Universo inicial 3. Efeito Doppler e teoria especial da relatividade

No site de palestras gratuitas, o MIT OpenCourseWare publicou um curso de palestras sobre a cosmologia de Alan Gus, um dos criadores do modelo inflacionário do universo.

Sua atenção está convidada à tradução da terceira aula: "O efeito Doppler e a teoria especial da relatividade".


Turno Doppler não relativístico

No final da última palestra, começamos a discutir o turno Doppler e introduzimos a notação. Foi o caso em que o observador está imóvel e a fonte se move com velocidade $$$v$ . Consideramos ondas sonoras com velocidade fixa em relação a algum meio.


A velocidade da onda em relação ao meio é indicada $$$u$ , $$$v$ significa taxa de remoção da fonte, como mostrado. $$$Δt_s$ - o intervalo de tempo entre as cristas de ondas emitidas pela fonte, ou seja, o período da onda na fonte. $$$Δt_o$ indica o período da onda no observador. Precisamos calcular a relação entre $$$Δt_o$ e $$$Δt_s$ .

A figura mostra as várias etapas deste processo. No primeiro estágio, a fonte se move para a direita e emite a primeira crista da onda. Até agora, nada de particularmente interessante.

Em uma segunda etapa, a fonte emite uma segunda crista de onda. Mas, durante esse período, a fonte mudou, esse movimento é destacado em amarelo. O tempo entre a emissão das cristas da onda é de $$$Δt_s$ . Portanto, a distância que a fonte percorre durante esse tempo é $$$vΔt_s$ . Ligue para esta distância $$$Δl$ .
Este é um passo realmente importante, pois explica o deslocamento do Doppler. Vê-se que a segunda crista da onda deve passar um pouco mais do que a primeira crista, $$$Δl$ .
O terceiro estágio - a onda passou a distância entre o observador e a fonte. Nesta fase, a primeira cordilheira acaba de atingir o observador. A quarta etapa - a segunda cordilheira atingiu o observador.

Para entender o que é o deslocamento Doppler, deve-se notar que, se ambos os objetos estivessem imóveis, não haveria diferença no período da onda entre o observador e a fonte. Cada crista da onda atingia o observador com algum atraso igual ao tempo durante o qual a onda sonora percorre a distância da fonte ao observador. Mas, na ausência de movimento, esse atraso é o mesmo para cada crista. Assim, se a fonte não estiver se movendo $$$Δt_o$ = $$$Δt_s$ .
Porém, devido ao movimento da fonte, a segunda cordilheira terá que percorrer uma distância maior que $$$Δl$ . A diferença entre os períodos será igual ao tempo que a onda leva para percorrer essa distância.

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u$$

Nós sabemos o que é igual $$$Δl$ . $$$Δl$ - é só $$$vΔt_s$ . Substituindo em nossa equação, obtemos:

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {vΔt_s} u$$

Esta equação mostra a relação entre $$$Δt_o$ e $$$Δt_s$ . Você pode encontrar o relacionamento $$$Δt_o$ e $$$Δt_s$ .

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu$$

Essa proporção também é a proporção do comprimento de onda do observador $$$λ_o$ e na fonte $$$λ_s$ , porque o comprimento de onda é simplesmente igual à velocidade da onda multiplicada pelo período $$$Δt$ .
Existe uma definição padrão para descrever Doppler ou desvio para o vermelho.

$$$$ display $$ \ frac {λ_} {λ_s} = 1 + z $$ display $$

$$$z$ chamado Doppler ou desvio para o vermelho. Os astrônomos subtraem um da razão do comprimento de onda, de modo que, quando os dois objetos estão imóveis, $$$z$ acabou sendo 0. Este caso corresponde à ausência de desvio para o vermelho e significa que o comprimento de onda é o mesmo na fonte e no observador.

$$$$ display $$ \ frac {λ_} {λ_s} = \ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu = 1 + z $$ display $$

Assim, obtemos o desvio para o vermelho para movimento não relativista, ou onda sonora, no caso em que a fonte se move:

$$

$$z = \ frac vu$$

Agora nos voltamos para outro caso simples, quando o observador se move e a fonte está estacionária. A fonte ainda está à direita e o observador está à esquerda. Mas desta vez, o observador se move a uma velocidade $$$v$ . Nos dois casos $$$v$ É a velocidade relativa entre a fonte e o observador.


O primeiro passo é novamente bastante simples. A fonte emite a primeira crista da onda. Estágio dois - a segunda crista da onda é emitida pela fonte. Estágio número três - a primeira crista da onda chega ao observador. Estágio quatro - a segunda crista da onda atinge o observador.

Entre o momento em que a primeira crista chega ao observador e o momento em que a segunda crista chega ao observador, ou seja, o tempo entre o terceiro e o quarto estágio que o observador se moveu. Ele mudou uma distância igual a $$$v$ vezes o tempo entre essas etapas. O tempo entre esses estágios é exatamente o tempo decorrido entre o recebimento de duas cristas pelo observador. Isto é o que designamos $$$Δt_o$ É o período da onda medido pelo observador. A distância percorrida é fácil $$$vΔt_o$ . Tudo o que é necessário para obter uma resposta acontece dentro do retângulo amarelo na última etapa.

Você pode escrever as equações para este caso. Desta vez é um pouco mais complicado. Vamos começar com a mesma idéia. $$$Δt_o$ seria igual $$$Δt_s$ se não houvesse movimento. Mas $$$Δt_o$ fica um pouco maior devido à distância extra que a segunda cordilheira percorre. Essa distância extra é chamada novamente $$$Δl$ . O tempo de atraso será novamente $$$Δl$ dividido por $$$u$ , velocidade da onda.

Mas desta vez temos uma fórmula diferente para $$$Δl$ . Desta vez $$$Δl$ é igual a $$$vΔt_o$ mas não $$$vΔt_s$ como no caso anterior.

$$$$ display $$ Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u = Δt_s + \ frac {vΔt_o} u $$ display $$

A equação fica um pouco mais complicada porque $$$Δt_o$ aparece nos dois lados da equação. No entanto, esta é uma equação com uma incógnita, da qual é fácil encontrar $$$Δt_o$ . Após transformações algébricas simples, obtemos:

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = (1- \ frac vu) ^ {- 1}$$

Subtraindo a unidade, obtemos a equação final para $$$z$ , novamente para o caso não relativista em que o observador se move:

$$

$$z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = (1- \ frac vu) ^ {- 1} - 1 = \ frac {v / u} {1-v / u}$$

Vale ressaltar que quando a velocidade $$$v$ pequeno em comparação com a velocidade da onda, o que geralmente acontece se considerarmos uma onda de luz, mas também ocorre no caso da propagação do som, então ambas as fórmulas para $$$z$ são quase os mesmos. Ambos são proporcionais $$$v / u$ se $$$v / u$ não é suficiente. A única diferença é o denominador.

No segundo caso, temos o denominador $$ . No primeiro caso $$$z$ apenas igual $$$v / u$ , e não há denominador. Se $$$v / u$ é pequeno, então o denominador no segundo caso é próximo de 1. Assim, as duas fórmulas serão quase as mesmas. Você pode descrever isso com mais precisão, calculando a diferença entre z nos dois casos. Depois de fazer cálculos simples, obtemos:

$$

$$z_ {fonte \ _move} - z_ {observador \ _move} = \ frac {(v / u) ^ 2} {1- \ frac vu}$$

A fórmula mostra claramente que a diferença entre $$$z$ proporcional $$$(v / u) ^ 2$ não apenas $$$v / u$ . Se $$$v / u$ igual a um milésimo, a diferença será um milionésimo. Portanto, para velocidades baixas, não importa se a fonte se move ou se o observador se move. Mas as respostas, é claro, serão muito diferentes se a velocidade $$$v$ comparável a $$$u$ .
ALUNO: Isso viola o princípio da relatividade de Galileu?

PROFESSOR: Na verdade não. Para nossos cálculos, o ar no qual a onda sonora se move é crítico. Nos dois casos, o ar está em repouso em relação ao padrão. Se as transformações de Galileu forem feitas de uma imagem para outra, depois da transformação o ar se moverá e a imagem não será exatamente a mesma.

Portanto, tudo é consistente com a teoria da relatividade galileu. Deve-se lembrar que o ar desempenha um papel decisivo aqui. Quando dizemos que o observador ou a fonte está em repouso, na realidade significa que ele está em repouso com relação ao meio em que a onda se move.

ALUNO: Eu notei que se $$$v$ mais $$$u$ , então, no primeiro caso, a resposta é sempre positiva, tudo está em ordem. Mas se $$$v$ mais $$$u$ no segundo caso, uma resposta negativa é obtida. Parece estranho para mim.

PROFESSOR: Sim, se $$$v$ mais $$$u$ , então, no caso do movimento do observador, a resposta se torna negativa. Isso significa que a onda nunca alcançará o observador. Se o observador se mover mais rápido que a velocidade da onda, a onda nunca o alcançará. Portanto, obtemos uma resposta tão incomum. Se a fonte se mover mais rápido que a velocidade da onda, a onda ainda alcançará o observador. Portanto, no primeiro caso, obtemos a resposta correta.

Dilatação relativística do tempo
Vamos agora ao caso relativista. Precisamos de alguns fatos da teoria da relatividade. Como existem cursos especializados sobre a teoria da relatividade, não quero que nossas palestras se tornem um curso desse tipo. No entanto, quero que nosso curso seja totalmente compreendido por pessoas que não completaram a teoria da relatividade. O conhecimento da teoria especial da relatividade não é um pré-requisito para o nosso curso. Portanto, meu objetivo será contar o suficiente sobre a teoria especial da relatividade, para que você possa entender o que se segue. Não produzirei os resultados, sua conclusão pode ser encontrada em outros cursos. Se você não quiser visitá-los, tudo bem também. Mas quero que meu curso seja logicamente consistente.

Assim, consideraremos as conseqüências da teoria especial da relatividade, sem tentar conectá-las diretamente às idéias fundamentais da teoria especial da relatividade. No entanto, lembro-me de onde veio a teoria especial da relatividade. Ele se originou na cabeça de Albert Einstein quando ele examinou a teoria da relatividade galileana, que foi perguntada um minuto atrás. A teoria da relatividade galileu diz que, se você observar qualquer processo físico em um quadro de referência que se mova a uma velocidade uniforme em relação a outro quadro de referência, em ambos os sistemas de relatórios as leis da física devem ser descritas da mesma maneira.

A teoria da relatividade de Galileu desempenhou um papel muito importante na história da física. A questão-chave durante o tempo de Galileu foi se a Terra se movia ao redor do Sol ou o Sol ao redor da Terra. Galileu participou ativamente dessa disputa. Um dos argumentos que provam que o Sol deve se mover ao redor da Terra, e não vice-versa, foi tal que, se a Terra se mover ao redor do Sol, isso significa que estamos nos movendo com a Terra em uma velocidade muito alta. A velocidade da terra ao redor do sol é alta para os padrões convencionais. As pessoas naquela época acreditavam que obviamente esse movimento deveria ser sentido. Isso era evidência de que a terra estava imóvel e o sol estava se movendo. Porque, caso contrário, o efeito do movimento rápido da Terra seria sentido.

Para o ponto de vista de Galileu de que a Terra está se movendo, é crucial que não notemos esse movimento. Se nos movermos uniformemente, as leis da física permanecerão exatamente as mesmas que seriam se ficássemos sozinhos. Essa é a essência da teoria da relatividade de Galileu. Foi afirmado muito claramente por Galileu em seus escritos.

Tudo isso era verdade para os fenômenos mecânicos. No entanto, na década de 1860, Maxwell derivou suas equações. Ou melhor, ele concluiu sua conclusão, a maioria dessas equações já existia. Segue-se das equações de Maxwell que a luz deve se mover a uma velocidade fixa, que pode ser expressa em termos de constantes elétricas e magnéticas $$$ε_0$ e $$$µ_0$ . Essa velocidade denotamos $$$c$ . Agora imagine que você atingiu uma nave espacial que se move a uma velocidade igual a, digamos, metade $$$c$ , e perseguiu um raio de luz. Segundo a física, que era conhecida na época, descobriu-se que, do ponto de vista de uma nave espacial se movendo a uma velocidade $$$c / 2$ , o pulso da luz se afastará de tudo a uma velocidade $$$c / 2$ . Mas isso significa que, no quadro de referência de uma espaçonave em movimento tão rápido, as leis da física devem diferir de alguma forma. As equações de Maxwell devem diferir da forma padrão.

Havia alguma tensão entre a física de Maxwell e a física de Newton. Tensão, mas não uma contradição. É possível imaginar que exista um sistema de referência fixo no qual as equações de Maxwell tenham uma forma simples. Mas as equações de Newton têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais. Para explicar por que isso acontece, os físicos inventaram a idéia de éter, isto é, um ambiente em que as ondas de luz se propagam, como o ar em que as ondas de som se propagam. O referencial em que as equações de Maxwell são simples na forma é o referencial em que o éter está em repouso. Se nos movermos em relação ao éter, as equações se tornarão diferentes. Foi o que as pessoas pensaram em 1904. Era um ponto de vista consistente, mas significava que havia uma dualidade entre eletromagnetismo e mecânica.

Einstein pensou que talvez a física não seja tão ilógica. Talvez exista uma maneira mais elegante de explicar tudo. Ele percebeu que, se você modificar as equações usadas para converter entre diferentes quadros de referência, poderá tornar as equações de Maxwell invariáveis. Você pode fazer com que as equações de Maxwell sejam válidas em todos os quadros de referência. Vamos voltar ao nosso exemplo de navio perseguindo um feixe de luz. De acordo com as novas equações de transformação propostas por Einstein, apesar de contradizer a intuição de que o pulso de luz se afasta do navio a uma velocidade $$$s$ . Embora o próprio navio se mova a uma velocidade $$$c / 2$ tentando pegar um pulso leve.

Não é óbvio como isso pode ser. Mas, acontece que é exatamente o que acontece. Basicamente, foi o palpite de Einstein. Ele sugeriu que não há éter, que as leis da física, eletromagnetismo e mecânica são as mesmas em todos os referenciais. Para que isso ocorra, as equações de transformação entre diferentes sistemas de referência devem diferir daquelas usadas pelo Galileo.

Essas transformações são chamadas transformações de Lorentz. Nesta palestra, não os escreveremos. Nesta palestra, falaremos sobre três efeitos físicos que se seguem das transformações de Lorentz. Um desses efeitos é a dilatação do tempo. Um pouco mais tarde, discutiremos dois outros efeitos principais que são necessários para entender a teoria especial da relatividade e explicar como pode ser que a velocidade da luz seja a mesma para todos os observadores, mesmo para os que estão se movendo.


Diminuindo o tempo é que, se você assistir a um relógio em movimento, o relógio em movimento "parecerá" correndo mais devagar. Observo que coloquei a palavra "look" entre aspas. Voltaremos a isso e discutiremos em detalhes o que significa a palavra "aparência". No entanto, um relógio em movimento parecerá sempre no meu quadro de referência mais lento em um número absolutamente previsível de vezes. Este número é uma expressão bem conhecida na teoria especial da relatividade $$$γ$ :

$$

$$γ = \ frac 1 {\ sqrt {1-β ^ 2}}$$

onde $$$β$ É apenas uma designação para $$$v / c$ é a velocidade do relógio dividida pela velocidade da luz. Se $$$v / c$ pequeno, então a desaceleração também é pequena, $$$γ$ quase igual a 1. A dilatação do tempo em 1 tempo significa que o tempo não diminui. Se $$$γ$ próximo a 1, o efeito será insignificante. Mas um relógio em movimento sempre será mais lento.

Vamos voltar à palavra "olhar". Há sutileza. No ano passado, a PBS lançou um filme em quatro partes , Space Fabric, de Brian Green. Ele tentou ilustrar a dilatação do tempo. Ele mostrou um homem sentado em uma cadeira, e um homem caminhando em sua direção e carregando um relógio na cabeça. A câmera mostrou que uma pessoa sentada em uma poltrona veria o relógio começar a se mover mais lentamente ao se mover. Isto não é verdade. Não é isso que ele realmente vê. E este é o principal problema da palavra "olhar".

Quando dizemos que um relógio em movimento é mais lento, não queremos dizer que o observador realmente o veja. A complexidade da situação é que, quando você olha para algo, registra pulsos de luz que chegam aos seus olhos em um determinado momento. Como a luz viaja em tempo finito, significa que você vê coisas diferentes em momentos diferentes. Por exemplo, se houver algum objeto, por exemplo, um ponteiro laser voando em minha direção, verei sua parte traseira onde estava em um momento anterior à parte frontal. Porque a luz emitida pelas costas leva mais tempo para alcançar meus olhos do que a luz emitida pela frente do ponteiro.

Portanto, quando um objeto se aproxima de mim, verei suas diferentes partes em diferentes momentos no tempo. Isso tudo complica. O que verei, levando em consideração a teoria especial da relatividade, é bastante difícil. Pode ser calculado, mas não há uma expressão simples para isso. É necessário calcular passo a passo o que verei a qualquer momento. Isso absolutamente não é como uma imagem simples.

Assim, a afirmação de que o relógio passa mais devagar $$$γ$ vezes, não se baseia no que o observador realmente vê. É baseado no que o quadro de referência verá, não em uma pessoa específica. Isso leva a uma imagem mais simples. O sistema de referência pode ser representado como um conjunto de réguas conectadas entre si, de modo que elas formem uma grade de coordenadas e um conjunto de relógios localizados em toda parte dentro dessa grade.

Além disso, todas as observações são feitas localmente. Ou seja, se queremos medir o tempo em algum tipo de sistema de referência, não usamos o relógio central, aguardando o pulso da luz atingir esse relógio central. Em vez disso, o sistema de referência é preenchido com relógios que foram sincronizados entre si desde o início. Se queremos saber a que horas um evento aconteceu, olhamos para o relógio próximo a ele. Este relógio mostra quando esse evento ocorreu.

Como regra, é assim que trabalhamos com vários sistemas de coordenadas.Se queremos entender o que um observador em particular vê, a imagem é complicada. Devemos levar em conta a velocidade da luz. Somente excluindo o tempo de propagação da luz e calculando o que o relógio local mostrará, veremos a dilatação do tempo de uma forma simples, que os relógios em movimento sempre ficam mais lentos.

Em particular, no exemplo de uma pessoa sentada em uma cadeira e um relógio se aproximando dele. Uma pessoa experimentará o que estamos discutindo nesta palestra - turno Doppler. À medida que o relógio se aproxima, ele experimentará uma mudança para o azul, não para a vermelha. Ele verá que o relógio vai mais rápido, não mais lento, exatamente o oposto do que foi mostrado no programa de televisão. Parece-lhe que o relógio está se movendo mais rápido devido ao fato de que cada pulso de luz subsequente percorre uma distância menor quando o relógio se aproxima do observador. Esse efeito faz uma contribuição maior do que o efeito de desacelerar um relógio em movimento quando comparado a um relógio fixo localizado diretamente ao lado dele.

ALUNO: Se um relógio passar rapidamente por nós, poderemos vê-lo diminuir quando for estritamente perpendicular a nós?

PROFESSOR: Sim, você está absolutamente certo. Quando o relógio passa pelo observador e fica estritamente oposto a ele, a velocidade do relógio em seu quadro de referência é perpendicular à velocidade dos fótons que ele vê. Ao mesmo tempo, ele verá o puro efeito da dilatação do tempo.

Quero acrescentar que eu e várias outras pessoas do MIT participamos da criação do filme de Brian Green. Discutimos esse problema por um longo tempo com Brian Green por e-mail. Todos nós dissemos que isso está errado. No entanto, Brian Green assumiu a posição de que isso foi feito intencionalmente, de que ele estava tentando ilustrar o efeito da dilatação do tempo, sem discutir o desvio Doppler. Como ele não queria falar sobre o deslocamento Doppler, ele simplesmente ignorou o fato de sua existência. Todos nós pensamos que isso estava errado do ponto de vista pedagógico. Mas não conseguimos convencer Brian disso.

Deslocamento relativístico do Doppler

Agora calculamos novamente o deslocamento do Doppler, desta vez considerando que o relógio em movimento é mais lento$$$γ$vezes. Lidaremos com o caso relativístico em que a onda é uma onda de luz. E as velocidades podem ser comparáveis ​​à velocidade da luz. Desta vez, o efeito da dilatação do tempo é grande o suficiente para levar em consideração.

Desta vez, ambas as respostas devem ser as mesmas. Se as respostas são diferentes, verifica-se que nossa imagem do mundo está errada, contraditória. Não importa se a fonte se move ou se o observador se move. Anteriormente, isso importava, e atribuímos isso ao fato de o ar estar envolvido no processo. Se fizermos uma transformação para mudar de um caso para outro, do caso em que a fonte está se movendo, para o caso em que o observador está em movimento, o ar terá velocidades diferentes em casos diferentes. Em um caso, ele ficará imóvel; no outro, ele se moverá. Portanto, não planejamos obter a mesma resposta.

Mas agora, quando passamos do caso em que a fonte está se movendo, para o caso em que o observador está em movimento, o éter deve se mover a uma velocidade diferente. Mas o principal axioma da teoria especial da relatividade é que não há éter, pelo menos não há efeitos físicos decorrentes do éter. Então você pode fingir que não existe. Portanto, na teoria especial da relatividade, devemos obter a mesma resposta, seja uma fonte em movimento ou um observador em movimento. Esta é realmente a mesma situação, considerada apenas a partir de diferentes quadros de referência. A teoria especial da relatividade afirma que não importa em qual quadro de referência fazemos os cálculos. Usaremos os mesmos números, mas desta vez levaremos em conta o fato de que relógios em movimento ficam mais lentos$$$γ$ vezes.


Para começar, vamos pensar em que estágio é importante desacelerar a hora de um relógio em movimento? No segundo. É nesta fase que a fonte mede o período entre a emissão de duas cristas da onda com um relógio em movimento. Pode-se simplesmente imaginar que a fonte emite uma série de pulsos, onde cada pulso é uma crista de onda. Para mim, isso parece um pouco mais simples, porque você não precisa pensar na onda senoidal que a fonte realmente cria.

O tempo entre esses pulsos, medido pelo relógio da fonte, é o que designamos como$$$Δt_s$ .A fonte se move em nossa imagem. Executaremos todos os cálculos em nosso quadro de referência. Isso é muito importante, uma vez que as transformações entre sistemas de referência são um pouco complicadas na teoria especial da relatividade. Quando você resolve um problema, é muito importante escolher um quadro de referência que você usará para descrever o problema e aderir a ele. Se algo foi originalmente descrito em um quadro de referência diferente, você precisa entender como fica no seu quadro de referência. Para correlacionar isso com outros eventos descritos em seu quadro de referência.

Para nossa tarefa, nosso quadro de referência será um quadro de referência para a imagem, um quadro de referência que está em repouso em relação ao observador. Você também pode chamá-lo de sistema de referência do observador. Em relação a este sistema de referência, a fonte se move. A fonte emite um trem de pulsos. Pode-se imaginar que a fonte é apenas um relógio. Qualquer fenômeno que se repita em intervalos regulares é um relógio. Assim, a fonte é um relógio em movimento que corre mais devagar$$$γ$vezes.

Caso contrário, nada muda. O observador também tem um relógio que ele usa para medir o tempo entre as cristas. Mas o relógio do observador repousa em nosso quadro de referência. Portanto, não há dilatação do tempo associada ao relógio do observador, apenas uma dilatação do tempo associada ao relógio da fonte. E, novamente, tudo o que é importante é descrito dentro do retângulo amarelo. Agora você precisa olhar para as equações e ver como elas mudam.

Na última vez, o intervalo de tempo medido pelo observador foi a soma de dois membros. Como o primeiro membro foi$$$Δt_s$, seria o único membro se a fonte estivesse em repouso. Isso também é verdade no nosso caso. Mas o tempo na fonte é mais lento$$$γ$vezes. Ou seja, se você não levar em consideração as alterações no comprimento do caminho - levaremos essas alterações em consideração no próximo período -, o período medido pelo observador será diferente do período medido pela fonte em$$$γ$vezes. Mas você precisa descobrir se$$$γ$fique no numerador ou denominador. Um exemplo mental pode ajudar.

Portanto, o relógio da fonte fica mais lento. Suponha que estamos falando de um intervalo de tempo de um segundo. Se o relógio da fonte diminuir, isso significa que mais tempo deve passar para que possamos passar um segundo na fonte. Digamos que o relógio corra mais devagar duas vezes. Isso significa que a fonte terá apenas um segundo a cada dois segundos. Isso significa que o período que veremos será mais longo do que$$$Δt_s$ em $$$γ$vezes. Assim, diante do primeiro termo, colocamos um fator$$$γ$ . O segundo termo ainda é igual $$$Δl/u$ .

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u$$

Mas a expressão para $$$Δl$ também mudando. $$$Δl$É o intervalo de tempo que um pulso de luz requer para percorrer uma distância adicional. A distância extra é proporcional ao tempo entre pulsos. Esse tempo muda devido à desaceleração do relógio de origem. Portanto, o segundo termo também aumenta em$$$γ$ vezes.

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u = γΔt_s + \frac{vγΔt_s}u = γ(1+\frac vu)Δt_s$$

Portanto, toda a resposta aumenta em $$$γ$vezes. Dado que

$$

$$γ = \sqrt{\frac 1{1-{(\frac vu)}^2}}$$

e

$$

$$1-{(\frac vu)}^2 = (1-\frac vu)(1+\frac vu)$$

depois de transformações algébricas chegamos

$$

$$Δt_o = \sqrt \frac {1+β}{1-β}Δt_s$$

Portanto, obtivemos uma resposta que leva em conta a teoria especial da relatividade no caso do movimento da fonte. Com a teoria da relatividade levada em consideração, nossa resposta aumentou em$$$γ$vezes. Esperamos que a resposta não dependa se a fonte ou o observador está se movendo, mas, é claro, isso precisa ser verificado usando cálculos.


Como base, tomamos o cálculo que já fizemos para o caso não relativista, com um observador em movimento. Vamos tentar calcular o caso relativístico. Agora o relógio do observador está mais lento. Eles vão mais devagar em relação a nós, em relação ao nosso quadro de referência, onde nosso quadro de referência, por definição, é o quadro de referência da nossa imagem.

A coisa mais importante está acontecendo novamente no retângulo amarelo. A fonte é estacionária, portanto$$$Δt_s$ - é apenas o período da onda medido pelo nosso relógio. Mas o período medido pelo observador $$$Δt_o$ será diferente. Portanto, escreveremos nossa equação de uma maneira diferente, substituindo a expressão por $$$Δl$ . Para $$$Δl$ em vez de $$$vΔt_o$ vamos escrever $$$vΔt '$ .

$$$Δt '$ diferente $$$Δt_o$ . $$$Δt '$ - este é o tempo decorrido entre o terceiro e o quarto estágio, ou seja, o tempo decorrido entre a chegada de duas cristas de ondas adjacentes ao observador, medidas em nosso quadro de referência. Descrevemos tudo do ponto de vista do nosso quadro de referência. $$$Δt '$ diferente de $$$Δt_o$ em $$$γ$ vezes, porque em relação a nós, o relógio do observador é mais lento $$$γ$ vezes.

Novamente, você precisa pensar um pouco onde estar $$$γ$ , no numerador ou denominador. Sabemos que o relógio do observador é mais lento em relação ao nosso. Isso significa que o tempo que leva para um observador passar um segundo deve levar mais de um segundo. Portanto, $$$Δt '$ = $$$γΔt_o$ . Por exemplo, durante o tempo em que o relógio do observador passa um segundo, passam dois segundos.

Repetiremos o cálculo que fizemos para o caso não relativista quando o observador estava em movimento. Porém, no cálculo, adicionaremos uma dilatação do tempo que tornará esse cálculo verdadeiro. Primeiro, escrevemos as equações, como elas são no nosso quadro de referência, ou seja, elas usam o intervalo $$$Δt '$ :

$$

$$Δt '= Δt_s + \ frac {vΔt'} c$$

Agora podemos realizar transformações semelhantes àquelas que realizamos para o caso não relativístico e obter a expressão para $$$Δt '$ :

$$

$$Δt '= (1- \ frac vc) ^ {- 1} Δt_s$$

Substituindo uma expressão por $$$Δt_o$ nós obtemos:

$$$$ display $$ Δt_o = \ frac 1γΔt '= \ sqrt {(1 + β) (1-β)} \ frac 1 {1-β} Δt_s $$ display $$

ou:

$$$$ display $$ Δt_o = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} Δt_s $$ display $$

Essa expressão é verdadeira tanto no caso do movimento da fonte quanto no do observador.

Redshift $$$z$ no caso relativístico, verifica-se:

$$$$ display $$ z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} -1 $$ display $$

Então, conseguimos o que esperávamos. Que o resultado é consistente com os princípios da teoria da relatividade. Nossa resposta não depende se a fonte ou o observador está se movendo, porque não importa em qual referencial realizamos os cálculos.

Outros efeitos da relatividade especial

Agora, quero falar sobre outros dois efeitos cinemáticos da teoria especial da relatividade, a contração de Lorentz e a mudança no conceito de simultaneidade. Mas antes de enfrentar esses efeitos, há outra questão que devemos discutir. Este é um relógio que se move com aceleração.

A teoria especial da relatividade descreve quadros de referência inerciais e que transformações são realizadas durante a transição de um sistema inercial para outro. Se sabemos como o relógio funciona, que está parado no mesmo referencial, a teoria especial da relatividade descreve completamente como o relógio seguirá no referencial, movendo-se a uma velocidade uniforme em relação ao referencial original. Ou, em outras palavras, ela descreve como o relógio irá se mover a uma velocidade constante.

No entanto, no mundo real, temos muito poucas horas que podem ser consideradas inerciais. Qualquer relógio que vemos ao nosso redor - o relógio na parede que se move com a Terra, ou o meu relógio, é constantemente acelerado. Queremos poder trabalhar com relógios que aceleram e se movem em velocidades relativísticas. Isso, por exemplo, acontece em satélites. O sistema GPS, como você provavelmente sabe, não funcionará se os cálculos não levarem em consideração os efeitos da teoria especial da relatividade e até da teoria geral da relatividade. Assim, estudar o comportamento de um relógio em movimento é um desafio tecnológico crítico.

O que podemos dizer sobre um relógio em aceleração? Existe um mito comum de que uma teoria geral da relatividade é necessária para descrever a aceleração. Portanto, devemos adiar a conversa sobre a aceleração das horas até fazer um curso na teoria geral da relatividade. De fato, não é assim. A teoria geral da relatividade é a teoria da gravidade, que afirma que a gravidade e a aceleração estão intimamente relacionadas. Nesse contexto, a aceleração aparece na teoria geral da relatividade.

No entanto, a teoria especial da relatividade é suficiente para descrever qualquer sistema que seja descrito por equações que sejam consistentes com a teoria especial da relatividade. A relatividade especial não descreve a gravidade. Portanto, em uma situação em que a gravidade é importante, a teoria especial da relatividade não é capaz de fornecer os resultados corretos. Mas enquanto a gravidade está ausente, enquanto lidamos apenas com forças eletromagnéticas, ninguém nos incomoda usando as equações da teoria especial da relatividade.

Devemos usar as equações da dinâmica na relatividade especial, que mostra como os corpos reagem às forças. Sempre que a força é aplicada, a aceleração aparece. Tais equações existem. Podemos combinar, por exemplo, eletromagnetismo com mecânica relativista para descrever um sistema de partículas que interagem usando forças eletromagnéticas, em total conformidade com a teoria especial da relatividade. E, apesar do fato de essas partículas estarem se acelerando, podemos calcular para elas tudo o que queremos.

Em particular, se houver relógios feitos de partes cuja física entendemos, a teoria especial da relatividade pode nos dizer como esses relógios se comportarão, mesmo quando estão acelerando. No entanto, esse cálculo pode ser muito, muito complicado. Porque a física de qualquer relógio real, por exemplo, meu relógio, é muito complicada. Mas não precisamos escrever as equações que descrevem meu relógio para entender como elas se comportarão durante a aceleração.

Observo que muitos de vocês já têm muita experiência com a aceleração de relógios, porque muitos de vocês usam relógios que estão acelerando constantemente. E eles geralmente funcionam. Normalmente, presumimos que, embora o relógio esteja acelerando, ele é feito o suficiente para suportar a aceleração que seu pulso lhes dá e mostrar a hora correta.

Por outro lado, pode-se imaginar a situação oposta. Se você pegar um relógio mecânico e jogá-lo na parede, eles baterão contra a parede e pararão. Quando batem contra uma parede, experimentam uma aceleração muito grande. Se a aceleração for grande o suficiente, podemos prever o que acontecerá com o relógio, mesmo que seja uma interação complexa. Se a aceleração é grande o suficiente, ele apenas quebra o relógio e para. Este é um dos possíveis efeitos que a aceleração pode ter no relógio.

Outros efeitos são semelhantes a este. Se o movimento da minha mão afeta o trabalho do relógio, este é um efeito mecânico que pode ser calculado através da compreensão da mecânica do relógio e não do uso dos princípios da teoria geral da relatividade. A diferença com a teoria especial da relatividade aqui é que a teoria especial da relatividade pode fazer uma previsão precisa de como o relógio se comportará se ele se mover a uma velocidade constante, sem sequer saber nada sobre a estrutura desse relógio. A relatividade especial pode fazer essa previsão, porque existe simetria, simetria de Lorentz, que conecta um relógio em movimento e um relógio em repouso. Essa é a simetria exata da natureza. Independentemente do que o relógio é feito, se ele se move a uma velocidade constante, a teoria especial da relatividade afirma que ele será mais lento no $$$γ$ vezes.

Por outro lado, nem na teoria especial da relatividade, nem na teoria geral da relatividade, existe um princípio semelhante a respeito da aceleração. A maneira como a aceleração atua no relógio, é claro, depende de quão grande é a aceleração, de como o relógio está organizado e de como a aceleração afeta as várias partes internas do relógio. O ponto principal é que, quando falamos de um relógio de aceleração, sempre assumimos que o relógio é suficientemente bom para que a aceleração não afete a velocidade com que vai. Assumimos que estes são relógios perfeitos, que são feitos perfeitamente. Quando dizemos que a aceleração não afeta a velocidade do relógio, queremos dizer que a cada momento o relógio funciona exatamente na mesma velocidade que outros relógios que se movem simultaneamente com o relógio na mesma velocidade, mas sem aceleração. .

A qualquer momento, meu relógio terá uma certa velocidade. O ritmo de seu progresso será muito afetado $$$γ$ , que no nosso caso será muito próximo de 1. Se considerarmos meu relógio como ideal, assumimos que a qualquer momento eles vão na mesma velocidade que o relógio, que não acelera, mas se move com o mesmo velocidade, como um relógio. Então o fator $$$γ$ permanecerá, mas não haverá efeito de aceleração. A velocidade do relógio será determinada apenas por sua velocidade em relação ao nosso sistema de referência.

Agora, quero falar um pouco sobre outras conseqüências da teoria especial da relatividade. Um pouco mais tarde, falaremos sobre consequências dinâmicas da teoria da relatividade especial, que incluem equações bem conhecidas, como $$$e = mc ^ 2$ . Mas antes de falarmos sobre quantidades dinâmicas, como energia e momento, terminamos com uma consideração dos efeitos cinemáticos da teoria especial da relatividade. Por cinemática, quero dizer as conseqüências de uma teoria especial da relatividade para medir o tempo e a distância.

Se nos limitarmos às conseqüências para medir o tempo e as distâncias, os efeitos cinemáticos, haverá exatamente três dessas consequências da teoria especial da relatividade. Toda a teoria especial da relatividade, em certo sentido, está incorporada nesses três efeitos. Diminuir o tempo é um desses efeitos.


A segunda consequência é outro efeito conhecido da teoria da relatividade especial, a contração de Lorentz, ou às vezes chamada de contração de Lorentz-Fitzgerald. Em sua descrição, a palavra "aparência" aparecerá novamente. Escreverei sempre essa palavra entre aspas para lembrá-lo de que não é exatamente isso que o observador vê. Qualquer vara que se move com velocidade $$$v$ ao longo de seu comprimento em relação a um determinado quadro de referência, ele “procurará” um observador nesse quadro de referência menor que seu comprimento em $$$γ$ vezes. O comprimento da haste, que se move perpendicularmente ao seu comprimento, não muda. Tudo isso é mostrado na figura.

Esta é uma consequência muito famosa da teoria especial da relatividade. Isso significa que o foguete está ficando cada vez menor à medida que se move cada vez mais rápido. Novamente, lembre-se de que não é isso que você realmente verá. É o que acontece se as medições são feitas por observadores locais e, em seguida, o comprimento do foguete é calculado com base nessas medições.


O terceiro e último efeito é um pouco mais difícil de descrever. Mas este é um efeito muito importante. Os dois primeiros efeitos não seriam consistentes se não houvesse terceiro efeito. O terceiro efeito é uma mudança no conceito de simultaneidade, ou a relatividade da simultaneidade.

Suponha que tenhamos um sistema composto por duas horas sincronizadas em seu quadro de referência, em relação ao qual eles descansam. Também sejam conectados por uma haste, que possui algum comprimento em seu referencial, que chamaremos $$$l_0$ . Se todo o sistema se mover em relação a nós a uma velocidade $$$v$ ao longo da haste, para nós, este relógio não parece sincronizado, apesar de estarem sincronizados em seu quadro de referência.

Em particular, o relógio traseiro parecerá um pouco adiantado $$$βl_0 / c$ . Deixe-me lembrá-lo que $$$β = v / c$ . $$$l_0$ - a distância entre os relógios medida no sistema de referência do relógio. $$$c$ - é claro que essa é a velocidade da luz. Por outro lado, se o relógio se mover em uma direção perpendicular à linha que os conecta, o relógio parecerá sincronizado.

Esse efeito é muito importante para a integridade de toda a imagem. Não provaremos que a teoria especial é consistente. Poderíamos muito bem fazer isso, mas não vamos lidar com isso, pois nosso curso não é dedicado a um estudo detalhado da teoria especial da relatividade. No entanto, pode parecer que exista uma discrepância bastante óbvia entre a consequência da teoria especial da relatividade - que os relógios em movimento são mais lentos e o postulado de que as mesmas leis da física são verdadeiras para todos os observadores inerciais. Isso significa que se você está se movendo em relação a mim, então, para mim, seu relógio é mais lento. Mas, ao mesmo tempo, para você, meu relógio está mais lento. Porque, do seu ponto de vista, você está em repouso e eu estou indo em sua direção. Do seu ponto de vista, meu relógio está se movendo. E meu relógio deve ir mais devagar.

Parece-me que seu relógio está correndo mais devagar. Parece que meu relógio está correndo mais devagar. Isso parece ser uma contradição. O que acontece se colocarmos o relógio um ao lado do outro e compararmos como vai? Qual relógio será mais rápido? Como podemos concordar sobre isso um com o outro? Obviamente, não podemos manter o relógio um perto do outro e, ao mesmo tempo, movê-lo em relação um ao outro. Essa é uma das razões para resolver a contradição. Lembre-se de que quero dizer quando digo que seu relógio está mais lento. Faço todas as minhas medições sem observar diretamente o seu relógio, pois há o efeito de um atraso na propagação do sinal, o que complica a imagem. Tomo todas as minhas medidas com a ajuda de muitos observadores locais que estão ao meu redor e descansam em relação a mim. Eles me passam seus resultados. Somente após receber e combinar seus resultados é que tenho uma única imagem do que, onde e quando aconteceu.

Portanto, quando digo que seu relógio é lento, quero dizer que tenho muitos relógios que estão parados em relação a mim. Quando o relógio passa por mim, os observadores locais comparam o relógio com o relógio. Então eles passam os resultados para mim. Se o relógio estiver mais lento, digamos, duas vezes, isso significa que quando o relógio passa além do relógio do meu observador e o relógio mostra um segundo, o relógio mostra apenas meio segundo. Quando eles passam pelos relógios mais distantes do meu quadro de referência e os relógios do meu quadro de referência são mostrados em dois segundos, seu relógio mostra um segundo e assim por diante. Nesse sentido, seu relógio corre mais devagar.

Isso deve ser compatível com o fato de que, de acordo com o seu ponto de vista, meu relógio também corre mais devagar. Se você presumir que o relógio no meu sistema de referência está sincronizado, chegará à conclusão de que meu relógio é mais rápido. Porque quando seu relógio mostra meio segundo, meu relógio mostra um segundo. Quando seu relógio mostra um segundo, meu relógio mostra dois segundos. De acordo com essa comparação direta, verifica-se que meu relógio é mais rápido.

Mas, ao mesmo tempo, sabemos que isso não é verdade. Você deve obter o mesmo resultado que eu. Se estamos nos movendo um em relação ao outro, você deve pensar que meu relógio está se movendo mais devagar. A saída dessa situação difícil é a relatividade da simultaneidade. Do seu ponto de vista, a sequência de relógios do meu sistema de referência, quando eles passam por você, realmente mostra um tempo maior em comparação ao seu relógio. No entanto, do seu ponto de vista, meu relógio não está sincronizado. Portanto, você não pode determinar a velocidade do relógio medindo o tempo em diferentes relógios.

Se você quiser descobrir a rapidez com que meu relógio está indo, é necessário acompanhar um dos meus relógios e observar como as leituras mudam ao longo do tempo. Você não deve comparar as leituras de diferentes relógios, porque meus relógios não são sincronizados entre si, do seu ponto de vista. Mas se você assistir a um dos meus relógios usando um conjunto de seus relógios imóveis em sua direção, assim como eu usei um conjunto de relógios quando medi a velocidade do seu relógio, tudo se encaixaria. Você verá que meu relógio está correndo mais devagar. Vou ver seu relógio ir mais devagar. Como discordamos sobre quais eventos ocorrem simultaneamente, a contradição não surge. Assim, a relatividade da simultaneidade é crítica, caso contrário teríamos uma contradição evidente em todo o cenário.

Isso é tudo o que planejei contar na palestra de hoje. Discutimos as consequências cinemáticas da teoria especial da relatividade. Como eu disse, não tentaremos trazê-los para fora. Se você estiver interessado em saber como eles são obtidos, poderá fazer um curso especializado em teoria especial da relatividade.

Mais tarde discutiremos as conseqüências da teoria especial da relatividade para momento e energia, que serão importantes para nós. Energia e momento só nos interessam desde que sejam definidos de forma a serem quantidades conservadas. É por isso que energia e momento são importantes na física. Para um sistema fechado, a energia total e o momento não mudam. Energia e momento podem ser transferidos de uma parte do sistema para outra. Mas energia e momento não podem ser criados nem destruídos.

Se tomarmos as definições de energia e momento da mecânica newtoniana e usá-las na cinemática relativística, acontece que, por exemplo, quando uma partícula colide, a energia e o momento são armazenados em um referencial e não armazenados em outro referencial. As leis de conservação dependeriam do quadro de referência usado.

Portanto, Einstein mudou levemente as definições de energia e momento, de tal maneira que, se elas são armazenadas em um quadro de referência, são armazenadas em qualquer outro quadro de referência associado às primeiras transformações da teoria especial da relatividade. Assim que alteramos a cinemática da transição de um referencial para outro, também precisamos alterar as definições de energia e momento para que as leis de conservação sejam válidas em todos os referenciais. No futuro, introduziremos definições ligeiramente modificadas e ligeiramente não newtonianas da energia e do momento das partículas em movimento.