Matematikawan menganggap hipotesis Collatz sebagai "rawa", dan memperingatkan satu sama lain bahwa ada baiknya menjauhi itu. Sekarang, bagaimanapun, Terence Tao telah membuat kemajuan lebih dari siapa pun dalam beberapa dekade.
Ambil nomor berapa pun. Jika itu genap, bagilah menjadi dua. Jika aneh, kalikan dengan tiga, tambahkan satu. Ulangi Apakah ada angka yang akhirnya mencapai 1?Matematikawan berpengalaman menyarankan pemula untuk menjauh dari
hipotesis Collatz . Mereka menyebutnya lagu sirene: jatuh di bawah pengaruhnya, dan Anda tidak pernah bisa mendapatkan pekerjaan yang bermakna.
Hipotesis Collatz, mungkin yang paling sederhana dari masalah matematika yang tidak terselesaikan, justru itulah yang membuatnya sangat menarik.
“Ini tugas yang sangat berbahaya. Orang menjadi terobsesi dengan itu, meskipun itu benar-benar mustahil, ”kata
Jeffrey Lagarias , seorang ahli matematika di University of Michigan, seorang ahli pada hipotesis Collatz.
Tetapi pada tahun 2019, salah satu ahli matematika terbaik di dunia berani mendekatinya, dan menerima yang
paling signifikan dari semua hasil yang dicapai dalam beberapa dekade.
Pada 8 September 2019,
Terence Tao menerbitkan bukti yang menunjukkan bahwa hipotesis Collatz setidaknya "hampir" benar "hampir" untuk semua angka. Meskipun hasil Tao bukanlah bukti lengkap dari hipotesis, ini adalah terobosan yang sangat serius untuk tugas yang tidak begitu mudah untuk mengungkapkan semua rahasianya.
"Saya tidak berharap untuk menyelesaikan masalah sepenuhnya," kata Tao, seorang ahli matematika di University of California, Los Angeles. "Tapi aku berhasil melakukan lebih dari yang aku harapkan."
Teka-teki Collatz
Lothar Collatz mungkin mengajukan hipotesis dengan nama yang sama pada 1930-an. Tantangannya terdengar seperti trik pesta. Ambil nomor berapa pun. Jika itu genap, bagilah menjadi dua. Jika aneh, kalikan dengan tiga, tambahkan satu. Dapatkan nomor baru. Terapkan aturan yang sama untuknya. Hipotesis mengatakan apa yang akan terjadi jika Anda terus-menerus mengulangi proses ini.
Intuisi menunjukkan bahwa angka awal mempengaruhi hasil akhir. Mungkin beberapa angka akhirnya akan berkurang menjadi 1. Mungkin angka lain akan meningkat tanpa batas.
Namun, Collatz memperkirakan bahwa ini tidak benar. Dia menyarankan bahwa jika Anda mulai dengan bilangan bulat positif dan mengulangi urutan yang ditunjukkan untuk waktu yang lama, maka dari angka awal mana pun Anda akan menjadi 1. Dan datang ke persatuan, aturan hipotesis akan menangkap Anda dalam loop tanpa akhir: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, dan seterusnya, hingga tak terbatas.
Selama bertahun-tahun, banyak pecinta tugas tertarik pada kesederhanaan yang menarik dari hipotesis Collatz, atau "masalah 3x +1," seperti yang juga disebut. Matematikawan telah memeriksa quintillion contoh (ini adalah angka dengan 18 nol), tidak menemukan pengecualian tunggal untuk prediksi Collatz. Anda sendiri dapat mencoba memeriksa beberapa contoh dengan salah satu dari banyak "
kalkulator Collatz " yang tersedia di Internet. Internet penuh dengan bukti amatir yang tidak beralasan dari suatu hipotesis, penulis yang mengklaim bahwa mereka mampu membuktikan atau membantahnya.
“Anda hanya perlu dapat mengalikan dengan 3 dan membaginya dengan 2, dan Anda sudah bisa mulai bermain dengannya. Dan itu sangat menggoda, "kata
Mark Chamberlain , ahli matematika di Grinnel College, yang merekam video YouTube populer tentang masalah ini yang disebut" The Simplest of Impossible Problem ".
Tetapi hanya ada sedikit bukti nyata.
Pada 1970-an, matematikawan menunjukkan bahwa hampir semua urutan Collatz - daftar angka yang Anda dapatkan ketika Anda mengulangi prosesnya - akhirnya mencapai angka yang lebih kecil daripada yang awal. Ini adalah bukti lemah bahwa hampir semua urutan Collatz mengarah ke 1, tapi tetap saja itu. Dan dari tahun 1994 hingga hasil Tao pada tahun 2019, Ivan Korets menyimpan
catatan untuk menunjukkan nilai minimum. Karya-karya lain juga mencoba menyerang tugas, tidak mendekati tujuan utamanya.
"Kami tidak benar-benar memahami pertanyaan Collatz dengan cukup baik, sehingga belum ada pekerjaan signifikan dalam masalah ini," kata
Kannan Saundararajan , seorang ahli matematika di Stanford University yang mengerjakan hipotesis ini.
Kesia-siaan dari usaha-usaha ini membuat banyak ahli matematika menyimpulkan bahwa hipotesis ini tidak tersedia pada tingkat pengetahuan saat ini, dan bahwa lebih baik bagi mereka untuk menghabiskan waktu mereka di studi lain.
"Masalah Collatz dikenal karena kerumitannya - sedemikian rupa sehingga ahli matematika biasanya mendahului setiap diskusi dengan peringatan untuk tidak membuang waktu," kata
Joshua Cooper dari University of South Carolina.
Saran yang tidak terduga
Untuk pertama kalinya, Lagarias tertarik pada hipotesis ini sebagai siswa setidaknya 40 tahun yang lalu. Selama beberapa dekade, dia adalah seorang kurator tidak resmi dari segala sesuatu yang berhubungan dengannya. Dia mengumpulkan
seluruh perpustakaan karya-karya yang terkait dengannya, dan pada 2010 menerbitkan beberapa di antaranya dalam bentuk buku berjudul: "The
Decisive Challenge: Problem 3x +1 ".
"Sekarang saya tahu lebih banyak tentang masalah ini, dan saya masih bisa mengatakan bahwa tidak mungkin untuk menyelesaikannya," kata Lagarias.
Tao biasanya tidak menghabiskan waktunya untuk tugas-tugas yang mustahil. Pada tahun 2006, ia menerima
Fields Prize , penghargaan tertinggi dalam matematika, dan dianggap sebagai salah satu ahli matematika terbaik di generasinya. Dia terbiasa memecahkan masalah, bukan mengejar istana di udara.
"Ini adalah risiko yang terkait dengan profesi matematika," katanya. "Anda bisa menjadi terobsesi dengan salah satu tugas besar yang diketahui yang berada di luar kemampuan setiap orang dan kehilangan banyak waktu."
Namun, Tao tidak selalu berhasil melawan godaan dari bidang ini. Setiap tahun ia menghabiskan satu atau dua hari pada masalah matematika yang paling terkenal yang belum terselesaikan. Selama bertahun-tahun, ia mengambil beberapa pendekatan terhadap hipotesis Collatz, tetapi tidak berhasil.
Kemudian pada bulan Agustus, seorang pembaca anonim meninggalkan komentar di blog Tao. Dia menyarankan untuk mencoba menyelesaikan hipotesis Collatz "untuk hampir semua" angka, tanpa berusaha untuk membuktikannya sepenuhnya.
"Saya tidak menjawab, tetapi itu membuat saya memikirkan tugas ini lagi," kata Tao.
Dan ia menyadari bahwa hipotesis Collatz dalam beberapa hal mirip dengan jenis persamaan khusus - persamaan diferensial parsial - yang muncul dalam hasil paling signifikan yang ia terima selama kariernya.
Input dan output
Persamaan diferensial parsial (PDE) dapat digunakan untuk memodelkan banyak proses fisik paling mendasar di Semesta, seperti evolusi cairan atau aliran gelombang gravitasi melalui ruang-waktu. Mereka muncul dalam situasi di mana posisi masa depan sistem - misalnya, keadaan kolam lima detik setelah melempar batu ke arah itu - tergantung pada kontribusi dua faktor atau lebih, seperti viskositas dan kecepatan air.
Tampaknya bahwa PDE kompleks tidak ada hubungannya dengan pertanyaan aritmatika sederhana seperti hipotesis Collatz.
Tetapi Tao menyadari bahwa mereka memiliki kesamaan. Dimungkinkan untuk mengganti nilai dalam PDE, mendapatkan nilai lain, ulangi proses - dan semua ini untuk memahami kondisi sistem di masa depan. Untuk setiap LDPE yang diberikan, matematikawan perlu mengetahui apakah nilai awal pada input akan mengarah pada nilai tak terbatas pada output, atau apakah persamaan akan selalu menghasilkan nilai akhir, terlepas dari nilai awal.
Terence Tao, terinspirasi oleh komentar di blog-nya, telah membuat kemajuan terbesar dalam beberapa dekade dalam mempelajari hipotesis CollatzUntuk Tao, tujuan ini memiliki urutan yang sama dengan apakah Anda selalu mendapatkan nilai yang sama (1) dari proses Collatz, terlepas dari nilai awal. Akibatnya, ia menyadari bahwa teknik untuk mempelajari PDE bisa cocok untuk mempelajari hipotesis Collatz.
Salah satu teknik yang sangat berguna menggunakan metode statistik untuk mempelajari perilaku jangka panjang dari sejumlah kecil nilai awal (sesuatu seperti sejumlah kecil konfigurasi air awal di kolam) dan memperkirakan hasilnya untuk perilaku jangka panjang dari semua konfigurasi awal kolam yang mungkin.
Dalam konteks hipotesis Collatz, bayangkan kita mulai dengan sampel angka yang besar. Tujuan kami adalah mempelajari bagaimana angka-angka ini berperilaku ketika kami menerapkan proses Collatz kepada mereka. Jika hampir 100% dari angka dalam sampel mencapai 1 atau sangat mendekati 1, kita dapat menyimpulkan bahwa hampir semua angka akan berperilaku sama.
Tetapi agar kesimpulan ini dapat dibenarkan, perlu untuk memilih sampel dengan hati-hati. Tugas ini mirip dengan mengumpulkan sampel pemilih dalam pemilihan presiden AS. Untuk pengambilan sampel yang cermat dari seluruh populasi, proporsi tertimbang harus digunakan untuk Partai Republik dan Demokrat, pria dan wanita, dan sebagainya.
Angka memiliki parameter "demografis" sendiri. Angka ganjil dan genap, angka yang dapat dibagi 3, dan angka yang berbeda satu sama lain dengan cara yang lebih rumit. Dengan membuat pilihan angka, Anda dapat memastikan bahwa jenis angka tertentu masuk ke dalamnya, dan yang lain tidak masuk, sesuai dengan prinsip seimbang - dan semakin baik Anda memilih bobot, semakin akurat kesimpulan Anda akan mengenai semua angka pada umumnya.
Pilihan Tertimbang
Tugas Tao jauh lebih rumit dari sekadar memahami cara membuat seleksi awal angka dengan bobot yang tepat. Pada setiap langkah proses Collatz, angka yang Anda gunakan berubah. Satu perubahan yang jelas adalah bahwa hampir semua angka dalam sampel menurun.
Perubahan lain, yang mungkin kurang jelas, adalah bahwa angka mungkin mulai terakumulasi dalam kelompok. Misalnya, Anda dapat mulai dengan distribusi angka yang seragam dan indah dari satu hingga satu juta. Tetapi setelah lima iterasi, angka cenderung berkonsentrasi pada beberapa interval kecil dari garis bilangan. Dengan kata lain, Anda bisa mulai dengan sampel yang baik, yang dalam lima langkah akan terdistorsi tanpa harapan.
"Anda biasanya dapat berharap bahwa distribusi setelah iterasi akan sangat berbeda dari yang pertama," kata Tao. Namun, ide kuncinya adalah bagaimana membuat sampel angka yang sebagian besar mempertahankan bobot aslinya dalam proses Collatz.
Sebagai contoh, sampel awal Tao ditimbang sehingga tidak memiliki angka yang dapat dibagi tiga, karena proses Collatz masih cukup cepat menghilangkan angka tersebut. Beberapa bobot lain yang dipilih oleh Tao lebih sulit. Dia lebih suka angka yang sisanya dibagi 3 adalah 1, dan berangkat dari angka yang sisanya dibagi 3 adalah 2.
Sebagai hasilnya, sampel yang dengannya Tao mulai mempertahankan karakternya bahkan setelah dimulainya proses Collatz.
"Dia menemukan cara untuk melanjutkan proses ini sehingga setelah beberapa langkah masih jelas apa yang terjadi," kata Saundararajan. "Ketika saya pertama kali melihat karya ini, saya sangat senang dan memutuskan bahwa itu luar biasa."
Tao menggunakan teknik penetapan berat badannya untuk membuktikan bahwa hampir semua nilai awal - setidaknya 99% - akhirnya mencapai nilai yang sangat dekat dengan 1. Ini memungkinkannya untuk menyimpulkan bahwa 99% dari nilai awal lebih besar dari kuadriliun. , sebagai hasilnya, mencapai nilai kurang dari 200.
Ini bisa dibilang hasil terkuat dalam sejarah panjang hipotesis ini.
"Ini adalah terobosan besar dalam pengetahuan kami tentang apa yang terjadi dengan tugas ini," kata Lagarias. "Ini jelas merupakan hasil terbaik dalam waktu yang sangat lama."
Metode Tao hampir pasti tidak dapat mencapai bukti penuh dari hipotesis Collatz. Alasannya adalah bahwa seleksi awalnya masih sedikit terdistorsi setelah setiap langkah. Distorsi akan minimal, sementara sampel masih mengandung banyak nilai yang berbeda, jauh dari 1. Tetapi dalam proses Collatz, semua angka dalam sampel mulai cenderung satu, dan distorsi kecil menjadi lebih besar - seperti kesalahan kecil dalam menghitung hasil pemungutan suara tidak memiliki nilai besar dalam kasus sampel besar, tetapi sangat mempengaruhi hasil ketika sampel kecil.
Setiap bukti hipotesis lengkap kemungkinan besar akan didasarkan pada pendekatan yang berbeda. Akibatnya, karya Tao adalah kemenangan sekaligus peringatan bagi semua yang tertarik: segera setelah Anda merasa bahwa Anda telah memojokkan tugas itu, itu luput.
"Anda bisa mendekati arbitrer dengan hipotesis Collatz, tetapi itu masih tetap tidak bisa dicapai," kata Tao.