Matemáticos lançam luz sobre uma hipótese minimalista

Neste tablet, originalmente da Babilônia, produzido por volta de 1800 aC, os triplos pitagóricos são listados - números inteiros a, bec, satisfazendo a equação polinomial a ² + b ² = c ² . Até hoje, a busca de soluções racionais e inteiras de equações polinomiais permanece um sério problema para os matemáticos.

No século V aC O matemático grego fez uma descoberta que abalou os fundamentos da matemática e, segundo a lenda, lhe custou a vida. Os historiadores acreditam que esse era Hipás, da Metapont , e ele pertencia à escola pitagórica de matemática, cujo principal dogma era o de que qualquer fenômeno físico pode ser expresso como números inteiros e suas relações (o que chamamos de números racionais). Mas essa suposição se desfez quando, segundo os historiadores, Gippas considerou os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, o que deveria satisfazer o teorema de Pitágoras - a famosa relação a ² + b ² = c ² . Diz-se que Gippas mostrou que, com o mesmo comprimento das pernas de um triângulo expresso por um número racional, sua hipotenusa não pode ser expressa por um número racional.

De acordo com uma versão da história, Gippas fez essa descoberta enquanto estava no mar, e seus colegas, chocados com essa descoberta, o jogaram ao mar.

Os matemáticos modernos não ficam mais envergonhados, como os gregos antigos, por números irracionais (e, em geral, descobriram que há mais números irracionais do que os racionais). Mas o amor dos pitagóricos por soluções racionais de equações continua alimentando matemáticos com informações. Está subjacente à teoria dos números, o ramo teórico tradicional da matemática, que, em nossa era digital, inesperadamente encontrou muitas aplicações.

Agora, dois jovens matemáticos avançaram para a vanguarda da ciência em seus estudos de soluções racionais de equações cúbicas. Equações polinomiais nas quais as variáveis ​​estão em alguns graus, como y = 3x ³ + 4 ou x ² + y ² = 1, estão entre os objetos fundamentais estudados pelos matemáticos e são usadas em várias aplicações práticas e também nos ramos da matemática .

Universo polinomial

É fácil ver que uma equação polinomial na qual o grau das variáveis ​​não excede 1, como y = 3x + 4, possui um número infinito de soluções racionais. Qualquer valor racional de x fornece um valor racional de y e vice-versa.

Sabe-se há mil anos como encontrar soluções racionais para polinômios com grau 2, como x ² + y ² = 1 ou y = 3x ³ + 2x - 7. Eles podem não ter nenhuma solução ou ter infinitas soluções. Os gráficos de tais curvas são seções cônicas - círculos, parábolas, elipses e hipérboles. Se um ponto racional P estiver no gráfico, existe uma maneira bonita de encontrar todos os outros pontos racionais. Você só precisa pegar todas as linhas que passam por P com uma inclinação racional e calcular a segunda interseção dessa linha com a seção cônica.

Em 1983, Gerd Faltings, que agora ocupa o cargo de diretor do Instituto de Matemática. Max Planck, em Bonn, descobriu equações polinomiais com graus maiores que 3. Ele mostrou que a maioria delas pode ter apenas finitas soluções racionais. E restavam equações cúbicas, teimosos desviantes do universo dos polinômios.

As equações cúbicas resistiram aos esforços dos matemáticos para classificar suas soluções. Tentativas de classificar soluções racionais de equações cúbicas - mais precisamente, uma família de equações cúbicas, conhecida como curvas elípticas, já que são elas, com exceção de várias outras que podem ter soluções racionais - foram realizadas por todos os grandes especialistas em teoria dos números, a partir do matemático francês Pierre Fermat do século XVII diz Benedict Gross, da Universidade de Harvard.

As equações cúbicas elípticas podem ter um número zero, finito ou infinito de soluções. Até agora, os matemáticos foram capazes de adivinhar com que frequência essas opções surgem.

As curvas elípticas têm uma capacidade inexplicável de surgir em locais inesperados, tanto na matemática teórica quanto na aplicada. Seu entendimento se tornou um elemento-chave na prova do teorema de Fermat de 1995 , embora pareça que as curvas elípticas não estejam relacionadas à sua formulação. Operações usando curvas elípticas tornaram-se componentes centrais de muitos protocolos criptográficos que codificam números de cartões bancários em transações online. As soluções racionais de curvas elípticas estão no centro de vários problemas geométricos do estilo pitagórico, por exemplo, a busca de triângulos retangulares com comprimentos racionais de lados e, ao mesmo tempo, área racional.

“Estimulação inteligente, excelente estrutura, aplicações práticas - todas essas são curvas elípticas”, diz Manjul Bhargava, da Universidade de Princeton.

Bargawa tem 38 anos, seu colega Arul Shankar - 26, eles trabalham no Instituto de Estudos Avançados de Princeton e já deram um dos maiores passos nas últimas décadas para entender as soluções racionais das curvas elípticas.

Em seu trabalho, não há receita para encontrar soluções racionais para uma curva elíptica específica; em vez disso, ela explica quais podem ser os cenários mais prováveis ​​para decisões racionais se a curva for escolhida aleatoriamente.

As descobertas de Bargava e Shankar "começam a lançar luz sobre uma grande área de nossa ignorância", disse Gross. "Depois do trabalho deles, o mundo inteiro parece diferente."

Segurança elíptica

Se tomarmos dois pontos racionais em uma curva elíptica, a linha que passa por eles quase sempre cruzará a curva em outro ponto, também com coordenadas racionais. É muito simples usar dois pontos racionais diferentes para gerar o terceiro, mas é muito difícil fazer o oposto - pegue um ponto racional e encontre dois outros pontos racionais que o gerariam. Essa propriedade torna as curvas elípticas úteis para criptografia: a segurança criptográfica é baseada em operações fáceis de executar em uma direção e difíceis em outra.

"As curvas elípticas estão envolvidas em muitas coisas incríveis", disse Peter Sarnak, da Universidade de Princeton. "Eles são complexos o suficiente para transportar uma grande quantidade de informações, mas simples o suficiente para um estudo aprofundado".

Passeio divertido

Encontrar soluções racionais de uma curva elíptica reduz-se a encontrar pontos em seu gráfico no plano xy, de modo que suas coordenadas xey sejam números racionais. E muitas vezes é muito difícil de fazer. Mas se você encontrar vários pontos racionais, torna-se possível gerar mais usando procedimentos simples, descobertos pela primeira vez há dois milênios pelo matemático alexandrino Diophantus. Por exemplo, se você desenha uma linha através de dois pontos racionais, ela geralmente cruza a curva em exatamente um ponto, também racional.

Esse processo é "uma estrutura muito complexa, há algo especial nas equações cúbicas que lhes dá profundidade", disse Bargava.

Em 1922, Louis Mordell provou algo incrível. Para qualquer curva elíptica, mesmo com infinitos pontos racionais, é possível gerar todos os pontos racionais, começando com um pequeno número deles e conectando-os. Se o número de pontos racionais em uma curva elíptica for infinito, o número mínimo de pontos necessário para gerar todos eles será chamado de classificação da curva. Quando o número desses pontos é finito, a classificação da curva é 0.



Décadas da matemática ponderaram uma hipótese minimalista que estima a classificação das curvas elípticas, com evidências mistas. A hipótese diz que estatisticamente, cerca de metade das curvas elípticas tem uma classificação de 0 (ou seja, eles têm um número finito de pontos racionais, ou zero), e a outra metade tem 1 (ou seja, seu número infinito de pontos racionais pode ser gerado a partir de um) ) De acordo com essa hipótese, o número de todos os outros casos é muito pequeno. Isso não significa que não há exceções, ou mesmo que exista um número finito delas - mas se fizermos coleções cada vez maiores de curvas elípticas, as curvas que se enquadram em outras categorias se tornarão cada vez menos porcentagens e seu número tenderá a 0% .

Essa suposição foi formulada pela primeira vez em 1979 por Dorian Goldfeld, da Columbia University, referindo-se a uma classe específica de curvas elípticas. "Há muito tempo folclore", diz Barry Mazur, da Universidade de Harvard.

Uma hipótese parcialmente minimalista é sustentada pela crença generalizada de que as curvas elípticas não devem ter muitos pontos racionais. De fato, uma minoria está na linha numérica dos números racionais.

"Os pontos racionais das curvas elípticas são pérolas aleatórias da matemática, e é muito difícil imaginar que haja muitos acidentes tão preciosos", escreveu Mazur e seus três co-autores em 2007 para o jornal Bulletin of the American Mathematics Society .

À primeira vista, isso sugere que a maioria das curvas elípticas deve ter uma classificação de 0. Mas muitos matemáticos acreditam na hipótese de paridade, que assume que as curvas elípticas com classificações pares e ímpares ocorrem de 50 a 50. Se você combinar a hipótese de paridade com uma raridade de pontos racionais, então obtemos uma hipótese minimalista - dividindo 50 por 50 entre os níveis mais baixos possíveis, 0 e 1.

Para apoiar a hipótese minimalista, dados experimentais também dizem que é realmente difícil para curvas elípticas ter altos escalões. Os especialistas em curvas elípticas usaram computadores para procurar curvas de alto escalão. O recorde atual é de cerca de 28 - mas existem muito poucas curvas e seus coeficientes são gigantescos.

Mas outras estimativas não são tão inspiradoras. Os matemáticos calcularam as fileiras de centenas de milhares de curvas elípticas e até agora 20% de todas as curvas têm uma classificação de 2. Para uma porcentagem pequena, mas não muito pequena de curvas, a classificação é 3. De acordo com a hipótese minimalista, sua porcentagem deve tender a zero se todas as curvas elípticas forem levadas em consideração. "Aparentemente, os dados se opõem à suposição", disse Mazur.

Normalmente, quando os dados não correspondem à hipótese, eles serão descartados corretamente. Mas muitos matemáticos se apegam à hipótese minimalista. Embora os computadores tenham retrabalhado muitos exemplos, os matemáticos apontam que esses cálculos são apenas a ponta do iceberg. "Também pode acontecer que, até provarmos as hipóteses, nenhum dado coletado por nós, mesmo em quantidade muito sólida, tranquilize os teóricos", escreveu Mazur com colegas.

Eles também acrescentaram que uma parte bastante grande das curvas elípticas calculadas com uma classificação superior a 1 é semelhante à matéria escura na física. “Essa grande massa de pontos racionais está claramente lá. Não temos dúvidas sobre isso. Só duvidamos de como dar uma explicação satisfatória para o fato de que eles estão lá. ”

Por causa do conflito de dados e teoria, eles escrevem, por décadas a hipótese minimalista "foi rejeitada ou tida como certa".

Novos métodos

Até recentemente, Manjul Bargava, a estrela em ascensão do mundo matemático, estava no campo dos que duvidam. Uma das revistas Popular Science classificou-o entre os "dez melhores gênios" em 2002 e, no ano seguinte, aos 28 anos, ele se tornou um dos mais jovens a receber o título de professor da Universidade de Princeton. Seus colegas admiram não apenas suas realizações matemáticas, mas também sua disposição gentil e criativa.


Manjul Bargava em 38

"Manjul é um cara muito incomum", disse Gross. "Ele olha as coisas de uma maneira diferente da maioria das pessoas, e é disso que consiste sua genialidade."

Bargawa, especialista em teoria dos números, interessou-se pelo claro contraste entre os dados calculados e a hipótese minimalista. "Isso sugere que algo interessante está acontecendo lá", disse ele. “Fui ao meu colega, Peter Sarnak, e perguntei a ele:“ Como você pode acreditar nessa suposição? ”, Lembra Bargava. "Para mim, parecia engraçado."

Mas Sarnak acreditava que os dados, como resultado, começarão a se inclinar na direção oposta, quando será possível calcular curvas elípticas com coeficientes muito maiores. "Ele estava muito confiante nessa hipótese", disse Bargava.

Bargawa decidiu de uma forma ou de outra descobrir algo específico sobre a hipótese. "Chegou a hora de provar algo", diz ele. Ele começou a estudar conjuntos de algoritmos que calculam as fileiras das curvas elípticas, originados no procedimento introduzido por Fermat no século XVII. Essa é uma família de algoritmos denominados algoritmos de descida - para cada número inteiro maior que 2 existe por um algoritmo - eles trabalharam habilmente e encontraram curvas elípticas com pontos racionais. Mas, apesar das inúmeras tentativas, ninguém conseguiu provar que esses algoritmos sempre funcionarão.

Bargawa decidiu tentar uma abordagem diferente. "Tive a ideia de experimentar o algoritmo de descida para todas as curvas elípticas ao mesmo tempo e depois provar que na maioria dos casos funcionará", disse Bargava. De fato, para estudar a hipótese minimalista, não é necessário saber como são as curvas elípticas - basta saber de que tipo elas estão se esforçando.

Essa abordagem incluiu trabalho no campo da geometria numérica, envolvido na contagem de nós da rede em várias figuras (o nó da rede é um ponto com coordenadas inteiras). Nas formas mais simples, como um círculo ou quadrado, o número de nós da rede corresponde aproximadamente à área da figura. Mas a tarefa de Bargawa se referia a figuras mais complexas e, quando uma figura possui características complexas, como tentáculos, pode ter muito mais ou menos nós de rede do que sua área prevê.


Arul Shankar aos 26 anos

Antes de embarcar em tais formas, Bargava estabeleceu uma tarefa semelhante, mas simples, para Arul Shankar, seu estudante de graduação. Muitas vezes, os estudantes de pós-graduação lutam com as tarefas das dissertações há anos, mas Shankar trouxe a solução em apenas três meses. Portanto, diz Bargava, "perguntei se ele gostaria de se juntar a mim".

Bargava e Shankar desenvolveram um conjunto de novas técnicas cuja importância provavelmente vai muito além da tarefa original que estão resolvendo, diz Mazur. "A geometria dos números sempre foi um método profundo e poderoso, e agora eles aumentaram seriamente seu poder". Ele acrescentou que o gênio de sua técnica "abre novas possibilidades na teoria dos números".

Essas novas técnicas "afetarão a teoria dos números por muitos mais anos", concorda Gross.

Padrão claro

Se a hipótese minimalista for verdadeira, então a classificação média das curvas elípticas deve ser ½, mas antes do trabalho de Bargava e Sankar, os matemáticos não conseguiam provar que o valor médio seria finito. Usando um algoritmo de descida de 2 ordens, Bargava e Shankar foram capazes de mostrar que a classificação média para todas as curvas elípticas não excede 1,5. Usando as ordens 3, 4 e 5 para algumas curvas que não foram processadas na etapa anterior, eles conseguiram abaixar a barra superior para 0,88.

E, embora exista uma lacuna entre esse valor e a média prevista pela hipótese minimalista, a descoberta de Bargava e Shankar representa um salto em frente. "Este é apenas o primeiro passo, mas já é muito grande", diz Sarnak. "É ótimo ver como dois jovens estão avançando ativamente".

Além disso, tendo demonstrado que a classificação média é menor que 1, Bargava e Shankar provaram que um pedaço bastante grande de curvas elípticas - pelo menos 12% - tem uma classificação de 0 (pois, caso contrário, a média seria maior). Eles usaram isso para mostrar que a mesma parte das curvas satisfaz a famosa hipótese de Birch-Swinnerton-Dyer , a velha questão das curvas elípticas, pela qual o Clay Institute of Mathematics recebeu uma recompensa de um milhão de dólares .

Em uma palestra de Bargawa no Clay Institute, um dos ouvintes perguntou, brincando, se Bargava e Shankaru agora contam com 12% do prêmio em um milhão. "Os representantes do instituto estavam na palestra e imediatamente disseram que não, não deveriam", disse Bargava com tristeza.

As descobertas de Bargava e Shankar alarmaram os especialistas em teoria dos números, muitos dos quais não esperavam progresso no campo da classificação média. “Você me pergunta um mês antes de Manjul me contar sobre o trabalho dele”, diz Gross, “eu responderia que é inútil.” Agora, ele disse, a hipótese minimalista parece cada vez mais promissora. "Eu apostaria dinheiro nela."

Uma das maneiras possíveis - que provavelmente exigirão uma infusão de novas idéias, como dizem os matemáticos - é tentar usar algoritmos para diminuir ordens superiores a 5, a fim de refinar ainda mais os limites da classificação média. "Com o uso de descidas das 2ª, 3ª, 4ª e 5ª ordens, houve um padrão claro e provavelmente continuará", disse Bargava.

Bargava não se considera o único proprietário dos direitos dessa idéia e espera que o trabalho deles inspire jovens matemáticos a pesquisar mais no campo dos pontos racionais das curvas elípticas. "A hipótese minimalista não é um fim em si mesma", diz ele. - Sempre que abrir a porta, é necessário abrir muito mais portas. Quanto mais pessoas fizerem isso, mais portas poderemos abrir. ”