No quarto livro,
"Beginnings" of Euclid, um texto sobre geometria com 2.300 anos, há uma indicação para a construção de um polígono de 15 lados dentro de um círculo. O primeiro passo é bem conhecido dos estudantes de geometria: construir um triângulo equilátero e um pentágono regular, de modo que seus vértices se encontrem em um círculo e ambas as figuras tenham um vértice comum. Além das indicações textuais, os
"Começos" continham desenhos ilustrativos do método.
Na cópia completa mais antiga de The Beginnings , um manuscrito do século IX armazenado na Biblioteca do Vaticano, seções de linhas foram desenhadas e apagadas. Imagem do Catálogo Online da Biblioteca do Congresso, Divisão de Impressões e Fotografias.É impossível descobrir como eram os esquemas originais do próprio Euclides, mas nos manuscritos sobreviventes, variações surpreendentes são reveladas na exibição de figuras geométricas como o pentágono. Tais variações parecem erros para o observador moderno: em algumas versões medievais do texto, os segmentos de linha têm o comprimento errado. No manuscrito do século IX, a cópia mais antiga de
The Beginning , que está armazenada na Biblioteca do Vaticano, seções foram desenhadas e apagadas. Em outro texto do século IX, realizado na Universidade de Oxford, os lados do pentágono dentro do círculo são curvos e bagunçados, não retos. As curvas também são usadas na cópia parisiense do século XII, mas são um pouco menos sinuosas do que na versão antiga de Oxford. O texto do século XI ou XII é armazenado em Viena, no qual as linhas originais eram do comprimento correto e retas, mas mais tarde alguém as adicionou segmentos curvos (1).
Os começos são de grande interesse, mas este não é o único texto científico histórico com problemas nos desenhos. Acontece que eles são encontrados em cópias das obras de Ibn al-Khaysam, Arquimedes, Aristóteles e Ptolomeu. Entre as variações, há linhas paralelas que na verdade não são paralelas, formas marcadas incorretamente, segmentos ou ângulos iguais desenhados desiguais ou ângulos desiguais que podem parecer iguais. Por exemplo, no manuscrito do Palimpsesto Arquimedes do século X, um triângulo isósceles é usado para indicar parabota. Isso pode parecer simples esquisitices históricas, mas alguns pesquisadores encontram entre os desenhos dicas intrigantes de como a matemática evoluiu ao longo do milênio.
Visualização
Os pesquisadores começam a estudar essas variações para descobrir como as idéias matemáticas se espalham e para entender como diferentes pessoas abordaram esse tópico. Tradicionalmente, historiadores da matemática que estudam textos gregos antigos concentram-se em palavras e números e pulam desenhos como ilustrações simples para o texto. De acordo com o historiador científico Nathan Sidoli, da Universidade de Waseda, em Tóquio, e seu colega Ken Saito, da Universidade da Prefeitura de Osaka, que notaram mudanças esquemáticas no octógono e outras evidências no ensaio de 2012, por causa desse foco no texto, pulamos parte da história (1).
A matemática é rica em abstrações e, com o tempo, as pessoas descobriram muitas maneiras de visualizar essas abstrações. "Desde a juventude, aprendemos a entender conceitos comuns de certas maneiras visuais", diz Sidoli. "Observando essas obras, podemos nos lembrar de que essa não é uma maneira universal de ver".
Desenhos e diagramas faziam parte da matemática de milhares de anos da história humana. Os babilônios calcularam as raízes quadradas e conheciam o princípio do teorema de Pitágoras outros milhares de anos antes de Pitágoras ou Euclides. Uma tábua de barro datada do século XVII aC, na qual é desenhado um desenho de um quadrado e suas diagonais com números correspondentes, pode servir como evidência. O pioneiro da visualização de dados Edward Tufty, professor de ciência política, ciência da computação e estatística em Yale, chama o tablet de "testemunha gráfica" do conhecimento dos babilônios.
Alguns pesquisadores acreditam que os próprios desenhos podem ser parte integrante da matemática e transportar informações entre séculos, apesar de todas as suas deficiências. Se o erro que apareceu em uma cópia se espalhar para as versões subsequentes, isso indica que os participantes do censo não entenderam matemática ou não apreciaram a precisão. Por outro lado, alguns especialistas usaram projetos para complementar o conhecimento estabelecido em
Os Princípios . Por exemplo, onde Euclides descreveu apenas as propriedades de um ângulo agudo, escribas posteriores poderiam adicionar propriedades semelhantes para ângulos retos e obtusos.
Esse fragmento "Começos" fazia parte do papiro de Oxirinh, um grupo de manuscritos descobertos em 1897 em um antigo aterro perto da cidade de Oxirinh, no Egito. Um texto com aproximadamente 2.000 anos refere-se ao quinto teorema do segundo volume do Início . Imagem cortesia de Bill Casselman (Universidade da Colúmbia Britânica, Vancouver).Intervenção do leitor
The Beginnings , composto por treze volumes, foi publicado em pelo menos centenas de publicações e, até o século passado, era o segundo maior livro do mundo em termos de vendas. (A primeira é a Bíblia.) Mas nem tudo nos
Princípios foi deduzido por Euclides. Os volumes contêm uma coleção de conhecimentos matemáticos conhecidos pelos gregos antigos da época. O físico Stephen Hawking chamou Euclid de "o maior enciclopédico de matemática de todos os tempos" e o comparou com Noah Webster, que compilou o primeiro dicionário de inglês (2).
Os "inícios" foram traduzidos do grego antigo, árabe, latim, hebraico e outras línguas. O trato no processo de crescimento e migração evoluiu, bem como os desenhos nele contidos. Os leitores deixaram anotações nas margens e fizeram edições. Os leitores e tradutores subsequentes viram o manuscrito e os apêndices e editaram o trabalho de acordo com o que correspondia ao seu tempo. Tais interações são registradas nas traduções de evidências e desenhos dos
primórdios , e o ato de copiar tornou-se, nas palavras do estudante de graduação da Universidade de Stanford Yensu Lee, que estuda a evolução dos desenhos dos primórdios, um ato de transformação.
“Podemos facilmente perder o papel dos leitores na criação de desenhos”, diz Lee, enfatizando que eles poderiam intervir e contribuir ao fazer anotações no manuscrito. Os escribas mais tarde tomaram nota dessas anotações. “Se eles acreditavam que os desenhos das margens eram mais importantes do que os principais projetos”, explica Lee, “os projetos marginais se tornaram principais nas gerações subseqüentes”. Essas mudanças visuais transmitiam idéias matemáticas de maneiras que não podem ser transmitidas pelo texto.
Chamar essas mudanças de erros seria muito comum. Algumas das mudanças deveriam ser melhorias; outros surgiram de práticas culturais. Por exemplo, o texto em árabe é lido da direita para a esquerda; portanto, nas primeiras versões em árabe dos
"Começos", a orientação dos desenhos era frequentemente espelhada - os cantos abertos à esquerda nos manuscritos gregos antigos eram revelados à direita nas versões em árabe. No entanto, quando essas versões em árabe foram traduzidas para o latim, alguns escribas não reverteram os desenhos.
O matemático Robin Hartshorn, que trabalhou anteriormente na Universidade da Califórnia em Berkeley, afirma que nem sempre é justo ver uma mudança nos desenhos como um processo de edição. Mesmo com todas essas curvas e curvas, os desenhos dos pentágonos transmitiam o significado desejado. O selo
"Beginnings" , com desenhos precisos, reflete os valores da época, diz ele, mas essa prática é desleal às versões anteriores. "Eu chamaria isso de redesenho de desenhos para os gostos dos matemáticos modernos que procuram ver precisão métrica", diz Hartshorn.
"Estes foram desenhos desenhados à mão para conceitos que nem sempre são fáceis de escrever por escrito", acrescenta a historiadora da ciência Courtney Roby, que estuda textos científicos antigos na Universidade de Cornell. “Os desenhos são criações de autores e escribas específicos, sua criatividade, experimentos e mudanças.”
A evolução começou
Lee esteve envolvido em manuscritos do século IX até a primeira versão impressa de
The Beginnings , que apareceu em 1482 após a invenção da imprensa. Desde então, diz Lee,
Beginnings se tornou o livro-padrão em muitas universidades europeias e seus desenhos se tornaram uma ferramenta de ensino. Como resultado, "na era da cultura impressa, estamos observando tipos completamente diferentes de desenhos", diz Lee, que digitaliza uma coleção de pelo menos cinco papiros, 32 manuscritos antigos da Grécia, 92 manuscritos traduzidos e 32 impressões de Nachal.
Até o século XIX, o tratado euclidiano era considerado um modelo de evidência matemática rigorosa e estruturada. Para fazer sentido, essas provas requerem desenhos. “Eles são inúteis sem plantas”, explica o filósofo John Mumma, da Universidade da Califórnia, argumentando que as plantas Iniciantes não são apenas uma ferramenta de ensino visual, mas também são importantes para provar as próprias declarações (3)
No final do século XIX e início do século XX, os matemáticos questionavam a superioridade dos inícios e, em parte, a razão disso era a dependência de Euclides dos desenhos. Em particular, o matemático alemão David Hilbert pediu uma abordagem mais formal da matemática, usando apenas a lógica e não exigindo desenhos para provas, que ele considerou uma espécie de "muleta" da matemática.
"Eles rejeitaram o" começo "de Euclides porque não pareciam muito rigorosos", diz John Mumma. "Acreditava-se que ele usava os desenhos de maneira intuitiva e pouco flexível".
Por exemplo, em
"Começos", havia um desenho mostrando um ponto em uma linha entre dois outros pontos. Hilbert precisava de uma descrição analítica do que ele chamava de "intermediação", sem o uso de desenhos. O filósofo e lógico britânico Bertrand Russell também criticou a abordagem de Euclides: ele percebeu que muitas evidências da Grécia antiga são fracas, porque elas tiram o poder de seu raciocínio dos desenhos, e não exclusivamente da lógica. "A evidência verdadeira deve permanecer válida mesmo na ausência de números sorteados, mas muitas evidências euclidianas não passam nesse teste", escreveu Russell em 1902 (4). (A primeira prova no
começo mostra como construir um triângulo isósceles usando dois círculos que se cruzam. No entanto, o ponto de interseção é justificado pelo desenho, sua existência não é provada estritamente.)
No entanto, muitos historiadores da matemática moderna percebem a abordagem de Euclides como outra maneira de ver a matemática - e ela não é necessariamente fraca simplesmente porque usa desenhos. Esses estudiosos argumentam que o desenho é uma prova e que não há uma maneira universal de entender a matemática. "Podemos realmente entender tudo usando exatamente as informações no desenho como evidência", diz Mumma. "Isso não é apenas uma ilustração."
A pesquisa moderna se concentra na maior parte dos desenhos desde a década de 1990, quando Revil Netz, da Universidade de Stanford, e Kenneth Manders, da Universidade de Pittsburgh, afirmam que os desenhos matemáticos antigos merecem ser vistos de um ângulo diferente. Netz diz que a área de pesquisa se concentra em dois aspectos: a representação mais gráfica e como as pessoas usam desenhos (5, 6). Ele argumenta que o trabalho de Lee, da Universidade de Stanford, na comparação de desenhos de séculos diferentes, combina esses dois aspectos, permitindo expandir o campo de estudo.
Netz diz que o trabalho de Lee ajudará os historiadores a entender como "a ciência passou da geometria teórica dos gregos antigos para ... um uso mais aplicado e físico da geometria no mundo real".
Depois de
The Beginnings, Lee quer analisar os projetos da
Ótica de Euclides, um trabalho inicial sobre a física da luz e depois se concentrar no trabalho de Ptolomeu e Arquimedes. Ele espera que sua pesquisa atraia o interesse de historiadores, filósofos e matemáticos em analisar como as pessoas usavam (e continuam a usar) desenhos para estudar idéias matemáticas profundas. "Nós tendemos a nos livrar das plantas", diz ele. “Mas algumas idéias não podem ser transmitidas no texto. Eles devem ser transmitidos graficamente. ”
Referências
- Saito K, Sidoli N (2012) Diagramas e argumentos na matemática grega antiga: lições extraídas das comparações dos diagramas de manuscrito com as das edições críticas modernas. A História da Prova Matemática em Tradições Antigas, ed Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, Reino Unido), pp 135-162. Google scholar
- Hawking S, ed. (2002) Sobre os Ombros dos Gigantes (Running Press, Filadélfia). Google scholar
- Mumma J (2010) Provas, fotos e Euclides. Synthese 175: 255–287. CrossRef Web of Science Google Acadêmico
- Russell B (1902) O ensino de Euclides. Math Gaz 2: 165-167. Google scholar
- Netz R (1998) Diagramas matemáticos gregos: seu uso e seu significado. Aprenda Matemática 18: 33–39. Google scholar
- Manders K (1995) Prática geométrica baseada em diagrama. A filosofia da prática matemática, ed Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), pp 65–79. Google scholar