Matematikawan memotong bentuk untuk mencari bagian persamaan

Sebuah karya baru tentang masalah “penyelarasan yang sama” menjelaskan kapan dimungkinkan untuk memotong satu gambar dan mengumpulkan yang lain dari itu

Jika Anda memiliki dua lembar kertas dan gunting datar, dapatkah Anda memotong satu potong dan mengatur ulang potongan untuk mendapatkan yang lainnya? Jika Anda bisa, maka kedua angka ini adalah "gunting kongruen" [ sama ].

Namun, ahli matematika tertarik pada apakah mungkin untuk mendeteksi hubungan seperti itu dalam angka tanpa menggunakan gunting? Dengan kata lain, apakah angka-angka ini memiliki karakteristik yang dapat diukur sebelumnya dan menentukan apakah mereka kongruen?

Untuk tokoh dua dimensi, jawabannya sederhana. Anda hanya perlu mengukur area mereka; jika mereka cocok, maka angka-angka tersebut adalah gunting dan kongruen.

Tetapi untuk tokoh-tokoh dalam dimensi yang lebih tinggi - misalnya, untuk bola tiga dimensi atau donat sebelas dimensi yang mustahil untuk dibayangkan - pertanyaan tentang pemotongan dan pemasangan kembali dalam bentuk yang berbeda menjadi jauh lebih rumit. Dan terlepas dari upaya selama berabad-abad, matematikawan tidak dapat menentukan karakteristik yang mengkonfirmasi komposisi yang sama untuk sebagian besar tokoh dengan dimensi yang lebih tinggi.

Namun, musim gugur ini, dua ahli matematika membuat terobosan paling signifikan dalam menyelesaikan masalah ini dalam beberapa dekade. Dalam sebuah makalah yang dipresentasikan di University of Chicago pada 6 Oktober, Jonathan Campbell dari Duke University dan Inna Zakharevich dari Cornell University mengambil langkah signifikan menuju pembuktian keselarasan gunting untuk bentuk dimensi apa pun.

Tapi tidak hanya itu. Seperti masalah matematika paling penting, keseimbangan batin adalah lubang kelinci: pernyataan sederhana yang menarik ahli matematika ke dalam lubang dalam matematika yang rumit. Dalam upaya untuk memahami keselarasan gunting, Campbell dan Zakharevich mungkin telah menunjukkan cara baru untuk berbicara tentang bidang ilmu yang sama sekali berbeda: persamaan aljabar.

Potongan pertama

Penjajaran yang sama mungkin tampak seperti tugas sederhana. Lebih dari 2000 tahun yang lalu, Euclid menyadari bahwa dua figur dua dimensi dari area yang sama dapat disusun ulang dari satu ke yang lain. Masuk akal untuk mengasumsikan bahwa angka-angka dengan dimensi lebih tinggi dari volume yang sama dapat diulang kembali dengan cara yang sama.

Tetapi pada tahun 1900, David Hilbert menyarankan bahwa tugas ini sebenarnya tidak begitu sederhana.

Pada tahun itu, berbicara di Kongres Matematika Internasional di Paris, ia mengidentifikasi 23 masalah terbuka , yang, menurut pendapatnya, akan memandu pemikiran matematika di abad mendatang. Yang ketiga dari mereka terkait dengan kongruensi gunting [komposisi yang sama dari polyhedron yang sama]. Hilbert menyarankan bahwa tidak semua angka tiga dimensi dari volume yang sama adalah kongruen - dan menantang ahli matematika dengan mengusulkan untuk menemukan sepasang tokoh yang membuktikan hal ini.

Setahun setelah pidato, murid Hilbert, Max Dan , melakukan hal itu. Istilah seperti itu bagi para matematikawan tampak mencurigakan. "Beberapa orang percaya bahwa Hilbert memasukkan tugas ini dalam daftar hanya karena muridnya telah menyelesaikannya," kata Zakharevich.

Entah itu konspirasi atau tidak, hasil Dan mengubah gagasan matematikawan tentang perwakilan yang sama terbalik. Dia membuktikan bahwa tetrahedron dengan volume tunggal tidak sama dengan kubus dengan volume yang sama. Tidak masalah bagaimana Anda memotong yang pertama, Anda tidak akan pernah bisa mengumpulkan potongan dari yang kedua.

Selain menunjukkan bahwa kesetaraan volume tidak cukup untuk menentukan komposisi yang sama, Den mengusulkan cara baru untuk mengukur bentuk. Dia membuktikan bahwa setiap figur tiga dimensi, yang setara satu sama lain, harus memiliki volume yang sama, dan juga bertepatan dengan tingkat yang baru.

Dan berkonsentrasi pada sudut-sudut bagian dalam di antara dua wajah sosok tiga dimensi. Misalnya, di dalam kubus, semua wajah bertemu di sudut kanan. Tetapi dalam bentuk yang lebih kompleks, sudutnya berbeda dan memiliki kepentingan yang berbeda. Sudut di antara tepi yang lebih panjang lebih memengaruhi bentuk gambar daripada sudut di antara tepi yang lebih pendek, jadi Den memberi bobot pada sudut berdasarkan pada panjang sisi yang membentuknya. Dia menggabungkan informasi ini menjadi formula kompleks yang menghasilkan angka tunggal - "Den invariant" - untuk angka yang diberikan.


Matematikawan ingin tahu kapan sebuah angka dapat dipotong dan mengumpulkan yang lain dari itu.
Figur dua dimensi sama-sama diberi jarak jika mereka memiliki area yang sama.
Angka tiga dimensi sama-sama tersusun jika mereka memiliki volume yang sama dan Dehn invarian.
Kubus dan tetrahedron tidak tersusun sama - mereka memiliki volume yang sama, tetapi invarian Den yang berbeda.
Bentuk dapat dipotong-potong, dan grafik persamaan dapat dipotong menjadi subgraf. Matematikawan mencari analog dari invarian Dehn, yang menunjukkan bahwa dua persamaan terdiri dari potongan yang identik.

Deng membuktikan bahwa setiap angka tiga dimensi yang berjarak sama satu sama lain harus memiliki volume yang sama dan tidak berubah. Tetapi dia tidak dapat menjawab pertanyaan yang lebih kompleks: jika angka tiga dimensi memiliki volume yang sama dan invarian Dan, apakah ini berarti bahwa mereka harus sama? Jean-Pierre Sidler akhirnya membuktikan ini pada tahun 1965. Tiga tahun kemudian, Björg Jessen menunjukkan bahwa dua karakteristik yang sama ini menentukan kesetaraan dimensi dalam empat dimensi.

Hasil dari Sidler dan Jessen adalah langkah maju yang serius, tetapi matematikawan adalah orang yang tamak: apakah ada volume yang cukup dan variasi Dan untuk menentukan komposisi angka yang sama di semua dimensi? Apakah pengukuran ini cukup di ruang geometris selain Euclidean - dalam geometri bola (bayangkan lintang dan bujur di permukaan bumi) atau alam semesta berbentuk pelana dari geometri hiperbolik?

Pada akhir abad ke-20, ahli matematika Alexander Borisovich Goncharov mengusulkan pendekatan yang, menurut pendapatnya, dapat menyelesaikan seluruh masalah sekali dan untuk semua - dan pada saat yang sama menghubungkan kesetaraan dengan bidang matematika yang sama sekali berbeda.

Koneksi yang aneh

Matematika penuh dengan koneksi yang tidak terduga. Zakharevich mengatakan bahwa melakukan matematika adalah seperti menemukan sesuatu yang aneh di alam dan mencoba memahami mengapa demikian.

"Jika Anda bertemu dengan cincin jamur di hutan dan tidak tahu bagaimana jamur tumbuh, Anda akan berpikir tentang bagaimana mereka tahu bagaimana tumbuh di sekitar? Dia berkata. "Alasannya adalah jamur memiliki miselium yang tumbuh di bawah tanah."

Pada tahun 1996, Goncharov merumuskan seperangkat hipotesis yang menunjukkan keberadaan struktur matematika, juga tersembunyi di bawah permukaan. Jika struktur ini ada, itu akan dapat menjelaskan mengapa beberapa fenomena matematika - termasuk komposisi yang sama - bekerja seperti itu.

Satu hipotesis menyatakan bahwa volume gambar dan invarian Dan-nya cukup untuk menentukan komposisi angka yang sama dari dimensi apa pun dan dalam ruang apa pun.

"Goncharov mengatakan bahwa prinsip yang sama yang berlaku dalam tiga dimensi berlaku untuk semua," kata Charles Weibel dari Rutgers University.

Tetapi Goncharov, sekarang bekerja di Yale, juga meramalkan bahwa struktur tersembunyi ini akan menjelaskan lebih dari itu. Dia mengatakan bahwa penyelarasan yang sama adalah konsep yang lebih universal, dan itu berlaku tidak hanya untuk memotong bentuk geometris, tetapi juga untuk memotong bentuk yang dihasilkan oleh solusi persamaan aljabar - misalnya, grafik persamaan x ² + y ² + z ² = 1. Dan informasi yang diperlukan untuk diklasifikasi dengan komposisi yang sama mencerminkan informasi yang diperlukan untuk mengklasifikasikan persamaan aljabar - sedemikian rupa sehingga persamaan dari kelas yang sama terdiri dari potongan-potongan yang identik.

Sambungannya mengejutkan, seolah-olah suatu prinsip yang cocok untuk mensistematisasikan hewan entah bagaimana memungkinkan Anda untuk mensistematisasi unsur-unsur kimia juga. Banyak ahli matematika menganggap ide ini aneh seperti yang terlihat pada pandangan pertama.

“Ini benar-benar misterius. Sepintas, hal-hal ini seharusnya tidak terhubung sama sekali, ”kata Campbell.

Mengiris persamaan

Untuk memahami bagaimana bentuk geometri dan persamaan aljabar dapat serupa, pertama-tama akan berguna untuk memahami bagaimana solusi persamaan dapat dibagi menjadi beberapa bagian. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke contoh sebelumnya dan menggambar grafik persamaan x ² + y ² + z ² = 1.

Itu akan menjadi bola. Namun, permukaan ini tidak hanya kumpulan solusi untuk persamaan ini: ia juga merupakan kumpulan dari banyak grafik yang lebih kecil, atau subgraf, solusi untuk persamaan lainnya. Misalnya, pada permukaan bola, Anda dapat menggambar lingkaran dengan cara ekuator bumi. Ini adalah satu subgraf yang mewakili solusi dari persamaan aljabar x ² + y ² = 1. Atau, Anda dapat mengisolasi satu titik pada kutub utara bola yang sesuai dengan persamaan z = 1. Dengan mempelajari berbagai subgraf yang dapat digambar dalam grafik yang lebih besar - sesuatu seperti bagian-bagian penyusunnya - Anda dapat mengetahui beberapa properti dari grafik yang lebih besar.

Selama lebih dari 50 tahun, matematikawan telah mengembangkan teori subgraf persamaan aljabar. Sama seperti materi biasa terdiri dari atom, demikian, menurut matematikawan, persamaan aljabar terdiri dari bagian fundamental yang disebut "motif". Istilah ini berasal dari kata motif Prancis, yang menunjukkan elemen dasar melodi.


Inna Zakharevich dari Universitas Cornell

“Motif adalah komponen mendasar. Mereka akan berbicara tentang segala sesuatu yang terdiri dari persamaan aljabar, seperti melodi, terdiri dari berbagai komponen, ”kata Zakharevich. Bola, misalnya, terdiri dari lingkaran, titik, dan bidang. Masing-masing terdiri dari komponen (dimanifestasikan sebagai hasil dari tindakan matematika pada mereka), dan seterusnya, lebih rendah dan lebih rendah, sampai kita sampai pada motif, dugaan dasar persamaan aljabar.

Matematikawan perlu mengklasifikasikan persamaan aljabar sesuai dengan motif mereka untuk mendapatkan gambaran yang lengkap dan sistematis dari persamaan milik benda matematika yang paling penting. Ini adalah tugas yang sulit dan belum selesai. Tetapi pada tahun 1996, Goncharov menyarankan bahwa menyortir angka dengan komposisi yang sama dan menyortir persamaan aljabar berdasarkan motif adalah dua sisi dari satu tugas - yaitu, mengklasifikasi satu akan memberi Anda prinsip dimana yang lain dapat diklasifikasikan.

Dia menyarankan bahwa koneksi ini didasarkan pada analog dari invarian Dehn. Hanya alih-alih muncul dari perhitungan geometris yang paling sederhana, analog ini harus muncul dari perhitungan yang sama dari motif persamaan aljabar ("motif produk ").

"Idenya adalah bahwa masalah invarian Dan sejajar dengan masalah lain yang terkait dengan motif," kata Weibel.

Tetapi untuk menemukan hubungan seperti itu, matematikawan pertama-tama perlu membuktikan bahwa para invarian Dehn memang mengurutkan angka berdasarkan kelompok yang sama. Den sendiri menunjukkan bahwa setiap angka tiga dimensi yang sama memiliki volume yang sama dan invarian Den. Namun, Den, dan semua orang setelahnya, tidak menyangkal kemungkinan bahwa ada angka-angka tertentu dari dimensi yang lebih tinggi dari volume yang sama dan dengan invarian Dan yang sama, yang tidak sama setara. Dalam karya baru mereka, Campbell dan Zakharevich mencoba menutup secara permanen kesempatan ini.

Dua untuk harga satu

Pada Juni 2018, Campbell dan Zakharevich bekerja bersama selama tiga minggu di Advanced Research Institute di Princeton, New Jersey. Mereka telah lama tertarik pada perlakuan yang sama, tetapi Zakharevich percaya bahwa hipotesis Goncharov terlalu rumit untuk ditangani dalam waktu yang singkat. Tetapi Campbell masih ingin mencoba, dan Zakharevich tidak harus membujuk untuk waktu yang lama.

"Jonathan berkata:" Kita punya waktu tiga minggu, mari kita coba untuk mendekati ini dan melihat apa yang terjadi, pada akhir yang pertama, "kata Zakharevich. Dua minggu kemudian, mereka mengembangkan banyak ide kunci yang mendasari karya baru mereka.

Dalam pekerjaan, mereka melakukan eksperimen pemikiran yang berlawanan dengan intuisi. Untuk memahaminya, bayangkan Anda memiliki hotel dengan banyak kamar. Anda perlu mengatur semua angka yang sama satu sama lain di ruangan yang sama. Kami tidak tahu bagaimana menentukan bahwa angka-angka tersebut berjarak sama - ini adalah akar masalahnya. Namun, untuk eksperimen pikiran kita, mari kita bayangkan bahwa ini mungkin. Atau, seperti kata Zakharevich, "Kami akan berpura-pura bahwa ada seseorang yang mahatahu yang tahu apakah dua angka itu sama atau tidak."

Setelah mengurutkan angka berdasarkan kamar, kami memverifikasi bahwa semua angka di ruangan yang sama memiliki volume yang sama dan invarian Den yang sama. Penting juga untuk memverifikasi bahwa semua figur dengan volume yang sama dan dengan Den invarian yang sama berada di ruang yang tepat - bahwa angka yang jatuh dari kolektif tidak berkeliaran di bar hotel. Tujuan dari eksperimen pemikiran adalah untuk membuktikan adanya korespondensi ideal, satu-ke-satu antara kelompok-kelompok tokoh yang sama dan kelompok-kelompok tokoh yang memiliki volume yang sama dan invarian Dan yang sama. Keberadaan korespondensi seperti itu akan membuktikan bahwa hanya volume dan invarian Dan yang benar-benar akan cukup bagi Anda untuk menentukan komposisi angka yang sama.

Goncharov meramalkan adanya korespondensi semacam itu, dan Campbell dan Zakharevich membuktikan kehadirannya - dengan satu syarat. Ada korespondensi jika hasil lain yang tidak terbukti terkait dengan hipotesis Beilinson benar.

Dua hipotesis Goncharov - klasifikasi angka yang sama berdasarkan volume dan invarian Dehn, serta klasifikasi persamaan aljabar oleh analog dari invarian Dehn - tidak sepenuhnya dibuktikan oleh Campbell dan Zakharevich. Namun, pekerjaan mereka memberikan para ahli matematika gagasan yang lebih jelas tentang bagaimana membuktikan semuanya: jika Anda dapat membuktikan hipotesis Beilinson, maka berkat karya Campbell dan Zakharevich, Anda juga akan mendapatkan kesetaraan gratis.

“Pekerjaan mereka benar-benar memikirkan kembali tugas ini,” kata Weibel. "Ketika Anda menghubungkan dua hipotesis dengan cara ini, itu menjelaskan struktur objek yang sedang dipelajari."

Campbell dan Zakharevich sekarang bekerja dengan matematikawan lain, Daniil Rudenko dari University of Chicago, mencoba menentukan hubungan antara pemotongan angka dan analisis menjadi bagian dari persamaan yang diajukan oleh Goncharov. Rudenko sudah membuat beberapa kemajuan ke arah ini. Sekarang, bersama dengan Campbell dan Zakharevich, dia berharap untuk bergerak lebih jauh.

“Saya pikir kami memiliki setiap kesempatan untuk mencapai kemajuan yang signifikan. Mungkin dengan cara ini bahkan terbukti untuk membuktikan hipotesis Goncharov, "kata Rudenko.