Entendemos a física de partículas: 2) uma bola quântica em uma mola

1. Bola em uma mola, versão newtoniana
2. Uma bola quântica em uma mola
3. Ondas, visual clássico
4. Ondas, a equação clássica do movimento
5. Ondas quânticas
6. Campos
7. Partículas são quanta
8. Como as partículas interagem com os campos

O principal resultado do artigo anterior foi que o movimento oscilatório de uma bola em uma mola na física pré-quântica de Newton e seus amigos assume a forma

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Onde:
• z é a posição da bola em função do tempo t,
• z ₀ é a posição de equilíbrio da bola (onde ela descansaria se não tivesse flutuado),
• A - amplitude de vibração (que podemos escolher arbitrariamente grandes ou pequenas),
• ν [nu] - frequência de vibração (dependendo apenas da força da mola K e da massa da bola M, e não dependendo de A).

Além disso, a energia total armazenada na oscilação é

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$$

Ao alterar A, podemos manter qualquer quantidade de energia em oscilação.

Na mecânica quântica, tudo muda. À primeira vista (e não precisamos de mais nada), apenas uma coisa muda - a afirmação de que podemos escolher a amplitude das oscilações tão grandes ou pequenas quanto desejamos. Acontece que não é assim. Consequentemente, a energia armazenada na oscilação não pode ser selecionada arbitrariamente.


Fig. 1

Quantização da amplitude da oscilação

Max Planck, o famoso físico do início do século XX, descobriu que há algo quântico no Universo e introduziu uma nova constante da natureza, chamada constante de Planck, h. Cada vez que você encontrar algo na mecânica quântica, verá h. Quantitativamente

$$

$$h = 6.626068 \ vezes 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- um valor muito pequeno para a vida humana comum. E aqui está o que sai:

Uma bola quântica em uma mola pode oscilar apenas com amplitudes

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M}$$

Onde n é um número inteiro, por exemplo, 0, 1, 2, 1798 ou 2348979. As oscilações não são arbitrárias, mas quantizadas: podemos chamar n o quantum de oscilações. Definição: dizemos que uma bola que oscila com o quantum n está no enésimo estado excitado. Se o quantum é zero, dizemos que está no estado fundamental.

Para fazer você entender o que isso significa, os cinco primeiros estados excitados e o estado fundamental são mostrados (de maneira bastante ingênua - não leve a imagem muito a sério) na Fig. 1. A menor oscilação possível ocorre no estado n = 1. Este é um quantum de vibrações; não há fração de quantum. Uma bola não pode oscilar menos, a menos que esteja em um estado sem oscilações, quando n = 0.

Tudo o resto, à primeira vista, é o mesmo. Mas, na verdade, a história da mecânica quântica é muito mais complicada! Mas, por enquanto, podemos nos afastar dessa confusão e usar quase 100% da física correta.

Por que não podemos dizer que as oscilações são quantizadas com base em nossa experiência? Porque nos sistemas cotidianos, a quantização é muito pequena. Pegue uma bola e uma mola de verdade - por exemplo, uma bola pesa 50 gramas e sua frequência de oscilação é uma vez por segundo. Então a amplitude para um quantum, n = 1, corresponderá à amplitude

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M} = 1,8 \ vezes 10 ^ {- 16} m$$

Isso representa algumas dezenas de milionésimos de milionésimo de milionésimo de metro, ou 10 vezes menos que um próton! Um quantum de vibrações nem sequer moverá a bola uma distância da ordem do tamanho do núcleo atômico! Não é à toa que não vemos quantização! Se a bola se move a uma distância visível, ela contém um grande número de quanta - e para n tão grande, do nosso ponto de vista, podemos fazer qualquer A, veja a Fig. 2. Não podemos medir A com precisão suficiente para notar limitações tão sutis em sua magnitude.


Fig. 2. A amplitude das oscilações A para o estado n. Para n pequeno, os valores individuais de A estão longe um do outro, mas já para n = 100 os valores permitidos de A estão tão próximos que é difícil perceber a discrição. Nas situações cotidianas, os valores de n são tão grandes que é impossível perceber a discrição.

Observe que, em particular, esses valores são obtidos devido à grande massa da bola. Se a bola consistisse em 100 átomos de ferro e tivesse um raio de milionésimo de milionésimo de metro, sua amplitude mínima seria um milionésimo de metro, ou seja, seria mil vezes maior que o raio. E este é um valor suficientemente grande que pode ser visto através de um microscópio. Mas uma bola tão pequena seria exposta a forças que operam em uma escala atômica e oscilaria muito mais rápido do que uma vez por segundo - e uma grande frequência corresponde a pequenas amplitudes. Portanto, mesmo com uma bola pequena, é muito difícil perceber a quantização da natureza.

Quantização de energia vibracional

Agora pegue a quantização da amplitude e coloque-a na fórmula da energia vibracional, que já mencionamos no começo do artigo, $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$. Substituindo os valores permitidos por A, obtemos um resultado incrível:

$$

$$E = n h \ nu$$

Resposta surpreendentemente simples! A energia armazenada em uma bola quântica em uma mola (ingenuamente falando) é proporcional a n, o número de quanta de vibração, a constante de Planck he a freqüência de vibração ν. Ainda mais surpreendentemente, esta fórmula simples é quase precisa! O que ela mostra certo?

• A energia necessária para aumentar o número de quanta em oscilações por unidade (n → n + 1) é igual a h ν.
• Em qualquer oscilador encontrado na vida cotidiana, a energia de um quantum será tão pequena que nunca saberemos sobre sua quantização.

Confira. Para uma bola com uma mola, oscilando uma vez por segundo, um quantum de energia será igual a 6,6 × 10 ^-34 J, ou 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 66 Joules. E o Joule é a energia que você gasta levantando uma maçã do chão até o nível do cinto - não tão grande! Portanto, essa é uma quantidade incrivelmente pequena de energia. Somente em moléculas pequenas e sistemas ainda menores a frequência de vibração pode ser tão grande que a quantização de energia pode ser detectada.

Acontece que a fórmula para a energia não é inteiramente verdadeira. Depois de concluir esses cálculos para a mecânica quântica, você descobrirá que a fórmula correta para energia é:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Frequentemente, não precisamos prestar atenção a esse pequeno deslocamento de n por 1/2. No entanto, é muito interessante - é dele que todo o envolvimento da mecânica quântica começa. Isso não é curioso? Mesmo que o oscilador não possua quanta de oscilação, quando n = 0, ele ainda contém uma pequena quantidade de energia. É chamada de energia de vibrações zero, ou energia zero, e é extraída do tremor básico, da imprevisibilidade básica, vivendo no coração da mecânica quântica. Olhe para a foto. 3, que, inevitavelmente de forma esquemática e imprecisa, está tentando demonstrar como o jitter é responsável pela energia zero. A bola se move aleatoriamente, mesmo no estado fundamental. No futuro, retornaremos à energia zero, pois ela nos levará aos problemas mais profundos de toda a física.


Fig. 3. A imprevisibilidade fundamental da mecânica quântica pode ser imaginada como um tremor aleatório que muda a posição da bola. Ele se move aleatoriamente, mesmo no estado fundamental, e também afeta os excitados, embora com o aumento de n sua influência não seja mais tão perceptível. O desenho é incompleto e não deve ser levado muito a sério.