Entri
Harus segera ditunjukkan bahwa dalam artikel ini tidak akan ada matematika yang mendalam. Hanya akan ada diskusi tentang topik yang ditunjukkan dalam judul. Semua lebih jauh diuraikan hanya pendapat penulis. Tidak lebih dari itu. Hampir.
Tambahan kecil: karena "ukuran" dan "besarnya" adalah konsep yang terlalu kabur, dan beberapa dianggap sinonim, penulis memutuskan untuk menggunakannya dalam representasi yang berbeda. Ukuran adalah nama unit ukuran, dan jumlah adalah nilai numerik yang diperoleh sebagai hasil dari kondisi atau pengukuran yang diperkenalkan. Alasan mengapa ukuran ditunjukkan dalam bentuk unit biasa ("/ 1" dalam tanda kurung di bawah), dan bukan beberapa nama simbolis, adalah bahwa ketika bekerja dengan angka biasa dalam imajinasi kita, kita tidak bergantung pada yang dikenal mengukur kemanusiaan dalam perhitungan mental kita, tetapi langsung bekerja dengan angka ("perhitungan murni").Fitur matematika
Matematika, sebagai ilmu, akhirnya masuk jauh ke dalam sistematisasi dan abstraksi, dengan demikian menciptakan untuk dirinya sendiri suatu posisi di mana ia jatuh ke dalam keadaan krisis. Apa yang dimaksud dengan ini? Filsuf besar dan ahli matematika Kurt Gödel membuktikan dengan teorema yang sangat bagus bahwa beberapa dasar matematika tidak dapat dibuktikan atau disangkal dengan cara matematika itu sendiri.
Dan meskipun jelas bagi banyak orang bahwa aksioma selalu didasarkan pada pengamatan realitas fisik (yaitu, pada pengalaman), untuk beberapa alasan ini banyak berkonsentrasi hanya pada matematika itu sendiri, yaitu, struktur (bentuk) tanpa konten. Karena mereka terkadang tidak membayangkan apa yang mereka lakukan, tetapi mereka tahu caranya. Sebagian besar dari mereka yang mencoba mendekati masalah yang digambarkan, seperti seekor kucing yang mengejar ekornya, dengan keras kepala berjalan dalam lingkaran. Di sini, kemungkinan besar, osifikasi yang sangat profesional yang ditulis Lorenz dalam karya besarnya terwujud.
Perbandingan sebagai alat kognisi yang paling penting
Semuanya diketahui sebagai perbandingan.
Rene Descartes
Untuk memulainya, harus segera dicatat bahwa semua operasi matematika terjadi pada orang karena kemungkinan mengidentifikasi tanda-tanda umum. Artinya, karena pernyataan kondisi dan hubungan kondisi dengan objek, perhitungan itu sendiri terjadi. Dari sini operasi aritmatika diturunkan. Sederhananya, perhitungan awal dilakukan melalui perbandingan. Banyak kuantitas fisik yang diterima sebagai standar (standar), contoh-contohnya disimpan dengan cermat di Paris. Ini menyiratkan bahwa unit awal didirikan atas dasar mana representasi numerik (
konsep ) dari fenomena fisik diturunkan. Sederhananya, perhitungan yang sama dilakukan. “Benda-benda dalam diri sendiri” (sebuah istilah yang dikemukakan oleh filsuf besar - Immanuel Kant) bagi kita merupakan objek keberadaan yang tidak dapat kita pahami dengan pikiran, karena ketidaksempurnaan kemampuan manusia. Perbandingan unsur dan kompilasi kategori berdasarkan pada dasar ini memberi kita kesempatan untuk mensistematisasikan objek pengetahuan, yang mengarah pada beberapa pengetahuan yang diproses ("benda dalam diri kita" menjadi "fenomena" yang tidak lengkap, karena kita mungkin tidak mengetahui semua sifat dari sesuatu) . Jika kita tidak dapat menentukan perbedaan antara tubuh (bentuk, warna, rasa, ukuran, dan sebagainya), maka bagi kita semua benda akan tetap menjadi "benda dalam diri mereka". Kant menetapkan bahwa pemilihan kategori adalah dasar pemikiran yang tidak berpengalaman (a
priori ), yang secara langsung berkaitan dengan variasi matematika dari kognisi, yaitu, kita dapat segera menunjukkan bahwa dengan menyoroti persamaan atau ketidaksetaraan (kesamaan), kita membangun (memproduksi) hanya setelah kemungkinan menghitung. Tentu saja, tidak adanya pemikiran yang tidak berpengalaman mengecualikan kemungkinan melaksanakannya (pengecualian “fungsi” manusia dalam perbandingan membuat penghitungan menjadi mustahil). Banyak, omong-omong, adalah kategori objek di mana ada beberapa kondisi untuk kehadiran elemen.
Ambil sebagai objek pertimbangan sebatang perak (objek populer eksperimen pikiran). Kita dapat membedakan massanya berdasarkan perbandingan eksperimental dengan unit yang diterima dalam sistem SI (kilogram). Kita juga dapat membedakan panjang dan lebarnya berdasarkan perbandingan eksperimental dengan unit yang diterima dalam sistem SI (meter). Jika kita secara mental membuang langkah-langkah yang diambil dan semua objek yang diketahui, kecuali ingot itu sendiri, maka kita hanya akan memiliki objek kognisi yang diberikan kepada kita dalam representasi subjektif dan sensual kita (yang masih akan menjadi bagian dari pengetahuan objek yang tidak berpengalaman, karena berpikir tidak dapat sepenuhnya dimatikan (serta pengalaman masa lalu, definisi yang sangat sulit)). Kami tidak dapat membandingkan nomor apa pun dengan itu hanya karena kami tidak dapat membandingkannya dengan apa pun. Berdasarkan semua ini, mudah untuk sampai pada kesimpulan bahwa representasi numerik dari kuantitas fisik memiliki hubungan dengan perbandingan elementer (perbandingan) secara umum (ini jelas, tetapi perlu untuk menunjukkan kejelasan penilaian).
Jika kita mengubah unit pengukuran kita (standar), maka kita bisa mendapatkan representasi numerik (dalam kerangka bilangan real) dari ingot yang sama, berdasarkan aturan (teorema) perubahan skala. Bayangkan bahwa sebuah ingot berbobot satu kilogram, yaitu, itu benar-benar dibandingkan dengan satuan ukuran yang diterima berdasarkan berat. Tetapi jika kita tidak menggunakan standar tradisional (kilogram), tetapi menggantinya dengan setengah dari satuan pengukuran yang diadopsi sebelumnya (kilogram), kita mendapatkan bahwa bilah kita memiliki berat dua "unit yang diterima". Tentu saja, dalam kasus ini, skala akan berlaku untuk semua objek yang dibandingkan (dalam lingkup tinjauan) untuk kemungkinan membandingkannya, tetapi ini tidak meniadakan kemungkinan mengubah representasi numerik dari jumlah yang dibandingkan dalam kerangka yang diterima (aksi aturan skala (teorema)). Jadi, saya memilih secara terpisah representasi numerik (kuantitas) yang diperoleh dengan membandingkan dengan satuan ukuran (ukuran) yang diterima. Kita dapat membandingkan batang perak dua ratus kilogram dan batang perak lain empat ratus setengah kilogram, yang menyiratkan penggunaan representasi numerik yang berbeda dan satuan ukuran (ukuran) yang diterima. Tentu saja mereka akan sama, dengan ukuran yang sama. Akuntansi untuk unit memainkan peran penting dalam fisika, yang membantu menghindari kesalahan (dan paradoks) dalam perhitungan. Tetapi matematika memungkinkan dirinya untuk mengabaikan pendekatan ini, terlepas dari kenyataan bahwa dimungkinkan untuk memperoleh representasi numerik berdasarkan pilihan "unit yang diterima".
Masalah terpenting dari pendekatan matematika
Matematika dapat didefinisikan sebagai doktrin di mana kita tidak pernah tahu apa yang kita bicarakan, atau apakah yang kita katakan itu benar.
Bertrand Russell
Ketika kita harus bekerja dengan kuantitas, kita, secara default, menganggapnya satu dimensi (disimpulkan melalui satu, ukuran umum). Ini mengacu pada banyak perhitungan pendidikan matematikawan yang tidak mengambil langkah-langkah ke dalam keputusan. Pendekatan ini segera menciptakan orientasi tertentu. “Representasi ideal”, dikerjakan secara matematis, tidak sepenuhnya mengkorelasikan fenomena realitas, karena kompleksitas fenomena itu sendiri (ada terlalu banyak faktor yang tidak dapat diperhitungkan dengan segera). Masalah muncul di mana "ide ideal" mungkin tidak lengkap dari awal, dan verifikasi menjadi sangat mustahil (pengalaman tidak dapat secara jelas mengonfirmasi hal ini). Semua ini cukup dikonfirmasi oleh keberadaan parameter yang luar biasa seperti akurasi (“representasi ideal” (beberapa hukum universal) berasal dari pengalaman dan itu sendiri ditentukan oleh pengalaman, yang cukup lucu). Humor mungkin masih terdiri dari kenyataan bahwa kondisi awal untuk mendapatkan "ide-ide ideal" mungkin tidak lagi berkorelasi dengan realitas saat ini (alam semesta dulu dan sekarang). Berdasarkan biologi yang sama (contoh yang lebih mudah dilihat), realitas kita terus berubah, seperti kita berubah. Berabad-abad yang lalu, hukum yang berlaku dapat berhenti memenuhi peran mereka setelah beberapa waktu karena perubahan dalam realitas itu sendiri (tanpa sudah menginformasikan tentang revolusi ilmiah). Rupanya, karena masalah ini, pendekatan pengukuran dan standardisasi secara bertahap berubah (menjadi lebih mencurigakan dan
skeptis ). Tapi mengapa semua ini?
Penulis artikel ini akan merujuk pada bagian kedua buku oleh Konrad Lorenz ("Munculnya Properti Sistem Baru"), di mana ilmuwan menunjukkan perubahan parameter yang tidak jelas ketika membentuk (menggabungkan) sistem elemen individu, di mana setiap elemen individu menunjukkan karakteristiknya sendiri, tetapi, jika dikombinasikan dengan yang lain, fitur-fitur ini terdistorsi - yaitu, urutan linier penyebab dihilangkan. Jadi, saya ingin menarik perhatian pada fakta bahwa fenomena yang diamati tidak selalu dapat mengikuti pendekatan matematika (dan bahkan aritmatika yang sama dalam kasus paling sederhana) seperti yang diketahui beberapa orang. Dan jika kita memperhitungkan bahwa matematika itu sendiri muncul dalam pemrosesan pengalaman oleh pikiran kita (dengan fungsi-fungsi lain dari tubuh manusia), maka memecahkan masalah matematika melalui pengujian eksperimental bukanlah sesuatu yang kriminal.
Nol sebagai angka
Sudah ada beberapa analisis mengenai representasi nol, dan oleh karena itu bagian ini akan singkat.
Masalah nol dan pembagian olehnya
Untuk beberapa alasan, orang akhirnya memastikan bahwa sebagai hasil dari mengalikan angka dengan nol, hasilnya akan menjadi nol itu sendiri. Tentu saja, kesimpulan ini memiliki alasan. Penulis setuju dengan mereka, tetapi masih perlu dipahami sedikit. Ambil batangan perak yang sama bernasib buruk dan kalikan dengan lima. Dapatkan lima ingot. Nilainya meningkat, tetapi ukurannya tetap sama. Ambil ingot dan kalikan dengan nol. Kami mendapatkan jumlah ingot - 0. Ukurannya masih sama. Ambil ingot yang membosankan dan bagi dua. Hasilnya akan menjadi setengah batang. Ukurannya sama. Nilainya telah berubah. Atau tidak? Apa yang mencegah kami melaporkan bahwa tindakan itu telah berubah? Ketidakberartian. Membagi ingot dengan satu, kita mendapatkan ingot yang sama. Membagi ingot itu sendiri, kami mendapatkan nilai bersih tanpa ukuran (kuantitas). Anda dapat dengan mudah mengingat bahwa penyebut default semua bilangan real adalah satu. Unit yang sama, yang, pada kenyataannya, adalah ukuran (standar) untuk menghitung nilai kami. Perlu mengubah unit (mengubah ukuran, mengubah penyebut, membagi) dan nilai numerik kami berubah. Jadi apa yang terjadi ketika membaginya dengan nol?
Pembagian dengan nol sebagai proses kognitif
Tindakan itu sedang dihancurkan. Gagasan kami, yang dengannya kuantitas dikembangkan (dihitung), dihancurkan. Setiap kali seseorang yang melakukan operasi matematika pada jumlah yang tidak terbatas, sepanjang waktu dia melakukan ini secara tidak sadar. Dia mengambil tanda (kondisi) dimana dia mengembangkan nilai dalam imajinasinya dan, setelah melakukan perhitungan yang diperlukan untuk dirinya sendiri, dia menyingkirkan ide ini (dari ingatan jangka pendek). Memiliki contoh yang dapat diamati di mana kita membiarkan diri kita untuk membagi beberapa istilah menjadi nol, kita cukup menghilangkan contoh dari istilah ini (ternyata itu hanya diabaikan, karena ukurannya, dalam hal ini, tidak lagi bertepatan ketika membandingkan istilah itu sendiri - itu tidak ada untuk ini). Jika kita menggambar analogi dengan bahasa pemrograman, kemudian membagi variabel dari beberapa jenis dengan nol, kita harus benar-benar menghapus memori (dialokasikan bahkan untuk "wrapper" (penunjuk bernama)) yang dialokasikan untuk variabel ini (ini terlalu radikal untuk alasan yang dijelaskan di bawah) .
Penulis mengembangkan gagasan di mana operasi ini terkait erat dengan teori informasi, psikologi kognitif (
kognitif ) dan semua yang "tepat" lainnya (penulis tidak mampu menyebut ilmu yang tepat, di mana tidak ada perhitungan yang tepat, yang cukup untuk mengingat representasi batas dengan tak terhingga jumlah kecil (besar), belum lagi ilmu diskriminator (
diferensial ) dan angka-angka yang tidak masuk akal (
tidak rasional ).
Masalah sistematis
Pada awalnya, kemungkinan besar, mereka menerima operasi penggandaan (melalui penjumlahan), dan hanya kemudian operasi divisi disimpulkan untuk itu sebagai sebaliknya. Keunikannya adalah bahwa perkalian adalah komutatif, asosiatif, distributif, dan sebagainya, berbeda dengan pembagian. Artinya, berdasarkan properti tidak ada lagi perbandingan yang sama seperti ketika menambah dan mengurangi. Tidak ada simetri logis yang sudah diamati di sini, jadi untuk berbicara. Ketika mengalikan dan membaginya dengan nol, dilema yang terkenal muncul, karena angka apa pun yang dikalikan dengan nol akan selalu nol, belum lagi pembagian, untuk saat ini. Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini?
Tawarkan
Sama seperti pada suatu waktu orang memutuskan untuk memperkenalkan bilangan kompleks untuk menyelesaikan persamaan kubik, Anda dapat memperkenalkan jenis bilangan khusus untuk memecahkan masalah pengembalian nilai saat membagi dan mengalikan dengan nol. Sekilas, semua ini tidak ada artinya. Pada yang kedua, ketiadaan makna masih jelas, tetapi penulis tidak hanya menyentuh ilmu-ilmu alam dan psikologi kognitif. Asalkan langkah-langkah perhitungan dapat dibandingkan satu sama lain dalam berbagai perhitungan matematika, harus ada kebutuhan ketika mempertimbangkan berbagai langkah dan fitur perhitungan jumlah. Akuntansi itu sendiri akan menjadi informasi yang diperlukan yang membentuk nilai pengembalian ketika membagi dan mengalikan dalam berbagai masalah rumit fisika dan standardisasi (belum lagi perhitungan sistem dengan subsistem dan elemen yang terhubung).
Ketika dikalikan dengan nol dari kuantitas apa pun, kuantitas itu sendiri menjadi nol, tetapi ukurannya tetap tidak berubah. Pendekatan ini mencegah pembuatan operasi terbalik. Anda dapat memasukkan "angka yang dapat diingat", yang dalam contoh itu sendiri akan berhenti dirasakan setelah membagi atau mengalikan nilainya dengan nol, tetapi setelah operasi terbalik, nilai sebelumnya (nilai) akan dikembalikan dengan mempertimbangkan ukuran (sebelumnya). Pendekatan ini membuka ruang baru untuk membandingkan ukuran dan jumlah dalam perhitungan. Selain itu, pendekatan ini dapat memungkinkan Anda untuk membandingkan tidak hanya angka, tetapi juga objek non-matematika lainnya, tetapi semua ini sudah merupakan fantasi yang menyinggung teori kategori.
fracX∗00= fracX0∗0=X;
Pertimbangan parameter yang dikembalikan ketika mengalikan dan membaginya dengan nol harus bergantung pada aplikasi dan pembenaran, tetapi sudah pada tahap ini dapat disimpulkan bahwa operasi untuk menghancurkan representasi (ukuran) adalah kebalikan untuk menghancurkan nilai. Operasi ini sendiri, tentu saja, dalam kerangka perhitungan konvensional tidak masuk akal (meskipun ini akan menunjukkan masa depan dan pengalaman).
frac00=1;
Berdasarkan ini, informasi tentang nilai sebelumnya dan ukuran angka dikalikan atau habis dengan nol tetap dalam tanda kurung.
X∗0=0[/1−ukuranspesifiksecaradefault;∗X−nilailampau];
fracX0=0[∗X−nilailampau;/1−ukuranspesifiksecaradefault];
Tentu saja, Anda perlu menambahkan catatan ([*; /] atau [/; * *)), yang menentukan di mana menempatkan nilai dan ukuran sebelumnya, karena ketika dikalikan dengan nol maka perlu untuk meletakkan ukuran yang tetap di tempat pertama. Ketika membagi, perlu untuk menempatkan nilai pertama di tempat sebelumnya, dan hanya kemudian ukuran yang dihancurkan. "Angka yang dapat diingat" yang dihasilkan tidak dapat berinteraksi dengan angka lain melalui aritmatika, meskipun mereka harus berinteraksi satu sama lain, karena adanya langkah-langkah yang sama, tetapi ini sudah ditetapkan oleh kalkulator. Lipat meter dengan liter, Anda tidak bisa membawa semuanya dengan nilai yang sama. Itulah kenyataannya. Hal lain adalah bahwa angka adalah satu dimensi, jika digunakan sendiri.
1+X∗0=1+0[/1;∗X];
1+ fracX0=1+0[∗X;/1];
frac11=1[∗1;/1];
frac12=1[∗1;/( frac12)];
Memasukkan aturan aritmatika cukup mudah. Cukup membandingkan nilai dari ukuran yang sama. Untuk pemasangan, cukup ikuti aturan pengurangan skala menggunakan ukuran yang tersedia, yaitu, gandakan nilai yang ada dengan ukuran.
1[∗1;/1]+ frac12[∗1;/(1/2)]=1[∗1;/1]+ frac12∗ frac12[∗1;/1]=1[∗1;/1]+ frac14[∗1;/1]=1 frac14[∗1;/1];
frac12[∗1;/1]∗0=0[/1;∗ frac12]
frac frac12[∗1;/1]0=0[∗ frac12;/1];
Penulis tidak terlalu memikirkan simbol mana yang akan digunakan untuk ukuran dan kuantitas yang tersisa, dan ia mengambil tanda kurung saja, tetapi jika dengan suatu keajaiban ide-idenya akan digunakan dan bermakna oleh orang lain, silakan masih menggunakan simbol Rusia untuk keunikan. gambar dan pengantar Rusia, tradisi budaya.
Beberapa pemikiran tentang masalah "ketidakpastian"
Pembagian yang ditunjukkan oleh nol masalah telah memunculkan beberapa ketidakpastian yang diketahui. Tetapi dalam derivasi dari ide-ide sebelumnya, mereka sepertinya tidak dapat dipecahkan.
Penulis artikel sangat menentang penggunaan batas (fungsi tidak terbatas untuk metode pencapaian nilai yang diberikan tidak ditunjukkan) untuk ulasan ini, karena untuk mencapai banyak nilai, bahkan jika mereka tidak pasti, Anda selalu dapat mencoba mendekati estimasi mereka, jika tidak nilai-nilai itu sendiri akan menjadi kita tidak dipersepsikan (untuk pertanyaan perbandingan).
Dalam rumus ini, hasil terakhir mudah ditampilkan oleh pergantian:
00=(x−x)x−x=> frac(x−x)x(x−x)x=> frac00=1;
Seperti yang Anda lihat, batas sama sekali tidak diperlukan untuk persepsi bilangan real yang ditetapkan (misalnya). Ketika datang ke kekosongan, itu menyiratkan keadaan yang pasti (tidak adanya sesuatu oleh kondisi, sebagai hasilnya), meskipun dalam kenyataannya tidak ada yang pernah melihat keadaan benar-benar kosong (meskipun kondisinya buram dengan pendekatan ini).
Masalah penting muncul ketika membandingkan infinitas dengan nol, tetapi intinya adalah bahwa infinitas itu sendiri tidak terbatas. Kita hanya perlu memberi mereka tampilan fungsional dan banyak kesimpulan dalam evaluasi itu sendiri menyarankan diri mereka melalui induksi. Saya ingat spekulasi George Cantor yang sangat baik tentang "kapasitas," berkat yang banyak muncul.Misalkan kita memiliki fungsi F (x) dan G (x):F ( x ) = ∞ ∑ X = x X = + ∞ ;
G ( x ) = ∞ ∑ X = x X ∗ 2 = + ∞ ;
Bisakah kita tidak mendapatkan jawaban eksplisit saat membagi fungsi-fungsi ini?F ( x )G ( x ) =12 ;
Selain itu, apa yang mencegah kita menilai kecepatan mencapai berbagai infinitas, mengingat "kekuatan" Cantor yang sama? Ya tidak apa-apa.Pembagian satu infinity ke yang lain harus sama dengan kesatuan, jika hanya karena penunjukannya sama. Jika tidak, pengenalan representasi fungsional infinitas adalah kebutuhan yang diperlukan yang akan membantu menentukan perbedaannya bahkan dalam representasi simbolik. Berdasarkan adopsi infinity sebagai hasilnya, mudah untuk sampai pada kesimpulan:∞ 0 = 1 ;
1 ∞ = 1.
Milikilah keberanian untuk menggunakan pikiran Anda sendiri.
Immanuel Kant
Ini adalah upaya lain untuk menyentuh yang tidak diketahui (sesuatu seperti ini ditulis oleh seorang kolega mengenai masalah pembagian dengan nol), yang telah dilakukan di sini (pada sumber daya) lebih dari sekali. Hanya saja penulis percaya bahwa perlu menggunakan metode lain, bukan matematika, dalam menentukan berbagai alasan. Misalnya, kesadaran diri ( refleksi ) sudah cukup .Saya memiliki gagasan yang buruk tentang apa yang terjadi pada orang: mereka belajar bukan dengan memahami. Mereka belajar dengan cara lain - dengan menghafal secara mekanis atau sebaliknya. Pengetahuan mereka sangat rapuh!
Richard Feynman
Referensi:Konrad Lorenz: "Bagian Belakang Cermin";Rene Descartes: "Sebuah wacana tentang metode untuk mengarahkan pikiran Anda dengan benar dan mencari kebenaran dalam sains";Immanuel Kant: "Critique of Pure Reason";Aleksandrov Alexander Danilovich: "Geometri".