Seguindo Gauss, reconhecemos o status "real" da matemática e, como nossa empresa possui um centro de competência "Algorithmic Support", geralmente temos materiais interessantes sobre esse assunto: nossos colegas escrevem seus próprios artigos de autores e estudam que isso seja interessante com colegas estrangeiros, prepare breves resenhas e traduções de artigos de terceiros. Provavelmente isso será útil para aqueles que compartilham nossos interesses, por isso decidimos compartilhar esses materiais e conhecimentos.
Em matemática, muitas vezes acontece que as coisas mais simples que parecem ser conhecidas de todos e de todos, como números racionais, é incrivelmente difícil de entender. Por exemplo, matemáticos têm procurado soluções racionais para equações diofantinas há várias centenas de anos. As idéias emprestadas da física ajudaram a se aproximar da solução da tarefa de mil anos. Apresentamos um artigo publicado na Revista Quanta, com nossa tradução e visão geral parciais.
Minhyun Kim, matemático da Universidade de Oxford, está tentando descobrir quais números racionais podem resolver certos tipos de equações diofantinas. Estima-se que esse problema de matemática tenha cerca de 3.000 anos. Como decisões racionais não obedecem a padrões geométricos, essa é realmente uma tarefa difícil. Tão complicado que, em 1986, Gerd Falting recebeu o Prêmio Fields apenas por provar que algumas classes de equações diofantinas têm um número finito de soluções racionais. Os próprios matemáticos chamam a descoberta de Falting de "prova ineficaz" porque não indica o número exato de soluções racionais e não permite que sejam identificadas.
Kim tenta olhar para números racionais em um contexto numérico estendido no qual padrões ocultos começam a aparecer. Kim conseguiu descobrir tal contexto na física: de acordo com o matemático, soluções racionais têm muito em comum com a trajetória da luz. Kim duvidou por muito tempo que ele estava certo e que seu trabalho poderia convencer outros cientistas e apenas recentemente ele decidiu apresentar sua idéia ao público em geral. Segundo o próprio Kim, nos próximos 15 anos, a teoria dos números ficará muito mais intimamente entrelaçada com a física.
Kevin Hartnett , autor de um artigo publicado em Quanta, escreve:
“Os matemáticos costumam dizer que quanto mais simétrico um objeto, mais fácil é estudá-lo. Com isso em mente, eles gostariam de colocar o estudo das equações diofantinas em um contexto mais simétrico do que aquele em que o problema geralmente aparece. Se isso puder ser feito, pode-se usar a simetria detectada para procurar os pontos racionais necessários.
Conjuntos de números também podem ser simétricos, e quanto mais simétrico for o conjunto de números, mais fácil será entender: você pode usar relacionamentos simétricos para calcular valores desconhecidos. Os números que têm um certo tipo de relações simétricas formam um "grupo" e você pode usar as propriedades do grupo para entender todos os números nele. Mas o conjunto de soluções racionais da equação não tem simetria e não forma um grupo, o que deixa os matemáticos sozinhos com uma tarefa impossível, uma tentativa de encontrar todas as soluções uma a uma.
A partir da década de 1940, os matemáticos começaram a explorar maneiras de colocar as equações diofantinas em contextos mais simétricos. Claude Chabati descobriu que dentro do espaço geométrico maior que ele construiu usando números p-adic, os números racionais formam seu próprio subespaço simétrico. Ele combinou esse subespaço com o gráfico das equações diofantinas: seus pontos de interseção correspondem a soluções racionais da equação.
Na década de 1980, Robert Coleman complementou o trabalho de Chabati. Por várias décadas depois disso, a abordagem de Coleman-Chabati foi a melhor ferramenta para encontrar soluções racionais de equações diofantinas. No entanto, ele só funciona quando o gráfico de equações está em uma certa proporção em relação a um espaço maior. Quando essa proporção não atende aos requisitos, a pesquisa de pontos exatos nos quais a curva da equação cruza com números racionais é complicada.
Para expandir o trabalho de Chabati, Kim queria encontrar um espaço ainda maior no qual as equações diofantinas pudessem ser colocadas. ”
E aqui Kim sugere usar um análogo dos conceitos físicos de "espaço-tempo", "espaço de espaços":
“Para entender o porquê, considere um raio de luz. Os físicos acreditam que a luz se move através do espaço multidimensional dos campos. Nesse espaço, a luz se moverá ao longo de um caminho que corresponde ao princípio de "menor ação", ou seja, ao longo de um caminho que minimiza o tempo necessário para se mover do ponto A ao ponto B. Esse princípio explica por que a luz é refratada ao se mover de um meio para outro: caminho curvo minimiza o tempo gasto. Tais espaços maiores de espaços encontrados na física têm simetrias adicionais ausentes em todos os espaços que eles representam. Essas simetrias chamam a atenção para certos pontos, enfatizando, por exemplo, o caminho que minimiza o tempo. Construídas de uma maneira diferente ou em um contexto diferente, essas mesmas simetrias podem ser enfatizadas por outros pontos, por exemplo, pontos correspondentes a soluções racionais de equações.
Na teoria dos números, há algo como espaço-tempo. Este algo também oferece várias maneiras de formar caminhos e construir o espaço de todos os caminhos possíveis. Kim está desenvolvendo um esquema no qual os problemas de encontrar a trajetória da luz e encontrar soluções racionais das equações diofantinas são os rostos de um problema.
Soluções de equações diofantinas formam espaços, curvas que são definidas por equações. Essas curvas podem ser unidimensionais, como um círculo, ou multidimensionais. Por exemplo, se você traçar as soluções complexas da equação diofantina x4 + y4 = 1, obtém um toro com três orifícios. Os pontos racionais desse toro não têm uma estrutura geométrica, e isso dificulta sua busca, mas podem corresponder a pontos em um espaço mais multidimensional de espaços, que já terão uma certa estrutura. ”
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