Analisis wavelet. Dasar-dasarnya

Pendahuluan

Kata bahasa Inggris wavelet (dari bahasa Prancis "ondelette") secara harfiah diterjemahkan sebagai "gelombang pendek (kecil)." Dalam berbagai terjemahan artikel asing ke dalam bahasa Rusia, ada juga istilah: “burst”, “burst function”, “low-wave function”, “wave”, dll.

Transformasi wavelet (VP) banyak digunakan untuk analisis sinyal. Selain itu, ia menemukan aplikasi hebat di bidang kompresi data. VP dari sinyal satu dimensi adalah perwakilannya dalam bentuk seri umum atau integral Fourier atas sistem fungsi basis.

$$$\ psi _ {ab} (t) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ psi \ kiri (\ frac {t-b} {a} \ kanan)$ , (1)

dibangun dari ibu (sumber) wavelet $$$\ psi (t)$ memiliki sifat-sifat tertentu karena operasi time shift (b) dan perubahan skala temporal (a).

Pengganda $$$1 / \ sqrt {a}$ memastikan independensi norma fungsi (1) dari angka penskalaan (a). Untuk nilai yang diberikan dari parameter a dan b, fungsinya $$$\ psi_ {ab} (t)$ dan ada wavelet yang dihasilkan oleh mother wavelet $$$\ psi (t)$ .

Contohnya adalah wavelet topi Meksiko dalam domain waktu dan frekuensi:







Kesimpulan:

1. Antara konsep Fourier harmonik dan skala wavelet, benar-benar ada hubungan. Hal utama dalam hubungan ini adalah proporsi terbalik dari frekuensi dan skala alami. Selain itu, mengurangi skala, kami meningkatkan bandwidth dari spektrum wavelet.

2. Dengan mengubah skala (meningkatkan lead ke penyempitan spektrum fungsi Fourier $$$\ psi_ {ab} (t)$ ), wavelet dapat mendeteksi perbedaan karakteristik pada skala yang berbeda (frekuensi), dan karena pergeseran, menganalisis sifat sinyal pada titik yang berbeda pada seluruh interval yang dipelajari. Oleh karena itu, ketika menganalisis sinyal non-stasioner, karena properti lokalitas wavelet, mereka mendapatkan keuntungan yang signifikan atas transformasi Fourier, yang hanya memberikan informasi global tentang frekuensi (skala) dari sinyal yang dianalisis, karena sistem fungsi yang digunakan (eksponen kompleks atau sinus dan kosinus) didefinisikan pada interval tak terbatas.

3. Daftar di atas yang ditulis dalam bahasa Python tingkat tinggi yang didistribusikan secara bebas memungkinkan Anda memilih fungsi untuk wavelet yang memenuhi persyaratan yang ditentukan. Namun, perlu juga memperhitungkan semua tanda-tanda utama dari wavelet.

Tanda-tanda utama wavelet

Keterbatasan. Kuadrat dari norma fungsi harus terbatas:
$$$\ left \ | \ psi \ right \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ kiri | \ psi (t) \ right | ^ {2} dt <\ infty$ . (2)

Lokalisasi VP, berbeda dengan transformasi Fourier, menggunakan fungsi awal lokal baik dalam waktu dan frekuensi. Untuk melakukan ini, cukup bahwa persyaratan terpenuhi:

$$$\ kiri | \ psi (t) \ kanan | \ leq C (1+ \ kiri | t \ kanan |) ^ {- 1- \ varepsilon}$ dan
$$$\ kiri | S _ {\ psi} (\ omega) \ kanan | \ leq C (1+ \ kiri | \ omega \ kanan |) ^ {- 1- \ varepsilon}$ di $$$\ varepsilon> 0$ , (3)

Misalnya, fungsi delta $$$\ delta (t)$ dan fungsi harmonik tidak memenuhi kondisi yang diperlukan untuk lokalisasi simultan dalam domain waktu dan frekuensi.

Rata-rata nol. Grafik fungsi asli harus berosilasi (bergantian) di sekitar nol pada sumbu waktu dan memiliki area nol:

$$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (t) dt = 0$ . (4)

Dari kondisi ini, menjadi jelas pilihan nama "wavelet" - gelombang kecil.

Sama dengan area fungsi nol $$$\ psi (t)$ , yaitu momen nol, mengarah pada fakta bahwa Fourier berubah $$$S _ {\ psi} (\ omega)$ fungsi ini sama dengan nol untuk $$$\ omega = 0$ dan memiliki bentuk filter band-pass. Untuk berbagai nilai (a), ini akan menjadi seperangkat filter bandpass.

Seringkali untuk aplikasi perlu bahwa tidak hanya nol, tetapi semua n momen pertama sama dengan nol:

$$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t ^ {^ {n}} \ psi (t) dt = 0$ . (5)

Gelombang-ke-n memungkinkan seseorang untuk menganalisis struktur sinyal frekuensi tinggi yang lebih halus, menekan komponen-komponennya yang perlahan berubah.

Buatan sendiri Fitur karakteristik VP adalah kemiripan diri. Semua wavelet dari keluarga tertentu $$$\ psi_ {ab} (t)$ memiliki jumlah osilasi yang sama dengan wavelet ibu $$$\ psi (t)$ , karena diperoleh darinya melalui transformasi skala (a) dan pergeseran (b).

Transformasi Wavelet Berkelanjutan

Transformasi wavelet kontinu (integral) (NVP atau WT - transformasi wavelet kontinu). Kami membangun dasar $$$\ psi_ {ab} (t)$ menggunakan transformasi skala kontinu (a) dan transfer (b) dari wavelet ibu $$$\ psi (t)$ dengan nilai arbitrer dari parameter dasar a dan b dalam rumus (1).

Kemudian, menurut definisi, langsung (analisis) dan membalikkan (sintesis) NVP (yaitu, PNVP dan ONVP) dari sinyal S (t) ditulis sebagai berikut:
$$$W_ {s} (a, b) = (S (t), \ psi _ {ab} (t)) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (t) \ psi \ kiri (\ frac {tb} {a} \ kanan) dt$ , (6)

$$$S (t) = \ frac {1} {C _ {\ psi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} W_ {s} (a, b ) \ psi _ {ab} (t) \ frac {dadb} {a ^ {2}}$ , (7)

dimana $$$C _ {\ psi}$ - koefisien normalisasi,
$$$C _ {\ psi} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ kiri | \ psi (\ omega) \ kanan | ^ {2} \ kiri | \ omega \ right | ^ {- 1} d \ omega <\ infty$
di mana: (•, •) adalah produk skalar dari faktor yang sesuai,
$$$\ mathbf {\ psi (\ omega)}$ - Transformasi Fourier dari wavelet $$$\ psi (t)$ . Untuk wavelet ortonormal $$$C _ {\ psi} = 1$ .

Ini mengikuti dari (6) bahwa spektrum wavelet $$$W_ {s} (b, a)$ (spektrum wavelet, atau spektrum skala waktu), tidak seperti spektrum Fourier (spektrum tunggal), adalah fungsi dari dua argumen: argumen pertama a (skala waktu) mirip dengan periode osilasi, mis. terbalik dengan frekuensi, dan b –– kedua mirip dengan offset sinyal di sepanjang sumbu waktu.

Perlu dicatat bahwa $$$W_ {s} (b, a_ {0})$ mencirikan ketergantungan waktu (pada $$$a = a_ {0})$ , sedangkan dependensi $$$W_ {s} (a, b_ {0})$ adalah mungkin untuk mencocokkan ketergantungan frekuensi (untuk $$$b = b_ {0}$ )

Jika sinyal yang dipelajari S (t) adalah satu pulsa berdurasi tunggal $$$\ tau_ {u}$ terkonsentrasi di lingkungan $$$t = t_ {0}$ , maka spektrum waveletnya akan memiliki nilai terbesar di sekitar titik dengan koordinat $$$a = \ tau_ {u}, b = t_ {0}$ .

Metode presentasi $$$W_ {s} (b, a)$ mungkin berbeda. Spektrum $$$W_ {s} (b, a)$ adalah permukaan dalam ruang tiga dimensi. Namun, seringkali alih-alih gambar permukaan, proyeksi ke bidang ab disajikan dengan tingkat iso (atau gambar berbagai warna), yang memungkinkan untuk melacak perubahan intensitas amplitudo EP pada skala yang berbeda (a) dan dalam waktu (b).

Selain itu, mereka menggambarkan garis-garis ekstrem lokal dari permukaan ini, yang disebut kerangka (skeleton), yang mengungkapkan struktur sinyal yang dianalisis.

Transformasi wavelet kontinu saat menentukan spektrum wavelet berdasarkan induk wavelet - “Topi Meksiko”.

Gelombang ibu lainnya yang digunakan untuk NVP juga digunakan:



Continuous VP banyak digunakan dalam pemrosesan sinyal. Secara khusus, analisis wavelet (VA) memberikan peluang unik untuk mengenali fitur dan fungsi sinyal (fungsi) lokal dan “halus”, yang penting di banyak bidang teknik radio, komunikasi, elektronik radio, geofisika, dan cabang ilmu pengetahuan dan teknologi lainnya. Mari kita pertimbangkan kemungkinan ini dengan beberapa contoh sederhana.

Osilasi harmonik.

Sinyal memiliki bentuk: $$$s (t) = Asin (\ omega t- \ phi)$

dimana: $$$A = 1 V, \ omega = \ frac {2 \ pi} {T} = \ frac {2 \ pi} {50}, \ psi = 0$

Fungsi pembentukan wavelet: $$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} exp (-t ^ {2} / 2)$ ,

Wavelet: $$$\ psi (a, b, t) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} MHAT \ kiri (\ frac {t-b} {a} \ kanan)$ ,

Spektrum wavelet: N: = 256, a: = 1..30, b: = 0..50, $$$W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N} \ psi (a, b, t) s (t) dt, N_ {ab}: = W (a, b).$ .





Grafik sinyal.



Grafik spektrum dua parameter $$$N_ {ab} = W (ab)$ ditampilkan sebagai permukaan dalam ruang tiga dimensi.



Perlu dicatat bahwa bagian W (a, b) untuk skala waktu $$$a = a_ {0}$ mencirikan osilasi awal s (t). Selain itu, amplitudo maksimum di $$$a_ {0}: 1 / \ omega$ . Ketergantungan $$$W (a_ {0}, b_ {0})$ dapat cocok dengan spektrum osilasi saat ini di $$$b = b_ {0}$ .

Jumlah dari dua osilasi harmonik.

Sinyal memiliki bentuk: $$$s (t): = A_ {1} sin (\ omega _ {1} t) + A_ {2} sin (\ omega _ {2} t)$

dimana: $$$A_ {1} = A_ {2} = 1V, \ omega_ {1} = \ frac {2 \ pi} {T_ {1}}, \ omega_ {2} = \ frac {2 \ pi} {T_ {2 }}, T_ {1} = 50s, T_ {2} = 10s$ .

$$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} \ kiri [e ^ {- t ^ {2/2}} \ kanan]$ , N: = 256,
$$$\ psi (a, b, t): = MHAT \ kiri (\ frac {tb} {a} \ kanan), W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N} \ psi (a , b, t) f (t) dt$ , a: = 1 ... 30, b: = 0 ... 50, $$$N_ {ab}: = W (a, b)$ .





Grafik sinyal.



Plot spektrum dua-parameter W (a, b) ditampilkan sebagai permukaan dalam ruang tiga dimensi.



Bidang parameter a, b di mana hasil EP disorot dalam area berwarna.



Grafik menunjukkan “penampang” spektrum wavelet untuk dua nilai parameter a. Dengan parameter skala waktu yang relatif kecil a, untuk $$$a_ {1} = 2 (a_ {1}: 1 / \ omega_ {2})$ , penampang spektrum hanya membawa informasi tentang komponen frekuensi tinggi dari sinyal, menyaring (menekan) komponen frekuensi rendahnya.

Sebagai peningkatan, perluasan fungsi basis $$$\ psi (\ frac {t-b} {a})$ , oleh karena itu, mempersempit spektrumnya, dan mempersempit bandwidth dari "jendela" frekuensi. Hasilnya, kapan $$$a_ {2} = 15 (a_ {2}: 1 / \ omega_ {1})$ penampang spektrum hanya komponen frekuensi rendah dari sinyal.

Dengan peningkatan lebih lanjut dalam a, pita jendela masih menurun dan tingkat komponen frekuensi rendah ini menurun menjadi komponen konstan (untuk a> 25), yang sama dengan nol untuk sinyal yang dianalisis.



Grafik menunjukkan bagian-bagian dari spektrum wavelet W (a, b) karakterisasi
spektrum sinyal saat ini di $$$b_ {1} = 13$ dan $$$b_ {2} = 17$ . Spektrum sinyal yang dipertimbangkan, berbeda dengan harmonik, mengandung komponen frekuensi tinggi di wilayah nilai kecil skala waktu a (a: 1..3), yang sesuai dengan komponen kedua sinyal $$$A_ {2} sin (\ omega_ {2} t)$ .

Momentum persegi panjang.

$$$U: = 5, t_ {0}: = 20, \ tau: = 60$
$$$s (t): = \ begin {vmatrix} U, jika t_ {0} \ leq t \ leq t_ {0} + \ tau \\ 0, jika tidak \ end {vmatrix}$
$$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} exp \ kiri (\ frac {-t ^ {2}} {2} \ kanan)$
$$$N: = 128, \ psi (a, b, t): = MHAT \ kiri (\ frac {tb} {a} \ kanan), W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N } \ psi (a, b, t) f (t) dt$
$$$a: = 1..50, b: = 0..100, N_ {ba}: = W (a, b)$











Spektrum wavelet diperlihatkan dalam grafik, spektrum wavelet dengan baik menyampaikan fitur halus dari sinyal - lompatannya pada sampel b = 20 dan b = 80 (untuk: 1.10).

Kesimpulan

Publikasi ini bersifat mendidik, memberikan informasi dasar tentang analisis wavelet secara umum, dan contoh-contoh sederhana dalam bahasa pemrograman tingkat tinggi yang didistribusikan secara bebas, Python menunjukkan fitur-fitur analisis wavelet berkelanjutan dengan grafik 3D dan visualisasi 2D yang luas.

PS Penulis tidak mengurangi keuntungan tanpa syarat dari analisis wavelet menggunakan Matlab baik dalam hal jumlah wavelet dan kecepatan. Namun dalam Python masih ada ruang untuk pengembangan lebih lanjut: scipy.signal dan PyWavelets.