Teori probabilitas. Formula bayes

Biarkan beberapa percobaan dilakukan.

$$$w_1, ..., w_N$ - Kejadian elementer (hasil dasar dari percobaan).
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - ruang kejadian elementer (himpunan semua kemungkinan hasil elementer dari percobaan).

Definisi 1:

Atur sistem $$$\ Sigma$ disebut aljabar sigma jika properti berikut ini terpenuhi:

1. $$$\ Omega \ di \ Sigma;$
2. $$$A \ in \ Sigma \ Rightarrow \ overline {A} \ in \ Sigma;$
3. $$$A_1, A_2, ... \ dalam \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ Limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma.$

Dari properti 1 dan 2 dari Definisi 1 berikut itu $$$\ emptyset \ dalam \ Sigma$ . Dari properti 2 dan 3 dari Definisi 1 berikut itu $$$\ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma \ space ($ karena $$$A_i \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i} \ dalam \ Sigma \ Rightarrow_ {sv.2} \\ \ Rightarrow_ {sv.2} \ overline {\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i}} \ dalam \ Sigma \ Rightarrow \ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma).$

Definisi 2:

• $$$A$ - acara $$$\ forall A \ dalam \ Sigma;$
• $$$P \ colon \ Sigma \ to \ mathbb R$ - ukuran probabilistik (probabilitas) jika:
  
  1. $$$P (\ Sigma) = 1;$
  2. $$$\ forall A \ dalam \ Sigma \ space \ space P (A) \ geqslant 0;$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty, \ space A_i \ in \ Sigma, \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ di $$$i \ not = j \ Rightarrow P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i) = \ jumlah \ Limit_ {i = 1} ^ \ infty P (A_i).$

Properti Probabilitas:

1. $$$P (A) \ leqslant 1;$
2. $$$P (A) = 1-P (\ overline {A});$
3. $$$P (\ emptyset) = 0;$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P (A) \ leqslant P (B);$
5. $$$P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B);$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ space \ space P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i) = \ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ NP ( A_i) - \ jumlah \ limit_ {i <j} P (A_i \ cap A_j) + \ jumlah \ limit_ {i <j <k} P (A_i \ tutup A_j \ tutup A_k) -... + \\ + ( -1) ^ {n-1} P (A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n);$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \ colon (A_ {i + 1} \ subseteq A_i, \ space \ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i = \ emptyset) \ space \ space \ space \ lim \ limit_ {i \ to \ infty} P (A_i) = 0.$

Definisi 3:

$$$(\ Omega, \ Sigma, P)$ - ruang probabilitas .

Definisi 4:

$$$\ forall A, B \ in \ Sigma: P (B)> 0$
$$$\ qquad P (A | B) = \ frac {P (AB)} {P (B)}$ - probabilitas bersyarat dari suatu peristiwa $$$A$ tunduk pada acara tersebut $$$B$ .

Definisi 5:

Biarkan untuk $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ dimana $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} A_i \ in \ Sigma$ dieksekusi $$$\ forall i, j \ in \ overline {1, N} \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ dan $$$\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ . Lalu $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ disebut partisi ruang acara dasar.

Teorema 1 (rumus probabilitas total):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - Partisi ruang acara dasar, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ space P (A_i)> 0$ .
Lalu $$$\ forall B \ dalam \ Sigma \ quad P (B) = \ jumlah \ limit_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)$ .

Teorema 2 (rumus Bayes):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - Partisi ruang acara dasar, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ space P (A_i)> 0$ .

Lalu $$$\ forall B \ in \ Sigma \ colon P (B)> 0 \ quad P (A_i | B) = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {\ sum \ limit_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)} = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {P (B)}$ .

Dengan menggunakan rumus Bayes, kita dapat melebih-lebihkan probabilitas a priori ( $$$P (A_i)$ ) berdasarkan pengamatan ( $$$P (B | A_i)$ ), dan dapatkan pemahaman baru tentang realitas.

Contoh :

Misalkan ada tes yang diterapkan pada seseorang secara individu dan menentukan: apakah dia terinfeksi virus "X" atau tidak? Kami berasumsi bahwa tes ini berhasil jika memberikan putusan yang benar untuk orang tertentu. Diketahui bahwa tes ini memiliki probabilitas keberhasilan 0,95, dan 0,05 adalah probabilitas dari kedua jenis kesalahan pertama (false positive, mis. Tes tersebut melewati vonis positif, dan orang tersebut sehat), dan kesalahan jenis kedua (false negative, mis. Mis. tes ini lulus putusan negatif, dan orang tersebut sakit). Untuk kejelasan, putusan positif = tes "mengatakan" bahwa seseorang terinfeksi virus. Diketahui juga bahwa 1% populasi terinfeksi virus ini. Biarkan beberapa orang mendapatkan vonis positif dari tes tersebut. Seberapa besar kemungkinan dia benar-benar sakit?

Nyatakan: $$$t$ - hasil tes, $$$d$ - Kehadiran virus. Kemudian, sesuai dengan rumus untuk probabilitas total:

$$

$$P (t = 1) = P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0).$$

Dengan teorema Bayes:

$$

$$P (d = 1 | t = 1) = \ frac {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1)} {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0)} = \\ = \ frac {0.95 \ times0.01} {0.95 \ times0.01 + 0.05 \ times0.99} = 0.16$$

Ternyata probabilitas terinfeksi virus "X" dalam kondisi putusan tes positif adalah 0,16. Mengapa hasilnya seperti itu? Awalnya, seseorang dengan probabilitas 0,01 terinfeksi virus "X" dan bahkan dengan probabilitas 0,05 tes akan gagal. Artinya, dalam kasus ketika hanya 1% dari populasi yang terinfeksi virus ini, kemungkinan kesalahan uji 0,05 memiliki dampak signifikan pada kemungkinan seseorang benar-benar sakit, asalkan tes memberikan hasil positif.

Daftar literatur yang digunakan:

• “Dasar-dasar teori probabilitas. Buku Teks ", M.E. Zhukovsky, I.V. Rodionov, Institut Fisika dan Teknologi Moskow, MOSCOW, 2015;
• “Pembelajaran yang mendalam. Perendaman dalam dunia jaringan saraf ”, S. Nikulenko, A. Kadurin, E. Arkhangelskaya, PETER, 2018.