Entendemos a física de partículas: 4) ondas, a equação clássica do movimento

1. Bola em uma mola, versão newtoniana
2. Uma bola quântica em uma mola
3. Ondas, visual clássico
4. Ondas, a equação clássica do movimento
5. Ondas quânticas
6. Campos
7. Partículas são quanta
8. Como as partículas interagem com os campos

Voltemos à equação das oscilações de uma bola em uma mola

Em um dos primeiros artigos do ciclo, primeiro derivamos uma fórmula para o movimento oscilatório de uma bola

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

E então eles encontraram a equação do movimento para a qual essa fórmula era uma solução

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$$

Aqui
• d ² z / dt ² indica uma mudança no tempo ao longo de uma mudança no tempo z (t).
• K é a força da mola, M é a massa da bola, z ₀ é a posição de equilíbrio.
• ν = √ K / M / 2π

O passo chave para obter a última equação de frequência expressa em termos de K e M foi o cálculo de d ² z / dt ² para o movimento oscilatório da bola z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t]. Descobrimos que

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$$

Equação de Onda

Agora queremos fazer o mesmo com as ondas. Encontramos uma fórmula para a forma e o movimento de uma onda que oscila no espaço e no tempo.

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Entre as soluções de que equação de movimento está essa fórmula? Você pode imaginar a resposta. Obviamente, inclui:

1. d ² Z / dt ² , mudança no tempo, mudança no tempo Z (x, t).
2. d ² Z / dx ² , uma mudança no espaço de uma mudança no espaço Z (x, t).

Naturalmente, podemos adivinhar que a equação deve ser algo como isto:

$$

$$C_t d ^ 2Z / dt ^ 2 + C_x d ^ 2Z / dx ^ 2 = C_0 (Z - Z_0)$$

Onde C _t , C _x e C ₀ são constantes. Observo que se Onde C _t = 1, C _x = 0 e C ₀ = -K / M, retornaremos à equação de oscilação da bola na mola. Quais são essas constantes no nosso caso?

Podemos sempre colocar C _t = 1. Se você quiser, digamos, colocar C _t = 5, eu pediria que você dividisse toda a equação por 5, o que lhe daria o equivalente da opção em que C _t = 1, apenas com outros valores de outras constantes.

Depois disso, verifica-se que os valores de C _x e C ₀ acabam sendo diferentes em diferentes sistemas físicos. Estudaremos duas classes diferentes de ondas com constantes diferentes.

Para ambas as classes, C _x será negativo, $$$C_x = -c_w ^ 2$ (aqui _cw indica a velocidade de movimento das ondas de alta frequência).

Essas classes diferem em que a primeira classe, Classe 1, C ₀ será negativa e será - (2 π μ) 2, e a segunda classe 0, C ₀ será zero.

Agora estudamos as propriedades das ondas dessas duas classes de equações. Mas antes disso, precisamos realizar outro cálculo, o que já fizemos anteriormente.

Contagem rápida

Para a nossa onda sem fim

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Precisamos saber d ² Z / dt ² ed d ² Z / dx ² . No artigo anterior, já mostramos que, para uma bola em uma mola que se move de acordo com z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t], acontece que $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$ . Uma mudança no tempo nos dá um fator de 2 π ν, e uma mudança no tempo dá um fator de dois fatores. Além disso, há um sinal de menos comum. Portanto, você não ficará surpreso que:

• $$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$
• $$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$

Cada mudança no tempo nos dá o fator ν = 1 / T (quanto maior o período, mais lenta a mudança no tempo) e cada mudança no espaço nos dá o fator 1 / λ (quanto maior a onda, mais lenta a mudança no espaço).

Prova

Para uma onda infinita, temos a equação básica

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

E nós queremos mostrar que

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

$$

$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Alguns fatos:

• Z - Z ₀ = A cos (2π [ν t - x / λ]) (apenas na equação principal, eles moveram Z ₀ para o lado esquerdo)
• Como Z ₀ é uma constante independente do tempo e do espaço, dZ ₀ / dt = 0 e dZ ₀ / dx = 0.
• d (cos t) / dt = - sin t, e d (sin t) / dt = + cos t
• d (F [em + bx]) / dt = ad (F [em + bx]) / d (a t + bx), onde aeb são constantes e F é qualquer função de (em + bx).
• d [A f (t)] / dt = A d [f (t)] / dt, onde f (t) é qualquer função de t, e A é uma constante

Juntos, isso significa que:

$$

$$dZ / dt = d [A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt \\ = A (2 \ pi \ nu) d [cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / d (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = - ( 2 \ pi \ nu) Um pecado (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$$

e

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = d [- (2 \ pi \ nu) Um pecado (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) A d [sin (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) ^ 2 A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda ]) = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Como a fórmula básica da onda não muda quando (ν t) é substituído por (-x / λ), o cálculo de d ² Z / dx ² não difere do cálculo de d ² Z / dt ² , apenas em vez de d / dt fornecendo o fator (2π ν ), teremos d / dx dando o fator (- 2π / λ). Mas, como existem dois fatores na resposta, simplesmente substituímos (2π ν) ² por (- 2π / λ) ² = (+ 2π / λ) ² ; menos não importa (a adição menos geral permanece). Como precisávamos provar

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Impressão fina: todos os derivados acima são, de fato, derivados parciais.

Classe 0: ondas de qualquer frequência e velocidade iguais

Nesta classe de ondas, a equação do movimento será:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - c_w ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

Depois de conectar a fórmula Z (x, t) para uma onda infinita e usar os cálculos que acabamos de fazer, descobrimos que:

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-c_w ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = 0$$

Divida a equação por $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ nós temos

$$

$$\ nu ^ 2 - c_w ^ 2 / \ lambda ^ 2 = 0$$

Como as frequências, velocidades e comprimentos de onda são positivos, podemos extrair a raiz e obter

ν = c _w / λ, ou, se desejar, λ = c _w / ν = c _w T

A partir desta fórmula, aprendemos que:

• Inicialmente, nossa onda, como a registramos, poderia ter qualquer frequência e comprimento de onda. Mas a equação do movimento os faz depender um do outro. Para ondas da classe 0, você pode escolher qualquer frequência, mas depois disso o comprimento de onda é determinado por λ = c _w / ν.
• Todas as ondas da classe 0, independentemente da frequência, viajam com velocidade c _w . Isto segue da fórmula λ = _cw T e Fig. 3 do artigo anterior . Observe como a onda passa por um ciclo de oscilações durante um período de T. O que está acontecendo? A onda parece exatamente a mesma depois de T, mas cada crista mudou para onde estava o vizinho - a uma distância λ. Isso significa que a crista move uma distância λ no tempo T - um comprimento de onda em um período de oscilação - e significa que as cristas se movem a uma velocidade de λ / T = c _w . Isso é verdade para todas as frequências, períodos e todos os comprimentos de onda!
• Como no caso de uma bola em uma mola, a amplitude A dessas ondas pode ser qualquer, arbitrariamente grande ou pequena. E este é o caso de todas as frequências.

Classe 1: ondas com frequência maior que a mínima, com velocidades diferentes

Para esta classe de ondas, nossa equação de movimento será:

$$

Substituindo a fórmula Z (x, t) por uma onda infinita e usando o cálculo rápido indicado acima, descobrimos que

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-cw ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 ( Z - Z_0)$$

Dividindo a equação por $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ nós temos

$$

$$\ nu ^ 2 - cw ^ 2 / \ lambda ^ 2 = \ mu ^ 2$$

Como as frequências, velocidades e comprimentos de onda são positivos, podemos extrair a raiz quadrada e obter

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}$$

Deixe-me lembrá-lo de que y ^1/2 é igual a √y.

Essa fórmula é muito diferente da fórmula para ondas classe 0, assim como as conseqüências de sua aplicação.

Primeiro, a equação do movimento indica a presença da frequência mínima permitida. Como (cw / λ) ^{2 é} sempre positivo,

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≥ \ mu$$

Para se aproximar de ν = μ, é necessário aumentar λ. Para comprimentos de onda muito grandes, a frequência se aproxima de µ, mas não pode se tornar menor. Para as ondas da classe 0, não era assim. Eles tinham ν = cw / λ; portanto, para eles, quanto mais você faz λ, mais forte ν se aproxima de zero. Para ondas da classe 1, qualquer valor de ν maior que μ é possível.

Em segundo lugar, encontramos evidências de que todas as ondas da classe 0 têm a mesma velocidade, mas não funcionam para as ondas da classe 1. A única opção em que pode funcionar se tomarmos ν é muito maior que μ; para isso, precisamos tornar λ muito pequeno (e, consequentemente, 1 / λ muito grande). Neste caso

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≈ cw / \ lambda$$

Ou seja, em frequências muito grandes e pequenos comprimentos de onda, as ondas classe 1 terão aproximadamente a mesma proporção entre frequência e comprimento de onda que as ondas classe 0; portanto, pelas mesmas razões que as ondas classe 0, essas ondas se moverão a uma velocidade , (aproximadamente) igual a cw.

O que é verdade para as ondas de ambas as classes é que a amplitude A pode ser qualquer, arbitrariamente pequena ou grande, e não depende da frequência.


Fig. 1. Para ondas da classe 0 e 1, a equação do movimento fornece uma relação entre frequência ou período e comprimento de onda, ou 1 / comprimento de onda. Cada um dos gráficos mostra a relação desses valores, dependendo da equação do movimento. Três gráficos mostram a mesma coisa, mas são construídos com variáveis ​​diferentes. Linhas azuis referem-se a ondas da classe 0. Vermelhas indicam ondas da classe 1, cuja velocidade é a mesma em frequências muito altas e comprimentos de onda curtos, quando coincidem com as linhas azuis. Mas na frequência mínima μ (e com um período máximo de 1 / μ), marcado em verde, as duas curvas divergem com o aumento do comprimento de onda.

Letras pequenas: você deve ter notado que eu trapacei um pouco. Não calculei a velocidade das ondas da classe 1. O fato é que uma captura muito complicada estava à espreita aqui. Para as ondas da classe 0, contei a velocidade delas, seguindo os movimentos das cordilheiras. Isso funciona porque na classe 0, ondas de todas as frequências viajam na mesma velocidade. Mas na classe 1, ou em qualquer outra, onde ondas de diferentes frequências se movem em velocidades diferentes, a velocidade de uma onda real não é determinada pela velocidade de movimento de suas cristas! Acontece que os cumes se movem mais rápido que o cw, mas a velocidade da onda é menor que o cw. Para entender isso, é necessário usar uma lógica muito óbvia e a diferença entre a velocidade do "grupo" e da "fase". Vou ignorar esse truque; Eu só queria chamar sua atenção para a existência dela, para que você não entenda errado.

Comentários finais sobre ondas clássicas

Você pode encontrar muitos exemplos familiares de ondas Classe 0, incluindo som no ar, água ou metal (em que cw é a velocidade das ondas sonoras em um material), luz e outras ondas eletromagnéticas (em que cw = c no vácuo) e ondas em cordas ou cordas, como na fig. 2 no artigo anterior. Portanto, as ondas da classe 0 são ministradas em cursos de física elementar. Não posso dar um exemplo de ondas classe 1 na vida cotidiana, mas em breve veremos que essas ondas também são importantes para o universo.

Temos uma fórmula conveniente E = 2 π ² ν ² A ² M para a energia de uma bola de massa M em uma mola. As fórmulas para outros osciladores dependem de sua natureza, mas sua forma é praticamente a mesma. Mas no caso das ondas, não mencionamos a energia delas. Em particular, porque estudamos ondas com um número infinito de cordilheiras para simplificar a matemática. Intuitivamente, algum tipo de energia deve ser armazenado no movimento e na forma de cada crista e vale e, com um número infinito de cristas e vales, a quantidade de energia na onda será infinita. Existem duas maneiras de contornar isso. As fórmulas exatas dependem do tipo de onda, mas vejamos as ondas da classe 0 em uma corda.

• A quantidade de energia por comprimento de onda (armazenada entre o ponto x e o ponto x + λ), é claro, é igual a 2π 2ν ² A ² M _λ , onde M _λ é a massa do segmento de corda de comprimento λ.
• Na realidade, as ondas não são infinitas. Como um impulso de várias cristas e depressões, mostrado na Fig. 2 no último artigo, qualquer onda será finita, terá um número finito de cristas e depressões. Se esticar para um comprimento L, ou seja, terá sulcos de L / λ, a energia transferida para ele será de 2 π ² ν ² A ² M _L , em que M _L é a massa de um pedaço de corda de comprimento L. Isso é apenas L / λ, multiplicado pela energia por um comprimento de onda.

Para ondas propagadas por cordas, os detalhes das equações serão diferentes, mas a energia por comprimento de onda de um sistema oscilatório simples será sempre proporcional a ν ² A ² .

Na classe 1, há uma onda muito interessante, que não existe na classe 0. Este é o caso em que ν = μ, o valor mínimo e λ = infinito. Nesse caso, a onda assume a forma

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi \ mu t)$$

Essa onda não depende de x a qualquer momento, ou seja, Z (x, t) será uma constante em todo o espaço e Z oscila no tempo, exatamente como uma bola em uma mola com uma freqüência μ. Uma onda estacionária, mostrada na Fig. 2, será muito importante em outras considerações.


Fig. 2

Ondas quânticas

Para uma bola em uma mola, a diferença entre os sistemas clássico e quântico era que, no primeiro caso, a amplitude poderia assumir valores arbitrários, como energia, e no caso quântico, a amplitude e energia eram quantizadas. Para qualquer sistema oscilatório semelhante, isso funciona da mesma maneira. Talvez possamos adivinhar que isso também é verdade para as ondas ...