Entendendo a física de partículas: 5) ondas quânticas

1. Bola em uma mola, versão newtoniana
2. Uma bola quântica em uma mola
3. Ondas, visual clássico
4. Ondas, a equação clássica do movimento
5. Ondas quânticas
6. Campos
7. Partículas são quanta
8. Como as partículas interagem com os campos

Lembrete: bola quântica na primavera

No primeiro artigo da série, estudamos uma bola de massa M em uma mola de rigidez K e descobrimos que suas oscilações:

• Haverá uma fórmula $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$.
Energia $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$.
• A equação do movimento $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

Onde a equação do movimento força ν = √ K / M / 2π, mas permite que a amplitude A seja de qualquer valor positivo. Então, no segundo artigo, vimos que a mecânica quântica, aplicável às oscilações, limita sua amplitude - ela não pode mais ser nenhuma. Em vez disso, é quantizado; deve levar um de um número infinito de quantidades discretas.

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ nu M$$

Onde n = 0, 1, 2, 3 ou 44 ou, em geral, qualquer número inteiro é maior que ou igual a zero. Em particular, A pode ser igual a $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 h} / \ nu M$, mas já não pode ser menor - apenas zero. Dizemos que n é o número de quanta de oscilações da bola. A energia da bola agora também é quantizada:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

O mais importante aqui é que, para adicionar um quantum de oscilações da bola, é necessária uma energia de magnitude hν - podemos dizer que cada quantum transfere energia hν.

Onda quântica

Com as ondas, tudo é essencialmente o mesmo. Para uma onda com uma frequência ν e um comprimento de onda λ que oscila com a amplitude A em torno da posição de equilíbrio Z ₀ ,

• Equação de movimento: $$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$.
• Energia por comprimento de onda: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$.

(onde J _λ é uma constante dependendo, digamos, de uma corda, se estamos falando de ondas em uma corda), várias possíveis equações de movimento, das quais escolheremos duas para estudo:

$$

$$Classe 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

$$

$$Classe 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

E, novamente, a mecânica quântica limita a amplitude A a valores discretos. Assim como vibrações em uma mola,

• Uma onda simples de uma certa frequência e comprimento consiste em n quanta,
• Os valores permitidos da amplitude A são proporcionais a √n,
• Os valores de energia permitidos E são proporcionais a (n + 1/2).

Mais precisamente, como uma bola em uma mola,

• Valores de energia permitidos E = (n + 1/2) h ν
• Cada quantum de onda transfere energia do valor h ν

A fórmula para expressar A é bastante complicada, porque precisamos saber quanto tempo a onda é e a fórmula exata será muito confusa - então vamos escrever uma fórmula que transmita a idéia correta. Obtivemos a maioria das fórmulas estudando ondas infinitas, mas para qualquer onda real na natureza, a duração é finita. Se o comprimento de onda é aproximadamente igual a L e possui sulcos de L / λ, a amplitude é aproximadamente igual

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 h h lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

Qual é proporcional $$$\ sqrt {n h / \ nu}$como no caso de uma mola, mas depende de L. Quanto maior a onda, menor sua amplitude - de modo que, para cada quantum da onda, a energia é sempre igual a hν.

Isso é tudo - é mostrado na figura abaixo.


À esquerda, há uma imagem ingênua de ondas, onde a amplitude é proporcional à raiz quadrada do número de quanta e outras amplitudes não podem existir. À direita, há uma imagem um pouco menos ingênua que leva em conta as vibrações quânticas inerentes ao mundo quântico. Mesmo no caso n = 0, existem algumas oscilações.

Consequência

O que isso significa para nossas ondas de classe 0 e classe 1?

Como as ondas da classe 0 podem ter qualquer frequência, elas podem ter qualquer energia. Mesmo para um pequeno valor de ε, sempre é possível fazer um quantum de uma onda da classe 0 com uma frequência ν = ε / h. Para uma energia tão pequena, essa onda quântica terá uma frequência muito baixa e um comprimento de onda muito longo, mas pode existir.

As ondas que satisfazem uma equação de Classe 1 não são. Como para eles existe uma frequência mínima ν _min = μ, para eles também há um quantum de energia mínima:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

Se a sua pequena quantidade de energia ε for menor que isso, um quantum dessa onda não poderá ser produzido. Para todos os quanta de classe 1 com comprimento de onda finito e frequência mais alta, E ≥ h μ.

Sumário

Antes de começarmos a considerar a mecânica quântica, a amplitude das ondas, como a amplitude de uma bola em uma mola, pode mudar continuamente; eles podem ser arbitrariamente grandes ou pequenos. Mas a mecânica quântica implica a existência de uma amplitude mínima de onda diferente de zero, como no caso de oscilações de bola em uma mola. E geralmente a amplitude pode levar apenas valores discretos. As amplitudes permitidas são tais que, tanto para as oscilações da bola na mola, quanto para ondas de qualquer classe com uma certa frequência ν

• Para adicionar um quantum de vibração, a energia h ν é necessária
• Para oscilações de n quanta, a energia de oscilação será igual a (n + 1/2) h ν

Agora é hora de aplicar o conhecimento adquirido aos campos e ver quando e como os quanta de onda nesses campos podem ser interpretados como o que chamamos de "partículas" da natureza.