Determinação das características balístico-temporais do movimento do centro de massa de um paraquedista que aterra de um avião

1. Introdução

Para determinar as características balístico-temporais do movimento do centro de massa do paraquedista, é preciso escolher um modelo matemático simplificado, bastante acessível para a pesquisa analítica e, ao mesmo tempo, preservar as características mais características do objeto original.

Para construir modelos matemáticos simplificados do movimento do paraquedista, é realizada uma análise, determinação, sistematização de parâmetros constantes e de tempo.

Atualmente, não existem métodos regulares e suficientemente justificados para a construção de modelos matemáticos não lineares, para resolver problemas particulares, com a preparação correta dos sistemas iniciais de equações diferenciais não lineares, métodos numéricos para resolvê-los podem fornecer resultados bastante adequados.

O objetivo desta publicação é compilar e resolver numericamente sistemas de equações diferenciais que descrevem todos os estágios do movimento de um paraquedista pousando de um avião, levando em consideração o efeito das mudanças de altitude e temperatura da densidade de massa do ar.

Características balístico-temporais do movimento de um paraquedista

Parâmetros variáveis ​​constantes e limitados incluem:

N é a altura do paraquedista;
V0 - velocidade da aeronave;
k - peso, altura do paraquedista;
g é a aceleração da gravidade;
ρ é a densidade do ar;
T é a temperatura do ar.

Parâmetros temporários (variáveis) incluem:

tn - hora de pouso,
w é a velocidade do vento;
V é a velocidade do paraquedista;
u é a velocidade dos fluxos ascendentes (descendentes);
d - desvio (distância da projeção ao solo do ponto de ejeção até o ponto de aterrissagem);
C é o coeficiente de arrasto do objeto de pouso;
F - seção média do objeto de pouso.

Estágios de salto

O primeiro estágio é uma queda livre após a separação da aeronave:



O segundo estágio é uma diminuição de um pára-quedas estabilizador:



A principal propriedade do paraquedas estabilizador é a estabilização do paraquedista na posição mais conveniente para o paraquedas principal.

A terceira etapa - encher a cúpula do paraquedas principal:



O quarto estágio é uma diminuição do paraquedas aberto:

Compilação de um sistema de equações diferenciais para todas as etapas do salto de paraquedas

Escolhemos um sistema de coordenadas fixo OXY centrado no ponto de ejeção O. O eixo OX coincide com a direção do componente horizontal da velocidade da aeronave. O eixo OY é direcionado verticalmente para cima na direção oposta à velocidade vertical do paraquedista.

Vamos assumir que o movimento do pára-quedista é plano e ocorre no plano OXY. Esse modelo de salto pode ser considerado um modelo de salto em clima calmo, sem levar em consideração a influência do vento.

Acreditamos que, além do peso, o paraquedista é afetado pela força da resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade do paraquedista:

,
onde: , - densidade do ar, coeficiente de arrasto C, seção F do corpo.

Com o aumento da altura, a temperatura do ar muda:



A temperatura mínima já é atingida a uma altitude de 10 km. e é de -55 ° C. A densidade do ar também depende da pressão. Portanto, ao calcular a balística de um salto de para-quedas, é conveniente usar a seguinte fórmula para determinar a densidade do ar [1]:

,
onde K / m; - temperatura ao nível do mar; y é a altura em m; - densidade do ar em y = 0; .




Na prática dos cálculos, o quadrado do crescimento é tomado como a seção mediana; o valor de C é encontrado na tabela [2]:



Θ indica o ângulo de inclinação da trajetória. Sob as suposições feitas para os componentes , vetores de velocidade V, temos:



Dividindo por m os lados esquerdo e direito das equações do sistema resultante e denotando através de r, obtemos:

(1)

Escrevemos as equações de movimento de um pára-quedista na forma de um sistema de equações diferenciais para as funções V, θ, y (t), x (t).

Dado que:

,
,
e tempo de diferenciação: , levando em consideração o sistema de equações (1), obtemos:

,
.

Assim, nas condições iniciais:

nós temos o seguinte sistema de equações diferenciais:

Solução numérica de um sistema de equações diferenciais (2) usando Python

Para resolver (2), reescrevemos da seguinte forma, introduzindo forças de arrasto estabilizadoras controladas pelo tempo e pela densidade do ar



e principal



pára-quedas, respectivamente, multiplicados pelas funções de controle do tempo ks (t) e ko (t):



,

onde: –– tempo de queda livre do paraquedista; - o tempo de operação do pára-quedas de estabilização até a abertura do principal.

(3)


Temos:







Levar em consideração o ar rarefeito levou a um aumento na taxa de queda livre e mudou a natureza da trajetória nesta seção.

Este problema pode ser resolvido com a ajuda de um sistema de duas equações diferenciais, que são dadas abaixo (excluindo pára-quedas e alterações na densidade do ar):




Temos:

Conclusão

São determinadas as características balístico-temporais do movimento do centro de massa de um paraquedista que aterra de um avião.

Referências

1. Pressão atmosférica.
2. Gerasimenko I.A. Treinamento aéreo: livro didático. M: Military Publishing, 1986. Parte 1, p. 32.