Pengantar Teori Set

Konsep infinity secara ideologis jauh dari terminologi matematika biasa - tidak ada topik lain yang melampaui matematika sedemikian rupa sehingga berubah dari alat analitis yang praktis menjadi fenomena tatanan mitos. Konsep infinity berjalan kaki singkat dengan tema-tema budaya seperti agama dan filsafat, dan diselimuti aura misterius keilahian.

Sekali waktu, kepercayaan mendasar diletakkan di semua disiplin ilmu akademik - hanya ada satu tak terbatas .

Tetapi pada tahun 1874, seorang ahli matematika yang agak kurang dikenal membuat serangkaian pengamatan revolusioner yang meragukan kepercayaan yang diterima secara universal dan mengakar secara mendalam ini. Georg Cantor, dalam terbitannya (sekarang legendaris) Pada Properti dari Kumpulan Semua Bilangan Aljabar Nyata, membuktikan bahwa banyak bilangan real "lebih banyak" daripada banyak bilangan aljabar. Jadi dia pertama kali menunjukkan bahwa ada set tak terbatas dengan ukuran berbeda (jangan khawatir - untuk memperjelas ini, kita akan segera mempelajari artikelnya secara rinci).


"Banyak adalah jumlah besar yang memungkinkan Anda untuk menganggap diri Anda sebagai satu" - Georg Cantor

Dari 1874 hingga 1897, Cantor menerbitkan artikel demi artikel dengan keras, memperluas teorinya tentang set abstrak menjadi disiplin yang berkembang. Namun, dia bertemu dengan perlawanan dan kritik keras kepala; banyak pedant percaya bahwa teorinya pindah ke bidang filsafat dan melanggar prinsip agama.

Namun, ketika aplikasi praktis analisis matematika mulai ditemukan, sikap terhadap teori berubah, dan ide dan hasil Cantor mulai mendapatkan pengakuan. Pada dekade pertama abad ke-20, pengamatannya, teori dan publikasi mencapai puncaknya - pengakuan teori himpunan modern sebagai bidang matematika baru yang benar-benar unik:

Himpunan teori adalah teori matematika tentang himpunan yang didefinisikan secara tepat (himpunan) dari objek individu yang disebut anggota atau elemen himpunan.

Berapa angka antara 0 dan 1?

Publikasi empat setengah halaman pertama Cantor adalah contoh singkat yang sangat bagus. Ini dibagi menjadi dua bukti yang terpisah, bersama-sama mengarah pada kesimpulan bahwa setidaknya ada dua jenis set yang unik.

Pada bagian pertama dari teori, kita mempelajari himpunan bilangan aljabar nyata dan membuktikan bahwa itu adalah hitung yang tak terhitung jumlahnya . Seharusnya tidak bingung - “menghitung” tidak selalu berarti bahwa akun disimpan secara ketat dalam angka bulat; dalam konteks teori himpunan, "dihitung" berarti bahwa himpunan, bahkan jika terdiri dari jumlah elemen yang tak terbatas, dapat dijelaskan oleh rangkaian berulang, misalnya, fungsi polinomial yang terurut . Cantor menyebut properti ini dari himpunan nomor korespondensi satu-ke-satu yang tak terbatas dengan serangkaian, keberadaan korespondensi satu-ke-satu .

Singkatnya, himpunan atau himpunan semua bilangan aljabar nyata dapat diturunkan menggunakan beberapa seri polinomial teoretis dengan berbagai derajat dan koefisien; Oleh karena itu, himpunan semua bilangan aljabar nyata adalah himpunan yang tak terhitung jumlahnya .

Pada bagian kedua dari karya Cantor, peran bilangan kompleks nyata, juga disebut bilangan transendental, dianalisis. Bilangan transendental (contoh terbaik di antaranya adalah pi dan e) memiliki sifat penasaran: secara matematis tidak mungkin untuk menurunkannya menggunakan fungsi polinomial - mereka bukan aljabar. Terlepas dari besarnya, jumlah bagian, derajat, atau koefisien, tidak ada deret yang dapat menghitung pi dalam koleksi himpunan tak terhingga tak terhingga.

Kantor kemudian menunjukkan bahwa dalam interval tertutup [ a , b ] ada setidaknya satu nomor transendental yang tidak pernah dapat dihitung dalam himpunan tak terhingga yang dapat dihitung. Karena ada satu bilangan seperti itu, diasumsikan bahwa dalam keluarga bilangan real ada bilangan tak terhingga dari bilangan transendental.

Dengan demikian, ia membuktikan perbedaan yang sangat jelas antara himpunan bilangan tak terhitung yang terus-menerus mengalir dan himpunan bilangan yang dapat dihitung, yang dapat direpresentasikan sebagai seri, misalnya, dari semua bilangan aljabar nyata.

Berikutnya: perekaman dan operasi

Publikasi pertama Cantor memuncak dalam konfirmasi yang menakjubkan tentang keberadaan setidaknya dua jenis infinity yang berbeda. Setelah artikel pertamanya, banyak tambahan muncul, perlahan tapi pasti membuka jalan ke teori himpunan modern.


Layak juga berbagi pengamatan yang menarik: kebanyakan orang yang menggunakan teori himpunan dalam praktik bukannya menghargai teorema khusus ini, tetapi bahasa umum yang ditetapkannya. Karena sifat abstraknya, teori himpunan diam-diam mempengaruhi banyak bidang matematika. Dalam analisis matematika, yang membutuhkan kalkulus diferensial dan integral, diperlukan pemahaman tentang batas dan kontinuitas fungsi, yang akhirnya ditetapkan dalam teori himpunan. Dalam aljabar logika, operasi logis “dan”, “atau” dan “tidak” berhubungan dengan operasi persimpangan, penyatuan dan perbedaan dalam teori himpunan. Dan yang tak kalah pentingnya, teori himpunan meletakkan dasar untuk topologi - studi tentang sifat-sifat geometris dan hubungan spasial.

Berbekal pemahaman dasar tentang sejarah himpunan dan telah melakukan penyelaman singkat ke kedalaman pengaruhnya, kita dapat mulai berkenalan dengan dasar-dasar sistem notasi teori himpunan.

Bagian Dua Gambaran singkat operasi, notasi dan diagram Venn.

Seperti yang dinyatakan pada bagian sebelumnya, salah satu keuntungan mendasar dari teori himpunan tidak tumbuh dari teori tertentu, tetapi dari bahasa yang diciptakannya. Itulah sebabnya bagian utama dari bagian ini akan dikhususkan untuk notasi, operasi, dan representasi visual dari teori himpunan. Mari kita mulai dengan menjelaskan simbol dasar notasi suatu set - elemen yang sesuai dengannya. Tabel di bawah ini menunjukkan contoh satu set A dengan tiga elemen:


A adalah himpunan dengan elemen "1", "2" dan "3"

"1" adalah elemen dari himpunan A

Baris pertama menunjukkan himpunan A dengan tiga elemen terpisah ( A = {1,2,3} ); baris kedua menunjukkan cara yang benar untuk menunjuk satu elemen beton 1 milik set A. Sejauh ini, semuanya cukup sederhana, tetapi teori himpunan menjadi jauh lebih menarik ketika kita menambahkan himpunan kedua - perjalanan melalui operasi standar dimulai.

Untuk tabel di atas, mari kita perkenalkan dua set tambahan B dan C yang mengandung elemen-elemen berikut: B = {3, A, B, C, D, E} , C = {1,2} . Meskipun kami membuat tiga set (A, B, dan C), dalam contoh di bawah ini, operasi dilakukan secara bersamaan dengan hanya dua set, jadi berhati-hatilah set apa yang ditunjukkan di kolom paling kiri. Tabel di bawah ini menunjukkan lima operan set yang paling umum:


Operasi: persimpangan - himpunan elemen milik himpunan A dan himpunan B;

union - satu set elemen milik set A atau set B;

himpunan bagian - C adalah himpunan bagian dari A, himpunan C termasuk dalam himpunan A;

subset own (true) - C adalah subset dari A, tetapi C tidak sama dengan A;

komplemen relatif - seperangkat elemen milik A dan bukan B.

Inilah mereka, operasi paling umum dalam teori himpunan; mereka cukup populer di daerah di luar matematika murni. Bahkan, sangat mungkin bahwa Anda telah melihat jenis operasi yang sama di masa lalu, meskipun tidak cukup dengan terminologi seperti itu, dan bahkan menggunakannya. Ilustrasi yang bagus: mintalah siswa mana pun untuk menggambarkan diagram Venn dari dua kelompok yang berpotongan, dan ia akan secara intuitif mencapai hasil yang benar.

Lihatlah baris terakhir, tambahan relatif - apa kombinasi kata yang tidak biasa, bukan? Relatif dengan apa? Jika komplemen relatif A - B didefinisikan sebagai A dan bukan B , lalu bagaimana kita menyatakan semua yang bukan B?

Set universal - set kosong

Ternyata jika kita ingin mendapatkan jawaban yang bermakna, maka pertama-tama kita perlu memberikan konteks dari seluruh set masalah kita. Ini sering secara eksplisit didefinisikan pada awal tugas ketika elemen yang diterima dari himpunan terbatas pada beberapa kelas objek tetap di mana terdapat himpunan universal yang merupakan himpunan umum yang berisi semua elemen untuk tugas khusus ini. Misalnya, jika kita ingin bekerja dengan set hanya dari huruf-huruf alfabet Inggris, maka himpunan universal kita akan terdiri dari 26 huruf alfabet.

Untuk setiap himpunan bagian A dari himpunan U, komplemen himpunan A (dilambangkan dengan A atau U - A ) didefinisikan sebagai himpunan semua elemen dalam populasi umum U yang tidak dalam A. Jika kita kembali ke pertanyaan yang diajukan di atas, maka komplemen dari himpunan B adalah segala sesuatu di dalam himpunan universal yang bukan milik B , termasuk A.

Sebelum kita melanjutkan, kita perlu menyebutkan satu set prinsip lagi, yang cukup penting untuk pemahaman dasar: set nol atau kosong . Perlu diingat bahwa ada satu set kosong, oleh karena itu, mereka tidak pernah mengatakan "set kosong". Meskipun kami tidak akan mempertimbangkan kesetaraan dalam artikel ini, teori dasarnya adalah bahwa dua set setara jika mereka memiliki elemen yang sama; oleh karena itu, hanya ada satu set tanpa elemen. Oleh karena itu, ada satu set kosong.

Diagram Venn dan sisanya

Diagram Venn, yang secara resmi ditemukan pada tahun 1880 oleh John Venn, persis seperti yang Anda bayangkan, walaupun definisi ilmiahnya seperti ini:

Representasi skematis dari semua kemungkinan hubungan beberapa set

Di bawah ini adalah gambar dari enam diagram Venn yang paling umum, dan hampir semuanya menunjukkan operan yang baru dipelajari:


Union, persimpangan, komplemen relatif, perbedaan simetris, subset yang tepat, komplemen absolut.

Dimulai dengan notasi yang sangat sederhana untuk suatu set dan elemen-elemennya, kami kemudian belajar tentang operasi dasar yang memungkinkan kami untuk menggambar petunjuk visual ini. Kami memeriksa semua operasi kecuali untuk perbedaan simetris (kiri bawah). Agar tidak meninggalkan celah dalam pengetahuan, kami mengatakan bahwa perbedaan simetris, juga disebut penyatuan disjungtif , hanyalah seperangkat elemen yang ada di set tetapi tidak masuk ke persimpangan mereka .

Kami menyimpulkan bagian ini dengan memperkenalkan konsep kekuasaan (nomor kardinal) . Kekuatan suatu himpunan, dilambangkan dengan simbol nilai absolut, hanyalah jumlah elemen unik yang terkandung dalam himpunan tertentu. Untuk contoh yang ditunjukkan di atas, kekuatan tiga set sama dengan: | A | = 3, | B | = 6, | C | = 2.

Sebelum pindah, saya akan memberi Anda makanan untuk dipikirkan - apa hubungan antara kekuasaan dan jumlah himpunan bagian yang mungkin?

Bagian 3. Kumpulan daya dan eksponensial

Dalam dua bagian sebelumnya, kami menemukan dasar-dasar teori himpunan. Pada bagian ketiga, kami akan memperkuat pemahaman kami dengan berfokus pada properti paling penting dari setiap set: jumlah total elemen unik yang terkandung di dalamnya .

Jumlah elemen unik dalam satu set, juga dikenal sebagai kekuatan , memberi kita titik referensi mendasar untuk analisis lebih lanjut dan lebih mendalam dari set ini. Pertama, daya adalah yang pertama dari sifat unik yang kami pertimbangkan yang memungkinkan kami untuk membandingkan berbagai jenis set secara objektif, memeriksa apakah suatu bijection (ini, dengan beberapa peringatan, hanyalah istilah yang lebih disempurnakan untuk fungsi ) ada dari satu set ke yang lain. Cara lain untuk menggunakan daya, serta topik pada bagian artikel ini, daya memungkinkan kita untuk mengevaluasi semua himpunan bagian yang mungkin ada dalam set ini . Yang benar-benar dapat diterapkan dalam masalah distribusi keputusan sehari-hari, baik itu perencanaan anggaran untuk perjalanan ke toko kelontong atau optimalisasi portofolio saham.


Contoh kardinalitas

Sebagai contoh, tabel di atas menunjukkan lima set terpisah dengan kekuatannya ditunjukkan di sebelah kanan. Seperti yang telah kita katakan, simbol kekuasaan menyerupai simbol nilai absolut - nilai terlampir di antara dua garis vertikal. Semua contoh dapat dipahami, dengan kemungkinan pengecualian pada baris terakhir, yang menekankan fakta bahwa hanya elemen unik dari kekuatan yang ditetapkan yang memengaruhi.

Ingat himpunan bagian dari bagian sebelumnya dari artikel? Ternyata kardinalitas dari beberapa himpunan A dan jumlah himpunan bagian yang mungkin dari A memiliki koneksi yang luar biasa. Ditampilkan di bawah ini bahwa jumlah himpunan bagian yang dapat terdiri dari himpunan bagian tertentu meningkat dengan urutan kekuasaan dengan nilai yang dapat diprediksi:

Jumlah himpunan bagian yang mungkin dalam C = 2 ^{| C |}

Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah ini. Namun, untuk memulainya, mari kita renungkan rumusnya. Bayangkan kekuatan sebagai jumlah total "posisi", yang merupakan satu set. Saat membuat subset untuk setiap posisi yang memungkinkan, keputusan Boolean dibuat (ya / tidak) . Ini berarti bahwa setiap elemen unik ditambahkan ke set (yaitu, meningkatkan daya satu) meningkatkan jumlah himpunan bagian yang mungkin dengan faktor dua. Jika Anda seorang programmer atau ilmuwan, Anda dapat memahami logika ini sedikit lebih dalam jika Anda memahami bahwa semua himpunan bagian dari himpunan dapat dihitung menggunakan tabel angka biner.

Set eksponensial (bulean)

Sebelum kita menghitung semua himpunan bagian untuk contoh himpunan C , saya ingin memperkenalkan konsep terakhir - Boolean .

Bule dilambangkan dengan huruf kapital S , diikuti oleh set awal S (C) dalam tanda kurung. Boolean adalah himpunan semua himpunan bagian C, termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri C. Tabel di bawah ini menunjukkan Boolean S (C) dengan semua permutasi dari himpunan himpunan bagian yang mungkin untuk himpunan C yang terkandung dalam satu set besar.


Untuk kenyamanan pemformatan, saya menghapus koma di antara set ***

Bagaimana boulean bermanfaat? Bahkan, Anda kemungkinan besar menggunakan boolean secara intuitif berkali-kali tanpa menyadarinya. Setiap kali Anda memilih subset elemen dari set yang lebih besar, Anda memilih elemen Boolean. Misalnya, seorang anak dengan hati-hati mempelajari toko kue dengan tagihan $ 5 - elemen boulean dari set semua permen yang tersedia yang akan ia pilih? Atau jika Anda mengambil contoh yang lebih teknis: Anda, sebagai pengembang perangkat lunak, mungkin perlu meminta semua pengguna basis data yang mungkin yang juga memiliki properti X dan Y - kasus lain di mana satu subset dipilih dari semua subset yang mungkin.

Fungsi kesetaraan dan bijective

Sekarang kita mengerti apa kekuatan set, mengapa itu penting, dan hubungannya dengan Boolean. Oleh karena itu, mari kita kembali secara singkat ke apa yang disebutkan di awal: apa yang secara spesifik mendefinisikan kesetaraan dalam teori himpunan?

Jelas, dua set dengan kekuatan yang sama memiliki beberapa kesamaan, tetapi kesamaan berakhir di sana - bagaimana jika ada beberapa elemen di salah satu set? Bagaimana jika dua set memiliki kekuatan dan jumlah elemen yang sama? Tidak dapat dipungkiri bahwa mereka "setara" sampai batas tertentu, tetapi bahkan dalam kasus ini masih ada kemungkinan perbedaan, karena setiap set dapat memiliki elemen yang berbeda yang diulang beberapa kali. Intinya di sini adalah bahwa konsep kesetaraan dalam teori himpunan sedikit asing bagi bidang matematika lainnya. Pembentukan kesetaraan di dunia ini membutuhkan keakraban dengan konsep ini dan bahasa baru. Pada bagian terakhir artikel ini, kami memperkenalkan konsep kesetaraan, serta sifat dasar seperti fungsi injeksi, bijective, dan surjective.

Bagian 4. Fungsi.

Pada bagian ini, kita akan berbicara lebih banyak tentang fungsi dalam teori himpunan. Seperti dalam kasus konsep sebelumnya, terminologi fungsi standar dalam teori himpunan sedikit berbeda dari bidang matematika lainnya, dan oleh karena itu memerlukan penjelasan. Ada banyak istilah, jadi mari kita langsung ke bisnis! Tabel pertama di bawah ini mencerminkan konsep domain definisi, domain nilai dan nilai fungsi:


Fungsi dalam dunia teori himpunan hanyalah korespondensi dari beberapa (atau semua) elemen dari Himpunan A ke beberapa (atau semua) elemen dari Himpunan B. Dalam contoh di atas, himpunan semua elemen yang mungkin dari A disebut domain definisi ; elemen A yang digunakan sebagai nilai input disebut argumen pada khususnya. Di sebelah kanan, himpunan semua nilai output yang mungkin (disebut dalam bidang lain matematika "domain nilai") disebut co-region ; himpunan elemen keluaran nyata B yang bersesuaian dengan A disebut gambar .

Sejauh ini, tidak ada yang benar-benar rumit, hanya cara baru untuk mengatur parameter fungsi. Selanjutnya, kita akan berbicara tentang cara menggambarkan perilaku fungsi pencocokan ini menggunakan jenis fungsi umum.

Injeksi, surjeksi dan bijih

Dalam teori himpunan, tiga konsep biasanya digunakan untuk mengklasifikasikan korespondensi perangkat: injeksi , surjection, dan bijection . Sayangnya, konsep-konsep ini memiliki beberapa nama berbeda yang memperkuat kebingungan, jadi pertama-tama kita akan melihat setiap definisi dan kemudian melihat contoh-contoh visual. Ketiga istilah menjelaskan cara argumen dipetakan ke gambar:

• Suatu fungsi bersifat injektif ( atau "satu ke satu" ) jika setiap elemen dalam co-region dipetakan tidak lebih dari satu elemen dalam area definisi.
• , . ( .)
• , .

Ceri pada kue definisi kompleks ini adalah makna tambahan yang mungkin dari kata "injective", "surjective" dan "bijective". Ketika mereka digunakan untuk menggambarkan suatu fungsi (korespondensi), nilai di atas akan benar; Namun, itu juga akan benar untuk mengidentifikasi fungsi (korespondensi) secara eksklusif oleh karakteristik ini. Yaitu, fungsi dengan perilaku injeksi disebut injeksi , fungsi dengan perilaku surjektif disebut surjeksi , dan fungsi dengan perilaku bijektif disebut bijeksi .

Baca daftar poin di atas lagi. Bijection hanyalah fungsi yang memenuhi kedua persyaratan sebelumnya; yaitu, fungsinya bersifat injeksi dansurjektif. Fungsi kata sifat tidak boleh bersifat surjektif, dan kata sifat tidak boleh bersifat injektif. Berikut ini adalah contoh visual di mana tiga klasifikasi ini mengarah pada pembuatan fungsi-fungsi yang ditetapkan yang didefinisikan oleh empat kemungkinan kombinasi sifat-sifat injeksi dan surjektif:


Bijection (injeksi + surjection), injeksi (injeksi + non-surjection), surjection (non-injeksi + surjection), tanpa klasifikasi (non-injeksi + non-surjection)

Itu saja! Sekarang kita memiliki pemahaman dasar tentang hubungan paling umum yang ditemukan di dunia set. Namun, ini sama sekali bukan akhir dari perjalanan kita: sebaliknya, ini adalah awal.

Fondasi dasar teori himpunan adalah kunci untuk memahami bidang matematika tingkat tinggi. Untuk melanjutkan gerakan ke atas menuju berbagai bidang ini, kita perlu menggunakan pengetahuan kita tentang teori himpunan untuk menjelaskan salah satu teori paling revolusioner dalam sejarah matematika: sistem aksioma Zermelo-Frenkel .