Lintasan kuantum dan apa yang mereka makan

Catatan kecil ini adalah tentang cara menggambar gambar yang indah, sedikit tentang fisika, yang jarang dibicarakan, tentang mekanika kuantum Bomov.

Pengantar kecil

Seperti yang suka diceritakan oleh fiksi ilmiah dan omong kosong ilmiah semu, seperti film The Secret, hukum microworld sangat berbeda dari yang klasik seperti yang biasa kita alami.
Dalam dunia mekanika kuantum, probabilitas yang diberikan oleh fungsi gelombang mengatur segalanya. $$$\ psi$(Orang-orang yang tertarik pada perincian dapat melihat, misalnya, pada tulisan “Katalisitas Muon dari sudut pandang kimia kuantum. Bagian I: hidrogen biasa vs hidrogen muon” )
Kaki-kaki dari segala macam hal lucu, seperti kucing Schrödinger , prinsip ketidakpastian Heisenberg, dan ketidaksetaraan Bell, tumbuh dari sifat probabilistik suatu teknik kuantum.

Tetapi semua gambar ini dengan semua jenis orbital elektron tidak menjawab pertanyaan "bagaimana elektron terbang di ruang angkasa". Untuk memperjelas situasi ini, fisikawan menghabiskan banyak waktu, tetapi tidak dapat mengatasinya. Tetapi David Bohm (dikenal banyak orang oleh efek Aaronov-Bohm ) akhirnya menciptakan salah satu formalisme mekanika kuantum (nama dirinya) , di mana masih ada lintasan di mana partikel kuantum bergerak. Dan, tidak seperti integral jalur Feynman , jalur untuk setiap partikel ini persis satu. Properti ini secara fundamental memungkinkan Anda untuk melacak pergerakan partikel, dan membandingkan gerakan partikel klasik dan kuantum, yang akan kita bahas dalam artikel ini.

Lintasan klasik dan kuantum

Kami akan mempertimbangkan sistem yang agak membosankan: satu elektron di bidang beberapa proton. Anda dapat membaca tentang sistem ini, serta mekanika klasik dan kuantum di bagian pertama dan kedua tulisan “Katalisis Muon dari sudut pandang kimia kuantum”.

Masalah klasik gerak partikel dalam potensi tertentu diberikan oleh hukum kedua Newton:

$$

$$m \ ddot {x} = F$$

di mana m adalah massa partikel, x adalah koordinat, F adalah gaya yang bekerja pada partikel, dan $$$\ ddot {x} = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2}$- turunan kedua dari koordinat partikel dalam waktu, atau percepatan. Jika hanya gaya potensial yang bekerja dalam sistem, maka gaya dapat diekspresikan melalui entitas baru, energi potensial V sebagai

$$

$$F = - \ frac {dV} {dx}$$

Dalam kasus kami, sebuah elektron di bidang beberapa proton,

di mana elektron berinteraksi dengan masing-masing proton menurut hukum Coulomb

$$

$$V (R) = - k e ^ 2 / R$$

, di mana k adalah koefisien yang sama dengan 1 dalam satuan atom, e adalah muatan elektron, dan R adalah jarak dari elektron ke proton.
Dalam hal ini, total potensial yang bekerja pada elektron akan sama dengan

$$

$$V = \ sum_ {n = 1} ^ N V_n (R_n) = - \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {k e ^ 2} {R_n} \,$$

di mana indeks n memberi nomor proton (proton total potongan N ), dan R _n adalah jarak dari elektron ke proton ke- n .

Secara numerik memecahkan diffur, yang merupakan hukum kedua Newton, adalah tugas yang diretas, yang utama adalah mengatur posisi awal dan kecepatan. Jika elektron terbang terlalu cepat, ia akan lepas dari daya tarik proton dan terbang hingga tak terbatas, dan jika hanya ada sedikit energi, ia akan selamanya berkibar di bidang salah satu inti, tidak pernah mengunjungi yang lain.

Jadi apa yang terjadi di klasik, kita tahu.

Tetapi apa yang akan terjadi dalam dinamika Bomov?
Dalam kasus ini, partikel juga akan bergerak sesuai dengan hukum kedua Newton yang potensial $$$V = V_ \ mathrm {C} + V_ \ mathrm {Q}$dimana $$$V_ \ mathrm {C}$- Potensi klasik dari hukum Newton yang biasa, yang dalam kasus kami memiliki bentuk yang diberikan di atas.
Yaitu selain potensi klasik, entitas lain akan menindaklanjutinya: potensi kuantum $$$V_ \ mathrm {Q}$memiliki (dalam kasus 1D) formulir

$$

$$V_ \ mathrm {Q} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2mA} \ frac {d ^ 2A} {dx ^ 2}$$

di mana A adalah amplitudo (modulus) dari fungsi gelombang $$$A = | \ psi |$( $$$\ psi = A \ exp (i \ varphi)$dimana $$$\ varphi$- fase fungsi gelombang).
Jadi, untuk mendapatkan persamaan gerak partikel kuantum, kita masih perlu mengetahui sesuatu tentang fungsi gelombang.


Dalam kasus satu proton, kita tahu (lihat, misalnya, di sini ) ekspresi tepat dari fungsi gelombang elektron dalam keadaan dasar (1s) [ dalam satuan atom ]:

$$

$$\ psi (R) = \ exp (-R)$$

Dalam kasus beberapa proton, dalam kerangka metode orbital molekul sebagai kombinasi orbital atom ( MO LKAO , lihat di sini ), keadaan dasar dengan tingkat akurasi yang memadai akan diberikan oleh jumlah orbital 1s dari masing-masing atom:

$$

$$\ psi \ approx \ sum_ {n = 1} ^ N \ psi_n (R_n) = \ sum_ {n = 1} ^ N \ exp (-R_n)$$

Sekarang, untuk mengetahui potensi kuantum, Anda hanya perlu menggunakan ungkapan ini.

Sebagai hasilnya, kita dapat menuliskan potensi kuantum kita sebagai

$$

$$V_ \ mathrm {Q} \ approx \ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {\ exp (-R_n)} {R_n}$$

dan dengan ungkapan ini kita sudah bisa menggerakkan dinamika Bohm dari sebuah elektron di bidang banyak proton.

Implementasi

Untuk semua aib ini, kode ditulis dengan python, tersedia di sini:

Kami hanya akan membahas beberapa poin.
Hukum kedua Newton terintegrasi dengan menggunakan algoritma Verlet :

$$

$$x (t + \ Delta t) = 2 x (t) - x (t - \ Delta t) + \ frac {F (t)} {m} \ Delta t ^ 2$$

Posisi awal dihasilkan dengan memilih secara acak salah satu proton, arah dipilih secara acak di sekitarnya (menggunakan koordinat bola). Untuk mengatur kecepatan awal, Anda perlu mengatur yang lain, posisi sebelumnya. Ini dipilih menggunakan vektor acak kecil lainnya.

Menghidupkan / mematikan potensi kuantum, kita beralih ke mode gerak kuantum / klasik.

Nah, kalau begitu, Anda dapat membuat gambar yang indah menggunakan Gnuplot untuk atom hidrogen

dan untuk molekul H ²⁺


Seperti yang Anda lihat, lintasan klasik (atas, biru) sangat terlokalisasi, atau, jika elektron dipaksa untuk bergerak terlalu cepat, lari dari nuklei. Dalam kasus kuantum (lebih rendah, merah muda), potensial kuantum memungkinkan elektron berjalan jauh lebih jauh dari inti, dan dalam kasus molekul H2 ⁺ , ia memungkinkan Anda untuk berlari dari satu proton ke proton lain, yang merupakan visualisasi tidak langsung dari ikatan kimia.

Beberapa kata tentang membangun gambar: untuk membuat efek neon, setiap jalur digambar berkali-kali, dari putih tipis ke hitam tebal, melalui bayang-bayang warna yang menarik. Untuk kenyamanan memilih palet seperti itu, Anda dapat, misalnya, menggunakan situs https://www.color-hex.com/
Contoh skrip diberikan di bawah ini.

Kesimpulan

Lintasan Bomov, meskipun sulit untuk dipahami dan dihitung, memungkinkan Anda untuk menggambar gambar-gambar indah yang menunjukkan betapa jauh lebih menyenangkan dan lebih kaya daripada mekanik klasik.

Jika Anda memiliki komentar, pertanyaan, saran: tulis. :)