Penjelasan yang terjangkau dari hipotesis Riemann

Didedikasikan untuk mengenang John Forbes Nash Jr.

Apakah Anda ingat apa "bilangan prima" itu? Angka-angka ini tidak dapat dibagi oleh orang lain selain diri mereka sendiri dan 1. Dan sekarang saya akan mengajukan pertanyaan yang sudah berusia 3000 tahun:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, hal . Apa p sama dengan? 31. Apa yang akan menjadi p selanjutnya? 37. Dan p berikutnya? 41. Dan selanjutnya? 43. Ya, tapi ... bagaimana kita tahu apa artinya selanjutnya?

Munculkan penilaian atau formula yang (paling tidak dalam dosa) memprediksi apa bilangan prima berikutnya (dalam serangkaian angka apa pun), dan nama Anda selamanya akan dikaitkan dengan salah satu pencapaian terbesar otak manusia. Anda akan setara dengan Newton, Einstein dan Gödel. Pahami perilaku bilangan prima, dan kemudian Anda bisa berpuas diri sepanjang hidup Anda.

Pendahuluan

Sifat-sifat bilangan prima telah dipelajari oleh banyak orang hebat dalam sejarah matematika. Dari bukti pertama tak terhingga bilangan prima Euclidean ke formula produk Euler, yang menghubungkan bilangan prima dengan fungsi zeta Dari rumusan teorema utama Gauss dan Legendre hingga buktinya ditemukan oleh Hadamard dan Valle-Poussin. Namun, Bernhard Riemann masih dianggap sebagai ahli matematika yang membuat penemuan tunggal terbesar dalam teori bilangan prima. Dalam artikelnya, yang diterbitkan pada tahun 1859, yang hanya terdiri dari delapan halaman, baru, penemuan yang sebelumnya tidak diketahui dibuat tentang distribusi bilangan prima. Artikel ini masih dianggap salah satu yang paling penting dalam teori bilangan.

Setelah publikasi, artikel Riemann tetap menjadi karya utama dalam teori bilangan prima dan pada kenyataannya menjadi alasan utama untuk membuktikan teorema tentang distribusi bilangan prima pada tahun 1896. Sejak itu, beberapa bukti baru telah ditemukan, termasuk bukti dasar oleh Selberg dan Erdös. Namun, hipotesis Riemann tentang akar fungsi zeta tetap menjadi misteri.

Ada berapa bilangan prima?

Mari kita mulai dengan yang sederhana. Kita semua tahu bahwa angka adalah prima atau gabungan . Semua bilangan majemuk sederhana dan dapat didekomposisi menjadi produknya (axb). Dalam hal ini, bilangan prima adalah "blok bangunan" atau "elemen mendasar" angka. Pada 300 SM, Euclid membuktikan bahwa jumlah mereka tidak terbatas. Bukti elegannya adalah sebagai berikut:

Teorema Euclidean

Misalkan himpunan bilangan prima tidak terbatas. Buat daftar semua bilangan prima. Kemudian biarkan P menjadi produk dari semua bilangan prima dalam daftar (kami mengalikan semua bilangan prima dari daftar). Tambahkan ke hasil 1: Q = P +1. Seperti semua angka, bilangan alami Q ini harus sederhana atau majemuk:

• Jika Q adalah prima, maka kami telah menemukan prima yang tidak ada dalam "daftar semua bilangan prima" kami.
• Jika Q tidak sederhana, maka itu adalah gabungan, mis. terdiri dari bilangan prima, salah satunya, p, akan menjadi pembagi Q (karena semua bilangan majemuk adalah produk bilangan prima). Setiap p utama dari mana P disusun jelas merupakan pembagi P. Jika p adalah pembagi untuk P dan Q, maka itu harus menjadi pembagi untuk perbedaan mereka, yaitu, kesatuan. Tidak ada bilangan prima adalah pembagi dari 1, sehingga bilangan p tidak boleh ada dalam daftar - kontradiksi lain dengan fakta bahwa daftar tersebut berisi semua bilangan prima. Akan selalu ada p utama lain yang tidak ada dalam daftar dan merupakan pembagi Q. Oleh karena itu, ada bilangan prima yang tak terhingga banyaknya.

Mengapa bilangan prima sangat sulit dimengerti?

Fakta bahwa setiap pendatang baru memahami masalah di atas berbicara dengan fasih tentang kerumitannya. Bahkan sifat-sifat aritmatika bilangan prima, meskipun dipelajari secara aktif, kurang dipahami oleh kita. Komunitas ilmiah sangat yakin dengan ketidakmampuan kita untuk memahami perilaku bilangan prima yang menjadikan jumlah besar (mendefinisikan dua bilangan prima, produk yang merupakan bilangan) tetap menjadi salah satu dasar dasar teori enkripsi. Anda dapat melihatnya sebagai berikut:

Kami memahami angka komposit dengan baik. Ini semua angka yang tidak prima. Mereka terdiri dari bilangan prima, tetapi kita dapat dengan mudah menulis rumus yang memprediksi dan / atau menghasilkan angka gabungan. Seperti "filter nomor komposit" disebut saringan . Contoh paling terkenal adalah apa yang disebut "saringan Eratosthenes", ditemukan sekitar 200 SM. Tugasnya adalah ia hanya menandai nilai-nilai yang merupakan kelipatan dari setiap bilangan prima hingga batas tertentu. Misalkan kita mengambil bilangan prima 2 dan menandai 4,6,8,10, dan seterusnya. Kemudian ambil 3 dan tandai 6,9,12,15, dan seterusnya. Akibatnya, kami hanya akan memiliki bilangan prima. Meskipun sangat mudah dipahami, saringan Eratosthenes, seperti yang Anda bayangkan, tidak terlalu efektif.

Salah satu fungsi yang sangat menyederhanakan pekerjaan kami adalah 6n ± 1. Fungsi sederhana ini mengembalikan semua bilangan prima, dengan pengecualian 2 dan 3, dan menghapus semua angka yang merupakan kelipatan dari 3, serta semua angka genap. Pengganti n = 1,2,3,4,5,6,7 dan dapatkan hasil sebagai berikut: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43. Satu-satunya bilangan non-prima yang dihasilkan oleh fungsi adalah 25 dan 35, yang dapat difaktorkan 5 x 5 dan 5 x 7. Bilangan non-prima berikutnya, seperti yang Anda duga, adalah 49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11, dan sebagainya. Semuanya mudah, bukan?

Untuk menampilkan ini secara visual, saya menggunakan apa yang saya sebut "tangga nomor majemuk" - cara mudah untuk menunjukkan bagaimana angka komposit yang dihasilkan oleh fungsi diatur dan digabungkan. Dalam tiga kolom pertama dari gambar di bawah ini, kita melihat bagaimana bilangan prima 5, 7 dan 11 naik dengan indah setiap tangga nomor majemuk, hingga nilai 91. Kekacauan yang terjadi pada kolom keempat, menunjukkan bagaimana saringan menghapus segalanya kecuali bilangan prima, sangat baik sebuah ilustrasi mengapa bilangan prima sangat sulit untuk dipahami.

---

Sumber daya fundamental

Bagaimana ini semua terhubung dengan konsep yang bisa Anda dengar - dengan "hipotesis Riemann"? Singkatnya, untuk memahami lebih lanjut tentang bilangan prima, matematikawan pada abad ke-19 berhenti mencoba memprediksi lokasi bilangan prima dengan akurasi absolut, dan alih-alih mulai mempertimbangkan fenomena bilangan prima secara keseluruhan. Riemann menjadi penguasa pendekatan analitis ini, dan dalam kerangka pendekatan ini hipotesisnya yang terkenal telah dibuat. Namun, sebelum saya mulai menjelaskannya, perlu untuk berkenalan dengan beberapa sumber daya mendasar.

Baris Harmonik

Seri harmonik adalah seri angka tanpa akhir yang pertama kali dieksplorasi pada abad ke-14 oleh Nikolai Orem. Namanya dikaitkan dengan konsep harmonik musik - nada yang lebih tinggi dari frekuensi nada dasar. Barisnya adalah sebagai berikut:


Anggota pertama dari seri harmonik yang tak terbatas

Orem membuktikan bahwa jumlah ini berbeda (yaitu, tanpa batas terbatas; tidak mendekati dan tidak cenderung ke angka tertentu, tetapi diarahkan hingga tak terbatas).

Fungsi Zeta

Serangkaian harmonik adalah kasus khusus dari jenis fungsi yang lebih umum yang disebut fungsi zeta ζ (s). Fungsi zeta nyata didefinisikan untuk dua bilangan real r dan n :


Fungsi zeta

Jika kita mengganti n = 1, maka kita mendapatkan deret harmonik yang menyimpang. Namun, untuk semua nilai n> 1, deret tersebut konvergen , yaitu, penjumlahan dengan r yang meningkat cenderung ke angka tertentu, dan tidak menuju tak terhingga.

Formula Euler

Koneksi pertama antara fungsi zeta dan bilangan prima dibuat oleh Euler ketika ia menunjukkan bahwa untuk dua bilangan alami (bilangan bulat dan lebih besar dari nol) n dan p , di mana p prima, berikut ini benar:


Produk Euler untuk dua angka n dan p, di mana keduanya lebih besar dari nol dan p adalah prima.

Ungkapan ini pertama kali muncul dalam artikel 1737 berjudul Variae observes circa series infinitas . Dari ungkapan itu dapat disimpulkan bahwa jumlah fungsi zeta sama dengan produk dari kuantitas yang kebalikan ke kesatuan, dikurangi kebalikan dari bilangan prima derajat s . Koneksi yang menakjubkan ini meletakkan dasar bagi teori bilangan prima modern, di mana fungsi zeta ζ (s) sejak itu mulai digunakan sebagai cara untuk mempelajari bilangan prima.

Bukti formula adalah salah satu bukti favorit saya, jadi saya akan menyajikannya, meskipun untuk keperluan kita ini tidak perlu (tapi itu sama indahnya!):

Bukti formula produk Euler

Euler dimulai dengan fungsi zeta umum


Fungsi zeta

Pertama, ia menggandakan kedua bagian dengan istilah kedua:


Fungsi zeta dikalikan dengan 1/2 ^s

Kemudian dia mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari fungsi zeta:


Fungsi zeta minus 1/2 ^s kali fungsi zeta

Dia mengulangi proses ini, lebih lanjut mengalikan kedua belah pihak dengan istilah ketiga


Fungsi zeta dikurangi 1/2 ^s kali fungsi zeta dikali 1/3 ^dtk

Dan kemudian kurangi ekspresi yang dihasilkan dari fungsi zeta


Fungsi zeta minus 1/2 ^dtk fungsi zeta minus 1/3 ^dtk fungsi zeta

Jika Anda mengulangi proses ini tanpa batas, pada akhirnya kami akan memiliki ekspresi:


1 minus semua nilai terbalik ke primes kali fungsi zeta

Jika proses ini akrab bagi Anda, itu karena Euler pada dasarnya menciptakan ayakan yang sangat mirip dengan ayakan Eratosthenes. Ini menyaring nomor non-prima dari fungsi zeta.

Lalu kami membagi ekspresi menjadi semua istilahnya, yang kebalikan dari bilangan prima, dan mendapatkan:


Hubungan fungsional dari fungsi zeta dengan bilangan prima untuk bilangan prima 2,3,5,7 dan 11

Untuk menyederhanakan ekspresi, kami menunjukkan yang berikut:


Rumus untuk karya Euler adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara bilangan prima dan fungsi zeta

Bukankah itu cantik? Kami mengganti s = 1, dan kami menemukan seri harmonik yang tak terbatas, berulang kali membuktikan tak terhingga bilangan prima.

Fungsi Mobius

August Ferdinand Mobius menulis ulang karya Euler, menciptakan jumlah baru. Selain jumlah yang terbalik dengan bilangan prima, fungsi Mobius juga berisi setiap bilangan alami, yang merupakan produk dari faktor prima yang genap dan ganjil. Angka yang dikecualikan dari seri adalah angka yang dapat dibagi oleh beberapa bilangan prima kuadrat. Jumlahnya, dilambangkan sebagai μ (n) , memiliki bentuk berikut:


Fungsi Mobius adalah versi modifikasi dari produk Euler yang diberikan untuk semua bilangan asli

Jumlahnya berisi nilai terbalik:

1. Untuk setiap nomor utama;
2. Untuk setiap bilangan asli, yang merupakan produk dari sejumlah ganjil bilangan prima yang berbeda, diambil dengan tanda minus; dan
3. Untuk setiap bilangan asli, yang merupakan produk dari bilangan prima dari bilangan yang berbeda, diambil dengan tanda tambah;

Anggota pertama ditunjukkan di bawah ini:


Seri / jumlah unit dibagi dengan fungsi zeta ζ

Jumlahnya tidak mengandung nilai-nilai timbal balik yang dibagi dengan kuadrat dari salah satu bilangan prima, misalnya, 4.8.9, dan seterusnya.

Fungsi Mobius μ (n) hanya dapat mengambil tiga nilai yang mungkin: awalan (1 atau -1) atau penghapusan (0) anggota dari jumlah:


Tiga kemungkinan nilai fungsi Mobius μ (n)

Meskipun jumlah rumit ini pertama kali ditentukan secara formal oleh Mobius, perlu dicatat bahwa 30 tahun sebelum dia, Gauss menulis tentang jumlah ini dalam catatan pinggir:

“Jumlah dari semua akar primitif (prime p) atau ≡ 0 (ketika p-1 dapat dibagi dengan kuadrat), atau ≡ ± 1 (mod p) (ketika p-1 adalah produk dari bilangan prima yang tidak sama); jika angkanya genap, maka tandanya positif, tetapi jika angkanya ganjil, maka tandanya negatif. "

Fungsi distribusi bilangan prima

Mari kita kembali ke bilangan prima. Untuk memahami bagaimana bilangan prima didistribusikan ketika bergerak ke atas garis angka, tidak tahu persis di mana mereka berada, akan berguna untuk menghitung berapa banyak dari mereka yang muncul hingga nomor tertentu.

Justru tugas ini yang memenuhi fungsi distribusi bilangan prima π (x) yang diusulkan oleh Gauss: memberi kita jumlah bilangan prima kurang dari atau sama dengan bilangan real yang diberikan. Karena kita tidak tahu rumus untuk menemukan bilangan prima, rumus untuk distribusi bilangan prima hanya diketahui oleh kita sebagai grafik, atau fungsi langkah yang bertambah 1 ketika x adalah bilangan prima. Grafik di bawah ini menunjukkan fungsi hingga x = 200.


Fungsi distribusi bilangan prima π (x) hingga x = 200.

Teorema distribusi bilangan prima

Teorema tentang distribusi bilangan prima, yang dirumuskan oleh Gauss (dan secara independen Legendre), menyatakan:


Teorema distribusi bilangan prima

Dalam bahasa biasa, ini dapat dinyatakan sebagai berikut: "Ketika x berpindah ke tak terhingga, fungsi distribusi bilangan prima π (x) akan mendekati fungsi x / ln (x)." Dengan kata lain, jika Anda memanjat cukup jauh dan grafik distribusi prima naik ke x yang sangat tinggi, maka membaginya x dengan logaritma natural x, rasio dari kedua fungsi ini akan cenderung 1. Di bawah grafik ini menunjukkan dua fungsi untuk x = 1000:


Fungsi distribusi bilangan prima π (x) dan perkiraan perkiraan oleh teorema distribusi bilangan prima hingga x = 1000

Dari sudut pandang probabilitas, teorema distribusi bilangan prima mengatakan bahwa jika kita secara acak memilih bilangan bulat positif x, maka probabilitas P (x) bahwa bilangan ini akan bilangan prima kira-kira sama dengan 1 / ln (x). Ini berarti bahwa kesenjangan rata-rata antara bilangan prima berturut-turut di antara bilangan x pertama adalah sekitar ln (x).

Logaritma Integral

Fungsi Li (x) didefinisikan untuk semua bilangan real positif, dengan pengecualian x = 1. Ini didefinisikan oleh integral dari 2 hingga x :


Representasi integral dari fungsi logaritma integral

Setelah memplot fungsi ini di sebelah fungsi distribusi prima dan rumus dari teorema distribusi prima, kita melihat bahwa Li (x) sebenarnya merupakan perkiraan yang lebih baik daripada x / ln (x):


Logaritma integral Li (x) , fungsi distribusi bilangan prima π (x) dan x / ln (x) pada grafik yang sama

Untuk mengetahui seberapa jauh perkiraan ini, kita bisa membuat tabel dengan nilai x yang besar, jumlah bilangan prima hingga x dan kesalahan antara yang lama (teorema tentang distribusi bilangan prima) dan fungsi-fungsi (logaritma integral) yang baru:


Jumlah bilangan prima hingga kekuatan puluhan yang diberikan dan kesalahan yang sesuai untuk dua perkiraan

Seperti yang dapat Anda lihat dengan mudah, logaritma integral jauh lebih baik dalam perkiraan daripada fungsi dari teorema pada distribusi bilangan prima, itu "membuat kesalahan" dengan hanya 314.890 bilangan prima untuk x = 10 pangkat 14. Namun demikian, kedua fungsi bertemu untuk fungsi distribusi bilangan prima π (x). Li (x) konvergen jauh lebih cepat, tetapi ketika x cenderung tak terhingga, rasio antara fungsi distribusi bilangan prima dan fungsi Li (x) dan x / ln (x) mendekati 1. Kami menunjukkan ini dengan jelas:


Konvergensi rasio dua nilai perkiraan dan fungsi distribusi bilangan prima ke 1 pada x = 10.000

Fungsi gamma

Fungsi gamma Γ (z) telah menjadi objek penelitian yang penting sejak ketika pada tahun 1720-an, Daniel Bernoulli dan Christian Goldbach menyelidiki masalah generalisasi fungsi faktorial menjadi argumen non-integer. Ini adalah generalisasi dari fungsi faktorial n ! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x .... N ) digeser ke bawah oleh 1:


Fungsi gamma yang ditentukan untuk z

Jadwalnya sangat penasaran:


Grafik fungsi gamma Γ (z) dalam interval -6 ≤ z ≤ 6

Fungsi gamma Γ (z) didefinisikan untuk semua nilai kompleks z yang lebih besar dari nol. Seperti yang mungkin Anda ketahui, bilangan kompleks adalah kelas angka dengan bagian imajiner , ditulis sebagai Re ( z ) + Im ( z ), di mana Re ( z ) adalah bagian nyata (bilangan real biasa), dan Im ( z ) adalah bagian imajiner dilambangkan dengan huruf i . Bilangan kompleks biasanya ditulis dalam bentuk z = σ + itu , di mana sigma σ adalah bagian nyata dan itu adalah imajiner. Bilangan kompleks berguna karena memungkinkan matematikawan dan insinyur bekerja dengan masalah yang tidak dapat diakses oleh bilangan real biasa. Dalam bentuk kompleks, bilangan kompleks memperpanjang garis bilangan satu dimensi tradisional menjadi bidang bilangan dua dimensi, yang disebut bidang kompleks , di mana bagian nyata dari bilangan kompleks diletakkan di sepanjang sumbu x, dan imajiner - sepanjang sumbu y.

Agar fungsi gamma Γ (z) dapat digunakan, biasanya ditulis ulang dalam bentuk


Hubungan fungsional dari fungsi gamma Γ (z)

Dengan menggunakan persamaan ini, kita bisa mendapatkan nilai untuk z di bawah nol. Namun, itu tidak memberikan nilai untuk bilangan bulat negatif, karena mereka tidak didefinisikan (secara formal mereka adalah degenerasi atau kutub sederhana).

Zeta dan gamma

Hubungan antara fungsi zeta dan fungsi gamma diberikan oleh integral berikut:

---

Fungsi Riemann Zeta

Setelah membiasakan diri dengan semua sumber daya fundamental yang diperlukan, kita akhirnya dapat mulai membangun hubungan antara bilangan prima dan hipotesis Riemann.

Matematikawan Jerman, Bernhard Riemann lahir pada tahun 1826 di Brezlenets. Sebagai mahasiswa Gauss, Riemann menerbitkan sebuah makalah di bidang analisis matematika dan geometri. Diyakini bahwa ia memberikan kontribusi terbesar dalam bidang geometri diferensial, di mana ia meletakkan dasar untuk bahasa geometri, yang kemudian digunakan oleh Einstein dalam teori relativitas umum.


Satu-satunya karyanya dalam teori bilangan, sebuah makalah tahun 1859 oleh Ueber die Anzahl der Primzahlen sebelum einer gegebenen Grösse ("Pada bilangan prima kurang dari jumlah tertentu") dianggap sebagai artikel paling penting dalam bidang matematika ini. Hanya dalam empat halaman ia menguraikan:

• Definisi fungsi Riemann zeta ζ (s) - fungsi zeta dengan nilai kompleks;
• Kelanjutan analitik fungsi zeta ke semua bilangan kompleks s ≠ 1;
• Definisi fungsi Riemann i (s) - seluruh fungsi yang terkait dengan fungsi zen Riemann melalui fungsi gamma;
• Dua bukti persamaan fungsional fungsi Riemann zeta;
• Penentuan fungsi distribusi Riemann primes J (x) menggunakan fungsi distribusi primes dan fungsi Mobius;
• Rumus eksplisit untuk jumlah bilangan prima kurang dari bilangan yang diberikan menggunakan fungsi distribusi bilangan prima Riemann yang didefinisikan menggunakan nol non-sepele dari fungsi Riemann zeta.

Ini adalah contoh luar biasa dari kecerdikan dan pemikiran kreatif, yang suka yang mungkin belum terlihat sejak itu. Pekerjaan yang benar-benar menakjubkan.

Fungsi Riemann Zeta

Kami telah melihat hubungan erat antara bilangan prima dan fungsi zeta yang ditunjukkan oleh Euler dalam karyanya. Namun, dengan pengecualian hubungan ini, sedikit yang diketahui tentang hubungan mereka, dan penemuan bilangan kompleks diperlukan untuk menunjukkannya.

Riemann adalah orang pertama yang mempertimbangkan fungsi zeta ζ (s) untuk variabel kompleks s , di mana s = σ + i t.


Fungsi Riemann zeta untuk n, di mana s = σ + itu adalah bilangan kompleks di mana σ dan t adalah bilangan real.

Seri tak hingga ini, yang disebut fungsi Riemann zeta ζ (s), bersifat analitik (yaitu, memiliki nilai yang dapat ditentukan) untuk semua bilangan kompleks dengan bagian nyata lebih besar dari 1 (Re (s)> 1). Dalam bidang definisi ini, konvergen mutlak .

Untuk menganalisis fungsi di daerah-daerah di luar daerah normal konvergensi (ketika bagian nyata dari variabel kompleks s lebih besar dari 1), fungsi Anda ingin menimpa. Riemann berhasil mengatasi ini dengan melakukan kelanjutan analitik ke fungsi yang benar-benar konvergen pada Re (s) setengah bidang> 0.


Bentuk ditulis ulang dari fungsi Riemann zeta, di mana {x} = x - | x |

Definisi baru dari fungsi zeta ini adalah analitik di bagian mana pun dari setengah bidang Re (s)> 0, dengan pengecualian s = 1, di mana ia merupakan kutub degenerasi / sederhana. Dalam domain definisi ini, ini disebut fungsi meromorfik karena bersifat holomorfik (rumit terdiferensiasi dalam lingkungan setiap titik dalam domain definisinya), kecuali untuk kutub sederhana s = 1. Selain itu, ini adalah contoh yang sangat baik dari fungsi-Dirichlet L-fungsi .

Dalam artikelnya, Riemann tidak berhenti di situ. Dia pergi ke analitik kelanjutan fungsi zeta ζ (s) sepanjangbidang kompleks menggunakan fungsi gamma Γ (z). Agar tidak menyulitkan pos, saya tidak akan memberikan perhitungan ini, tetapi saya sangat menyarankan agar Anda melihatnya sendiri untuk memastikan intuisi dan keterampilan Riemann yang luar biasa.

Metodenya menggunakan representasi integral dari gamma Γ (z) untuk variabel kompleks dan fungsi theta Jacobi ϑ (x), yang dapat ditulis ulang sedemikian rupa sehingga fungsi zeta muncul. Saat memutuskan zeta, kita mendapatkan:


Persamaan zeta fungsional untuk seluruh bidang kompleks dengan pengecualian dua degenerasi pada s = 0 dan s = 1

Dalam bentuk ini, kita perhatikan bahwa istilah ψ (s) berkurang lebih cepat daripada kekuatan x, dan oleh karena itu integral konvergen ke semua nilai s.

Lebih jauh lagi, Riemann memperhatikan bahwa istilah pertama dalam tanda kurung (-1 / s (1 - s)) adalah invarian (tidak berubah) jika s diganti dengan 1 - s. Berkat ini, Riemann semakin memperluas kegunaan persamaan dengan menghilangkan dua kutub pada s = 0 dan s = 1, dan mendefinisikan fungsi Riemann xi ξ (s) tanpa degenerasi:


Fungsi Xi-Riemann ξ

Nol dari Fungsi Riemann Zeta

Akar / nol dari fungsi zeta, ketika ζ (s) = 0, dapat dibagi menjadi dua jenis, yang disebut nol "trivial" dan "nontrivial" dari fungsi Riemann zeta.

Keberadaan nol dengan bagian nyata Re (s) <0

Nol sepele adalah nol yang mudah ditemukan dan dijelaskan. Mereka paling terlihat dalam bentuk fungsional fungsi zeta berikut:


Variasi dari persamaan zeta fungsional Riemann.Produk

ini menjadi sama dengan nol ketika sinus menjadi nol. Ini terjadi pada nilai kπ. Yaitu, dengan bilangan bulat genap negatif s = -2n, fungsi zeta menjadi nol. Namun, untuk bilangan bulat genap positif s = 2n, nol dibatalkan oleh kutub fungsi gamma Γ (z). Lebih mudah untuk melihat dalam bentuk fungsional aslinya; jika kita mengganti s = 2n, maka bagian pertama dari istilah menjadi tidak terdefinisi.


Jadi, fungsi Riemann zeta memiliki nol di setiap bilangan bulat genap negatif s = -2n. Ini adalah nol sepele, dan mereka dapat dilihat pada grafik fungsi:


Grafik fungsi Riemann zeta ζ (s) dengan nol pada s = -2, -4, -6 dan seterusnya

Keberadaan nol dengan bagian nyata Re (s)> 1

Dari formulasi Euler zeta, kita dapat langsung melihat bahwa zeta ζ (s) tidak boleh nol di suatu wilayah dengan bagian nyata s lebih besar dari 1, karena produk infinite konvergen dapat menjadi nol hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol. Bukti ketidakterbatasan bilangan prima meniadakan hal ini.


Formula Euler

Keberadaan nol dengan bagian nyata 0 ≤ Re (s) ≤ 1

Kami menemukan nol sepele dari zeta di setengah bidang negatif ketika Re (s) <0, dan menunjukkan bahwa di wilayah Re (s)> 1 tidak ada nol.

Namun, area antara kedua area ini, yang disebut strip kritis, telah menjadi fokus utama perhatian dalam teori bilangan analitik selama ratusan tahun terakhir.


Plot dari bagian real dan imajiner dari fungsi Riemann zeta ζ (s) dalam interval -5 <Re <2, 0 <Im <60

Pada grafik di atas, saya menampilkan bagian real dari zeta ζ dengan warna merah dan bagian imajiner dengan warna biru. Kita melihat dua nol sepele pertama di sudut kiri bawah, di mana bagian s sebenarnya adalah -2 dan -4. Antara 0 dan 1, saya mengidentifikasi pita kritis dan mencatat persimpangan bagian zeta real yang nyata dan imajiner. Ini adalah nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta. Naik ke nilai yang lebih tinggi, kita akan melihat lebih banyak dari nol dan dua fungsi tampaknya acak, yang menjadi lebih padat dengan meningkatnya nilai-nilai bagian imajiner dari s .


Grafik bagian nyata dan imajiner fungsi Riemann zeta ζ (s) dalam interval -5 <Re <2, 0 <Im <120

Xi-function Riemann

Kami mendefinisikan Riemann xi-function ξ (s) (bentuk persamaan fungsional di mana semua degenerasi dihilangkan, yaitu, itu didefinisikan untuk semua nilai s) sebagai berikut:


Riemann Xi-function tanpa degeneracy,

fungsi ini memuaskan relasinya


Hubungan simetris antara nilai-nilai positif dan negatif dari fungsi Riemann xi.

Ini berarti bahwa fungsi tersebut simetris sehubungan dengan garis vertikal Re ( s ) = 1/2, mis., Ξ (1) = ξ (0), ξ (2) = ξ (-1 ), dan seterusnya. Hubungan fungsional ini (simetri s dan 1 s ) dalam kombinasi dengan produk Euler menunjukkan bahwa fungsi Riemann xi hanya dapat memiliki nol dalam interval 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1. Dengan kata lain, nol pada fungsi Riemann xi sesuai dengan zeta nol non-sepele Fungsi Riemann. Dalam hal tertentu, garis kritis R (s) = 1/2 untuk fungsi Riemann zeta ζ ( s ) sesuai dengan garis nyata (Im ( s ) = 0) untuk Riemann xi-function ξ ( s)

Melihat dua grafik yang ditunjukkan di atas, Anda dapat segera melihat bahwa untuk semua nol non-sepele dari fungsi Riemann zeta ζ ( s ) (nol dari fungsi Riemann xi), bagian sebenarnya dari Re (s) adalah 1/2. Dalam artikelnya, Riemann secara singkat menyebutkan properti ini, dan catatannya yang dangkal sebagai salah satu warisan terbesarnya.

Hipotesis Riemann

Untuk nol non-sepele dari fungsi Riemann zeta ζ (s), bagian sebenarnya memiliki bentuk Re (s) = 1/2.

Ini adalah formulasi modern dari asumsi yang tidak terbukti yang dibuat oleh Riemann dalam artikelnya yang terkenal. Ini menyatakan bahwa semua titik di mana zeta adalah nol (ζ (s) = 0) pada strip kritis 0 ≤ Re (s) ≤ 1 memiliki bagian nyata Re (s) = 1/2. Jika ini benar, maka semua nol non-sepele dari zeta akan memiliki bentuk ζ (1/2 + i t).

Formulasi yang setara (dinyatakan oleh Riemann sendiri) adalah bahwa semua akar fungsi Riemann i (s) adalah nyata.

Pada grafik di bawah ini, garis Re (s) = 1/2 adalah sumbu horizontal. Bagian nyata Re ( s ) dari zeta ζ ( s ) ditunjukkan oleh garis merah, dan bagian imajiner Im ( s ) ditunjukkan oleh garis biru. Nol non-trivial adalah persimpangan antara grafik merah dan biru pada garis horizontal.


Nol nontrivial pertama dari fungsi Riemann zeta pada baris Re (s) = 1/2.

Jika hipotesis Riemann ternyata benar, maka semua nol non-sepele fungsi akan terjadi pada baris ini sebagai persimpangan dua grafik.

Alasan untuk percaya pada hipotesis

Ada banyak alasan untuk meyakini kebenaran hipotesis Riemann mengenai nol fungsi zeta. Mungkin alasan yang paling meyakinkan bagi matematikawan adalah konsekuensi yang akan ditimbulkannya terhadap distribusi bilangan prima. Uji numerik hipotesis pada nilai sangat tinggi menunjukkan bahwa itu benar. Faktanya, konfirmasi numerik dari hipotesis begitu kuat sehingga di bidang lain, misalnya, dalam fisika atau kimia, itu dapat dianggap terbukti secara eksperimen. Namun, dalam sejarah matematika ada beberapa hipotesis yang diuji dengan nilai yang sangat tinggi, dan ternyata ternyata salah. Derbyshire (2004) bercerita tentang angka Skews - angka yang sangat besar yang mengindikasikan batas atas dan dengan demikian membuktikan kepalsuan salah satu hipotesis Gauss bahwa logaritma integral Li ( x) selalu lebih besar dari fungsi distribusi bilangan prima. Itu dibantah oleh Littlewood tanpa contoh, dan kemudian ditunjukkan bahwa itu tidak benar di atas jumlah Skewe yang sangat besar - sepuluh pangkat sepuluh, pangkat sepuluh, pangkat 34. Ini membuktikan bahwa terlepas dari kekeliruan yang terbukti dari gagasan Gauss, sebuah contoh lokasi yang tepat dari penyimpangan tersebut dari hipotesis jauh melampaui kekuatan komputasi modern. Ini dapat terjadi dalam kasus hipotesis Riemann, yang diuji "hanya" pada puluhan dari dua belas nol yang tidak sepele.

Fungsi Riemann zeta dan bilangan prima

Berdasarkan kebenaran hipotesis Riemann, Riemann sendiri mulai mempelajari konsekuensinya. Dalam artikelnya, ia menulis: "... ada kemungkinan besar bahwa semua akar adalah material. Tentu saja, bukti yang kuat diperlukan di sini; setelah melakukan beberapa upaya yang gagal, saya akan menunda pencariannya, karena tampaknya menjadi opsional untuk tujuan penelitian saya berikutnya . " Tujuan berikutnya adalah untuk menghubungkan nol fungsi zeta dengan bilangan prima.

Ingat fungsi distribusi bilangan prima π ( x ), yang menghitung jumlah bilangan prima hingga bilangan real x . Riemann menggunakan π ( x ) untuk menentukan fungsi eigen dari distribusi bilangan prima, yaitu fungsi distribusi bilangan Riemann primer J ( x ). Ini didefinisikan sebagai berikut:


Fungsi distribusi bilangan prima Riemann

Hal pertama yang dapat Anda perhatikan dalam fungsi ini adalah tidak terbatas. Untuk beberapa istilah, fungsi distribusi akan menjadi nol, karena tidak ada bilangan prima untuk x <2. Artinya, dengan mengambil J (100) sebagai contoh, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdiri dari tujuh anggota, karena istilah kedelapan akan berisi akar kedelapan 100, yang kira-kira sama dengan 1.778279 .., yaitu, anggota distribusi bilangan prima ini menjadi sama dengan nol, dan jumlahnya menjadi sama dengan J (100) = 28.5333 ...

Seperti fungsi distribusi bilangan prima, fungsi Riemann J ( x ) adalah fungsi langkah, nilainya meningkat sebagai berikut:


Nilai yang mungkin dari fungsi distribusi bilangan Riemann

Untuk menghubungkan nilai J ( x ) dengan jumlah bilangan prima hingga x , termasuk itu, kita akan kembali ke fungsi distribusi bilangan prima π ( x ) menggunakan proses yang disebut inversi Mobius (saya tidak akan menunjukkannya di sini). Ekspresi yang dihasilkan akan terlihat seperti


Fungsi distribusi bilangan prima π (x) dan hubungannya dengan fungsi distribusi bilangan Riemann dan fungsi Mobius μ (n)

Ingatlah bahwa nilai yang mungkin dari fungsi Mobius adalah dari formulir


Tiga kemungkinan nilai fungsi Mobius μ (n)

Ini berarti bahwa sekarang kita dapat menulis fungsi distribusi bilangan prima sebagai fungsi distribusi bilangan Riemann, yang akan memberi kita


Fungsi distribusi bilangan prima, ditulis sebagai fungsi distribusi bilangan Riemann untuk tujuh nilai pertama n

Ekspresi baru ini masih merupakan jumlah akhir, karena J ( x ) sama dengan nol untuk x <2, karena tidak ada bilangan prima kurang dari 2.

Jika sekarang kita kembali mempertimbangkan contoh dengan J (100), kita mendapatkan jumlahnya


Fungsi distribusi bilangan prima untuk x = 100

Yang, seperti kita ketahui, adalah jumlah bilangan prima di bawah 100.

Mengubah Formula Produk Euler

Kemudian Riemann menggunakan produk Euler sebagai titik awal dan memperoleh metode untuk estimasi analitik bilangan prima dalam bahasa matanalisis yang tidak dapat dihitung. Dimulai dengan Euler:


Produk Euler untuk lima bilangan prima pertama

Pertama, mengambil logaritma di kedua sisi dan kemudian menulis ulang penyebutnya dalam tanda kurung, ia mendapatkan hubungan


Logaritma dari formula yang ditulis ulang untuk produk Euler

Kemudian, dengan menggunakan seri Taylor-Maclaurin yang terkenal, ia memperluas setiap istilah logaritmik di sisi kanan, menciptakan jumlah tak terbatas dari jumlah tak terbatas, satu untuk setiap istilah dalam serangkaian bilangan prima.


Ekspansi Taylor untuk empat istilah pertama dari logaritma produk Euler

Pertimbangkan salah satu dari anggota ini, misalnya:


Istilah kedua adalah dekomposisi Maclaurin selama 1/3 ^ dtk

Anggota ini, seperti setiap anggota lainnya dari perhitungan, mewakili bagian dari area di bawah fungsi J ( x ). Dalam bentuk integral:


Bentuk integral dari istilah kedua ekspansi Maclaurin selama 1/3 ^ dtk

Dengan kata lain, menggunakan produk Euler, Riemann menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk merepresentasikan fungsi distribusi stepwise diskrit dari bilangan prima dalam bentuk jumlah integral yang terus menerus. Dalam grafik di bawah ini, contoh istilah yang kami ambil ditunjukkan sebagai bagian dari area di bawah grafik fungsi distribusi bilangan Riemann.


Fungsi distribusi Riemann primes J (x) hingga x = 50, di mana dua integral dibedakan

Jadi, setiap ekspresi dalam jumlah terbatas, membentuk serangkaian jumlah terbalik dengan bilangan prima dari produk Euler, dapat dinyatakan sebagai integral yang membentuk jumlah integral tak terbatas yang sesuai dengan area di bawah fungsi distribusi bilangan Riemann. Untuk bilangan prima 3, produk integral ini memiliki bentuk:


Produk tak terhingga dari integral yang membentuk area di bawah fungsi distribusi bilangan prima yang diwakili oleh bilangan bulat 3

Jika kita mengumpulkan semua jumlah tak terbatas ini menjadi satu integral, maka integral di bawah fungsi distribusi bilangan Riemann J ( x ) dapat ditulis dalam bentuk sederhana:


Logaritma zeta, dinyatakan sebagai deretan integral tak hingga

Atau lebih dikenal


Setara modern dengan produk Euler, menghubungkan fungsi zeta dengan fungsi distribusi bilangan Riemann

Berkat ini, Riemann berhasil menghubungkan dalam bahasa matanalisis fungsi zeta ζ ( s ) dengan fungsi distribusi Riemann primes J ( x ) dalam kesetaraan yang setara dengan formula produk Euler.

Kesalahan

Setelah mendapatkan bentuk analitis dari produk Euler ini, Riemann mulai merumuskan teorema sendiri tentang distribusi bilangan prima. Dia mempresentasikannya dalam bentuk eksplisit berikut:


“Teorema distribusi primer Riemann,” yang memprediksi jumlah bilangan prima kurang dari jumlah yang diberikan x

Ini adalah formula Riemann yang eksplisit. Itu menjadi peningkatan teorema pada distribusi bilangan prima, perkiraan yang lebih akurat dari jumlah bilangan prima hingga angka x . Formula terdiri dari empat anggota:

1. Istilah pertama atau “utama” adalah logaritma integral Li ( x ), yang merupakan perkiraan yang lebih baik dari fungsi distribusi bilangan prima π ( x ) dari teorema distribusi utama. Ini adalah istilah terbesar, dan seperti yang telah kita lihat, ini mengembang jumlah bilangan prima ke nilai x yang diberikan.
2. Istilah kedua, atau "periodik", adalah jumlah dari logaritma integral x dengan kekuatan ρ , dijumlahkan dengan ρ , yang merupakan nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta. Anggota ini mengontrol pernyataan anggota inti yang berlebihan.
3. Anggota ketiga adalah konstanta -log (2) = -0.6993147 ...
4. Istilah keempat dan terakhir adalah integral, sama dengan nol untuk x <2, karena tidak ada bilangan prima kurang dari 2. Nilai maksimumnya adalah 2, ketika integralnya adalah sekitar 0,1400101 ....

Pengaruh dari dua istilah terakhir pada nilai fungsi dengan meningkatnya x menjadi sangat kecil. "Kontribusi" utama untuk jumlah besar dibuat oleh fungsi logaritma integral dan jumlah periodik. Lihat efeknya pada grafik:


Fungsi langkah dari distribusi bilangan prima π (x) , didekati dengan rumus eksplisit untuk fungsi distribusi bilangan prima Riemann J (x) menggunakan 35 nol nontrivial pertama dari fungsi ρ Riemann zeta.

Dalam grafik di atas, saya memperkirakan fungsi distribusi prima π ( x ) menggunakan rumus eksplisit fungsi distribusi prima Riemann J ( x ) dan menjumlahkan 35 nol nontrivial pertama dari fungsi Riemann zeta ζ (s). Kita melihat bahwa istilah periodik membuat fungsi “beresonansi” dan mulai mendekati bentuk fungsi distribusi bilangan prima π ( x ).

Di bawah ini adalah plot yang sama dengan menggunakan lebih banyak nol non-sepele.


Fungsi langkah dari distribusi bilangan prima π (x) didekati dengan rumus eksplisit untuk distribusi bilangan prima Riemann J (x) menggunakan 100 nol nontrivial pertama dari fungsi ρ Riemann zeta.

Dengan menggunakan fungsi Riemann eksplisit, kita dapat dengan sangat akurat memperkirakan jumlah bilangan prima hingga angka yang diberikan x . Bahkan, pada tahun 1901, Niels Koch membuktikan bahwa menggunakan nol non-sepele dari fungsi Riemann zeta untuk memperbaiki kesalahan fungsi logaritma integral setara dengan batas "terbaik" untuk kesalahan dalam teorema distribusi bilangan prima.

"... Nol ini bertindak seperti kutub telegraf, dan sifat khusus fungsi Riemann zeta persis memerintahkan bagaimana kawat (grafiknya) harus menggantung di antara mereka ...", - Dan Rockmore

Epilog

Setelah kematian Riemann pada tahun 1866, hanya pada usia 39, artikel perintisnya terus menjadi panduan dalam bidang teori bilangan analitik dan teori bilangan prima. Sampai hari ini, hipotesis Riemann tentang nol yang tidak sepele dari fungsi Riemann zeta tetap belum terselesaikan, meskipun ada penelitian aktif oleh banyak ahli matematika hebat. Setiap tahun, berbagai hasil dan dugaan baru diterbitkan terkait dengan hipotesis ini dengan harapan bahwa suatu saat bukti akan menjadi nyata.