Teorema matematika yang paling indah: identitas Euler

Setelah menonton kuliah oleh Profesor Robin Wilson tentang identitas Euler, saya akhirnya bisa memahami mengapa identitas Euler adalah persamaan yang paling indah. Untuk berbagi kekaguman saya untuk topik ini dan untuk memperkuat pengetahuan saya sendiri, saya akan menguraikan catatan yang dibuat selama kuliah. Dan di sini Anda dapat membeli bukunya yang indah.

Apa yang bisa lebih misterius daripada interaksi bilangan imajiner dengan bilangan real, sehingga tidak menghasilkan apa-apa? Pertanyaan semacam itu ditanyakan oleh pembaca majalah Fisika Dunia pada tahun 2004 untuk menekankan keindahan persamaan Euler "e dalam derajat i kali pi adalah minus satu . "


Gambar 1.0 : Identitas Euler - e dalam derajat i kali pi, ditambah satu adalah nol.

Sebelumnya, pada tahun 1988, ahli matematika David Wells, yang menulis artikel untuk jurnal matematika Amerika The Mathematical Intelligencer , menyusun daftar 24 teorema matematika dan melakukan survei meminta pembaca artikelnya untuk memilih teorema yang paling indah. Dan setelah persamaan Euler dimenangkan oleh margin lebar di dalamnya, ia menerima gelar "persamaan paling indah dalam matematika."


Gambar 2.0 : Sampul majalah The Mathematical Intelligencer


Gambar 3.0 : Polling David Wells dari majalah

Leonhard Euler disebut ahli matematika paling produktif dalam sejarah. Matematikawan luar biasa lainnya terinspirasi oleh karyanya. Salah satu fisikawan terbaik di dunia, Richard Feynman, dalam kuliahnya yang terkenal tentang fisika, menyebut persamaan Euler "formula paling luar biasa dalam matematika . " Ahli matematika hebat lainnya, Michael Atiyah, menyebut rumus ini "... pasangan matematis dari ungkapan Hamlet" menjadi atau tidak menjadi "- sangat pendek, sangat ringkas, dan pada saat yang sama sangat dalam . "

Ada banyak fakta menarik tentang persamaan Euler. Misalnya, itu ditemukan di beberapa episode The Simpsons.


Gambar 4.0 : Dalam adegan ini, persamaan Euler dapat dilihat pada buku kedua di tumpukan paling kanan.


Gambar 5.0 : Dalam adegan ini, persamaan Euler ditulis pada T-shirt karakter sekunder.

Juga, persamaan Euler telah menjadi titik kunci dalam kasus pidana . Pada tahun 2003, mahasiswa pascasarjana di Institut Teknologi California Billy Cottrell melukis persamaan Euler pada mobil sport orang lain. Di persidangan, dia berkata: " Saya telah mengetahui teorema Euler sejak saya berusia lima tahun, dan semua orang harus mengetahuinya ."


Gambar 6.0 : Perangko yang diterbitkan pada tahun 1983 di Jerman untuk memperingati peringatan dua abad kematian Euler.


Gambar 7.0 : Perangko yang diterbitkan oleh Swiss pada tahun 1957 untuk menghormati peringatan 250 tahun Euler.

Mengapa persamaan Euler begitu penting?

Anda berhak bertanya-tanya: mengapa Billy Cottrell berpikir bahwa semua orang harus tahu tentang persamaan Euler? Dan begitu yakin akan hal ini sehingga dia mulai menulisnya di komputer orang lain? Jawabannya sederhana: Euler menggunakan tiga konstanta dasar matematika dan menerapkan operasi matematika dari perkalian dan eksponensial untuk menulis formula yang indah, menghasilkan nol atau minus satu.

• Konstanta e terkait dengan fungsi daya.
• Konstanta i tidak nyata, tetapi bilangan imajiner sama dengan akar kuadrat minus satu.
• Konstanta π (pi) yang terkenal terhubung dengan lingkaran.

Identitas Euler pertama kali muncul pada 1748 dalam bukunya Introductio in analysin infinitorum . Kemudian, orang lain melihat bahwa rumus ini terkait dengan fungsi trigonometri dari sinus dan cosinus, dan hubungan ini luar biasa, karena fungsi daya cenderung tak hingga, dan fungsi trigonometri berkisar dari -1 hingga -1.

e dengan kekuatan i kali ϕ (phi) = cos ϕ + i * sin ϕ

Gambar 8.0 : fungsi eksponensial y = e ^x .


Gambar 8.1 : Grafik identitas Euler.


Gambar 8.2 : Frekuensi yang dipancarkan oleh sirkuit LC.

Persamaan dan grafik yang ditunjukkan di atas mungkin tampak abstrak, tetapi mereka penting untuk fisika kuantum dan perhitungan pemrosesan gambar, dan pada saat yang sama tergantung pada identitas Euler.

1: nomor untuk akun

Angka 1 (unit) adalah dasar dari sistem kalkulus kami. Dengan dia kita mulai menghitung. Tapi apa yang kita pikirkan? Untuk menghitung, kami menggunakan digit 0–9 dan sistem digit yang menentukan nilai digit.

Misalnya, angka 323 berarti 3 ratusan, 2 puluhan dan 3 unit. Di sini, angka 3 memainkan dua peran berbeda, yang bergantung pada lokasinya.

323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

Ada sistem kalkulus lain yang disebut biner. Dalam sistem ini, basis 2 digunakan bukan 10. Ini banyak digunakan dalam komputer dan pemrograman. Misalnya, dalam sistem biner:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 dalam sistem dengan basis 10]

Siapa yang menciptakan sistem kalkulus? Bagaimana orang pertama menghitung benda atau binatang?

Bagaimana sistem kalkulus kita terjadi? Apa yang dipikirkan peradaban pertama? Kami tahu pasti bahwa mereka tidak menggunakan sistem bit kami. Sebagai contoh, 4000 tahun yang lalu, orang Mesir kuno menggunakan sistem bilangan dengan simbol yang berbeda. Namun, mereka menggabungkan karakter untuk membuat karakter baru untuk angka.


Gambar 11 : hieroglif yang ditampilkan di sini membentuk angka 4622; ini adalah salah satu angka yang diukir di dinding di kuil di Karnak (Mesir).


Gambar 12 : Hieroglyph adalah gambar yang mewakili kata, dan dalam hal ini, angka.

Pada saat yang sama, tetapi di tempat lain, masyarakat lain menemukan metode penghitungan, tetapi simbol juga digunakan di dalamnya. Selain itu, dasar kalkulus mereka adalah 60, bukan 10. Kami menggunakan metode penghitungan mereka untuk menentukan waktu; oleh karena itu, 60 menit dalam satu menit, dan 60 menit dalam satu jam.


Gambar 13 : Angka-angka Babel dari sistem angka heksadesimal (dengan basis 60).

Seribu tahun kemudian, orang Romawi kuno menemukan angka Romawi. Mereka menggunakan huruf untuk menunjukkan angka. Notasi Romawi tidak dianggap sebagai sistem bit, karena untuk banyak nilai sistem bilangan kami, huruf yang berbeda digunakan di dalamnya. Karena alasan inilah mereka menggunakan sempoa untuk berhitung.


Gambar 14 : Sempoa Romawi dalam sistem bilangan heksadesimal (dengan basis 16)


Gambar 15 : Tabel konversi Arab ke Romawi

Orang Yunani kuno juga tidak menggunakan sistem digit. Matematikawan Yunani melambangkan angka dengan huruf. Mereka memiliki surat khusus untuk angka dari 100 hingga 900. Banyak orang pada saat itu menganggap angka Yunani membingungkan.


Gambar 15 : Tabel huruf Yunani Kuno.

Pada saat yang sama, matematikawan Cina mulai menggunakan tongkat bambu kecil untuk perhitungan. Metode penghitungan Cina ini disebut sistem tempat desimal pertama.


Gambar 16 : Cara berhitung orang Cina dengan nomor stik. Digunakan setidaknya dari 400 SM. Papan hitung persegi digunakan sampai sekitar 1500, ketika digantikan oleh sempoa.

Namun, sistem akun yang paling unik digunakan oleh orang Indian Maya. Sistem bilangan mereka memiliki basis 20. Untuk menunjukkan angka dari 1 hingga 19, mereka menggunakan titik dan garis. Apa perbedaan antara sistem bilangan mereka? Untuk setiap angka mereka menggunakan gambar kepala dan simbol nol yang terpisah 0.


Gambar 17: Sistem angka Maya dengan basis 20, di mana angka ditunjukkan oleh kepala


Gambar 18 : Cara lain untuk menulis angka Maya.

0: angka untuk tidak menunjukkan apa pun

Beberapa peradaban menggunakan ruang untuk, misalnya, membedakan angka 101 dari 11. Setelah beberapa waktu, angka khusus mulai muncul - nol. Misalnya, di sebuah gua di kota Gwalior, India, para arkeolog menemukan di dinding nomor 270, di mana ada nol. Penggunaan nol yang direkam pertama kali dapat dilihat di perpustakaan Bodleian.


Gambar 19 : Lingkaran yang diukir di dinding kuil di Gwalior menunjukkan nol. Usianya sekitar 1.500 tahun.


Gambar 20 : titik-titik hitam dalam naskah Bakhshali menunjukkan angka nol; ini adalah contoh tertulis tertua dari penggunaan angka, berumur sekitar 1800 tahun.

Sekitar 1400 tahun yang lalu, aturan untuk komputasi dengan nol ditulis. Misalnya, menambahkan angka negatif dan nol menghasilkan angka negatif yang sama. Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan, karena jika dibagi dengan nol, kita mendapatkan nomor yang bisa sama dengan nomor apa pun yang kita butuhkan, yang seharusnya dilarang.

Segera setelah itu, banyak orang menerbitkan buku-buku tentang aritmatika yang menyebarkan penggunaan notasi angka Indo-Arab. Di bawah ini adalah evolusi angka-angka Indo-Arab. Sebagian besar negara menggunakan sistem angka Indo-Arab, tetapi negara-negara Arab masih menggunakan angka Arab.


Gambar 21 : Diagram ini menunjukkan evolusi angka, yang berasal dari angka Brahmi dan diakhiri dengan angka yang kita gunakan sekarang.


Gambar 22 : Ukiran klasik "Aritmatika" dari Margarita Philosophica Gregor Reish, yang menggambarkan kompetisi antara Boethius, tersenyum setelah penemuan angka-angka Indo-Arab dan perhitungan tertulis, dan Pythagoras yang mengerutkan kening, masih mencoba menggunakan papan angka.

Pi (π): bilangan irasional paling terkenal

Pi adalah nomor irasional paling populer yang kita kenal. Pi dapat ditemukan dalam dua cara: dengan menghitung rasio keliling lingkaran dengan diameternya, atau rasio luas lingkaran ke kuadrat jari-jarinya. Euclid membuktikan bahwa hubungan ini konstan untuk semua kalangan, bahkan untuk bulan, sen, ban, dll.

π = lingkaran / diameter ATAU π = area lingkaran / jari²²

Gambar 22 : Hubungan animasi antara lingkaran dan diameter dalam kaitannya dengan pi.

Karena bilangan irasional seperti pi tidak terbatas dan tidak memiliki pengulangan, kita tidak akan pernah selesai menulis pi. Itu berlangsung selamanya. Ada orang yang mengingat banyak tempat desimal pi (catatan saat ini adalah 70.000 digit! Sumber: Guinness Book of Records ).


Gambar 23 : Data survei dari 941 responden untuk menentukan persentase orang yang dapat mengingat karakter pi setelah titik desimal.


Gambar 24 : Ratusan pelepasan pi dicatat di dinding stasiun metro Karlsplatz di Wina.

Saat ini, komputer telah dapat menghitung total 2,7 triliun bit pi. Ini mungkin tampak seperti banyak, tetapi sebenarnya jalan ini tidak ada habisnya.

Seperti yang saya katakan di atas, angka pi ditemukan Euclid. Tetapi apa yang dilakukan orang sebelum Euclid ketika mereka perlu menemukan area lingkaran? Sejarawan telah menemukan tablet tanah liat Babilonia, di mana rasio keliling segi enam dengan diameter lingkaran yang dijelaskan di sekitarnya dicatat. Setelah perhitungan, jumlah yang dihasilkan ternyata menjadi 3,125. Ini sangat dekat dengan pi.


Gambar 24 : Tablet tanah liat Babilonia dengan rasio keliling segi enam dengan panjang lingkaran yang dibatasi.


Gambar 25 : Numberwarrior

Bangsa Mesir kuno juga mendekati arti pi. Sejarawan telah menemukan dokumen yang menunjukkan bagaimana orang Mesir kuno menemukan nomor pi. Ketika sejarawan menerjemahkan dokumen itu, mereka menemukan tugas berikut:

Misalnya, untuk menemukan luas bidang dengan diameter 9 topi (1 topi = 52,35 meter), Anda perlu melakukan perhitungan berikut:

Kurangi 1/9 dari diameter, yaitu 1. Sisanya adalah 8. Kalikan dengan 8, yang memberi kita 64. Oleh karena itu, area tersebut akan menjadi 64 setjat (unit area).

Dengan kata lain, diameternya adalah 2r, dan 1/9 dari jari-jarinya adalah (1/9 • 2r). Maka jika kita mengurangi ini dari diameter awal, maka kita mendapatkan 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r). Maka luas lingkaran adalah 256/81 r². Artinya, pi hampir 3,16. Mereka menemukan nilai pi ini sekitar 4.000 tahun yang lalu.

Gambar 26 : Papirus matematika Achmes .

Namun, ahli matematika Yunani menemukan cara yang lebih baik untuk menghitung pi. Sebagai contoh, Archimedes lebih suka bekerja dengan perimeter. Dia mulai menggambar lingkaran yang menggambarkan poligon dengan ukuran berbeda. Ketika dia menggambar segi enam, dia menggambar sebuah lingkaran dengan diameter 1. Kemudian dia melihat bahwa setiap sisi dari segi enam adalah 1/2 dan perimeter dari segi enam adalah 1/2 x 6 = 3. Kemudian dia meningkatkan jumlah sisi poligon sampai tampak seperti lingkaran . Bekerja dengan poligon bersisi 96 dan menerapkan metode yang sama, ia mendapat 2 digit desimal pi setelah titik desimal: 3 dan 10/71 = 3,14084. Bertahun-tahun kemudian, matematikawan Tiongkok Liu Hu menggunakan poligon bersisi 3072 dan mendapatkan angka 3,14159 (5 digit desimal pi yang valid setelah titik desimal). Setelah itu, ahli matematika Cina lainnya Zu Chunzhi melakukan pekerjaan yang bahkan lebih mengesankan. Dia bekerja dengan poligon sisi 24000 dan mendapat 3,1415926 - tujuh digit desimal yang valid pi setelah titik desimal.

Seribu tahun kemudian, matematikawan Jerman Ludolf Zeilen bekerja dengan 2 poligon bersisi 62 dan menerima 35 digit desimal pi. Nomor ini, disebut Lyudolfov, diukir di batu nisannya.




Pada 1706, orang Inggris John Machin, yang telah lama menjadi profesor astronomi, menggunakan rumus tambahan untuk membuktikan bahwa pi sama dengan


Tidak khawatir tentang dari mana formula ini berasal, Macin mulai menggunakannya terus-menerus, dan kemudian menuliskan seri yang ditunjukkan di bawah ini. Ini adalah langkah terbesar pada saat itu dalam jumlah digit pi.


Gambar 29 : Formula machin untuk pi

Namun, penyebutan pi pertama kali muncul pada 1706. Guru matematika William Jones menulis sebuah buku dan pi pertama yang diusulkan untuk mengukur lingkaran. Jadi pi pertama kali muncul di buku!




Gambar 30 : Juliabloggers

Pada tahun 1873, William Shanks menggunakan rumus John Machin dan menerima 707 pi desimal. Angka-angka ini ditulis di kamar Istana Penemuan Paris. Namun, ahli matematika kemudian menemukan bahwa hanya 527 digit yang benar.


Gambar 31 : ruang pi

Di sisi lain, Buffon menemukan cara yang lebih menarik untuk menemukan pi. Eksperimennya didasarkan pada jarum yang tersebar secara acak untuk mengevaluasi pi. Dia menggambar beberapa garis paralel di papan pada jarak D dan mengambil panjang jarum L. Kemudian dia secara acak mulai melemparkan jarum ke papan tulis dan menuliskan proporsi jarum yang melewati garis.


Gambar 32.0 : Ilmu Pengetahuan Jumat

Dan setelah itu, ahli matematika lain bernama Lazzarini melemparkan jarum 3408 kali dan menerima enam digit desimal pi dengan rasio 355/113. Namun, jika satu jarum tidak melewati garis, ia hanya akan menerima 2 digit pi.


Gambar 32.1 : Melempar 1000 jarum untuk memperkirakan perkiraan pi

e: sejarah pertumbuhan eksponensial

e adalah bilangan irasional terkenal lainnya. Bagian pecahan e juga tak terbatas, seperti pi. Kami menggunakan angka e untuk menghitung pertumbuhan daya (eksponensial). Dengan kata lain, kita menggunakan e ketika kita melihat pertumbuhan atau penurunan yang sangat cepat.

Salah satu yang terbesar, dan mungkin ahli matematika terbaik, Leonard Euler menemukan angka e pada tahun 1736 dan pertama kali menyebutkan nomor khusus ini dalam bukunya Mechanica .



Gambar 33 : sumber

Untuk memahami pertumbuhan eksponensial, kita dapat menggunakan kisah seorang penemu catur. Ketika dia datang dengan game ini, dia menunjukkannya kepada penguasa Utara. Raja menyukai permainan itu dan dia berjanji akan memberikan hadiah apa pun kepada si penulis. Kemudian sang penemu meminta sesuatu yang sangat sederhana: 2 ⁰ butir per sel pertama papan catur, 2 ¹ butir per sel kedua papan, 2 ² butir per ketiga, dan seterusnya. Setiap kali, jumlah gabah meningkat dua kali lipat. Raja Utara berpikir bahwa permintaan itu akan mudah dipenuhi, tetapi dia salah, karena akan perlu untuk menempatkan 2 ⁶³ butir pada sel terakhir, yaitu 9 223 372 036 854 775 808 . Ini adalah pertumbuhan eksponensial. Dimulai pada 1, dua kali lipat terus-menerus, dan setelah 64 langkah itu tumbuh menjadi jumlah yang sangat besar!

Jika seorang penemu catur memilih persamaan linear, misalnya, 2n, ia akan mendapatkan 2, 4, 6, 8, ... 128 ... Oleh karena itu, dalam jangka panjang, pertumbuhan eksponensial seringkali jauh melebihi polinomial.

By the way, 9.223.372.036.854.775.808-1 adalah nilai maksimum integer bertanda 64-bit .

Gambar 34 : sumber: Wikipedia

Angka e ditemukan oleh Euler. Namun, Jacob Bernoulli juga bekerja dengan angka e ketika dia menghitung bunga majemuk untuk mendapatkan lebih banyak uang. Jika Anda berinvestasi $ 100 pada 10% dari pendapatan, bagaimana jumlah ini akan tumbuh? Pertama, itu tergantung pada seberapa sering bank menghitung bunga. Misalnya, jika ia menghitung sekali, maka kami akan menerima $ 110 pada akhir tahun. Jika kita berubah pikiran dan berminat setiap 6 bulan, maka dalam hal ini kita akan menerima lebih dari 110 dolar. Faktanya adalah bahwa persentase yang diterima dalam 6 bulan pertama juga akan menerima persentase. Jumlah total akan sama dengan 110,25 dolar. Anda bisa menebak bahwa kami bisa mendapatkan lebih banyak uang jika kami mengambil uang setiap kuartal tahun ini. Dan jika kita memperpendek interval waktu, jumlah akhir akan terus bertambah. Bunga majemuk tanpa batas seperti itu akan membuat kita kaya! Namun, total pendapatan kami cenderung ke nilai terbatas yang terkait dengan e .

Bernoulli tidak memanggil nomor 2.71828 dengan nama e . Ketika Euler bekerja dengan 2.71828, ia mengangkat fungsi eksponensial e ke kekuatan x . Dia menguraikan penemuannya dalam buku The Analysis of Infinite .

Pada 1798, Thomas Malthus menggunakan fungsi eksponensial dalam esainya tentang kekurangan nutrisi masa depan. Dia membuat grafik garis yang menunjukkan produksi makanan dan grafik eksponensial yang menunjukkan populasi dunia. Malthus menyimpulkan bahwa dalam jangka panjang, pertumbuhan eksponensial akan menang, dan dunia menghadapi kekurangan pangan yang serius. Fenomena ini disebut "bencana Malthus." Newton juga menggunakan model ini untuk menunjukkan bagaimana secangkir teh mendingin.


Gambar 35 : Hukum Newton-Richmann


Gambar 36 : Bencana Malthus

Nomor imajiner: i, root kuadrat -1

Untuk waktu yang lama, matematikawan memiliki angka biasa yang cukup untuk menyelesaikan masalah mereka. Namun, pada titik tertentu untuk pengembangan lebih lanjut, mereka perlu menemukan sesuatu yang baru dan misterius.Misalnya, matematikawan Italia Cardano mencoba membagi angka 10 menjadi 2 bagian, yang produknya akan sama dengan 40. Untuk menyelesaikan masalah ini, ia menuliskan persamaan: x (10-x) = 40. Ketika ia memecahkan persamaan kuadratik ini, ia mendapat dua solusi: 5 plus √-15 dan 5 minus √-15, yang pada saat itu tidak masuk akal. Hasil ini tidak ada artinya, karena dengan definisi akar kuadrat dia perlu menemukan nomor yang kuadratnya akan negatif. Namun, bilangan positif dan negatif kuadrat memiliki nilai positif. Namun, ia menemukan nomor uniknya. Namun , Euler adalah ahli matematika pertama yang memanggil √-1 (akar kuadrat minus satu) angka imajiner i .

Leibniz memberikan komentar tentang angka imajiner √-1:

Bilangan kompleks adalah perlindungan yang indah dan luar biasa dari roh ilahi, hampir merupakan amfibi karena tidak memiliki apa-apa.

Kita dapat menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi angka imajiner. Penambahan, pengurangan dan penggandaan adalah sederhana, dan pembagian sedikit lebih rumit. Bagian nyata dan imajiner dilipat secara terpisah. Dalam kasus perkalian, i ² akan sama dengan -1.

Setelah Euler, matematikawan Caspar Wessel memperkenalkan bilangan imajiner secara geometris dan menciptakan bidang yang kompleks. Hari ini kami mewakili setiap bilangan kompleks a + bi sebagai titik dengan koordinat (a, b).



Gambar 37 dan 38 : angka kompleks

Di era Victoria, banyak yang curiga dengan angka imajiner. Namun, ahli matematika dan astronom Irlandia William Rowan Hamilton mengakhiri keraguan ini dengan mendefinisikan bilangan kompleks seperti yang diterapkan pada angka empat .

Persamaan paling indah: identitas Euler

Identitas Euler menghubungkan fungsi eksponensial dengan fungsi sinus dan kosinus yang nilainya berkisar dari minus satu hingga satu. Untuk menemukan koneksi dengan fungsi trigonometri, kita dapat merepresentasikannya dalam bentuk deret tak hingga, berlaku untuk semua nilai



Gambar 39 : Penemuan Identitas Euler


Gambar 40 : Identitas

Euler Euler tidak pernah mencatat identitas ini secara eksplisit, dan kita tidak tahu siapa yang pertama kali merekamnya. Namun demikian, kami mengaitkannya dengan nama Euler sebagai penghormatan bagi perintis matematika yang hebat ini.