Entri

Pernahkah terjadi bahwa Anda ingin menjumlahkan beberapa seri tanpa batas, tetapi Anda tidak dapat mengambil sebagian dari seri tersebut? Apakah Anda masih belum menggunakan turunan diskrit? Lalu kami pergi ke Anda!

Definisi

Urutan Derivatif Terpisah $$$a_n$ sebut urutan ini $$$\ Delta a_n$ itu untuk alam $$$n> 1$ dilakukan oleh:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

Perhatikan contoh-contoh berikut:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n-1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

Nah, Anda mengerti intinya. Sesuatu seperti turunan dari suatu fungsi, bukan? Kami memahami bagaimana menghitung turunan diskrit dari urutan "paling sederhana". Ahem, tapi bagaimana dengan jumlah, perbedaan, produk, dan hasil bagi dari urutan? Derivatif "biasa" memiliki beberapa aturan diferensiasi. Mari kita datang dengan yang berbeda!

Pertama, pertimbangkan jumlahnya. Adalah logis bahwa jumlah urutan juga semacam urutan. Mari kita coba cari turunannya dengan definisi:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} + b_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

Secara fenomenal! Kami telah memperoleh bahwa turunan dari jumlah sekuens adalah jumlah turunan dari sekuens ini! terima kasih cap
Mari kita coba buktikan sama dengan perbedaannya

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n - 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

Dan kita beralih ke pekerjaan!
Demikian pula, kami menemukan dengan definisi:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {n -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_n \ Delta {b_n } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

Keren kan? Pertimbangkan hasil bagi:

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ frac {a_nb_ {n-1 } -a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1}} = \\ = \ frac {a_nb_ {n-1} -a_nb_n + a_nb_n-a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1 }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

Keren ...

Tapi ini semua turunan. Mungkin ada antiderivatif diskrit ? Ternyata ada!

Lebih banyak definisi

Urutan primitif diskrit $$$a_n$ sebut urutan seperti itu $$$A_n$ itu untuk alam $$$n> 1$ dilakukan oleh:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {\ Delta (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

Ini bisa dimengerti. Guo datang dengan analog Newton-Leibniz!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ \ = A_ {n} - A_0$$

Ayo! Lelucon ini adalah kebetulan! Dan sekarang lebih cantik sama:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

Dan menggeneralisasi ke himpunan bilangan asli dari $$$a$ sebelumnya $$$b$ :

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^ b$$

Aplikasi

Siapa yang ingat rumus untuk jumlah rangkaian kuadrat bilangan asli $$$1$ sebelumnya $$$n$ ? Dan di sini saya tidak ingat. Ayo keluarkan dia!
Tetapi pertama-tama Anda perlu menemukan antiderivatif untuk urutannya $$$a_i = i ^ 2$ :

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

Dan sekarang, pada kenyataannya, jumlah itu sendiri:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6}$$

Bagaimana dengan jumlah kubus?

Pertama kita menghitung

$$

$$\ Delta i ^ 4 = i ^ 4 - (i-1) ^ 4 = i ^ 4- (i ^ 4 - 4 i ^ 3 + 6i ^ 2-4i + 1) = 4i ^ 3 - 6i ^ 2 + 4i-1$$

Antiderivatif untuk $$$i ^ 3$ :

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i (i + 1 )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ 2$$

Ahem, sepertinya, tidak ada yang rumit ...

Untuk lanjutan

Menemukan integral tidak selalu begitu mudah, bukan? Apa yang kita lakukan dalam kasus-kasus sulit? Itu benar, berintegrasi dalam beberapa bagian. Mungkin ada analog? Aku tidak akan menyiksamu, dia, dan sekarang kita akan mengeluarkannya.

Misalkan kita perlu menghitung jumlah suatu seri

$$

$$p = const \\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =?$$

Apa yang harus dilakukan Tidak mungkin Anda akan dapat dengan mudah mengambil pencegah diskrit ke urutan. Mari kita tonton.

Kita sudah tahu itu:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

Lalu

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Dan sekarang satu langkah nontrivial:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a +1) g (a + 1) - f (a) g (a) + \\ + ... + f (b) g (b) -f (b-1) g (b-1) = f ( b) g (b) -f (a-1) g (a-1)$$

Mengganti kesetaraan yang diperoleh sebelumnya:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Finita la komedi.

Temukan jumlah yang sama:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ $$

Tampaknya bagi seseorang bahwa formula itu menjadi semakin rumit, dan kami hanya mempersulit pekerjaan kami. Tapi ini tidak benar. Biarkan $$$f (i) = i, g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ lalu:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

Teka-teki keren

Saya mengusulkan untuk mempraktekkan ini dengan contoh tugas dari seleksi di Tinkoff Generation ke kursus Machine Learning . Inilah masalahnya sendiri:

Anda bosan menyelesaikan masalah dari pilihan ke kursus Tinkoff Generation dan memutuskan untuk beristirahat dengan menonton beberapa episode dari seri baru yang dibicarakan semua orang.

Anda mulai menonton semua seri, mulai dengan yang pertama. Setiap episode berlangsung satu jam. Setelah menonton seri berikutnya, Anda dengan probabilitas konstan ppp mulai menonton yang berikutnya, jika tidak istirahat Anda akan berakhir dan Anda akan kembali bekerja.

Kelaparan, tidur, dan kebutuhan lain tidak menghentikan Anda, dan serial ini memiliki jumlah episode yang tak terbatas; secara teori, istirahatmu bisa bertahan selamanya.

Berapa lama rata - rata istirahat Anda akan bertahan?

Sebenarnya, di sini kita perlu menemukan harapan matematika. Mari kita perbaiki.

Solusi

Probabilitas bahwa istirahat akan berlangsung 1 jam adalah:

$$

$$P (1) = 1 - p$$

2 jam

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

n jam:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

Maka harapannya adalah:

$$

$$E [X] = \ lim \ Limit_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * (1-p) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ hingga \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

Itu familier, bukan?

Kami sudah menemukan itu

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

maka baris yang kita butuhkan cukup jelas:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

Dan tugas turun untuk menemukan batas urutan

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

dimana $$$p <1$ sejak itu $$$p$ - probabilitas acara.
Kami buktikan sekarang

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0, \ space \ lim \ limit_ {n \ hingga \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x, \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' }} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} f ( x) = 0 \ menyiratkan \ lim \ limit_ {n \ hingga \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1), \ spasi x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ spasi 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}}} = \\ = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {(q ^ {x}) '}} = \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ Limit_ {x \ to \ infty} f (x) = 0 \ menyiratkan \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0$$
  
  

Sekarang mudah untuk memahaminya

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (p-1) ^ 2}$$

Dan

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} {1-p}$$

Sebagian lagi

Fuh ... Mudah sekali , bahkan bagi saya, pembaca yang budiman. Daftar pencapaian untuk hari ini:

1. Kami memahami apa itu turunan diskrit.
2. Turunkan aturan diferensiasi yang melekat
3. Kami memahami apa itu antiderivatif diskrit.
4. Kami memperoleh analog dari rumus Newton-Leibniz
5. Turunan analog dari integrasi dengan bagian-bagian
6. Kami menyelesaikan tugas yang sulit untuk memilih kursus Pembelajaran Mesin di Generasi Tinkoff

Tidak buruk untuk memulai, bagaimana menurut Anda?

Komentar dipersilahkan!