Mengapa bukti Teorema Hebat Fermat tidak perlu diperbaiki

Selama beberapa dekade sejak bukti utama teorema hebat Fermat, beberapa ide telah muncul tentang bagaimana menjadikannya lebih dapat diandalkan. Namun, upaya ini mencerminkan kesalahpahaman yang mendalam tentang apa yang membuat bukti penting.

23 Juni menandai ulang tahun ke 25 pengumuman Andrew Wiles , yang membuat semua orang bersemangat, di mana ia mengumumkan penerimaan bukti teorema hebat Fermat , masalah paling terkenal dalam matematika pada usia 350 tahun. Kisah seputar bukti Wiles - ia bekerja secara diam-diam pada proyek ini selama tujuh tahun, kesenjangan bukti yang muncul setelah pengumuman Juni, solusi elegan yang diterbitkan setahun kemudian dalam sebuah karya gabungan yang ditulis oleh Wiles dengan mantan muridnya Richard Taylor , menerima gelar ksatria pada tahun 2000 - memasuki sejarah legenda matematika.

Setelah terobosan Wiles, orang sering dapat mendengar spekulasi tentang munculnya "era emas" baru dalam matematika, terutama dalam teori bilangan - bidang di mana teorema Fermat berada. Metode yang disajikan oleh Wiles dan Taylor saat ini merupakan bagian dari toolkit para pakar teori bilangan yang menganggap sejarah Teorema Hebat sudah ditutup. Tetapi kisah ini telah menyentuh tidak hanya spesialis dalam teori bilangan.

Saya tiba-tiba teringat akan hal ini pada peristiwa 2017, ketika, dalam selang beberapa hari, dua ahli logika yang membuat laporan di dua benua yang berbeda menunjuk ke cara-cara untuk meningkatkan bukti Teorema - dan diberi tahu betapa terkejutnya rekan-rekan mereka ketika para ahli dalam teori bilangan tidak menunjukkan kepada mereka. ide-ide mereka tidak menarik.

Ahli logika mengungkapkan ide-ide ini dalam bahasa spesialisasi masing-masing - set teori dan ilmu komputer teoritis. Proposal yang mereka buat secara inheren benar, dan mungkin suatu hari nanti mereka akan mengajukan pertanyaan baru, yang tidak kalah menariknya dengan Fermat. Namun, segera menjadi jelas bagi saya bahwa pertanyaan-pertanyaan ini tidak terkait dengan spesialis dalam teori bilangan, dan asumsi lain mencerminkan kesalahpahaman yang mendalam tentang sifat bukti Wiles dan tujuan teori bilangan pada umumnya.

Akar kesalahpahaman ini dapat ditemukan dalam kesederhanaan pernyataan Teorema, yang bertanggung jawab untuk sebagian besar daya tariknya: jika n adalah bilangan bulat positif lebih besar dari 2, maka tidak mungkin untuk menemukan tiga bilangan positif, a, b dan c, sehingga:

$$

$$a ^ n + b ^ n = c ^ n$$

Ini sangat kontras dengan kasus ketika n adalah 2: setiap orang yang telah mempelajari geometri Euclidean akan ingat bahwa 3 ² + 4 ² = 5 ² , bahwa 5 ² + 12 ² = 13 ² , dan seterusnya (daftar ini tidak ada habisnya). Selama beberapa abad terakhir, matematikawan telah mencoba menjelaskan keberadaan kontras semacam itu, dan setiap kali mereka gagal, mereka meninggalkan semua cabang matematika baru. Di antara cabang-cabang ini adalah area besar teori bilangan modern, yang tertarik oleh Wiles untuk solusi suksesnya, serta banyak ide mendasar di setiap bagian ilmu yang disentuh oleh matematikawan. Namun tidak ada seorang pun sebelum Wiles yang dapat membuktikan klaim Fermat.

Ilmuwan komputer baru-baru ini merasa bersemangat untuk belajar tentang kemajuan yang dibuat dalam secara otomatis mengkonfirmasikan bukti - upaya ambisius untuk menerapkan pendekatan formalis ke dalam matematika. Untuk formalis, bukti matematis adalah daftar pernyataan yang memenuhi batasan ketat:

1. Pernyataan di bagian atas daftar harus mencakup gagasan yang diterima secara umum. Dalam interpretasi yang ketat, ini hanya mencakup aksioma teori himpunan formal, biasanya dari sistem formal yang dikenal sebagai ZFC (sistem Zermelo-Frenkel dengan aksioma pilihan). Ini sama sekali tidak praktis, oleh karena itu kami juga mengizinkan dimasukkannya teorema yang sudah terbukti - misalnya, Teorema Besar untuk kasus n = 4, yang Fermat sendiri buktikan pada abad ke-17.
2. Setiap pernyataan selanjutnya harus diperoleh dengan menerapkan aturan deduksi logis untuk pernyataan sebelumnya.
3. Akhirnya, teorema yang terbukti harus berada di tempat terakhir dalam daftar.

Logika matematika dikembangkan dengan harapan menetapkan matematika di atas dasar yang kuat - sebagai sistem aksiomatik yang bebas dari kontradiksi, yang mampu bernalar tanpa masuk ke dalam inkonsistensi. Meskipun karya Kurt Gödel menunjukkan mimpi ini tidak dapat direalisasikan, banyak filsuf dari matematika, serta beberapa ahli logika (minoritas kecil tapi aktif, menurut para ahli dalam himpunan teori) masih merujuk pada ZFC dan persyaratan yang disebutkan sebagai semacam konstitusi dari matematika.

Namun, ahli matematika tidak pernah menulis bukti dengan cara ini. Analisis logis bukti Wiles menunjukkan banyak langkah yang tidak memperhitungkan ZFC, dengan potensi skandal: jika matematikawan membuat aturan tanpa memeriksa konstitusionalitas, bagaimana mereka tahu bahwa mereka semua memiliki arti yang sama?

Verifikasi bukti otomatis tampaknya menawarkan solusi untuk masalah ini. Ini melibatkan perumusan kembali bukti melalui serangkaian pernyataan terpisah, yang masing-masing ditulis dalam bahasa yang konsisten yang dapat dibaca komputer, dan kemudian mengonfirmasi kesetiaan konstitusional dari setiap langkah. Metode yang memakan waktu ini telah berhasil diterapkan pada banyak bukti panjang dan kompleks, yang paling terkenal adalah bukti hipotesis Kepler pada pengemasan bola terpadat yang dibuat oleh Thomas Hales. Menguji bukti Wiles telah lama dianggap sebagai salah satu tujuan utama. Oleh karena itu, teman saya, seorang ahli dalam ilmu komputer, benar-benar kecewa bahwa pencarian "matematikawan murni yang secara kategoris mendukung penggunaan alat otomatis dalam membangun argumen mereka", sebagaimana dirumuskannya, belum membuahkan hasil.


" Aritmatika " dari Diophantus edisi 1670, di mana catatan Fermat yang terkenal juga termasuk dalam teks utama. Dalam terjemahan, bunyinya sebagai berikut: “Tidak mungkin sebuah kubus menjadi jumlah dari dua kubus, untuk tingkat keempat tidak mungkin menjadi jumlah dari dua derajat keempat, atau, secara umum, untuk setiap angka yang mewakili tingkat yang lebih besar dari yang kedua, tidak mungkin menjadi jumlah dari dua derajat yang sama. Saya telah menemukan bukti yang sangat bagus dari asumsi ini, yang bidangnya terlalu sempit untuk diakomodasi. "

Hal pertama yang tidak menjelaskan kekecewaan ini adalah bahwa bukti Wiles, meskipun kompleks, memiliki dasar sederhana yang mudah untuk dijelaskan kepada audiens yang berpikiran sempit. Misalkan, bertentangan dengan pernyataan Fermat, ada tiga bilangan bulat positif a, b, c sedemikian rupa

(A) a ^p + b ^p = c ^p

untuk beberapa prime prime (dan itu cukup untuk hanya mempertimbangkan bilangan prima). Pada tahun 1985, Gerhard Frey menunjukkan bahwa a, b, dan c dapat diatur ulang menjadi

(B) persamaan baru yang disebut "kurva eliptik"

dengan properti yang semua orang pikir tidak mungkin. Lebih tepatnya, telah lama diketahui bagaimana mengekspresikan kurva elips ini dalam hal

(C) Representasi Galois

yang merupakan seperangkat persamaan tak terbatas yang terkait baik dengan kurva elips dan satu sama lain dengan aturan yang jelas.

Koneksi antara langkah-langkah ini dikenal pada tahun 1985. Pada saat itu, sebagian besar pakar dalam teori bilangan diyakinkan - meskipun tidak ada bukti sejauh ini - bahwa setiap perwakilan Galois dapat ditugaskan, sekali lagi, sesuai dengan aturan yang jelas,

(D) fungsi modular,

sesuatu seperti generalisasi dua dimensi dari fungsi sinus dan kosinus yang sudah dikenal dari trigonometri.

Tautan terakhir diperoleh ketika Ken Ribet mengkonfirmasi asumsi Jean-Pierre Seur bahwa sifat-sifat fungsi modular yang diberikan oleh bentuk kurva elips Frey menyiratkan adanya

(E) fungsi modular lain dari bobot 2 dan level 2.

Namun, fungsi seperti itu tidak ada. Oleh karena itu, tidak ada fungsi modular (D), atau representasi Galois (C), atau persamaan (B), atau solusi (A).

Hanya tetap menemukan hubungan yang hilang antara (C) dan (D), yang oleh para ahli matematika disebut hipotesis modularitas.

Tautan ini telah menjadi subjek pencarian tujuh tahun untuk Wiles. Dari sudut pandang kami saat ini, sulit untuk sepenuhnya menghargai keberanian dari perusahaan yang berisiko ini. Dua puluh tahun setelah Yutaka Taniyama dan Goro Shimura pertama kali melaporkan hubungan antara (B) dan (D) sampai (C) pada 1950-an, matematikawan secara bertahap sampai pada kesimpulan bahwa ini seharusnya demikian. Harapan ini diungkapkan dalam karya yang sangat populer oleh Andre Weil, yang sangat cocok dengan program Langlands yang sangat berpengaruh, dinamai sesuai dengan ahli matematika Kanada Robert Langlands. Koneksi ini terlalu bagus untuk tidak menjadi kenyataan. Namun, hipotesis modularitas tampak sepenuhnya tidak mungkin tercapai. Objek tipe (C) dan (D) terlalu berbeda.

Ilmuwan komputer tidak menjelaskan apakah kekecewaannya disebabkan oleh fakta bahwa tidak penting bagi teori bilangan bahwa buktinya terbatas pada menemukan hubungan kritis antara (C) dan (D), atau berkisar dari (A) hingga (E). Saya tidak akan mencoba mencari tahu. Tetapi jika ahli logika hanya perlu secara resmi mengkonfirmasi bukti yang dipublikasikan tentang hubungan antara (C) dan (D), maka harapan mereka terlalu tinggi. Pertama, Wiles membuktikan hanya sedikit lebih dari cukup untuk hipotesis modularitas untuk menyelesaikan deduksi "dari (A) ke (E)". Hipotesis lengkap modularitas didirikan beberapa tahun kemudian oleh Christoph Broglie, Brian Conrad, Fred Diamond dan Richard Taylor. Tapi ini tidak membayangi pekerjaan Wiles! Sebaliknya, fakta bahwa sejumlah besar pakar terkemuka dunia dalam teori bilangan mengikuti jejak pekerjaan Wiles hanya beberapa bulan setelah kemunculannya berbicara tentang kekayaannya.

Sebagai contoh, beberapa saat kemudian, pada musim gugur 2016, 10 matematikawan bertemu di Institute for Advanced Studies di Princeton, New Jersey, dan mampu membuktikan adanya hubungan antara kurva eliptik dan fungsi modular dalam kondisi baru. Mereka semua menggunakan jalur yang berbeda untuk memahami struktur bukti Wiles, yang muncul ketika beberapa dari mereka masih anak-anak. Jika mereka diminta untuk menggambarkan bukti ini dalam bentuk urutan kesimpulan logis, mereka pasti akan mengeluarkan 10 versi yang berbeda. Masing-masing akan menyerupai jalan dari (A) ke (E) yang dijelaskan di atas, tetapi akan jauh lebih rinci.

Namun demikian - dan ini selalu dilupakan dari pandangan filosofis bukti - masing-masing dari sepuluh ini akan menghubungkan kepengarangan bukti itu dengan Wiles. Mereka akan merujuk mereka dengan cara yang sama seperti bukti lain yang dipelajari oleh mereka dalam artikel penjelasan atau dalam kursus pelatihan yang mereka hadiri atau ajarkan. Dan meskipun masing-masing dari sepuluh akan menghilangkan beberapa detail, secara umum semuanya akan benar.

Apa bukti Wiles jika dapat memiliki begitu banyak opsi berbeda? Dalam filosofi matematika, merupakan kebiasaan untuk memperlakukan bukti yang dipublikasikan sebagai perkiraan terhadap bukti formal yang ideal, yang pada prinsipnya dapat diperiksa pada komputer yang menerapkan aturan sistem formal. Bukti ideal tidak terkontaminasi oleh apa pun yang berada di luar sistem formal - seolah-olah setiap undang-undang memiliki tanda yang membenarkan pembenaran konstitusionalnya.

Tetapi pendekatan ini bertentangan dengan apa yang dikatakan ahli matematika tentang bukti mereka. Matematikawan tidak menggunakan tes lakmus ideologis atau filosofis, tetapi saya yakin bahwa sebagian besar rekan saya akan setuju dengan Michael Francis Atiyah, yang menyatakan bahwa buktinya "adalah ujian akhir, tetapi bukan dasar dari apa pun." Bukti yang diterbitkan jelas bukan fondasi apa pun.

Tipu muslihat dan spesialis dalam teori bilangan, memperbaiki dan memperluas ide-idenya, tentu tidak berharap untuk menerima tawaran dari dua ahli logika. Tetapi - tidak seperti banyak orang yang mengamati teori angka dari jauh - mereka pasti mengerti bahwa bukti seperti yang diterbitkan oleh Wiles tidak boleh diperlakukan sebagai semacam artefak itu sendiri. Sebaliknya, bukti Wiles adalah titik awal dari dialog terbuka yang terlalu sulit dipahami dan hidup untuk dibatasi pada batas-batas serius yang asing bagi subjek.