Generalisasi masalah Brokar

Ceritanya

Hilbert pada tahun 1900 di Kongres Internasional II Matematikawan di Paris mencatat pentingnya praktis teori bilangan. Solusi dari masalah abstrak sering menyebabkan munculnya alat matematika baru. Contoh nyata adalah Teorema Great Fermat, selama pembuktiannya, di akhir abad ke-20, fungsi meromorfik yang digunakan oleh insinyur desain modern di pabrik mobil dan pesawat terbang, serta oleh spesialis TI dalam kerangka simulasi, diselidiki. Masalah "angka indah" - kembar sederhana dan angka sempurna, yang dianggap hampir tidak berguna di Yunani kuno, sekarang menyediakan kriptografi modern dengan algoritma generasi kunci yang stabil.

Pada tahun 1913, Ramanujan mempopulerkan persamaan tak terbatas:

$$

$$n! + 1 = m ^ 2 (1)$$

Sebelumnya, itu muncul dalam karya Henri Brocard. Menurut sejarawan, dua matematikawan mulai mempelajari persamaan ini secara independen satu sama lain. Jelas, faktorial tumbuh lebih cepat daripada kuadrat, sehingga solusi pertama dapat dengan cepat diperoleh dengan menghitung nilai n. Kami mendapatkan:

$$

$$4! = 5 ^ 2-1$$

$$

$$5! = 11 ^ 2-1$$

$$

$$7! = 71 ^ 2-1$$

Pada tahun 2000, nilai-nilai diperiksa dengan enumerasi komputer $$$n$sebelumnya $$$10 ^ 9$, dan solusi baru tidak dapat ditemukan. Artikel ini mengusulkan pendekatan saya untuk memeriksa kasus-kasus khusus masalah Brokar, dan juga merumuskan versi umum masalah matematika, solusi yang memungkinkan, terlepas dari hipotesis ABC, untuk menyelesaikan persamaan bentuk:

$$

$$n! = P (x)$$

Prasyarat

Aritmatika modular adalah alat yang ampuh untuk penilaian awal kompleksitas masalah dan alokasi kasus khusus. Misalnya, mudah untuk menunjukkan itu untuk genap $$$m$Masalah Brokar tidak memiliki solusi, karena faktorial dari bilangan alami apa pun, kecuali untuk persatuan, adalah genap. Prasyarat untuk sepasang nilai $$$(n, m)$dalam persamaan Brokard adalah pembagian faktorial dengan ungkapan:

$$

$$m ^ 2-1$$

Secara faktorial, menurut definisi, adalah produk bilangan asli berturut-turut. Dengan menggunakan sifat-sifat deret alami, seseorang dapat menentukan derajat satu atau bilangan prima lainnya dalam faktorisasi kanonik faktorial. Sebagai contoh $$$16!$mengandung 16 faktor berturut-turut. Setiap faktor kedua dibagi 2, setiap 4 dibagi 4, setiap 8 adalah 8, dan setiap 16 adalah 16. Jadi, dekomposisi $$$16!$oleh faktor mengandung 2 pangkat $$$1 + 2 + 4 + 8 = 15$. Dari sini kalau ada pasangan $$$(16, m)$menjadi solusi untuk masalah Brokar, kalau begitu $$$m ^ 2$harus memberikan sisa 1 ketika membaginya dengan kekuatan dua hingga 15, inklusif. Kami merumuskan kondisi yang diperlukan untuk $$$m$saat memecahkan persamaan 1:

Biarkan $$$n!$tidak melebihi batas tertentu $$$k$bilangan prima $$$p$dan ada nomornya $$$m$di mana pasangan $$$(n, m)$adalah solusi untuk persamaan 1. Lalu $$$m ^ 2-1$harus dibagi dalam semua tingkatan $$$p$sebelumnya $$$F (k)$dimana $$$F$- Fungsi perhitungan derajat $$$p$dalam dekomposisi $$$n!$. (2)

P-properti

Misalkan terdapat algoritma A yang memeriksa kondisi yang diperlukan 2 untuk beberapa bilangan prima $$$p$. Kami menyebut algoritma seperti itu sebagai uji-P. Biar juga ada yang alami $$$n$memuaskan kondisi: $$$(n-1)! <m ^ 2 <n!$
Lalu kita katakan itu nomornya $$$m$memiliki properti-P.

Pertimbangkan proses 2 tes untuk arbitrer $$$m$antara $$$1023!$dan $$$1024!$. Untuk $$$m ^ 2$Pernyataan berikut ini benar:

1. $$$m ^ 2$memberi sisa 1 saat membaginya dengan semua kekuatan dua hingga $$$2 ^ {1023-10 = 1013}$secara inklusif;
2. $$$m ^ 2-1$tidak dibagi dengan $$$2 ^ {1024-10 = 1014}$.

Dalam praktiknya, sebagian besar angka kuadrat antara $$$1023!$dan $$$1024!$gagal 2 tes dalam 200 iterasi pertama. Jika angkanya $$$m ^ 2$dari interval yang ditentukan dan $$$m$memiliki 2-properti kemudian di sistem biner $$$m ^ 2$berakhir di $$$100..001$, di mana nol tepat 1012. Kemudian, untuk memverifikasi kondisi 2, kita dapat menghitung $$$m ^ 2$hingga 8 digit terakhir dan periksa 8 digit terakhir. Jika ada urutan selain $$$0000 0001$maka tes 2 gagal. Menghitung secara berurutan setiap nilai yang diuji dengan akurasi 8, 16, 24, dll. karakter, Anda dapat dengan cepat memeriksa kondisi 2 untuk sejumlah besar nilai menggunakan sumber daya sistem minimum. Ukuran rantai yang merupakan kelipatan dari 8 dibenarkan oleh struktur byte RAM komputer modern: seluruh byte akan digunakan untuk menyimpan rantai yang lebih kecil. Untuk rantai besar bukan kelipatan 8, juga akan ada bit memori yang tidak digunakan.

Biarkan memverifikasi pernyataan:
Di antara $$$n$dari sebuah segmen $$$[k_1, k_2]$tidak ada solusi untuk persamaan 1 untuk semua $$$m$dimana $$$n, m, k_1, k_2$- alami.

Menggunakan rumus Stirling, kami mendefinisikan kesenjangan $$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$dimana $$$l = k_2-k_1 + 1$. Untuk celah ke-i:

$$

$$a_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s + 1}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$b_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$s = k_1 + i-1$$

Maka pernyataan itu benar:
Jika di antara angka kuadrat dari $$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$tidak ada yang lulus uji 2, maka persamaan 1 tidak memiliki solusi pada interval $$$[k_1, k_2]$. Kebalikannya tidak benar.

Generalisasi masalah Brokar dalam kondisi yang diperlukan

Secara umum, angka kuadrat dengan properti-p memiliki basis dalam kalkulus $$$p$lihat: $$$t00..001$, dengan jumlah nol $$$F (k) -1$. Kemudian kita bisa menggeneralisasi masalah properti-P:
Biarkan dua fungsi dijelaskan: $$$F$dan $$$G$mengembalikan nilai alami untuk setiap argumen alami, dan $$$G$tidak dapat direpresentasikan sebagai polinomial dengan koefisien integer. Maka perlu untuk merumuskan kriteria yang di antara angka-angka $$$m$berbaring di antara $$$G (t)$dan $$$G (t + 1)$dan memiliki notasi dalam kalkulus dengan basis p bentuk:

$$

$$k_100..00k_2 (3)$$

Anda dapat memilih hanya yang memiliki akar alami tingkat ke-n, di mana jumlah nol dalam catatan 3 diberikan oleh fungsi $$$F$tergantung $$$t$. Dengan demikian, $$$k_1$bisa berupa parameter, nilai arbitrer atau konstanta, dan $$$k_2$- selalu konstan. (4)

Misalnya, Anda dapat mengajukan masalah daya ekstraksi akar kubik dari angka $$$n$memiliki notasi heksadesimal $$$k00..001$dimana $$$k$setiap angka heksadesimal lebih besar dari 1, dan jumlah nol untuk satu tertentu $$$n$sama dengan yang terbesar $$$t$yang menjadi dasar ketidaksetaraan:

$$

$$2 ^ t + 3t-1 <n$$

Dasar penulisan artikel ini adalah pernyataan tentang hubungan langsung antara jumlah nol dalam catatan 3 dalam kalkulus sewenang-wenang untuk nilai sisi kiri persamaan 1 ketika mengganti akar yang sudah ditemukan dan jumlah $$$n$. Jika persamaan 1 memiliki tepat 3 akar, fakta ini dapat dibuktikan dengan menyelesaikan kasus khusus yang sesuai dari masalah 4. Kebalikannya tidak benar.

Kesimpulan

Berbicara tentang pentingnya praktis masalah abstrak dari teori bilangan, sebagai faktor yang merangsang pengembangan aparatur matematika, perlu disebutkan persamaan yang menarik dalam bilangan bulat, solusi yang tidak mungkin dilakukan dalam kerangka generalisasi di atas:

$$

$$11 + ({2 ^ {n ^ 2-1} -2 ^ {3n-3}}) / (2 ^ {n-1} -1) \ equiv 0 \ pmod {2 ^ {m + 1} -1 } (5)$$

Persamaan ini secara logis mengikuti dari upaya untuk memperkirakan angka Luke dengan metode yang tidak berulang. Solusi untuk Masalah 5 akan membantu untuk menemukan properti baru dari nomor Mersenne dan merumuskan kondisi yang diperlukan untuk mempercepat pekerjaan program pencarian terdistribusi untuk bilangan prima besar berdasarkan uji Luc-Lemer.

Dengan analogi dengan masalah Goldbach yang lemah, diasumsikan bahwa P-tes akan membantu untuk mendapatkan batas bawah yang besar untuk seluruh akar persamaan 1, selain $$$(4, 5), (5, 11)$dan $$$(7, 71)$, dan studi masalah 3 akan mengarah pada bukti ketidakmampuan memecahkan persamaan 1 dalam bilangan bulat untuk nilai n yang cukup besar.

Sumber

Masalah Hilbert
Tantangan Brokar