Pentingnya bilangan prima, baik dalam penggunaan sehari-hari dan dalam semua cabang matematika, tidak bisa ditaksir terlalu tinggi . Kami dengan tenang mengandalkan sifat-sifat khusus mereka, menggunakannya sebagai fondasi unsur-unsur masyarakat kita yang tak terhitung jumlahnya, karena mereka adalah bagian tak terpisahkan dari tatanan alam. Bilangan prima yang tahan terhadap faktorisasi apa pun sering disebut "atom" dari dunia matematika. Carl Sagan berkata tentang mereka seperti ini:

Status bilangan prima sebagai blok bangunan fundamental dari semua angka, yang merupakan blok bangunan pemahaman kita tentang Semesta, sangat penting.

Di alam dan dalam kehidupan kita, bilangan prima digunakan di mana-mana: jangkrik membangun siklus hidup mereka di atasnya, pembuat jam menggunakannya untuk menghitung kutu, dan pada mesin pesawat terbang, dengan bantuan mereka, frekuensi pulsa udara seimbang. Namun, semua bidang aplikasi ini memudar dengan latar belakang fakta yang dikenal oleh setiap cryptographer: bilangan prima berada di jantung keamanan komputer modern, yaitu, mereka secara langsung bertanggung jawab untuk melindungi semuanya . Lihat kunci di bilah alamat browser? Ya, ini berarti bahwa "jabat tangan" dua kunci digunakan, berdasarkan bilangan prima. Bagaimana kartu kredit Anda dilindungi saat berbelanja? Juga menggunakan kriptografi berdasarkan bilangan prima.

Namun, terlepas dari kenyataan bahwa kami terus-menerus mengandalkan sifat uniknya, bilangan prima tetap sulit dipahami bagi kami. Sepanjang sejarah matematika, pikiran terhebat telah mencoba membuktikan teorema tentang prediksi angka yang prima, atau seberapa jauh jarak mereka dari satu sama lain. Faktanya, beberapa masalah yang tidak terpecahkan, seperti masalah bilangan kembar , masalah Goldbach , bilangan prima palindrom, dan hipotesis Riemann , dikaitkan dengan ketidakpastian umum dan ketidakpastian bilangan prima ini ketika cenderung tak terhingga. Tentu saja, sejak zaman Euclid kami menemukan algoritma yang memungkinkan kami untuk memprediksi lokasi beberapa angka, tetapi teorema umum belum terbukti, dan upaya sebelumnya tidak memiliki alat untuk memeriksa jumlah besar. Namun, teknologi abad ke-21 memungkinkan para peneliti untuk menguji asumsi pada jumlah yang sangat besar, tetapi teknik ini saja masih kontroversial, karena penyaringan kasar tidak dianggap sebagai bukti yang dapat diandalkan. Dengan kata lain, bilangan prima menolak untuk menaati formula atau persamaan universal apa pun, dan pengaturannya di alam tampaknya acak.

Namun, satu orang dengan coretan acak berhasil membuktikan bahwa mereka setidaknya tidak sepenuhnya acak ...

Dari coretan hingga tip - Taplak meja ulam

Salah satu bukti terbesar bahwa pengaturan bilangan prima bukanlah kebetulan murni muncul dalam cara yang paling tidak mungkin: dari coretan acak dan ceroboh dari salah satu mahasiswa yang bosan kuliah.


Taplak Meja Ulam

Seperti ceritanya, ahli matematika Polandia Stanislav Ulam menemukan pola grafis ini selama seminar pada tahun 1963. Menggambar sebuah garis kisi-kisi, ia memutuskan untuk menghitung persimpangan dengan pola spiral persegi dan mulai melingkari angka-angka dalam spiral yang sederhana. Yang mengejutkannya, bilangan prima yang dilingkari jatuh pada garis lurus diagonal, atau, seperti yang dikatakan Ulam sedikit lebih keras, "menunjukkan perilaku yang sangat non-acak." Taplak meja Ulam, atau spiral bilangan prima, adalah tampilan grafis yang dihasilkan dari set bilangan prima yang ditandai dalam spiral persegi. Taplak meja awalnya diterbitkan dan dikenal luas dalam judul "Permainan Matematika" oleh Martin Gardner di Scientific American .


Taplak meja ulam berukuran 377x377 (jumlah hingga sekitar 142 ribu)

Visualisasi yang ditunjukkan di atas jelas mengungkapkan pola yang patut diperhatikan, terutama di sepanjang diagonal. Tapi mungkin kita membodohi diri sendiri? Sering dikatakan bahwa taplak meja Ulam hanyalah tipuan otak kita yang mencoba menemukan pola secara acak. Untungnya, kita dapat menggunakan dua teknik berbeda untuk memastikan bahwa ini bukan masalahnya. Baik perbandingan visual maupun analisis logis memberi tahu kita bahwa polanya tidak disengaja. Pertama, kami membandingkan taplak meja Ulam yang didefinisikan oleh matriks ukuran NxN dengan matriks dengan ukuran yang sama yang mengandung titik-titik yang ditentukan secara acak. Kedua, kita dapat menggunakan pengetahuan kita tentang polinomial untuk memahami mengapa kita harus mengharapkan beberapa pola muncul ketika secara grafis menampilkan bilangan prima.

Seperti disebutkan di atas, kemungkinan besar, konfirmasi paling intuitif dari nonrandomness dari pola akan menjadi perbandingan langsung dengan taplak meja Ulam. Untuk melakukan ini, buat taplak meja Ulam dan spiral persegi dengan lokasi acak dengan ukuran yang sama. Dua matriks 200x200 berbeda yang mewakili spiral numerik ditunjukkan di bawah ini:


Perbandingan visual membuatnya sangat jelas bahwa taplak meja Ulam berisi pola yang menakjubkan, terutama di sepanjang sumbu diagonal; selain itu, hampir tidak ada kelompok titik di dalamnya. Di sisi lain, pengaturan acak titik tidak langsung membuat pola yang terlihat dan mengarah pada akumulasi titik pada arah yang berbeda. Tidak diragukan lagi, teknik semacam itu tidak memiliki ketelitian bukti tradisional; Namun, ada sesuatu yang sempurna dalam visualisasi spiral bilangan prima: ini adalah teknik yang ditemukan secara acak yang memungkinkan Anda untuk membuat grafik yang merangsang logika dan menarik secara estetika.

Jika kita mendekati sifat bilangan prima dengan cara yang lebih logis dan tradisional, maka cukup masuk akal untuk mengharapkan munculnya pola dalam visualisasi tersebut. Seperti yang dinyatakan di atas, garis-garis dalam arah diagonal, horizontal, dan vertikal tampaknya berisi petunjuk. Beberapa baris ini, yang bukan bilangan prima, dapat dijelaskan oleh polinomial persegi biasa yang mengecualikan kemungkinan munculnya bilangan prima - misalnya, salah satu garis diagonal yang sesuai dengan persamaan y = x² jelas tidak termasuk bilangan prima. Di sisi lain, diketahui bahwa beberapa polinomial persegi, yang disebut formula prima (kita akan membicarakannya di bawah), membuat kepekatan bilangan prima yang tinggi, misalnya polinomial utama Euler: x² - x - 41; ini adalah garis lain yang tercermin sebagai pola dalam spiral (walaupun sulit untuk menemukan celah pada diagram di atas).

Perbandingan visual menunjukkan pola, dan analisis logis menegaskan keberadaan pola yang diharapkan. Tentu saja, kita masih jauh dari formula universal untuk menemukan semua bilangan prima, tetapi taplak meja Ulam tidak diragukan lagi indah, baik sebagai simbol pengetahuan kita dan sebagai mahakarya seni alam.

Sachs spiral

Seperti di banyak bidang matematika, setelah munculnya ide asli, pasukan rekan-rekan ahli matematika yang mengikuti jejak mulai membuat upaya untuk berkontribusi pada topik baru. Adalah logis bahwa taplak meja Ulam menginspirasi generasi hebat ahli matematika yang berusaha mengembangkan penemuannya yang menakjubkan. Pada tahun 1994, insinyur perangkat lunak Robert Sachs memutuskan untuk menggunakan keterampilan pemrogramannya untuk memvisualisasikan bilangan prima dengan berbagai cara.

Hampir seperti dalam kasus taplak meja Ulam, Sachs memutuskan untuk menyusun rencananya menggunakan bidang spiral lain. Mirip dengan spiral persegi yang ditunjukkan di atas, pesawat spiral menolak untuk memberikan poin ke sistem bilangan Cartesian tradisional, karena mereka adalah sistem penentuan posisi unipolar . Hanya dengan mengetahui angka, Anda dapat mengetahui lokasi di spiral, posisinya relatif terhadap semua angka lain di spiral, serta jarak dari itu ke kuadrat nomor sebelumnya dan berikutnya. Namun, bukannya spiral persegi, Sax mencoba mencari pola menggunakan bilangan bulat yang ditumpangkan pada spiral Archimedean dengan koordinat kutub berikut:


Koordinat kutub dari spiral Archimedes / Sachs

Dengan teknik ini, spiral Archimedean berpusat di sekitar nol, dan kuadrat dari semua bilangan alami (1,4,9,16,25) terletak di persimpangan spiral dan sumbu kutub (terletak di sebelah timur asal).


Struktur spiral Archimedes / Sax

Setelah menyiapkan diagram ini, kita akan mengisi titik-titik di antara kotak di sepanjang spiral (berlawanan arah jarum jam), menerapkannya pada jarak yang sama satu sama lain. Dan pada akhirnya, seperti dalam contoh dengan taplak meja Ulam, kami akan memilih bilangan prima yang terkandung dalam spiral yang dihasilkan.

Spiral numerik Sachs, yang pertama kali diterbitkan online pada tahun 2003, menarik secara visual dan intelektual. Selain itu, seperti yang akan segera kita lihat, ini memberi kita pemahaman yang lebih dalam tentang pola-pola prima daripada taplak meja Ulam yang terkenal, karena menggabungkan garis-garis patah dari pseudo- spiral Ulam :


Spiral Archimedean dengan bilangan prima yang ditandai, juga merupakan spiral Sax.

Grafik yang dihasilkan lagi menunjukkan pola yang terlihat. Hampir segera, menjadi jelas bahwa ada garis putih bersih yang membentang dari pusat dan membentang horizontal ke timur. Beralih ke skema kami, kami dapat memastikan bahwa ini hanya garis yang berisi semua kotak bilangan bulat (r = n ^ (. 5)). Pengamatan kedua: pola penandaan, berbeda dengan garis-garis lurus taplak meja Ulam, lebih seperti garis lengkung . Ternyata kurva ini, juga dikenal sebagai kurva produk , mengembalikan kita ke polinomial yang menjelaskan pola yang muncul pada spiral sebelumnya. Tetapi sebelum kita beralih kepada mereka, demi persatuan, kita kembali membandingkan spiral Sachs dengan spiral nilai acak:

Polinomial dan kurva produk

Karya Robert Sachs setelah penemuan ini sepenuhnya terfokus pada karya - karya melengkung ini, mulai di tengah spiral atau di sebelahnya, dan berpotongan pada sudut yang berbeda dengan putaran spiral. Kurva hampir lurus, tetapi lebih khas bagi mereka adalah bahwa mereka melakukan putaran searah jarum jam parsial, penuh atau beberapa (terhadap gerakan spiral itu sendiri) di sekitar asal, sebelum meluruskan pada offset tertentu dari sumbu timur-barat. Salah satu aspek yang paling mencolok dari spiral numerik Sachs adalah dominasi karya melengkung seperti itu di belahan bumi barat (di sisi yang berlawanan dengan kuadrat angka).

Sachs menggambarkan kurva produk sebagai mewakili "produk faktor dengan perbedaan konstan di antara mereka." Dengan kata lain, setiap kurva dapat diwakili oleh persamaan kuadratik (polinomial derajat kedua), yang lagi-lagi bukan kebetulan yang sederhana, mengingat prevalensi kuadrat dari bilangan alami dalam spiral Sachs. Mungkin kurva produk ini dapat mengarahkan kita pada kesimpulan bahwa spiral Sachs jauh lebih berguna dalam perjalanan kita untuk memahami bilangan prima daripada taplak meja Ulam. Meskipun taplak meja Ulam menunjukkan kepada kita pola dan kemungkinan adanya persamaan, spiral Sachs memberikan poin dukungan dalam mencari rumus utama - kelengkungan dan integritasnya konstan, yang berarti mereka akan lebih mudah dideteksi. Sebagai contoh, spiral Sachs yang ditunjukkan di bawah ini berisi garis berlabel dan rumus prima yang sesuai, ditulis dalam bentuk standar. Seperti yang saya janjikan, formula Euler yang terkenal untuk menghasilkan bilangan prima lagi bertemu dengan kami (entri terakhir: n² + n +41):


Berkat bilangan spiral ini, Sax mampu membuat pernyataan yang menakjubkan tentang apa bilangan prima: bilangan bulat positif yang hanya terletak pada satu kurva produk. Karena spiral dapat berputar tanpa akhir, kurva itu sendiri juga dapat dianggap tak ada habisnya; secara teoritis, kurva-kurva produk ini mungkin dapat memprediksi lokasi jumlah yang cukup besar - setidaknya angka-angka seperti itu layak untuk dilihat lebih dekat.

Secara keseluruhan, spiral Sachs tanpa keraguan mendorong kami untuk lebih memahami bilangan prima dengan mengusulkan formula yang lebih nyaman untuk bilangan prima.

Arti dari itu semua

Jadi, kami menganalisis taplak meja Ulam dan spiral Sax. Melalui contoh-contoh ini, pemahaman kita tentang sifat bilangan prima telah berkembang. Secara khusus, spiral Sachs memperkenalkan kita pada kurva produk, yang pada dasarnya adalah seperangkat persamaan kuadratik, yang dikenal sebagai rumus utama. Kedua grafik, baik Ulama dan Sax, ternyata tak terduga dan estetis, mereka merangsang keingintahuan kita dan menjelaskan salah satu tugas paling sulit bagi seluruh dunia.

Pelajaran apa yang bisa dipetik dari semua ini?

Anda tidak akan pernah bisa menolak untuk meninjau masalah yang tampaknya tidak dapat diselesaikan, bahkan jika Anda melakukannya karena rasa ingin tahu dan kebosanan yang murni; setiap orang dapat membuat penemuan dan seringkali muncul sebagai hasil dari proses yang sama sekali tidak biasa. Mengubah sudut pandang pada tugas terkenal berkat visualisasi, Stanislav Ulam selangkah lebih dekat untuk memahami bilangan prima: siapa yang tahu penemuan tak terduga apa lagi yang akan kita temui?