Dari fungsi matematika ajaib - satu solusi untuk mengatur semuanya

Tiga tahun lalu, Marina Vyazovskaya dari Institut Teknologi Federal Swiss di Lausanne membuat kagum matematikawan dengan menemukan cara terpadat untuk mengemas bola dengan ukuran yang sama dalam ruang delapan dan 24 dimensi (dalam kasus kedua, dengan bantuan empat penulis bersama). Dan sekarang mereka dan penulis bersama telah membuktikan sesuatu yang bahkan lebih mengejutkan: konfigurasi yang memecahkan masalah pengemasan padat bola di dimensi yang disebutkan juga memecahkan jumlah masalah lain yang tak terbatas terkait dengan pengaturan titik terbaik yang berusaha menghindari satu sama lain.

Poin, misalnya, dapat menunjukkan satu set elektron tak terbatas yang saling tolak dan mencoba untuk menetap dalam konfigurasi dengan energi terendah. Atau, titik-titik ini dapat menunjukkan pusat polimer yang panjang dan bengkok dalam larutan, mencoba mengatur diri mereka sendiri agar tidak bertabrakan dengan tetangga. Ada banyak pilihan untuk masalah seperti itu, dan tidak jelas bahwa masing-masing akan memiliki solusi yang sama. Matematikawan percaya bahwa dalam kebanyakan dimensi hal ini sangat tidak mungkin terjadi.

Tetapi ruang, yang terdiri dari 8 dan 24 dimensi, berisi konfigurasi titik yang sangat simetris, yang, seperti yang kita ketahui sekarang, secara bersamaan menyelesaikan semua masalah yang berbeda ini. Dalam bahasa matematika, dua konfigurasi ini disebut "optimal secara universal."

Penemuan skala besar baru ini dengan serius merangkum karya Vyazovskaya dan rekan-rekannya sebelumnya. "Kembang api tidak berhenti," kata Thomas Hales , seorang ahli matematika di University of Pittsburgh, yang membuktikan pada tahun 1998 bahwa susunan piramida jeruk yang terkenal adalah cara terpadat untuk mengemas bola dalam ruang tiga dimensi.

Delapan dan 24 bergabung satu dimensi dalam daftar kecil dimensi yang berisi konfigurasi optimal universal. Pada bidang dua dimensi ada kandidat untuk optimalitas universal - kisi segitiga sama sisi - tetapi tidak ada bukti. Dalam dunia tiga dimensi, kebun binatang penuh berkuasa: konfigurasi titik yang berbeda menunjukkan hasil yang berbeda dalam keadaan yang berbeda, dan untuk beberapa masalah, matematikawan bahkan tidak dapat menebak tentang konfigurasi terbaik.

"Ubah pengukuran, atau ubah tugas sedikit, dan situasinya menjadi tidak dapat dipahami," kata Richard Schwartz , ahli matematika di Brown University di Providence. "Saya tidak tahu mengapa alam semesta matematika diatur sedemikian rupa."

Untuk membuktikan optimalitas universal jauh lebih sulit daripada memecahkan masalah pengemasan bola. Secara khusus, karena optimalitas universal mencakup jumlah tugas berbeda yang tak terbatas sekaligus, tetapi juga karena tugas-tugas ini lebih rumit dalam dirinya sendiri. Dalam pengemasan bola, masing-masing bola hanya peduli dengan tetangga terdekatnya, tetapi dalam masalah seperti distribusi elektron, masing-masing elektron berinteraksi dengan yang lainnya, terlepas dari jarak di antara mereka. "Bahkan dalam terang karya awal saya, saya tidak berharap bahwa bukti optimal universal ini bisa dilakukan," kata Hales.

"Ini sangat, sangat mengesankan," kata Sylvia Serfati , seorang ahli matematika di New York University. "Hal ini setara dengan terobosan matematika besar abad ke-19."

Sertifikat sihir

Mungkin tampak aneh bahwa dimensi 8 dan 24 seharusnya berperilaku berbeda dari, katakanlah, dimensi 7, 18 atau 25. Tetapi matematikawan telah lama mengetahui bahwa pengepakan padat benda di ruang angkasa bekerja secara berbeda dalam dimensi berbeda. Misalnya, pertimbangkan bola multidimensi, yang didefinisikan secara sederhana sebagai sekumpulan titik yang terletak pada jarak tetap dari pusat. Jika kita membandingkan volume bola dengan volume kubus terkecil yang menggambarkannya, maka semakin tinggi dimensi, semakin kecil kubus mengambil bola. Jika Anda ingin mengirim bola sepak delapan dimensi dalam kotak sekecil mungkin, bola akan memakan kurang dari 2% dari volume kotak - dan yang lainnya akan menjadi ruang kosong yang menyimpang.

Di setiap dimensi yang lebih besar dari tiga, dimungkinkan untuk membuat konfigurasi yang mirip dengan piramida jeruk, dan dengan meningkatnya dimensi, kesenjangan antara bola tumbuh. Setelah mencapai dimensi kedelapan, kami tiba-tiba menemukan fakta bahwa di ruang-ruang ini ada cukup ruang untuk memeras bola di sana. Hasilnya adalah konfigurasi yang sangat simetris yang disebut grille E ₈ . Dalam dimensi ke-24, kisi Lich muncul dengan cara yang sama, ketika bola tambahan dapat dijejalkan ke dalam celah, sehingga menciptakan konstruksi terkenal lainnya untuk mengemas bola.

Untuk alasan yang tidak sepenuhnya dipahami oleh matematikawan, kedua kisi ini tiba-tiba muncul baik dalam satu bidang matematika atau yang lain, dari teori bilangan dan analisis matematika ke fisika matematika. "Saya tidak tahu satu alasan untuk semua ini," kata Henry Cohn dari Microsoft Research New England Institute di Cambridge, Massachusetts, salah satu dari lima penulis karya tersebut.

Selama lebih dari sepuluh tahun, matematikawan telah memiliki bukti numerik yang meyakinkan bahwa E8 dan Lich lattice secara universal optimal dalam dimensi mereka - tetapi sampai saat ini mereka tidak tahu bagaimana membuktikannya. Kemudian pada tahun 2016, Vyazovskaya mengambil langkah pertama menuju ini, membuktikan bahwa kedua kisi ini adalah cara terbaik untuk mengemas bola.

Dan jika bukti Hales untuk kasus tiga dimensi membentang lebih dari ratusan halaman dan membutuhkan perhitungan mahal di komputer, bukti dari Vyazovskaya untuk kasus E ₈ cocok pada 23 halaman. Inti dari argumennya terkait dengan definisi fungsi "ajaib" (seperti yang sekarang disebut oleh para ahli matematika), yang memberikan apa yang disebut Hales sebagai "sertifikat" untuk E ₈ untuk pengemasan bola terbaik - bukti ini sulit diperoleh, tetapi setelah kemunculannya ia memiliki kepastian yang instan. Misalnya, jika seseorang bertanya kepada Anda apakah ada bilangan real x sehingga polinomial x ² - 6x + 9 menjadi negatif, Anda bisa memikirkan jawabannya. Namun, menyadari bahwa polinomial ini setara dengan (x - 3) ² , Anda akan segera memahami bahwa jawabannya adalah "tidak," karena kuadrat dari bilangan real tidak boleh negatif.

Metode mencari fungsi ajaib Vyazovskaya terbukti kuat - dan hampir terlalu kuat. Tugas pengemasan bola hanya menyangkut interaksi titik-titik terdekat, tetapi pendekatan Vyazovskaya tampaknya bekerja untuk interaksi jarak jauh, seperti halnya dengan elektron jarak jauh.

Ketidakpastian dalam dimensi yang lebih tinggi

Untuk menunjukkan bahwa konfigurasi titik-titik dalam ruang secara universal optimal, pertama-tama perlu untuk menentukan universalitas ini. Tidak ada konfigurasi titik yang optimal untuk tujuan apa pun: misalnya, ketika gaya gravitasi bekerja pada titik-titik tersebut, konfigurasi dengan energi terendah bukanlah beberapa kisi, tetapi tumpukan besar di mana semua titik berada di satu tempat.

Vyazovskaya, Cohn dan rekan-rekan mereka membatasi ruang lingkup studi mereka pada universalitas kekuatan yang menjijikkan. Lebih khusus, mereka menganggap kekuatan monoton, yaitu, di mana tolakan menjadi lebih kuat ketika titik-titik tersebut saling mendekati. Keluarga besar ini mencakup banyak kekuatan umum dunia fisik. Ini termasuk hukum kekuatan Semesta - termasuk hukum Coulomb untuk partikel bermuatan listrik, dan Gaussians, fungsi grafik berbasis lonceng yang menggambarkan perilaku entitas dengan banyak bagian repulsive independen, seperti polimer panjang. Tugas mengemas bola berada di tepi luar jagat raya ini: persyaratan bahwa bola tidak berpotongan berubah menjadi tolakan kuat yang tak terhingga ketika jarak antara pusat-pusat mereka kurang dari diameternya.

Untuk salah satu dari kekuatan monoton ini, muncul pertanyaan - apa konfigurasi dengan energi terendah - "keadaan dasar" - untuk sekumpulan partikel yang tak terbatas? Pada tahun 2006, Kon dan Kumar mengembangkan metode untuk menemukan batas energi yang lebih kecil dari keadaan dasar dengan membandingkan fungsi yang menggambarkan energi dengan fungsi "bantu" yang lebih kecil dengan sifat yang sangat nyaman. Mereka menemukan persediaan fungsi bantu yang tak terbatas untuk setiap dimensi, tetapi tidak tahu bagaimana menemukan fungsi bantu yang terbaik.


Lima penulis karya baru: Henry Cohn, Abkhinav Kumar, Marina Vyazovskaya, Stephen Miller dan Danilo Radchenko

Dalam sebagian besar pengukuran, batasan numerik yang ditemukan oleh Kohn dan Kumar tidak menyerupai energi konfigurasi sebaik mungkin. Tetapi dalam dimensi 8 dan 24, batas-batas menjadi sangat dekat dengan energi E8 dan kisi Lich untuk setiap gaya tolak di mana Kon dan Kumar menguji metode mereka. Wajar untuk memikirkan apakah, untuk gaya tolak apa pun, ada beberapa fungsi bantu ideal yang akan memberikan batas yang persis bertepatan dengan energi E8 atau kisi Lich. Untuk tugas mengemas bola, inilah yang persisnya dilakukan Vyazovskaya tiga tahun lalu: ia menemukan fungsi bantu yang ideal dan “ajaib”, mempelajari kelas fungsi yang disebut fungsi modular , yang sifat simetri khususnya berabad-abad yang lalu menjadikannya objek penelitian.

Ketika datang ke masalah lain dengan titik-titik menjijikkan, misalnya, masalah dengan elektron, para peneliti tahu sifat apa yang harus dipenuhi fungsi sihir: pada titik-titik tertentu, ia harus mengambil nilai-nilai khusus, dan transformasi Fourier -nya, yang mengukur frekuensi alami dari fungsi tersebut, harus diambil. nilai-nilai khusus di titik lain. Apa yang tidak mereka ketahui adalah apakah fungsi semacam itu ada.

Biasanya cukup mudah untuk membangun fungsi yang melakukan apa yang Anda butuhkan pada titik favorit Anda, tetapi secara mengejutkan sulit untuk mengontrol fungsi dan gambar Fourier-nya secara bersamaan. "Ketika Anda mulai membuat sesuatu melakukan salah satu dari mereka, yang lain melakukan sesuatu yang sama sekali berbeda dari keinginan Anda," kata Cohn.

Faktanya, rewel ini tidak lebih dari prinsip ketidakjelasan yang terselubung dalam fisika. Prinsip ketidakpastian Heisenberg adalah bahwa ia mengatakan bahwa semakin Anda tahu tentang lokasi partikel, semakin sedikit Anda tahu tentang momentumnya, dan sebaliknya, adalah kasus khusus dari prinsip umum ini, karena gelombang momentum partikel adalah transformasi Fourier dari gelombang lokasinya.

Dalam kasus gaya tolak di dimensi 8 atau 24, Vyazovskaya mengajukan hipotesis yang berani: pembatasan yang ingin diterapkan tim pada fungsi sihir mereka dan gambar Fourier-nya persis di perbatasan antara yang mungkin dan yang tidak mungkin. Dia curiga bahwa jika Anda menambahkan batasan lagi, tidak akan ada fungsi seperti itu; jika Anda mengurangi batasan, maka mungkin ada banyak fungsi seperti itu. Dia menyarankan bahwa dalam situasi yang menarik bagi tim, harus ada satu fungsi yang tepat.

"Saya pikir ini adalah salah satu fitur luar biasa Marina," kata Cohn. "Dia sangat berwawasan luas, dan juga sangat berani."

Pada saat itu, Kon skeptis - firasat Vyazovskaya tampak terlalu bagus untuk menjadi kenyataan - tetapi tim akhirnya membuktikannya. Mereka tidak hanya menunjukkan bahwa untuk setiap gaya tolak ada persis satu fungsi ajaib, tetapi juga memberikan resep untuk pembuatannya. Seperti halnya kemasan sphere, desain ini segera memberikan sertifikat optimalitas untuk E ₈ dan kisi Lich. "Ini semacam hasil yang monumental," kata Schwartz.

Grid Segitiga

Selain memecahkan masalah optimalitas universal, bukti baru menjawab pertanyaan mendesak yang dihadapi matematikawan sejak Vyazovskaya memecahkan masalah pengemasan bidang tiga tahun lalu: dari mana datangnya fungsi magisnya? "Saya pikir banyak yang bingung," kata Vyazovskaya. "Mereka bertanya: Apa gunanya ini?"

Dalam sebuah karya baru, Vyazovskaya dan rekan-rekannya menunjukkan bahwa fungsi ajaib dari pengemasan bola adalah yang pertama dalam serangkaian blok bangunan bentuk modular yang dapat digunakan untuk membuat fungsi magis untuk setiap gaya tolak. "Sekarang dia memiliki banyak saudara lelaki dan perempuan," kata Vyazovskaya.

Tampaknya masih indah bagi Kon bahwa gambarnya bekerja dengan sangat baik. "Dalam matematika, beberapa hal harus dicapai melalui ketekunan dan kekerasan," katanya. "Dan ada saat-saat, seperti sekarang, seolah-olah matematika ingin sesuatu terjadi."

Pertanyaan alami berikutnya adalah apakah metode ini dapat diadaptasi untuk membuktikan optimalitas universal untuk satu-satunya kandidat yang tersisa: kisi segitiga sama sisi pada bidang dua dimensi. Untuk ahli matematika, fakta bahwa tidak ada yang bisa memberikan bukti dalam kondisi sederhana seperti itu dianggap "memalukan bagi seluruh masyarakat," kata Edward Saff , ahli matematika di Vanderbilt University di Nashville.

Tidak seperti E ₈ dan kisi Leach, kisi segitiga dua dimensi muncul di berbagai tempat di alam, dari struktur sel hingga lokasi corong di superkonduktor. Fisikawan sudah menyiratkan optimalitas kisi ini dalam berbagai konteks berdasarkan serangkaian eksperimen dan simulasi. Tetapi, kata Cohn, tidak ada yang memiliki penjelasan konseptual mengapa kisi segitiga harus optimal secara universal - sesuatu yang, semoga, akan memberikan bukti matematika.

Dimensi 2 adalah satu-satunya, dengan pengecualian 8 dan 24, di mana batas bawah numerik Kohn dan Kumar bekerja dengan baik. Ini jelas menunjukkan bahwa fungsi ajaib harus ada dalam dua dimensi. Namun, metode perintah untuk membangun fungsi sihir hampir tidak dapat ditransfer ke daerah baru ini: sangat tergantung pada kenyataan bahwa angka-angka yang menunjukkan jarak antara titik-titik di E8 dan kisi Lich berperilaku sangat baik, yang tidak terjadi dalam dua dimensi. Sejauh ini, dimensi ini "tampaknya melampaui kemampuan manusia," kata Cohn.

Sejauh ini, matematikawan sedang merayakan wawasan baru mereka yang terkait dengan dunia aneh ruang 8- dan 24 dimensi. Ini, seperti yang dikatakan Schwartz, adalah "salah satu hal terbaik yang kemungkinan besar akan saya lihat dalam hidup saya."