Experiências de matemática transcendental ou folclore matemático

16 de março às 19:00 na loja Bukvoed (São Petersburgo, Ligovsky pr., 10) como parte do projeto “Ciência não é farinha” para o Dia Mundial do Pi, será realizada uma palestra interativa sobre o tema: “Experiências em matemática transcendental ou folclore matemático "

Não tenha medo, se você já esqueceu o que é o logaritmo e como calcular a integral, você não precisará dele. O conhecimento necessário para a palestra é bom senso e lógica elementar.

Você pode ouvir muitas vezes que a matemática é inimaginavelmente chata e abstrata demais. Tentaremos provar o contrário com numerosos exemplos de folclore matemático, e o ponto de partida de nosso encontro será o livro de Eduard Frenkel “Love and Mathematics. O coração da realidade oculta . " O livro do famoso cientista tenta dissipar o mito de que a matemática é uma ciência entediante. Na palestra, você aprenderá por que todos os cavalos são da mesma cor, por que a lua é feita de queijo e como pegar uma mosca no lado oposto da lua.

Seu guia em complexos labirintos matemáticos será Vitaliy Filippovsky - matemático, estudante de graduação da ITMO, líder em matemática e programador Emoji Apps.

Abaixo, oferecemos a você se familiarizar com o excelente trecho de dança do livro de Frenkel.

No outono de 1990, me tornei um estudante de graduação em Harvard. Isso foi necessário para mudar a posição de um professor visitante para algo mais permanente. Joseph Bernstein concordou em se tornar meu supervisor oficial. Naquela época, eu já havia acumulado material suficiente para minha dissertação, e Arthur Jaffe convenceu o reitor da faculdade como uma exceção para me permitir reduzir o período de estudos de pós-graduação (que normalmente leva 4 ou 5 anos e, em qualquer caso, pelo menos 2 anos, de acordo com as regras) para um. anos, para que eu possa me defender em um ano. Graças a isso, minha "despromoção" de professor para estudante de graduação durou bastante.

Minha tese de doutorado foi sobre um novo projeto que acabei de concluir. Tudo começou com uma discussão com Drinfeld, do programa Langlands, na primavera daquele ano. Aqui está um exemplo de uma de nossas conversas, projetada como um script.

AÇÃO 1
CENA 1
ESCRITÓRIO DE DRINFELD EM HARVARD

Drinfeld anda pela sala ao longo da parede em que um quadro-negro está pendurado.
Edward, sentado em uma cadeira, faz anotações (na mesa ao lado dele está uma xícara de chá).

Drinfeld
Assim, a hipótese de Simura - Taniyama - Weil abre uma conexão entre equações cúbicas e formas modulares, mas Langlands foi ainda mais longe. Ele previu a existência de uma correspondência mais geral, na qual o papel das formas modulares é desempenhado pelas representações automórficas do grupo Lie.

Edward
O que é uma representação automórfica?

Drinfeld (após uma longa pausa)
A definição exata não importa para nós agora. De qualquer forma, você pode encontrá-lo no livro. É importante para nós que seja uma representação do grupo de Lie G, por exemplo, o grupo SO (3) das rotações de uma esfera.

Edward
Bom E com o que essas representações automórficas estão conectadas?

Drinfeld
Este é o mais interessante. Langlands previu que eles deveriam
estar conectado com representações de um grupo Galois em outro grupo de Lie.

Edward
Eu vejo. Você quer dizer que esse grupo de Lie não é o mesmo grupo G?

Drinfeld
Não! Este é outro grupo de Lee, chamado de grupo duplo Langlands, para G. Drinfeld escreve o símbolo da LG no quadro.

Edward
A letra L em homenagem a Langlands?

Drinfeld (com um leve sorriso)
Inicialmente, Langlands foi motivado pelo desejo de entender objetos chamados funções L, porque ele chamou esse grupo de grupo L ...

Edward
Ou seja, para todo grupo de Lie G há outro grupo de Lie chamado LG, certo?

Drinfeld
Sim E ela está presente de acordo com Langlands, que esquematicamente se parece com isso. Drinfeld desenha um diagrama em um quadro negro



Edward
Eu não entendo ... pelo menos por enquanto. Mas deixe-me fazer uma pergunta mais simples: como será, por exemplo, o grupo duplo de Langlands para SO (3)?

Drinfeld
É bem simples - cobertura dupla SO (3). Você já viu o truque com o copo?

Edward
Concentre-se com uma xícara? Ah sim, eu lembro ...

CENA 2
Harvard Graduate Home Party

Cerca de uma dúzia de estudantes, com pouco mais de vinte anos, conversam, bebem cerveja e vinho. Edward fala com um estudante de graduação.

Estudante de pós-graduação
Aqui está como fazê-lo.
Uma estudante de graduação pega um copo plástico de vinho e o coloca na palma da mão direita. Então ela começa a girar a palma da mão, virando a mão como em uma sequência de fotografias
(abaixo). Ela faz uma revolução completa (360 graus) e seu braço está virado de cabeça para baixo. Ainda segurando o copo na vertical, ele continua a girar e depois
outra volta completa - surpresa! - a mão e a xícara retornam à sua posição normal original.

Outro estudante de graduação
Ouvi dizer que nas Filipinas há uma dança tradicional com vinho, na qual eles executam esse truque com as duas mãos. Ele toma dois copos de cerveja e tenta virar as duas mãos
ao mesmo tempo Mas ele não consegue controlar as mãos e imediatamente derrama cerveja de ambas. Todo mundo está rindo.

CENA 3
O ESCRITÓRIO DE DRINFELD NOVAMENTE

Drinfeld
Esse foco ilustra o fato de que no grupo SO (3) existe um caminho fechado não trivial, cuja dupla passagem, no entanto, nos fornece um caminho trivial.

Edward
Oh, entendi. A primeira rotação completa do copo gira a mão em um ângulo incomum - este é o análogo do caminho não trivial para SO (3). Ele pega uma xícara de chá da mesa e faz a primeira parte do foco.

Edward
Parece que o segundo turno deve fazer você girar sua mão ainda mais, mas, em vez disso, a mão volta à sua posição normal. Edward completa a mudança.

Drinfeld
Direito

Edward
Mas o que é comum entre este e o grupo duplo de Langlands?

Drinfeld
O grupo Langlands duplo para SO (3) é a capa dupla de SO (3), então ...


Edward
Portanto, cada elemento do grupo SO (3) corresponde a dois elementos do grupo duplo de Langlands.

Drinfeld
É por isso que neste novo grupo não há mais caminhos fechados não triviais.

Edward
Ou seja, a transição para o grupo duplo de Langlands é uma maneira de se livrar desse deslocamento?

Drinfeld
Certo. À primeira vista, parece que a diferença é mínima, mas, na realidade, as consequências são mais do que significativas. Isso, por exemplo, explica a diferença no comportamento de componentes básicos da matéria, como elétrons e quarks, e partículas que carregam
interações entre eles, como fótons. Para grupos de Lie mais gerais, a diferença entre o próprio grupo e seu grupo duplo de Langlands é ainda mais forte. De fato, em muitos casos, não há sequer uma conexão visível entre dois grupos duplos.

Edward
Por que o grupo duplo geralmente apareceu de acordo com os Langlands? Algum tipo de mágica ...

Drinfeld
Isso é desconhecido.

A dualidade de Langlands estabelece uma relação de pares entre os grupos de Lie: para cada grupo de Lie G, existe um grupo de Lie Langlands duplo LG e um duplo
para LG é o próprio G.9 O fato de o programa Langlands conectar objetos de dois tipos diferentes (um da teoria dos números e o segundo da análise harmônica) é surpreendente em si, mas o fato de que dois grupos duplos, G e LG, estão presentes em diferentes partes dessa correspondência - é simplesmente incompreensível para a mente!

Falamos sobre como o programa Langlands conecta diferentes continentes no mundo da matemática. Vamos continuar a analogia: que seja a Europa e a América do Norte e que haja uma maneira
corresponder a todas as pessoas na Europa uma pessoa da América do Norte e vice-versa. Além disso, suponha que essa correspondência implique a combinação perfeita de vários atributos, como peso, altura e idade, com uma exceção: cada homem está associado a uma mulher e vice-versa. Essa situação é análoga à substituição de um grupo de Lie por seu grupo duplo,
de acordo com as previsões previstas pelo programa Langlands.

De fato, essa substituição é um dos aspectos mais misteriosos do programa Langlands. Conhecemos vários mecanismos que descrevem como os grupos duplos aparecem, mas
ainda não entendo por que isso está acontecendo. Essa ignorância foi uma das razões pelas quais os cientistas estão tentando estender as idéias do programa Langlands para outras áreas da matemática (através da pedra Rosetta de Weil) e até da física quântica, como aprenderemos no próximo capítulo. Tentamos encontrar mais exemplos do fenômeno do dualismo de Langlands, na esperança de que isso nos dê pistas adicionais sobre por que eles surgem e o que isso significa.

Vamos concentrar nossa atenção na coluna da direita da pedra Rosetta Weil, que é dedicada às superfícies de Riemann. Como estabelecemos no capítulo anterior, na versão da correspondência de Langlands relevante para esta coluna, os atores são "pacotes automórficos". Eles desempenham o papel de funções automórficas (ou representações automórficas) associadas ao grupo de Lie G. Acontece que essas roldanas automórficas “vivem” em um determinado espaço ligado à superfície de Riemann X e ao grupo G, que é chamado de espaço de módulos dos pacotes G em X. Nós no momento, não importa o que seja. 10 Na parte oposta da correspondência, como vimos no capítulo 9, o grupo fundamental de uma dada superfície de Riemann desempenha o papel de grupos de Galois. A partir do diagrama acima, segue-se que a correspondência geométrica de Langlands deve ser esquematicamente a seguinte:


Isso significa que devemos ser capazes de mapear um feixe automórfico para todas as representações do grupo fundamental na LG. E Drinfeld teve uma ideia radicalmente nova de como fazer isso.

AÇÃO 2
CENA 1
ESCRITÓRIO DE DRINFELD EM HARVARD

Drinfeld
Portanto, precisamos encontrar um método para construir esses pacotes automórficos. E parece-me que as representações das álgebras de Katz-Moody poderiam nos ajudar.

Edward
Porque

Drinfeld
Agora estamos no mundo das superfícies de Riemann. Essa superfície pode ter uma borda que consiste em loops.

Drinfeld desenha uma imagem no quadro.



Drinfeld
Por meio de loops, as superfícies de Riemann podem ser associadas a grupos de loop e, portanto, às álgebras de Kac - Moody. E essa conexão nos dá a oportunidade de transformar idéias
Álgebras Kac - Moody em feixes no espaço dos módulos G-bundles em nossa superfície Riemann. Não vamos entrar em detalhes por enquanto. Como eu espero, esquematicamente isso
deve ficar assim.

Drinfeld desenha um diagrama no quadro.



Drinfeld
A segunda flecha está clara para mim. A questão principal é como construir a primeira flecha. Feigin me contou sobre seu trabalho em representações de álgebras de Kac - Moody. Eu acho que só precisa ser aplicado aqui.

Edward
Mas então as representações da álgebra de Katz - Moody para G devem, de alguma forma, ser "conhecidas" sobre o grupo duplo Langlands LG.

Drinfeld
Isso mesmo.

Edward
Mas como isso é possível?

Drinfeld
E esta é uma pergunta que você deve responder.

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