Dalam masalah kontrol, ada kasus-kasus ketika hukum gerak dari objek yang dikendalikan diketahui dan perlu untuk mengembangkan regulator dengan karakteristik tertentu. Kadang-kadang tugas menjadi rumit oleh fakta bahwa persamaan yang menggambarkan objek yang dikontrol berubah menjadi nonlinier, yang mempersulit konstruksi pengontrol. Dalam hal ini, beberapa metode telah dikembangkan untuk memperhitungkan fitur struktural nonlinear dari objek kontrol, salah satunya adalah metode masalah dinamika terbalik.

Pendahuluan

Metode masalah terbalik dinamika muncul secara alami ketika Anda mencoba untuk "mengubah" satu sistem dinamis ke yang lain, ketika pengembang memiliki dua persamaan, yang satu menggambarkan sistem yang dikontrol yang ada, dan yang lainnya mengungkapkan hukum gerak dari sistem yang sangat terkontrol, mengubahnya menjadi sesuatu yang bermanfaat. Hukum mungkin terlihat berbeda, tetapi yang utama adalah bahwa hukum itu layak secara fisik. Ini mungkin hukum perubahan tegangan sinusoidal pada output generator atau sistem kontrol frekuensi otomatis, hukum kecepatan rotasi turbin atau pergerakan dudukan printer, atau bahkan dapat berupa koordinat X, Y dari ujung pensil, yang ditandai dengan kartu pada kartu.

Namun, adalah mungkin untuk "memaksakan" hukum kontrol Anda yang sesuai dengan kerangka realisasi fisik dan pengendalian objek dan ini sering kali bukan bagian yang paling sulit dari pengembangan. Tetapi fakta bahwa metode yang dipertimbangkan membuatnya cukup mudah untuk memperhitungkan nonlinier dan multidimensi objek menurut saya meningkatkan daya tariknya. Ngomong-ngomong, di sini Anda dapat melihat hubungannya dengan metode kompensasi non-linearitas umpan balik [1].

Diketahui bahwa dalam beberapa kasus pengendali nonlinier yang dibentuk dengan benar, bahkan ketika mengendalikan sistem linier, memberikan karakteristik kontrol yang lebih baik dibandingkan dengan pengontrol linier [2]. Contohnya adalah regulator yang mengurangi koefisien redaman suatu sistem dengan peningkatan kesalahan dalam mengerjakan perintah dan meningkatkannya saat kesalahan berkurang, yang mengarah pada peningkatan kualitas proses transien.

Secara umum, topik kontrol yang terkait dengan kebutuhan untuk memperhitungkan nonlinier telah lama menarik perhatian para ilmuwan dan insinyur, karena sebagian besar objek nyata dijelaskan oleh persamaan nonlinier. Berikut adalah beberapa contoh non-linearitas yang biasa ditemukan dalam teknologi:


Pernyataan umum masalah adalah sebagai berikut. Biarkan ada objek kontrol yang dapat digambarkan sebagai persamaan diferensial urutan ke-n

$$

$$F ({{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x, \ {{\ xi}}, t) = u , \ quad \ quad \ quad (1)$$

di mana ada gangguan $$$\ {{\ xi}}$ (Ini mungkin suara perangkat pengukur, pengaruh acak eksternal, getaran, dll.) dan sinyal kontrol $$$u$ (dalam teknologi, kontrol paling sering dilakukan menggunakan tegangan). Dalam hal ini, untuk kesederhanaan persepsi, kami mempertimbangkan objek kontrol satu dimensi, yang mencakup satu gangguan. Dalam kasus umum, jumlah ini bersifat vektor. Dapat dipahami bahwa variabel fase $$${{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x$ yang menggambarkan keadaan objek kontrol, gangguan $$$\ {{\ xi}}$ dan manajemen $$$u$ tergantung pada waktu, tetapi fakta ini tidak ditampilkan untuk kesederhanaan persepsi. Ekspresi (1) dapat mengandung non-linearitas, serta non-stasioner, yaitu yang parameternya jelas berubah seiring waktu. Contoh persamaan tidak stabil dapat berupa jumlah inti uranium dalam reaktor, yang terus menurun sebagai akibat dari reaksi peluruhan, yang mengarah pada perubahan berkelanjutan dalam hukum kontrol optimal batang moderator.

Kontroler dibuat sedemikian rupa untuk menghasilkan hukum kontrol yang diketahui sebelumnya, yang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial urutan tidak lebih rendah dari urutan persamaan (1), yang menjelaskan objek kontrol:

$$

$$f ({{x} ^ {(m)}}, \ {{x} ^ {(m-1)}}, \ ... \, \ x, \ \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, \ t) = 0, \ \ \ \ \ \ m \ ge n, \ quad \ quad (2)$$

dimana $$$\ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}$ - sinyal kontrol dan turunannya dalam jumlah yang memungkinkan Anda untuk sepenuhnya menggambarkan hukum kontrol yang diperlukan. Jadi, untuk sistem stabilisasi, tidak perlu mengukur turunan kontrol. Untuk sistem pelacakan untuk sinyal input ramp, cukup untuk mengukur turunan pertama. Untuk melacak sinyal yang bervariasi secara kuadratik, Anda harus menambahkan turunan kedua, dan seterusnya. Perlu dicatat bahwa sinyal ini diumpankan ke input regulator, berbeda dengan sinyal $$$u$ memasukkan objek kontrol dari regulator. Persamaan ini bisa juga non-linear maupun non-stasioner.

Untuk menentukan sinyal kontrol yang diinginkan $$$u$ kami ungkapkan dari (2) turunan tertinggi

$$

$${{x} ^ {(n)}} = {{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ .. . \, \ x, \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t)$$

dan ganti ekspresi yang dihasilkan sebagai gantinya $$$x ^ {(n)}$ dalam persamaan (1), sambil mengekspresikan kontrol:

$$$$ menampilkan $$ \ begin {matrix} {u = F \ kiri ({{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}} , \ ... \, \ x, \ psi (t), \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t) , \\ \ quad \ quad \ quad \ quad {{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ ... \, \ x, \ { {\ xi}}, t \ kanan).} & \ quad \ quad \ quad (3) \ end {matrix} $$ menampilkan $$

Dari ekspresi (3), menjadi jelas bahwa untuk membuat sinyal kontrol yang diperlukan, perlu untuk mengukur selain gangguan eksternal (jika pengaruhnya signifikan) sebagai kuantitas yang dikendalikan itu sendiri $$$x$ , dan semua turunannya sesuai pesanan $$$n-1$ inklusif, yang dapat menyebabkan beberapa kesulitan. Pertama, turunan yang lebih tinggi mungkin tidak tersedia untuk pengukuran secara langsung, seperti yang kita katakan turunan dari akselerasi, sebagai akibatnya kita harus beralih ke operasi diferensiasi, secara terprogram atau sirkuit. Dan, seperti yang Anda tahu, mereka mencoba menghindari ini karena peningkatan kebisingan. Kedua, pengukuran pasti mengandung noise, dan ini memaksa orang untuk menggunakan penyaringan. Filter apa pun adalah dinamis atau, dengan kata lain, elemen inersia, yang berarti adanya turunan dengan persamaan. Akibatnya, urutan seluruh sistem kontrol dalam kasus umum akan meningkat sejumlah sama dengan jumlah pesanan persamaan yang menggambarkan semua meter filter. Yaitu, jika kita mengontrol objek orde kedua dan menggunakan filter orde kedua di setiap saluran pengukuran (yaitu, hanya dua filter orde kedua) untuk mengukur kuantitas output dan turunannya, maka urutan sistem kontrol akan meningkat empat. Tentu saja, jika konstanta waktu filter cukup kecil, maka pengaruh elemen smoothing dapat diabaikan. Tetapi bagaimanapun, mereka akan membawa apa yang disebut parameter dinamis kecil ke dalam sistem dan kontribusi gabungannya dapat mempengaruhi stabilitas sistem kontrol secara keseluruhan [2]. Juga harus dipahami bahwa metode ini memungkinkan Anda untuk menentukan kontrol hanya dalam proses transisi dan tidak terkait dengan optimasi oleh kriteria kualitas kontrol.

Hubungan pengontrol dan objek kontrol dapat dijelaskan dengan skema berikut:

Kontrol Oscillator Van der Pol

Pertimbangkan contoh sintesis pengontrol untuk mengendalikan sistem berosilasi mandiri. Ini adalah contoh fiktif yang menjelaskan esensi metode dengan baik. Misalkan Anda ingin mengontrol sistem yang persamaannya adalah sebagai berikut:

$$

$$\ ddot {x} - \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ dot {x} + {{\ omega} ^ {2}} x = u. \ quad \ quad (4)$$

Hukum manajemen harus sebagai berikut:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {x} + 2T \ xi \ dot {x} + x = \ psi, \ quad \ quad (5)$$

dimana $$$\ psi$ - sinyal kontrol mengemudi kami (setpoint). Faktanya, kami ingin "mengubah" generator nonlinear kami menjadi tautan osilasi linier. Perlu dicatat bahwa dalam sistem yang sama [2] ini adalah sistem stabilisasi, sejak keluaran $$$x$ berusaha mengulang sinyal input $$$\ psi$ , yaitu, menstabilkan output sistem pada tingkat konstan yang diberikan $$$\ psi$ yang dapat ditampilkan sebagai

$$

$$x \ rightarrow \ psi.$$

Penting bahwa sinyal input $$$\ psi$ konstan atau lambat berubah (sangat lambat sehingga kesalahan lag $$$x$ dari $$$\ psi$ cocok dengan persyaratan kami untuk akurasi) dengan nilai atau fungsi konstan piecewise, karena seluruh sistem memiliki 0-order astatism (yaitu, statis) dan untuk setiap sinyal pengaturan yang terus berubah $$$\ psi$ kesalahan dinamis pasti akan muncul pada output sistem, yang akan terlihat seperti menambahkan nilai konstan tertentu ke nilai output yang secara monoton tergantung pada tingkat perubahan aksi kontrol. Fitur ini akan dihilangkan di masa depan.

Jadi, kami menyatakan turunan tertinggi dari persamaan (5):

$$

$$\ ddot {x} = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} - \ frac {2 \ xi \ dot {x}} {T} - \ frac {x} {{{T } ^ {2}}}$$

dan gantilah dalam (4), mengekspresikan $$$u$ :

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} ^ {2}} - \ frac {1} {{{{T} ^ {2}} } \ kanan) x- \ kiri (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ kanan) \ dot {x}. \ quad \ quad (6)$$

Ini adalah sinyal kontrol, yang akan dibentuk oleh regulator dari sinyal kontrol yang diinginkan $$$\ psi$ . Dari (6) juga mengikuti kebutuhan untuk mengukur kuantitas output $$$x$ dan turunan pertamanya.

Osilasi Van der Pol dengan Parameter $$$\ gamma = 0,6, \ omega = 3$ terlihat seperti ini:


Mari kita memiliki sinyal tipe "langkah":


dan kami ingin sistem mengulanginya.

Kami mengumpankannya ke input osilator dan melihat jawabannya:


Di bawah aksi sinyal tunggal input, hanya bias konstan kecil yang ditambahkan ke osilasi osilator.

Anggaplah sekarang bahwa kita perlu memperoleh respons osilator seperti itu terhadap sinyal induk yang akan sesuai dengan reaksi dari tautan getaran (5) dengan konstanta waktu $$$T = 0,125$ dan faktor redaman $$$\ xi = 0,8$ . Tanggapan $$$x_ {mp} (t)$ tautan osilasi seperti itu per langkah unit disajikan di bawah ini:


Sekarang mari kita beri sinyal kontrol ke osilator $$$u$ dijelaskan dengan ungkapan (6):


Dapat dilihat bahwa osilator berperilaku sesuai dengan hukum yang disyaratkan. Mari kita lihat sinyal kontrol $$$u$ :


Gambar tersebut menunjukkan lonjakan yang signifikan pada saat proses transisi. Dalam sistem nyata, kemungkinan besar, sistem akan memasuki saturasi (penghancuran), atau untuk mencegahnya, kita harus membatasi sinyal input. Kami memperhitungkan ini dengan membatasi amplitudo dari tindakan kontrol $$$u$ di tingkat $$$\ pm$ 15. Sinyal kontrol sekarang terlihat seperti ini:


dan output osilator seperti ini:


Konsekuensi dari batasan sinyal adalah kesalahan transien yang besar, yang, tergantung pada sifat-sifat sistem yang diinginkan, bisa sangat signifikan. Dengan peningkatan konstanta waktu yang diperlukan, emisi sementara berkurang. Anda perlu berhati-hati bahwa sinyal kontrol maksimum dalam kondisi mapan (yang pada grafik ini dimulai dari sekitar detik keenam) tidak terbatas, jika tidak akan ada proses transisi tanpa akhir dan sistem tidak akan menyelesaikan tugas. Gain regulator, mis. Mengontrol rasio sinyal $$$u$ pada keluaran regulator $$$\ psi$ ditentukan oleh parameter dari sistem yang dikendalikan, yaitu faktor $$$\ omega ^ 2$ .

Sekarang kita memberi makan osilator dengan sinyal yang berubah secara linear:


Reaksi tautan getaran:


dan osilator:


Terlihat bahwa kelambatan konstan telah muncul - kesalahan dinamis, karena sistem dirancang untuk melacak hanya sinyal referensi konstan $$$\ psi$ . Agar dapat melacak sinyal yang bervariasi secara linier, perlu untuk mengevaluasi tingkat perubahannya dan memperhitungkannya dalam pengontrol. Untuk melakukan ini, kami membuat undang-undang kontrol yang disyaratkan sebagai berikut:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0, \ quad \ quad (7)$$

dimana $$$\ delta = \ psi-x$ - kesalahan pelacakan sinyal referensi oleh osilator.
Kami juga menyatakan turunan tertinggi dari (7), menggantikannya dengan persamaan objek kontrol (4) dan mendapatkan sinyal kontrol:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ frac {2 \ xi} {T} \ dot {\ psi} + \ kiri ({{\ omega} ^ {2} } - \ frac {1} {{{T} ^ {2}}} \ kanan) x- \ kiri (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2} }) \ kanan) \ dot {x}. \ quad \ quad (8)$$

Dalam struktur baru dari regulator yang sesuai dengan ekspresi (8), tingkat perubahan aksi yang ditetapkan $$$\ dot {\ psi}$ . Kami melihat output dari sistem ketika setpoint yang bervariasi secara linear diterapkan pada input:


Osilator melacak sinyal yang ditetapkan $$$\ psi$ .

Tapi ini adalah contoh yang sepenuhnya sintetis. Pada kenyataannya, akan ada sistem yang strukturnya mungkin tidak teridentifikasi cukup akurat - kali ini. Kami juga akan menentukan parameter sistem dengan kesalahan tertentu - ini adalah dua. Kontrol termasuk variabel fase $$$x, \ dot {x}$ yang harus diukur dengan beberapa jenis kebisingan adalah tiga. Dan parameter dari sistem dapat melayang dari waktu ke waktu, yaitu, sistem stasioner selama periode waktu yang cukup lama dapat menunjukkan non-stasioneritas. Meskipun lebih tepat mengatakannya - pada interval waktu yang cukup singkat, sistem non-stasioner mungkin tampak stasioner. Dalam contoh ini, kami mengasumsikan bahwa sistem diidentifikasi dengan akurasi yang cukup dan perubahannya dari waktu ke waktu sangat tidak signifikan. Kemudian, untuk kejelasan, kami menulis ulang ekspresi untuk controller (6) sebagai berikut:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ kanan) \ topi {x} - \ kiri (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ kanan) \ hat {\ dot {x}}, \ quad \ quad (9)$$

dimana $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ - nilai yang terkendali yang diukur dan turunannya; $$${\ omega} _ {\ text {id}}, {\ gamma} _ {\ text {id}}$ - Frekuensi alami yang diidentifikasi dan koefisien atenuasi non-linear, masing-masing.

Tambahkan 10% kesalahan dalam identifikasi parameter osilator dengan mengatur $$$\ gamma_ {id} = 0.66, \ omega_ {id} = 3.3$ . Mari kita lihat hasilnya:


Dapat dilihat dari gambar bahwa kesalahan statis muncul, yang tumbuh dengan peningkatan kesalahan identifikasi $$$\ delta \ omega = \ omega- \ omega_ {id}$ dan dalam kondisi mapan tidak tergantung pada kesalahan $$$\ delta \ gamma = \ gamma- \ gamma_ {id}$ . Tetapi yang terakhir mempengaruhi deviasi dari osilator sementara dari itu untuk hubungan getaran yang ideal. Anda dapat mencoba melakukan hal yang sama seperti dalam desain pengontrol PID ( Habr dan bukan Habr ) - tambahkan integral kesalahan ke sinyal kontrol (tanpa melupakan saturasi integral satu atau dua kali ). Tetapi untuk saat ini, jangan abaikan pertanyaan ini dan pertimbangkan ungkapan (9), di mana dapat dilihat bahwa semakin rendah frekuensi alami $$$\ omega$ dibandingkan dengan konstanta waktu yang dibutuhkan $$$\ frac {1} {T}$ , semakin kecil pengaruh kesalahan identifikasi yang sama $$$\ frac {1} {T}$ . Kurangi $$$T$ dari 0,125 menjadi 0,05. Kesalahan statis juga menurun:


Sekarang mari kita coba mengkompensasi kesalahan statis dengan menambahkan integral kesalahan ke controller $$$\ delta$ (seperti pada kontroler PI). Ekspresi (9) akan berubah menjadi

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ kanan) \ topi {x} - \ kiri (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ kanan) \ hat {\ dot {x}} + k_ {int} \ int_0 ^ {t_1} {(\ psi-x) dt}, \ quad \ quad (10)$$

dimana $$$k_ {int}$ - koefisien komponen integral; $$$t_1$ - waktu saat ini.

Integral di sini secara formal ditulis sebagai menjelaskan ide umum, daripada deskripsi matematis dari algoritma tertentu, karena dalam kontroler nyata perlu untuk mengambil langkah-langkah untuk membatasi akumulasi kesalahan, jika tidak masalah dengan transien dapat terjadi. Mari kita lihat reaksi sistem di bawah aksi regulator yang dihasilkan sesuai dengan ekspresi (10):


Gambar tersebut menunjukkan bahwa kesalahan statis berkurang dari waktu ke waktu, tetapi proses sementara tertunda. Dengan analogi dengan pengontrol PID, Anda dapat mencoba menambahkan komponen proporsional dan membedakan. Hasilnya adalah sebagai berikut (koefisien tidak dipilih dengan cermat):


Secara alami, penambahan komponen integral dan diferensial bukan lagi bagian dari metode masalah dinamika terbalik, tetapi menerapkan metode tertentu untuk mengoptimalkan proses transien.

Mari kita menganalisis efek pengukuran variabel kebisingan $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ . Sekali lagi, kami memberi makan langkah ke input sistem dan melihat output dengan tidak adanya kebisingan (masih ada kesalahan identifikasi 10% yang sama):


Sekarang tambahkan ke pengukuran $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ white Gaussian noise dengan nol ekspektasi dan varian yang sama $$$\ sigma_x ^ 2 = \ sigma_ \ dot {x} ^ 2 = 0,01$ melewati hubungan aperiodik dengan konstanta waktu $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0,01$ yang mensimulasikan sensor pengukur + filter low-pass . Salah satu implementasi noise yang dihasilkan:


Sekarang output sistem juga mulai membuat kebisingan:


sebagai hasil dari sinyal kontrol berisik:


Lihatlah kesalahan saat mengerjakan tugas:


Mari kita coba untuk meningkatkan konstanta waktu sensor $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0,04$ dan lihat lagi output sistem:


Fluktuasi yang signifikan muncul - hasil dari tindakan yang tidak diperhitungkan untuk parameter dinamis kecil [2] yang menggambarkan sensor (inersia mereka). Parameter dinamis ini membuat penyaringan noise sulit, memaksa untuk menggambarkan sensor dengan konstanta waktu "besar", yang, secara umum, tidak selalu dapat memberikan hasil yang positif.

Kontrol motor DC dengan memperhitungkan gesekan kental nonlinear

Ini adalah kasus yang lebih nyata dalam menerapkan metode masalah dinamika terbalik. Pertimbangkan pengaturan kontrol motor pengumpul DC dengan eksitasi dari magnet permanen (ala motor Cina dari mainan). Pada prinsipnya, topik pengontrolan mesin tersebut dicakup dengan baik dan tidak menyebabkan kesulitan khusus. Metode masalah dinamika terbalik akan digunakan oleh dan besar untuk mengkompensasi non-linearitas dalam persamaan dinamika mesin. Kami berasumsi bahwa mesin itu sendiri dapat digambarkan oleh persamaan diferensial linier, tetapi ada pengaruh signifikan dari gesekan viskos poros nonlinear, sebanding dengan kuadrat dari kecepatan putarannya. Persamaan sistem elektromekanis adalah sebagai berikut:

$$

$$\ begin {matrix} \ dot {\ omega} = \ frac {1} {J} \ kiri (k_t \ Phi I - B \ omega - D \ omega ^ 2 - M_ {l} \ kanan) \\ \ dot {I} = \ frac {1} {L} \ kiri (U - k_e \ omega - RI \ kanan) \\ \ end {matrix}, \ quad \ quad (11)$$

dimana $$$\ omega$ - kecepatan sudut rotasi poros; $$$J$ - momen inersia seluruh sistem putaran (jangkar dengan beban terpasang); $$$k_t$ - konstanta mesin, ditentukan untuk desain mesin tertentu, yang berkaitan dengan fluks magnet dan kecepatan putaran poros; $$ P h i - fluks magnet, yang secara kasar dapat dianggap konstan untuk desain motor spesifik dalam kisaran arus operasi (tetapi dalam kasus arus tinggi yang tidak linier, bergantung pada arus belitan);$\ Phi$$$I - arus melalui belitan dinamo;$I$$$$B$ - koefisien gesekan kental linear; $$$D$ - koefisien gesekan kental nonlinear; $$$M_l$ - momen muat; $$$L$ - Induktansi lilitan jangkar; $$$U$ - tegangan diterapkan ke belitan; $$$k_e$ - Koefisien counter-EMF, konstan untuk desain mesin tertentu; $$$R$ - resistensi belitan angker. Pada prinsipnya, itu akan cukup untuk melakukan hanya gesekan kental non-linear, tetapi diputuskan untuk menyajikan ketergantungan non-linear gesekan pada kecepatan putaran poros sebagai binomial untuk lebih umum.

Kami akan mencoba membuat pengatur seperti itu dengan metode masalah inversi dinamika, sehingga dinamika kesalahan dalam memenuhi tugas dalam kecepatan oleh mesin sesuai dengan itu untuk tautan getaran yang dijelaskan oleh

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ omega} + 2T \ xi \ dot {\ omega} + \ omega = \ psi, \ quad \ quad (12)$$

dimana $$$\ omega$ - kecepatan sudut rotasi poros motor; $$$\ psi$ - pengaturan kecepatan.

Persamaan (12) dapat dikompilasi menggunakan kesalahan mengerjakan perintah sebagai variabel dinamis $$$\ delta = \ psi- \ omega$ :

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0,$$

tetapi kemudian istilah dengan turunan dari setpoint akan muncul dalam persamaan, seperti yang dapat dilihat dari ekspresi

$$

$$\ frac {1} {T ^ 2} (\ psi- \ omega) + \ frac {2 \ xi} {T} (\ dot {\ psi} - \ dot {\ omega}) + \ ddot {\ psi } - \ ddot {\ omega} = 0,$$

Ini, pada gilirannya, akan meningkatkan komponen fluktuasi dari kesalahan. Dan karena kita ingin sistem untuk bekerja hanya pengaturan yang konstan, tiba-tiba berubah (yaitu, mengingat kecepatannya, akselerasi dan semua turunan berikutnya menjadi nol), maka kita perlu melacak kesalahan maksimum dalam posisi, tidak memperhitungkan turunannya, atau, jika lebih mudah untuk memahami , dengan nol turunan dari kesalahan, yang akan mengarah pada ekspresi (12).

Untuk mendapatkan ekspresi yang akhirnya menggambarkan regulator, perlu untuk mengurangi sistem dari dua persamaan orde pertama (11) menjadi satu persamaan orde kedua. Untuk melakukan ini, kami membedakan persamaan pertama (11) sehubungan dengan waktu (dengan asumsi momen beban tidak berubah):

$$

$$J \ ddot {\ omega} = \ Phi \ dot {I} -B \ dot {\ omega} -2D \ omega \ dot {\ omega}$$

dan menggantikannya dengan ekspresi dari persamaan kedua sistem (11) $$$\ dot {I}$ , yang memberikan persamaan orde kedua

$$

$$\ ddot {\ omega} + \ kiri (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} \ kanan) \ dot {\ omega} +2 \ frac {D} {J} \ omega \ dot {\ omega} + \ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} = \ frac {\ Phi K_t} {JL} U. \ quad \ quad (13)$$

Mengganti menjadi ekspresi (13) $$$\ ddot {\ omega}$ diperoleh dari (12) kita dapat menemukan kontrol yang diperlukan $$$U$ untuk menerapkan hukum gerak yang diinginkan (12):

$$

$$\ small U = \ frac {JL} {\ Phi K_t} \ kiri [\ kiri (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} - \ frac {2 \ xi} {T} \ kanan) \ dot {\ omega} + \ frac {2D} {J} \ omega \ dot {\ omega} + \ kiri (\ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} - \ frac {1} {T ^ 2} \ kanan) \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} + \ frac {\ psi} {T ^ 2} \ kanan]. \ \ (14)$$

Kami menerapkan input dua engine, yang salah satunya dilengkapi dengan regulator yang diterapkan sesuai dengan prinsip masalah dinamik terbalik, langkah dengan amplitudo unit sesuai dengan skema berikut:


dan lihat ketergantungan frekuensi rotasi poros motor tepat waktu:


Reaksi terhadap langkah dengan amplitudo 10 volt:


Ketergantungan nonlinier dari indeks osilasi sistem awal pada amplitudo sinyal input terlihat dari gambar.

Sekarang bandingkan dua mesin dengan pengontrol PID, diagram struktural yang ditunjukkan pada gambar berikut:


Frekuensi rotasi poros mesin:


dan lebih besar:


Hal ini dapat dilihat dari angka-angka bahwa, berkat pengontrol PID yang dibangun menggunakan metode masalah dinamika terbalik, respons sistem terhadap sinyal kontrol stepped dipercepat, yang tidak dapat dicapai dengan menggunakan pengontrol PID konvensional karena non-linearitas pada objek kontrol. Namun, penggunaan koefisien variabel dari kontroler PID mungkin akan memecahkan masalah ini dengan lebih baik dan membuat sistem lebih kuat. Tetapi ini adalah kisah yang sangat berbeda.

Kesimpulan

Artikel tersebut dianggap sebagai metode yang memungkinkan Anda membangun pengontrol untuk mengendalikan sistem non-linear, yang ditunjukkan oleh contoh-contoh kontrol osilator Van der Pol dan motor DC.

Keuntungan utama dari metode ini meliputi:

• kemudahan implementasi dari undang-undang kontrol yang diperlukan (analitik);
• kemampuan untuk mengendalikan sistem non-linear;
• kemampuan untuk mengendalikan sistem non-stasioner.

Namun, metode ini juga memiliki sejumlah kelemahan signifikan:

• kebutuhan untuk mengetahui seluruh keadaan vektor dari sistem yang dikendalikan (yang mungkin memerlukan diferensiasi, penyaringan);
• kebutuhan untuk identifikasi parameter yang cukup akurat dari sistem yang dikendalikan, yang dapat mengurangi ketahanan;
• kebutuhan untuk mempelajari sistem untuk ketidakstabilan yang dihasilkan dari aksi gabungan dari parameter dinamis kecil (filter, sensor) yang tidak termasuk dalam model.

Secara umum, ini adalah metode yang agak menarik, tetapi dengan membandingkan implementasinya untuk mengendalikan motor DC (menggunakan pengontrol PID) dengan motor yang dikontrol hanya oleh pengontrol PID, menjadi jelas bahwa tidak mungkin untuk mendapatkan roti yang signifikan darinya. Tetapi struktur perangkat kontrol jauh lebih rumit, memaksa, antara lain, berjuang dengan suara-suara diferensiasi di satu sisi, dan mencegah batas stabilitas mencapai sisi lain. Mungkin dengan ini bahwa sejumlah kecil pekerjaan pada topik ini terhubung. Salah satu aplikasi yang mungkin dari metode masalah invers dari dinamika dapat berupa pembangunan lintasan referensi (ideal) sistem untuk perbandingan dengan lintasan yang sesuai dengan berbagai pengontrol, misalnya linier atau linierisasi.

Literatur bekas:

1. Kim D.P. Teori kontrol otomatis. T.2. Sistem multidimensi, nonlinier, optimal dan adaptif: Buku Teks. uang saku. - M.: FIZMATLIT, 2004 .-- 464 hal.
2. Boychuk L.M. Metode sintesis struktural sistem kontrol otomatis nonlinier. M., "Energi", 1971.
3. Sistem kontrol otomatis non-stasioner: analisis, sintesis dan optimisasi / Ed. K. Pupkova dan N.D. Egupova. - M .: Rumah penerbitan MSTU. N.E. Bauman, 2007 .-- 632 hal.