O motivo da tradução do artigo foi que eu estava procurando um livro do autor de "Os limites exteriores da razão" . Não consegui esconder o livro, mas me deparei com um artigo que, de uma maneira bastante concisa, mostra a visão do autor sobre o problema.

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Um dos problemas mais interessantes da filosofia da ciência é a conexão entre a matemática e a realidade física. Por que a matemática é tão boa em descrever o que está acontecendo no universo? De fato, muitas áreas da matemática foram formadas sem qualquer envolvimento da física, no entanto, como se viu, elas se tornaram a base na descrição de algumas leis físicas. Como isso pode ser explicado?

Mais claramente, esse paradoxo pode ser observado em situações em que alguns objetos físicos foram descobertos matematicamente e somente então foram encontradas evidências de sua existência física. O exemplo mais famoso é a descoberta de Netuno. Urbain Le Verrier fez essa descoberta simplesmente calculando a órbita de Urano e examinando as discrepâncias das previsões com a imagem real. Outros exemplos são a previsão de pósitrons por Dirac e a sugestão de Maxwell de que ondas em um campo elétrico ou magnético devem gerar ondas.

Ainda mais surpreendentemente, algumas áreas da matemática existiam muito antes dos físicos perceberem que eram adequadas para explicar certos aspectos do universo. Seções cônicas estudadas por Apolônio na Grécia antiga foram usadas por Kepler no início do século XVII para descrever as órbitas dos planetas. Números complexos foram propostos vários séculos antes dos físicos começarem a usá-los para descrever a mecânica quântica. A geometria não euclidiana foi criada décadas antes da teoria da relatividade.

Por que a matemática descreve tão bem os fenômenos naturais? Por que, de todas as maneiras de expressar pensamentos, a matemática funciona melhor? Por que, por exemplo, é impossível prever a trajetória exata do movimento dos corpos celestes na linguagem da poesia? Por que não podemos expressar a complexidade da tabela periódica com uma peça musical? Por que a meditação não ajuda muito na previsão do resultado de experimentos em mecânica quântica?

O ganhador do Nobel Eugene Wigner, em seu artigo "A eficácia irracional da matemática nas ciências naturais", também faz essas perguntas. Wigner não nos deu nenhuma resposta específica, ele escreveu que "a incrível eficácia da matemática nas ciências naturais é algo místico e não há explicação racional para isso".

Albert Einstein escreveu sobre este assunto:

Como a matemática, o produto da mente humana, independente da experiência individual, pode ser uma maneira tão apropriada de descrever objetos na realidade? A mente humana pode então, pelo poder do pensamento, sem recorrer à experiência, compreender as propriedades do universo? [Einstein]

Sejamos claros. O problema realmente surge quando percebemos a matemática e a física como duas áreas diferentes, perfeitamente formadas e objetivas. Se você observar a situação dessa perspectiva, não está realmente claro por que essas duas disciplinas funcionam tão bem juntas. Por que as leis abertas da física são tão bem descritas pela matemática (já aberta)?

Essa questão foi ponderada por muitas pessoas e elas deram muitas soluções para esse problema. Os teólogos, por exemplo, propuseram um Ser que constrói as leis da natureza e, ao mesmo tempo, usa a linguagem da matemática. No entanto, a introdução de um tal Ser apenas complica tudo. Os platonistas (e seus primos naturalistas) acreditam na existência de um "mundo de idéias" que contém todos os objetos matemáticos, formas e também a verdade. Existem também leis físicas. O problema com os platonistas é que eles introduzem outro conceito do mundo platônico, e agora precisamos explicar a relação entre os três mundos ( nota do tradutor. Ainda não entendi o porquê do terceiro mundo, mas o deixei como está ). Surge também a questão de saber se os teoremas imperfeitos são formas ideais (objetos do mundo das idéias). E as leis físicas refutadas?

A versão mais popular para resolver o problema proposto da eficácia da matemática é que estudamos a matemática observando o mundo físico. Compreendemos algumas das propriedades de adição e multiplicação contando ovelhas e pedras. Estudamos geometria observando formas físicas. Deste ponto de vista, não é de surpreender que a física siga a matemática, porque a matemática é formada por um estudo cuidadoso do mundo físico. O principal problema dessa solução é que a matemática é usada bem em áreas que estão longe da percepção humana. Por que o mundo oculto das partículas subatômicas é tão bem descrito pela matemática, estudado pela contagem de ovelhas e pedras? por que a teoria especial da relatividade, que trabalha com objetos se movendo a velocidades próximas à velocidade da luz, é bem descrita pela matemática,que é formado pela observação de objetos se movendo na velocidade normal?

Em dois artigos ( um , dois ), Macr Zeltser e eu (Noson Janowski) formulamos um novo olhar sobre a natureza da matemática ( comentário de um tradutor. Em geral, os mesmos artigos são escritos nesses artigos como aqui, mas muito mais extensivamente ). Mostramos que, como na física, a simetria desempenha um papel enorme na matemática. Essa visão fornece uma solução bastante original para o problema colocado.

O que é física

Antes de considerar a razão da eficácia da matemática na física, precisamos falar sobre o que são leis físicas. Dizer que as leis físicas descrevem fenômenos físicos é um tanto frívolo. Para começar, podemos dizer que cada lei descreve muitos fenômenos. Por exemplo, a lei da gravidade nos diz o que acontecerá se eu largar minha colher, também descreve a queda da minha colher amanhã, ou o que acontece se eu largar uma colher em um mês em Saturno. As leis descrevem toda uma gama de fenômenos diferentes. Você pode ir do outro lado. Um fenômeno físico pode ser observado de maneiras completamente diferentes. Alguém dirá que o objeto está imóvel, alguém que o objeto se move a uma velocidade constante. Uma lei física deve descrever os dois casos de forma idêntica. Além disso, por exemplo, a teoria da gravidade deve descrever minha observação de uma colher caindo em um carro em movimento,do meu ponto de vista, do ponto de vista do meu amigo em pé na estrada, do ponto de vista de um cara de pé na cabeça, ao lado de um buraco negro, etc.

Surge a seguinte pergunta: como classificar fenômenos físicos? Quais devem ser agrupados e atribuídos a uma lei? Os físicos usam o conceito de simetria para isso. No discurso coloquial, a palavra simetria é usada para objetos físicos. Dizemos que uma sala é simétrica se o lado esquerdo for semelhante ao direito. Em outras palavras, se trocarmos de lado, a sala parecerá exatamente a mesma. Os físicos expandiram um pouco essa definição e a aplicaram às leis da física. Uma lei física é simétrica em relação à transformação se a lei descrever o fenômeno transformado da mesma maneira. Por exemplo, leis físicas são simétricas no espaço. Ou seja, o fenômeno observado em Pisa também pode ser observado em Princeton. As leis físicas também são simétricas no tempo, ou seja, um experimentorealizado hoje deve dar os mesmos resultados como se tivesse sido realizado amanhã. Outra simetria óbvia é a orientação espacial.

Existem muitos outros tipos de simetrias às quais as leis físicas devem estar em conformidade. A relatividade galileu exige que as leis físicas do movimento permaneçam inalteradas, independentemente de o objeto estar parado ou se mover a uma velocidade constante. A teoria especial da relatividade afirma que as leis do movimento devem permanecer as mesmas, mesmo que o objeto se mova a uma velocidade próxima à velocidade da luz. A teoria geral da relatividade diz que as leis permanecem as mesmas, mesmo que o objeto se mova com aceleração.

Os físicos generalizaram o conceito de simetria de diferentes maneiras: simetria local, simetria global, simetria contínua, simetria discreta etc. Victor Stanger uniu muitos tipos de simetria de acordo com o que chamamos de invariância do ponto de vista. Isso significa que as leis da física devem permanecer inalteradas, independentemente de quem as observe e como. Ele mostrou quantas áreas da física moderna (mas não todas) podem ser reduzidas a leis que satisfazem a invariância em relação ao observador. Isso significa que os fenômenos relacionados a um fenômeno estão relacionados, apesar de poderem ser considerados de maneiras diferentes.

Compreender a verdadeira importância da simetria foi com a teoria da relatividade de Einstein. Antes dele, as pessoas primeiro descobriram algum tipo de lei física e depois encontraram nela uma propriedade de simetria. Einstein usou simetria para encontrar a lei. Ele postulou que a lei deveria ser a mesma para um observador imóvel e para um observador se movendo a uma velocidade próxima da luz. Com essa suposição, ele descreveu as equações da teoria especial da relatividade. Foi uma revolução na física. Einstein percebeu que a simetria é uma característica definidora das leis da natureza. Não é a lei que satisfaz a simetria, mas sim a simetria dá origem à lei.

Em 1918, Emmy Noether mostrou que a simetria é um conceito ainda mais importante na física do que se pensava anteriormente. Ela provou ser um teorema que liga simetrias a leis de conservação. O teorema mostrou que cada simetria gera sua própria lei de conservação e vice-versa. Por exemplo, a invariância do deslocamento no espaço dá origem à lei da conservação do momento linear. A invariância do tempo dá origem à lei da conservação de energia. A invariância da orientação dá origem à lei da conservação do momento angular. Depois disso, os físicos começaram a procurar novos tipos de simetrias para encontrar novas leis da física.

Assim, determinamos o que chamar de lei física. Deste ponto de vista, não surpreende que essas leis pareçam objetivas, atemporais e independentes do homem. Como são invariantes em relação ao local, hora e visão da pessoa, parece que existem "em algum lugar". No entanto, isso pode ser visto de uma maneira diferente. Em vez de dizer que estamos vendo muitas conseqüências diferentes das leis externas, podemos dizer que uma pessoa destacou alguns fenômenos físicos observáveis, encontrou algo semelhante neles e os combinou em uma lei. Percebemos apenas o que percebemos, chamamos isso de lei e pulamos todo o resto. Não podemos recusar o fator humano na compreensão das leis da natureza.

Antes de seguirmos em frente, precisamos mencionar uma simetria que é tão óbvia que raramente é mencionada. A lei da física deve ter simetria de aplicação (simetria de aplicabilidade). Ou seja, se a lei funcionar com um objeto de um tipo, ela funcionará com outro objeto do mesmo tipo. Se a lei for verdadeira para uma partícula carregada positivamente se movendo a uma velocidade próxima à velocidade da luz, ela funcionará para outra partícula carregada positivamente se movendo a uma velocidade da mesma ordem. Por outro lado, a lei pode não funcionar para objetos macro em baixa velocidade. Todos os objetos semelhantes estão associados a uma lei. Precisamos desse tipo de simetria quando discutirmos a conexão entre matemática e física.

O que é matemática

Vamos passar algum tempo entendendo a própria essência da matemática. Veremos três exemplos.

Era uma vez, um fazendeiro descobriu que se você pegar nove maçãs e combiná-las com quatro maçãs, você terminará com treze maçãs. Algum tempo depois, ele descobriu que, se você combinar nove laranjas com quatro laranjas, obterá treze laranjas. Isso significa que, se ele trocar cada maçã por uma laranja, a quantidade de frutas permanecerá inalterada. Em algum momento, os matemáticos ganharam experiência suficiente em tais assuntos e derivaram a expressão matemática 9 + 4 = 13. Essa expressão pequena generaliza todos os casos possíveis de tais combinações. Ou seja, é verdade para qualquer objeto discreto que possa ser trocado por maçãs.

Um exemplo mais complexo. Um dos teoremas mais importantes da geometria algébrica é o Teorema de Hilbert Zero ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Hilbert_Zero Theorem ). Consiste no fato de que para cada J ideal no anel polinomial existe um conjunto algébrico correspondente V (J), e para cada conjunto algébrico S existe um I ideal (S). A conexão dessas duas operações é expressa como $I (V (J)) = \ sqrt J$ , onde $\ sqrt J$ está o radical do ideal. Se substituirmos um alg. muitos para outro, temos um ideal diferente. Se substituirmos um ideal por outro, obteremos outro alg. muitos

Um dos conceitos básicos da topologia algébrica é o homomorfismo de Gurevich. Para cada espaço topológico X e k positivo, existe um grupo de homomorfismos de um grupo k-homotopia a um grupo k-homológico. $h _ {*}: \ pi_k (X) \ rightarrow H_k (X)$ . Esse homomorfismo tem uma propriedade especial. Se o espaço X for substituído pelo espaço Y e $k$ substituído por $k '$ , o homomorfismo será diferente $\ pi_ {k '} (S) \ rightarrow H_ {k'} (S)$ . Como no exemplo anterior, um caso específico dessa afirmação não importa muito para a matemática. Mas se coletarmos todos os casos, obteremos o teorema.

Nestes três exemplos, analisamos a mudança da semântica das expressões matemáticas. Trocamos laranjas por maçãs, trocamos uma idéia por outra, substituímos um espaço topológico por outro. O principal é que, ao fazer a substituição correta, a declaração matemática permanece verdadeira. Afirmamos que essa propriedade é a principal propriedade da matemática. Então, chamaremos a afirmação de matemática se pudermos mudar a que ela se refere, e a afirmação permanecerá verdadeira.

Agora, para cada afirmação matemática, precisaremos anexar um escopo. Quando um matemático diz “para todo número n”, “Pegue o espaço de Hausdorff” ou “seja C uma coalgebra involutiva co-associativa e coassociativa”, ele determina o escopo de sua afirmação. Se esta afirmação é verdadeira para um elemento do campo de aplicação, então é verdade para todos ( desde que esse campo de aplicação seja selecionado corretamente, aprox. Por. ).

Essa substituição de um elemento por outro pode ser descrita como uma das propriedades de simetria. Chamamos isso de simetria da semântica. Argumentamos que essa simetria é fundamental, tanto para a matemática quanto para a física. Da mesma maneira que os físicos formulam suas leis, os matemáticos formulam suas afirmações matemáticas, enquanto determinam em qual campo de aplicação a afirmação mantém a simetria da semântica (em outras palavras, onde essa afirmação funciona). Vamos além e dizemos que uma afirmação matemática é uma afirmação que satisfaz a simetria da semântica.

Se houver lógica entre vocês, o conceito de simetria da semântica será bastante óbvio para eles, porque uma afirmação lógica é verdadeira se for verdadeira para cada interpretação de uma fórmula lógica. Aqui dizemos esse tapete. a declaração é verdadeira se for verdadeira para cada elemento do escopo.

Alguém poderia argumentar que essa definição de matemática é muito ampla e que uma afirmação que satisfaz a simetria da semântica é apenas uma afirmação, não necessariamente matemática. Responderemos que, em primeiro lugar, a matemática é basicamente ampla o suficiente. A matemática não se refere apenas a números, mas a formas, declarações, conjuntos, categorias, microestados, macroestados, propriedades, etc. Para que todos esses objetos sejam matemáticos, a definição de matemática deve ser ampla. Em segundo lugar, há muitas afirmações que não satisfazem a simetria da semântica. "Está frio em Nova York em janeiro", "As flores são apenas vermelhas e verdes", "Os políticos são pessoas honestas". Todas essas afirmações não satisfazem a simetria da semântica e, portanto, não são matemáticas. Se houver um contra-exemplo do escopo,essa afirmação automaticamente deixa de ser matemática.

As declarações matemáticas também satisfazem outras simetrias, por exemplo, simetrias de sintaxe. Isso significa que os mesmos objetos matemáticos podem ser representados de maneiras diferentes. Por exemplo, o número 6 pode ser representado como "2 * 3" ou "2 + 2 + 2" ou "54/9". Também podemos falar sobre uma “curva contínua de auto-interseção”, uma “curva fechada simples”, uma “curva de Jordan” e queremos dizer a mesma coisa. Na prática, os matemáticos tentam usar a sintaxe mais simples (6 em vez de 5 + 2-1).

Algumas das propriedades simétricas da matemática parecem tão óbvias que nem sequer são discutidas. Por exemplo, a verdade matemática é invariável em relação ao tempo e ao espaço. Se a afirmação for verdadeira, será verdade também amanhã em outra parte do mundo. E não importa quem a pronuncia - a mãe de Teresa ou Albert Einstein, e em que idioma.

Como a matemática satisfaz todos esses tipos de simetria, é fácil entender por que parece-nos que a matemática (como a física) é objetiva, trabalha fora do tempo e é independente das observações humanas. Quando as fórmulas matemáticas começam a funcionar para problemas completamente diferentes, descobertos independentemente, às vezes em séculos diferentes, começa a parecer que a matemática existe "em algum lugar lá". No entanto, a simetria da semântica (e é exatamente isso que acontece) é uma parte fundamental da matemática que a define. Em vez de dizer que há uma verdade matemática e que acabamos de encontrar alguns casos, diremos que existem muitos casos de fatos matemáticos e a mente humana os combinou, criando uma afirmação matemática.

Por que a matemática é boa em descrever a física?

Bem, agora podemos perguntar por que a matemática descreve a física tão bem. Vamos dar uma olhada em 3 leis físicas.

Nosso primeiro exemplo é a gravidade. A descrição de um fenômeno da gravidade pode se parecer com "Em Nova York, Brooklyn, Mine Street 5775, no segundo andar às 21.17: 54, vi uma colher de duzentos gramas que caiu e atingiu o chão após 1,38 segundos". Mesmo se formos tão precisos em nossos registros, eles não nos ajudarão muito nas descrições de todos os fenômenos da gravidade (a saber, é isso que a lei da física deve fazer). A única boa maneira de escrever essa lei é anotá-la com uma afirmação matemática, atribuindo a ela todos os fenômenos observados de gravidade. Podemos fazer isso escrevendo a lei de Newton $F = G \ frac {m_1 m_2} {d ^ 2}$ . Substituindo massas e distâncias, obtemos nosso exemplo específico de um fenômeno gravitacional.

, , - $\ frac {\ L parcial} {\ parcial q} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ parcial L} {\ parcial q '}$ . . , . , ( , ).

, , — $PV = nRT$ . .

Em cada um dos três exemplos citados, as leis físicas são naturalmente expressas apenas através de fórmulas matemáticas. Todos os fenômenos físicos que queremos descrever estão dentro da expressão matemática (mais precisamente, em casos particulares dessa expressão). Em termos de simetrias, dizemos que a simetria física da aplicabilidade é um caso especial de simetria matemática da semântica. Mais precisamente, a partir da simetria da aplicabilidade, conclui-se que podemos substituir um objeto por outro (da mesma classe). Portanto, a expressão matemática que descreve o fenômeno deve ter a mesma propriedade (ou seja, seu escopo deve ser pelo menos não menor).

Em outras palavras, queremos dizer que a matemática funciona tão bem na descrição dos fenômenos físicos, porque a física e a matemática foram formadas da mesma maneira. As leis da física não estão no mundo platônico e não são idéias centrais em matemática. Tanto os físicos quanto os matemáticos escolhem suas afirmações de maneira a se adequarem a muitos contextos. Não há nada de estranho nisso que as leis abstratas da física se originem na linguagem abstrata da matemática. Como no fato de que algumas afirmações matemáticas foram formuladas muito antes de as leis correspondentes da física serem descobertas, porque elas obedecem às mesmas simetrias.

Agora, resolvemos completamente o mistério da eficácia da matemática. Embora, é claro, haja muito mais perguntas que não são respondidas. Por exemplo, podemos perguntar por que as pessoas geralmente têm física e matemática. Por que somos capazes de perceber simetrias ao nosso redor? Parte da resposta a essa pergunta é que estar vivo significa exibir a propriedade da homeostase; portanto, os seres vivos devem se defender. Quanto melhor eles entendem o ambiente, melhor eles sobrevivem. Objetos não vivos, como pedras e paus, não interagem com o ambiente. As plantas, por outro lado, se voltam para o sol, e suas raízes se estendem para a água. Um animal mais complexo pode perceber mais coisas em seu ambiente. As pessoas percebem muitos padrões ao seu redor. Chimpanzés ou, por exemplo, golfinhos não podem fazer isso. Os padrões de nossos pensamentos que chamamos de matemática.Alguns desses padrões são padrões de fenômenos físicos ao nosso redor, e chamamos esses padrões de física.

Alguém pode se perguntar por que, nos fenômenos físicos em geral, existem algumas regularidades? Por que um experimento realizado em Moscou dará os mesmos resultados se realizado em São Petersburgo? Por que a bola lançada cairá na mesma velocidade, apesar de ter sido lançada em outro momento? Por que uma reação química ocorre da mesma maneira, mesmo que pessoas diferentes a vejam? Para responder a essas perguntas, podemos recorrer ao princípio antrópico. Se não houvesse padrões no universo, não existiríamos. A vida tira proveito do fato de que a natureza tem alguns fenômenos previsíveis. Se o universo fosse completamente aleatório ou parecesse algum tipo de quadro psicodélico, então nenhuma vida, pelo menos uma vida intelectual, poderia sobreviver. O princípio antrópico, de um modo geral,não resolve o problema. Perguntas como "Por que o universo existe", "Por que existe alguma coisa" e "O que está acontecendo aqui?" Permanecem sem resposta.

Apesar de não termos respondido a todas as perguntas, mostramos que a presença de estrutura no universo observável é naturalmente descrita na linguagem da matemática.

Por que a matemática descreve bem a realidade?

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O que é física

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Por que a matemática é boa em descrever a física?

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