilih orang-orang dari desa, dan semua orang yang menjawab "Saya tidak mencukur sendiri" termasuk dalam set kondisi masalah (set adalah "semua"). Setelah menyelesaikan pekerjaan komisi, kami memiliki sekelompok orang yang perlu diproses oleh tukang cukur kami. Selanjutnya, orang dapat dengan mudah membayangkan bahwa pada saat survei, tukang cukur mengatakan bahwa ia mencukur dirinya sendiri, dan karena itu ia tidak termasuk dalam kelompok orang yang akan diproses. Sebagai hasilnya, kami mendapatkan gambar yang benar-benar bahagia - setiap orang yang tidak mencukur dirinya sendiri akan dicukur dengan tenang oleh tukang cukur kami. Tapi bukankah begitu? Paling tidak, kami tidak akan melihat adanya hambatan pada akal sehat, dan oleh karena itu kami dapat dengan mudah membayangkan semua wajah bercukur yang cocok untuk kondisi dan tukang cukur yang sangat puas. Tetapi pendukung paradoks dalam situasi ini akan keluar dari pekerjaan, karena ternyata tidak ada paradoks sama sekali!

Namun sebenarnya ada paradoks. Memang, tidak sia-sia bahwa ahli matematika dari seluruh dunia khawatir tentang krisis!

Untuk mengidentifikasi penyebab paradoks, perlu untuk memasukkan pendukungnya dalam persamaan. Mereka akan mengatakan bahwa tukang cukur mengklaim bahwa dia mencukur mereka yang tidak mencukur diri mereka sendiri, dan karena itu dia tidak memiliki hak untuk mencukur dirinya sendiri, karena dengan begitu dia akan mencukur orang yang mencukur dirinya sendiri dan dengan demikian melanggar kondisi tugas. Kemudian dalam hal logika, kita dapat mengatakan bahwa pernyataan "tukang cukur mencukur tukang cukur" salah sesuai dengan kondisi masalah. Tetapi sebagai hasilnya, tukang cukur harus dimasukkan ke dalam kelompok individu yang harus dicukur dengan tukang cukur. Dan itu adalah tukang cukur yang harus mencukur mereka semua, karena kalau tidak para pendukung paradoks akan segera muncul dan mengingatkan kita tentang kondisi masalah.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami mempersingkat deskripsi situasi. Mari kita menunjuk alat cukur dengan huruf B, sikap "mencukur" biarkan tetap tidak berubah, itu sudah pendek. Banyak "segalanya" juga tidak bisa dikurangi. Kemudian dalam catatan singkat kita dapatkan:

1) false (B mencukur B) berarti B milik "semua"
2) X mencukur B dan X = B

Catatan semacam itu berarti bahwa (baris pertama) dari fakta bahwa alat cukur tidak mencukur alat cukur, berarti alat cukur itu milik set “segalanya”. Baris kedua memberitahu kita bahwa X tertentu harus mencukur tukang cukur dan X ini harus menjadi tukang cukur sendiri.

Sekarang kami melakukan transformasi minimal dengan baris kedua - kami mengganti X di dalamnya dengan B, karena dengan syarat mereka sama, dan kami juga menunjukkan kebenaran dari pernyataan yang dihasilkan. Kami mendapatkan:

true (B mencukur B)

Tetapi dari baris (1) kita memiliki:

salah (B mencukur B)

Dan kedua kondisi ini (atas permintaan pendukung paradoks) harus dipenuhi secara bersamaan.

Jadi apa yang jahat di sini? Seperti yang kita lihat, sebelum intervensi para pendukung paradoks, perdamaian dan ketertiban memerintah di desa, semua orang yang tepat dicukur dan tukang cukur senang. Tetapi setelah intervensi para pendukung paradoks, kami menerima permintaan pada saat yang sama untuk kebenaran dan kepalsuan pernyataan bahwa tukang cukur mencukur tukang cukur. Berbicara berbeda, kami menerima tuntutan yang saling bertentangan. Dan tentu saja, jika persyaratannya kontradiktif, maka tidak mungkin untuk menyelesaikan masalah dengan persyaratan tersebut. Tidak peduli bagaimana kita memelintir, tidak peduli bagaimana kita menemukan cara-cara baru dan baru untuk menghindari paradoks, misalnya, menyatakan bahwa tukang cukur tidak mencukur dan memakai jenggot, atau bahwa wanita tidak harus mencukur, para pendukung paradoks akan secara obyektif - ini dalam menghadapi masalah tidak, maka semuanya harus persis seperti yang kita katakan. Tetapi sebagai hasil dari mematuhi kerasnya pernyataan oleh para pendukung paradoks, kami mendapatkan tugas yang tidak terpecahkan.

Setelah menunjukkan ketidakkonsistenan kondisi, kita dapat mencoba menyoroti sejumlah faktor yang mengarah pada situasi di mana pada dasarnya persyaratan bodoh (dan apa lagi yang disebut persyaratan untuk mencukur dan tidak mencukur pada saat yang sama?) Apakah dianggap serius oleh sangat, sangat banyak orang.

Pertama, perlu menunjukkan sifat implisit dari klaim yang saling bertentangan. Tugas yang sama, tetapi dengan kontradiksi yang jelas dalam kondisi, akan segera ditolak dan tidak ada yang akan tahu ada paradoks, tetapi itu adalah sifat tersembunyi dari inkonsistensi pembatasan yang menyebabkan banyak upaya untuk menyelesaikan masalah tanpa harapan. Sebagai contoh, tugas menemukan angka yang secara bersamaan lebih besar dari nol dan kurang dari nol hampir tidak akan mengarah pada munculnya konsep paradoks, karena dalam masalah seperti itu makna yang bertentangan dari persyaratan jelas bagi semua orang. Tetapi dalam masalah cukur tukang cukur, ketidakjelasan pembatasan yang tidak jelas menyebabkan konsekuensi yang signifikan. Karena itu, dalam paradoks apa pun, pertama-tama, seseorang harus mencari kontradiksi implisit dalam pembatasan yang diberlakukan pada solusi masalah.

Kedua, selain ketidakjelasan, dalam masalah seperti itu sebenarnya ada pembatasan yang saling bertentangan (yang sekilas tidak terlihat). Perlu ditekankan di sini - ini adalah batasan pada solusi, dan bukan hal lain. Artinya, bukan bidang subjek yang menjadi masalah, entah bagaimana bertentangan, dan bukan bahasa di mana tugas tersebut dinyatakan, tetapi kontradiksi diletakkan di luar konsep-konsep ini dan tepatnya dalam bentuk pembatasan pada solusi yang mungkin. Karena itu, Anda harus selalu mempelajari dengan hati-hati pembatasan pada solusi, mencoba mengidentifikasi kemungkinan kontradiksi di dalamnya.

Ketiga, tugas-tugas yang saling bertentangan harus mencakup formalisme yang menyimpang dari kenyataan. Kepatuhan yang ketat terhadap kondisi yang disuarakan, tidak termasuk menemukan solusi di luar area yang bertentangan, adalah tanda yang jelas yang harus hati-hati dicari dalam tugas lain yang, pada pandangan pertama, tidak terlihat paradoks.

Dalam sisanya, dalam masalah tukang cukur, kita melihat kekhasan yang khas untuk itu, yang mungkin tidak terulang dalam paradoks lain. Namun demikian, akan bermanfaat untuk menunjukkannya kepada mereka.

Pertama, tugas tukang cukur dicirikan oleh permintaan wajib "untuk mencukur semua orang", sementara tidak mengizinkan pengecualian pada aturan "yang tidak mencukur dirinya sendiri". Jika tugas tersebut tidak memaksakan pembatasan ketat pada "mencukur semua orang," maka tukang cukur dapat dengan mudah dikeluarkan dari daftar berbahaya untuk tugas tersebut. Jika tugas itu tidak memiliki batasan semata-mata pada mereka yang tidak mencukur sendiri, maka lagi-lagi tukang cukur itu hanya akan membuat kita sedikit ketakutan daripada menciptakan krisis fondasi matematika. Oleh karena itu, dalam tugas-tugas lain, di mana permintaan ketat dari kategori "semua elemen ini dan hanya elemen" dimasukkan, perlu memperhatikan pencarian kontradiksi internal dalam formulasi seperti itu.

Kedua, tukang cukur dalam tugas adalah entitas khusus yang berbeda dari yang lain dalam partisipasinya dalam mencukur semua orang yang seharusnya dicukur dengan syarat. Tanpa tukang cukur, sistem entitas akan berantakan dan bukan merupakan tugas tunggal dan bermakna. Namun terlepas dari status khusus seperti itu dalam sistem entitas dan keterbatasan, pendukung paradoks bersikeras pada satu sikap untuk semua peserta dalam proses, meskipun ada pembatasan tambahan yang dikenakan pada tukang cukur. Tetapi justru status khusus alat cukur yang menyebabkan kontradiksi dalam persyaratan, karena selain sikap "seperti semua orang", yang membutuhkan alat cukur untuk dicukur, alat cukur juga diperlukan untuk tidak mencukur sendiri, dan alat cukur lain tidak termasuk dalam kondisi tugas. Oleh karena itu, dalam tugas-tugas lain, fungsi pembentukan sistem dari elemen harus diidentifikasi, dan jika ada, dengan hati-hati periksa korelasi persyaratan "untuk semua" dan persyaratan untuk elemen ini. Kalau tidak, mudah untuk mendapatkan kontradiksi lain dalam persyaratan.

Masalah dalam paradoks lain

Untuk saat ini, kita akan melewatkan paradoks himpunan, karena kita akan membutuhkannya nanti sehubungan dengan masalah teori himpunan.

Dan sekarang mari kita lihat di mana kejahatan berada dalam paradoks penerapan diri. Seiring dengan fitur yang disebutkan sebelumnya dalam bentuk kontradiksi implisit dalam kondisi di sini, kita juga dapat menambahkan kebebasan interpretasi tentang arti penerapan diri. Artinya, arti dari hubungan penerapan diri dapat ditafsirkan secara luas, dan karenanya suatu kontradiksi dapat dengan mudah masuk ke dalam celah yang lebar ini. Oleh karena itu, dalam hal ini, tingkat keparahan definisi tidak akan berlebihan. Tetapi juga tidak mungkin untuk meningkatkan keparahan ke absolut, jika tidak, seperti yang kita lihat dalam contoh tukang cukur, kontradiksi akan menjadi hasil dari keparahan itu sendiri.

Seperti halnya dalam paradoks cukur, dalam paradoks penerapan diri, kita memiliki elemen khusus dari sistem yang menonjol dari yang lain, ketika dipertimbangkan, algoritma sistem berubah. Untuk semua kata lain, cukup bagi kita untuk memahami bagaimana domain definisi makna kata berhubungan dengan kata itu sendiri (yaitu, menghitung jumlah suku kata atau memperhatikan bahasa di mana kata itu ditulis), tetapi untuk kata "tidak berlaku" kami memiliki domain definisi yang tidak terlalu jelas, mungkin bertepatan dengan sistem itu sendiri di mana penerapan diri dinilai. Artinya, untuk kata "tidak berlaku" tugas itu sendiri menjelaskan kepada kita beberapa kemungkinan kemungkinan penerapan, tetapi penjelasan ini implisit dan tidak ketat.

Selanjutnya, Anda dapat menemukan batasan spesifik yang saling bertentangan satu sama lain karena kata "tidak berlaku". , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?

, , , , , «» «». , , . , , . , , — -, , , .

, , , «» . , , .

«» , , . , «» . , . , , , , .

, . — ? , , . « » «!», . « » « ?».

. . , , , . , , . .

, — ? , . , , , , - . , , . . , , , ( , ?), , . , , , .

? — , , . — . . ?

, , . ( ), , , . . , , . , , . — — , .

— , , ? , , ( ) « » , - . , , . , , , . .

( ) , , , , .

, , , , . ( ) .

, , . , — , , . . , , , , , ( , ), . .

:

$\exists y \forall x (x \in y \equiv P(x))$

$\exists$ dan

$\forall$ « » « », ( ) . , , , , .

$\ dalam$ , , , () ( ). , () , , — () . — , , () , .

. , , , .

. , « » . -, . , ,

$\neg( x \in x)$ .

$\neg$ . :

$( x \in x) \equiv \neg( x \in x)$

. , , , . , , , , .

. (

$\wedge$ ):

$\forall a \exists y \forall x (x \in y \equiv (x \in a \wedge P(x)))$

, . — , () , . ?

, , , . . , , . () , , .

, . , ,

$x \in a$ ,

$x \in y$ . . . , , . , () . , , .

:

1)
2) :
2.1)
2.2) :
2.2.1) :
2.2.1.1)
2.2.1.2)
2.2.2) :
2.2.2.1)
2.2.2.2)

() , .

$\wedge$ — ,

$\vee$ — .

1)

$x \in a \wedge P = (x=x)$
2.1)

$x \in y \wedge \neg (x \in a)$
2.2.1.1)

$x \in y \wedge \neg(x \in a) \vee x \in y \wedge x \in a \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x) \vee x \in y \wedge x \in a \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee \neg(x \in y) \wedge x \in a \wedge P = (x = x)$
2.2.1.2)

$x \in y \wedge \neg(x \in a)$
2.2.2.1)

$x \in y \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee x \in y \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x)$

$\ vee \ neg (x \ in y) \ wedge x \ dalam a \ wedge P = (x = x)$
2.2.2.2)

$x \ di y \ wedge x \ di x \ wedge P = \ neg (x \ in x) \ vee x \ in y \ wedge \ neg (x \ in x) \ wedge P = (x \ in x)$

Seperti yang kita lihat, jika a mengandung elemen apa pun, tidak ada varian tunggal untuk mengganti y yang tidak mungkin untuk mengindikasikan x dan / atau P (x) sehingga aksioma selalu benar.

Kesimpulan apa yang bisa ditarik dari hasil seperti itu? Dalam pendapat pribadi penulis teks ini, kesimpulannya bisa sebagai berikut - ketika menerjemahkan ide yang bagus tentang menerapkan filter ke bahasa formula yang kering, kesalahan dibuat dalam bentuk hilangnya koneksi dengan kenyataan, atau, dengan kata lain, tidak semua properti dari sistem asli diidentifikasi dan diformalkan dengan cara yang sesuai. . Nah, untuk menerima temuan atau menolak, tentu saja, pilih pembaca, yang sekarang justru sadar bagaimana memahami masalah tersebut secara mandiri.