Então os antigos acreditavam. Babilônia

Esta é uma continuação da série que concebi sobre a história da computação e da contagem. O primeiro artigo sobre o Egito está aqui .

Agora vou tentar falar um pouco sobre outra grande civilização e cultura do passado. O reino babilônico surgiu no início do 2º milênio aC, substituiu Suméria e Akkad e existiu antes dos persas conquistarem em 539 aC. Eles escreveram na Babilônia, como todos se lembram, em tabuletas de argila com escrita cuneiforme, que são muito bem preservadas, diferentemente do papel, papiro e coisas semelhantes, por isso sabemos bastante sobre a Babilônia e sua matemática. Mas é claro que não sabemos tudo. Ao contrário dos gregos, os babilônios não deixaram algoritmos precisos e explicações claras de seus truques. Agora só podemos adivinhar como exatamente os babilônios agiram em um caso particular na solução do problema. Neste trabalho, vou me concentrar principalmente na aritmética babilônica, deixando a geometria, a álgebra e a astronomia de lado.


Os babilônios em matemática foram muito além dos egípcios, tanto quanto sabemos, embora aparentemente não fossem iguais aos gregos. Eles já sabiam como resolver equações quadráticas, além disso, tinham alguns rudimentos de álgebra numérica. Uma de suas conquistas foi a introdução do sistema posicional de números decimais sem zero. Isso significa que o manuseio dos números se tornou muito mais flexível e simples do que no Egito. Não se sabe exatamente de onde veio esse sistema. Uma versão diz que uma mistura dos sistemas de 6 e 10 casas decimais dos povos da Suméria e Akkad levou a isso. Mas há outros pensamentos sobre esse assunto.
Infelizmente, esse sistema (talvez, felizmente, eu não gostaria de aprender sua tabuada) não foi dominado por outros povos do Mundo Antigo, e tive que esperar pela chegada do sistema posicional indiano. Contudo, permanece em nossa cultura alguma reflexão da matemática babilônica: dividir um minuto por sessenta segundos e uma hora por 60 minutos é um eco do antigo sistema numérico da Babilônia.

Números e sistema numérico

A figura mostra como os babilônios denotavam 1 e 10. Com a ajuda deles, foram exibidos todos os números de 1 a 59. O número 33 é mostrado na figura abaixo, semelhante ao romano e a outros sistemas não-posicionais de escrita de números.



O número 60 foi indicado exatamente como a unidade. No começo, era maior, mas depois essa diferença foi apagada. Os números maiores que 60, mas menores que 120, foram designados da seguinte forma: primeiro o número 60 foi escrito e, em seguida, o restante menor que 60 após um espaço.
Abaixo está um exemplo do número 63.



Números no formato K * 60 + n (1 <= K <60; n = 1 , 2, 3, ... 59) foram designados por analogia, como no exemplo abaixo.



Os babilônios não tinham 0, mas com o tempo surgiram o uso de um sinal que indicava bits perdidos. Este sinal foi usado apenas para dígitos dentro do número e não foi colocado no final. Aqui está um exemplo na imagem.



O problema é que esse número pode ser lido como 2 * 60 ^ 2 +2 e como 2 * 60 ^ 5 + 2 * 60 ^ 3. Muito desconfortável! Esse sistema de gravação deveria ter causado inúmeros erros, você não acha? Os babilônios tentaram separar as descargas com muito cuidado para evitar confusão (muito mais precisa do que eu). No entanto, em alguns casos, os erros são muito prováveis. Exemplos de números grandes são conhecidos quando parte do número foi transferida para outra linha. Tente aqui para descobrir o que significou! Mas o número de erros nos textos babilônicos é pequeno, embora tenham acabado.
As frações também foram designadas da mesma maneira. Somente para os muito populares 1/2, 1/3 e 2/3, havia emblemas especiais.
Em todo lugar, escreverei números babilônicos, separando os dígitos com uma vírgula e a parte inteira do fracionário usando um ponto e vírgula. Por exemplo: 177 será 2,57, etc. Dígitos perdidos, substituirei 0.

Cálculos

Como o sistema dos babilônios era posicional, seus cálculos eram muito semelhantes aos nossos. Ao subtrair e adicionar, eles simplesmente adicionavam e subtraíam os números pouco a pouco. Uma vantagem adicional foi que os dígitos de seis casas decimais foram designados de maneira não-posicional usando unidades e dezenas, e nesse sistema é muito mais fácil subtrair e adicionar do que em nossas notações abstratas, que exigem o aprendizado de uma tabela de adição especial.
A multiplicação, como você pode imaginar, também era semelhante à nossa. Mas como eles usaram sua enorme tabuada de multiplicação? Ensinou-a de cor? Eles haviam preparado mesas especiais onde podiam assistir a obras.
Muitas tabelas de multiplicação vieram dos babilônios, mas elas não incluíram todos os produtos de números com "valor único", como nossas tabelas decimais. Suas mesas começaram de 1 a 20 inclusive, depois os trabalhos seguidos de 30, 40, 50. Se os babilônios queriam multiplicar 35 por 47, então ele precisava encontrar 35 * 40 na tabela e depois 35 * 7 e adicioná-lo. Isso exigiu uma ação desnecessária, mas dessa maneira foi possível economizar significativamente espaço.
Divisões, como uma ação independente, os babilônios não sabiam. Em vez disso, eles usaram multiplicação inversa. Para fazer isso, é claro, eles precisavam de tabelas de números inversos. Por exemplo, se fosse necessário dividir 1,15 por 5, o babilônico encontrou 1/5, que em nosso registro seria 0; 12 e multiplicou 1,15 por 0; 12. Se esse número não era expresso por uma fração hexadecimal finita, os babilônios procuravam um número que, quando multiplicado por um divisor, dava um dividendo.
Por exemplo, você precisa dividir 22.45.0 por 6.30. Nesse caso, a seguinte condição é formulada: “O que devo levar das 6.30 para obter 22.45.0? A resposta é 3,30. Obviamente, os babilônios usavam valores aproximados quando necessário.
As tabelas inversas eram mais ou menos assim:

2	trinta
3	vinte
4	quinze
5	12
6	10
8	7; 30
9	6; 40
12	5
quinze	4
dezesseis	3; 45
dezoito	3; 20
vinte	3

Etc.
Além da tabela de valores inversos, os babilônios tinham muitas outras tabelas: quadrados, cubos, raízes quadradas e cúbicas e algumas outras.

Tarefas

Que tarefas os babilônios conseguiram resolver?
Por exemplo, são eles:
“10 irmãos e 1 inteiro e 2/3 minas de prata. Irmão é mais alto que irmão. Quanto mais alto, eu não sei. A parte do oitavo irmão é de 6 siclos. Irmão sobre irmão quanto mais alto? “
A tarefa é dividir a soma entre os irmãos para que a parcela de cada um seja uma progressão aritmética e encontrar a diferença dessa progressão.
Obviamente, os babilônios também resolveram o problema de interesse. Incluindo tarefas para juros compostos:
“Ele deu um impulso ao crescimento. Em quantos anos ele crescerá em si mesmo?
A porcentagem é assumida como 0; 12 por ano. Alguns estudiosos sugeriram que os babilônios possuíam os rudimentos dos logaritmos. Outros discordam deles.
Outro exemplo inclui equações quadráticas:
“Eu adiciono a área de dois quadrados, e isso é 37,5. O lado de um quadrado é 2/3 do lado do outro quadrado. 10 adicionados ao lado do maior, 5 adicionados ao lado do menor. Esses quadrados são o que? "
Nas tabelas, essas tarefas são fornecidas com uma explicação de suas soluções. Você pode ver que os babilônios conheciam equações quadráticas e sistemas de equações lineares.
Os babilônios também conheciam as raízes quadradas, calculadas por fórmulas aproximadas:
“A diagonal do quadrado é 10. Encontre o lado do quadrado. 10 s 0; 42,30 multiplique 7; 5 é o lado. 7; 5 s 1; 25 multiplique. 10; 25 dá. "

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