🍣 👐🏾 🤸🏾 Jumlah dari semua bilangan alami: 1 + 2 + 3 + 4 + .... Bagian 2 🚁 🐈 👵🏻

Banyak orang tahu itu

1 + 2 + 3 + d o t s = - d f r a c 112 .

$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {12}.$

Namun dalam kenyataannya

1 + 2 + 3 + d o t s = - d f r a c 18 .

$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {8}.$

Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci hasil pertama. Tentu saja, serangkaian bilangan alami menyimpang dalam pengertian klasik (dalam arti konvergensi dari urutan jumlah parsial: ia, tentu saja, tidak memiliki batas). Dalam artikel ini , penulis menyebutkan metode penjumlahan lainnya, seperti metode Cesaro dan metode Abel. Berikut adalah beberapa contohnya: jumlah dari seri tersebut

j u m l a h l i m i t_{n g e q s l a n t 0} (- 1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + d o t s

$\ jumlah \ limit_ {n \ geqslant 0} (-1) ^ n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ dots$

menggunakan metode cesaro akan sama

d f r a c 12

$\ dfrac12$ .

Contoh lain:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 + d o t s = d f r a c 14.

$1 - 2 + 3 - 4 + 5 + \ dots = \ dfrac14.$

Menurut pendapat saya, salah mengatakan bahwa jumlah baris pertama sama dengan

d f r a c 12

$\ dfrac12$ ; dengan benar mengatakan bahwa jumlah baris pertama dalam arti Cesaro sama dengan

d f r a c 12

$\ dfrac12$ . Demikian pula untuk yang kedua: jumlahnya dalam arti Habel sama dengan

d f r a c 14

$\ dfrac14$ .

Mengingat hal ini, pada hasil pertama (itu

- d f r a c 112

$- \ dfrac {1} {12}$ ) ada substitusi konsep, yang mengarah ke kontradiksi dengan akal sehat.

Kami sekarang mempertimbangkan secara lebih rinci hasil kedua. Pertama, kami menyatakan seluruh jumlah untuk

X

$X$ :

1 + 2 + 3 + 4 + d o t s = X .

$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = X.$

Sekarang kami melakukan transformasi berikut:

1 + 2 + 3 + 4 + d o t s = 1 + u n d e r b r a c e {2 + 3 + 4}_{9} + u n d e r b r a c e {5 + 6 + 7}_{18} + u n d e r b r a c e {8 + 9 + 10}_{27} + d o t s =

$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = 1 + \ underbrace {2 + 3 + 4} _ {9} + \ underbrace {5 + 6 + 7} _ {18} + \ underbrace {8 + 9 + 10} _ {27} + \ dots =$

1 + 9 + 18 + 27 + d o t s = 1 + 9 u n d e r b r a c e {k i r i (1 + 2 + 3 + d o t s k a n a n)}_{X} = X .

$1 + 9 + 18 + 27 + \ dots = 1 + 9 \ underbrace {\ kiri (1 + 2 + 3 + \ dots \ kanan)} _ X = X.$

Dari sini

1 + 9 X = X R i g h t a r r o w X = - d f r a c 18 .

$1 + 9X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {1} {8}.$

Ada solusi lain. Gabungkan istilah dengan cara lain:

1 + 2 + u n d e r b r a c e {3 + 4 + 5 + 6 + 7}_{25} + u n d e r b r a c e {8 + 9 + 10 + 11 + 12}_{50} + d o t s =

$1 + 2 + \ underbrace {3 + 4 + 5 + 6 + 7} _ {25} + \ underbrace {8 + 9 + 10 + 11 + 12} _ {50} + \ dots =$

= 1 + 2 + 25 u n d e r b r a c e {k i r i (1 + 2 + 3 + d o t s k a n a n)}_{X} = X,

$= 1 + 2 + 25 \ underbrace {\ kiri (1 + 2 + 3 + \ dots \ kanan)} _ X = X,$

itu adalah

1 + 2 + 25 X = X R i g h t a r r o w X = - d f r a c 324 = - d f r a c 18 .

$1 + 2 + 25X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {3} {24} = - \ dfrac {1} {8}.$

Bahkan, mulai dari tiga teratas, kita dapat membedakan 7 istilah, yang jumlahnya 49, dan kita akan sampai pada persamaan

1 + 2 + 3 + 49 X = X,

$1 + 2 + 3 + 49X = X,$

yang akan memberikan hasil yang sama.

Secara umum, Anda harus bertindak seperti ini: pilih yang pertama

n

$n$ istilah, dan kemudian dalam kurung ambil

2 n + 1

$2n + 1$ ketentuan:

1 + t i t i k + n + u n d e r b r a c e {k i r i (n + 1 + t i t i k + 3 n + 1 k a n a n)}_{(2 n + 1)^{2}} + u n d e r b r a c e {k i r i (3 n + 2 + d o t s + 5 n + 2 k a n a n)}_{2 (2 n + 1)^{2}} + d o t s =

$1 + \ titik + n + \ underbrace {\ kiri (n + 1 + \ titik + 3n + 1 \ kanan)} _ {(2n + 1) ^ 2} + \ underbrace {\ kiri (3n + 2 + \ dots + 5n + 2 \ kanan)} _ {2 (2n + 1) ^ 2} + \ dots =$

1 + t i t i k + n + (2 n + 1)^{2} k i r i (1 + 2 + 3 + t i t i k k a n a n) = X .

$1 + \ titik + n + (2n + 1) ^ 2 \ kiri (1 + 2 + 3 + \ titik \ kanan) = X.$

Perkembangan aritmatika

1 + t i t i k + n

$1 + \ titik + n$ sama dengan

d f r a c n (n + 1) 2

$\ dfrac {n (n + 1)} {2}$ , oleh karena itu, kami memperoleh persamaan

d f r a c n (n + 1) 2 + (2 n + 1)^{2} X = X,

$\ dfrac {n (n + 1)} {2} + (2n + 1) ^ 2X = X,$

di mana ternyata itu

X = - d f r a c 18 .

$X = - \ dfrac {1} {8}.$

Jumlah dari semua bilangan alami: 1 + 2 + 3 + 4 + .... Bagian 2

More articles: