Universo primitivo 5. Redshift cosmológico e dinâmica de um universo em expansão uniforme, parte 1

No site de palestras gratuitas, o MIT OpenCourseWare publicou um curso de palestras sobre a cosmologia de Alan Gus, um dos criadores do modelo inflacionário do universo.

Sua atenção está convidada à tradução da quinta palestra: "Redshift cosmológico e dinâmica de um universo em expansão uniforme, parte 1".


Hoje terminamos a consideração da cinemática de um universo em expansão uniforme, que discutimos na última vez. A única questão deste tópico que ainda não abordamos é o desvio para o vermelho cosmológico. Em seguida, passamos à dinâmica da expansão uniforme - como a gravidade afeta a expansão do universo. Este será o tema principal das palestras de hoje e das próximas.

Tempo cosmológico

Deixe-me lembrá-lo de que, no final da última palestra, falamos sobre sincronização de relógio no sistema de coordenadas, que usaremos para descrever um universo em expansão uniforme. Lembre-se de que introduzimos as coordenadas acompanhantes, que se expandem com o universo. Assumiremos que o universo é completamente homogêneo e isotrópico, e todos os objetos repousam nesse sistema de coordenadas.

No universo real, há algum movimento da matéria em relação a esse sistema de coordenadas, porque o universo não é completamente homogêneo. Mas agora trabalharemos com uma aproximação na qual nosso universo modelo é absolutamente homogêneo e toda a matéria está em repouso em relação a um sistema de coordenadas em expansão.

Agora lembre-se de como determinamos o tempo cosmológico na última palestra. Imagine que em todo ponto do universo haja um relógio em repouso em relação à matéria e, portanto, um sistema de coordenadas em expansão. Todos esses relógios medem a hora local e queremos concordar com sua sincronização. Na última vez, descobrimos que podemos sincronizar o relógio se houver algum fenômeno cosmológico que possa ser visto de qualquer lugar do universo e que mude com o tempo. Nós demos dois exemplos: um é a alteração na constante do Hubble, que pode ser medida localmente e concorda em zerar o relógio quando a constante do Hubble receber um determinado valor.

O segundo exemplo é a temperatura da radiação cósmica de fundo em microondas. No universo do nosso modelo, você pode concordar em zerar o relógio quando a temperatura da radiação cósmica de fundo atingir 5 graus ou qualquer número determinado. Se houver fenômenos semelhantes, e eles estiverem em nosso universo, você poderá sincronizar todos os relógios. É importante entender que, uma vez sincronizado o relógio, ele permanecerá sincronizado devido à nossa suposição de uniformidade. Ou seja, se todos concordarem que a temperatura da radiação cósmica de fundo no tempo zero é de 10 graus e todos esperarem 15 minutos, todos verão a mesma queda de temperatura durante esse período, caso contrário, isso violaria nossa hipótese de homogeneidade absoluta .

ALUNO: É verdade que a temperatura da radiação de fundo é a mesma para todos os observadores inerciais?

PROFESSOR: Não é exatamente o mesmo para diferentes observadores inerciais. O mesmo vale para uma classe privilegiada de observadores que estão em repouso com relação à distribuição média da matéria e, portanto, com relação ao sistema de coordenadas que o acompanha. Se você começar a se mover através da radiação cósmica de fundo, não verá mais uma distribuição uniforme de temperatura. Você verá a radiação mais quente em uma direção e mais fria no oposto. De fato, como mencionei, vemos esse efeito em nosso universo real. Aparentemente, estamos nos movendo em relação à radiação cósmica de fundo, a cerca de 1/1000 da velocidade da luz. Portanto, a temperatura da radiação não é invariável em relação ao movimento do observador.

Alguém pode fazer outra pergunta: a temperatura da radiação de fundo é a mesma em diferentes lugares do universo visível? Tanto quanto podemos julgar, sim. Existe uma maneira direta de medir a temperatura da radiação de fundo, sobre a qual provavelmente falaremos mais adiante, observando certas linhas espectrais em galáxias distantes. Em algumas galáxias onde essas linhas são visíveis, a temperatura da radiação cósmica de fundo em microondas pode ser medida diretamente. Em nosso modelo, assumimos completa homogeneidade de que tudo é igual em todo lugar. Embora a homogeneidade no universo real não esteja completa, há fortes evidências da homogeneidade aproximada do nosso universo.

ALUNO: Se alguns observadores moram perto de buracos negros, isso afetará a sincronização do relógio para esses observadores?

PROFESSOR: claro que sim. Pode-se sincronizar cosmologicamente um relógio, assumindo apenas que o universo é absolutamente homogêneo. Assim que aparecem heterogeneidades, como buracos negros, ou mesmo apenas estrelas como o Sol, elas criam desvios que impedem que o relógio seja sincronizado. Assim que a concentração de massa aparece, a uniformidade se torna apenas aproximada. Mas esses desvios são pequenos. Os desvios decorrentes do sol são da ordem de um milionésimo. Portanto, em uma aproximação muito boa, o universo é descrito por nosso modelo homogêneo. Embora, se você se aproximar muito de um dos buracos negros supermassivos localizados no centro das galáxias, acontece que ele tem uma influência muito forte no progresso do seu relógio.

Redshift cosmológico

O próximo tópico, como prometi, é o desvio para o vermelho cosmológico. Na terceira palestra, falamos sobre o deslocamento Doppler para ondas sonoras e o deslocamento relativístico Doppler para ondas de luz, levando em consideração a teoria especial da relatividade. No entanto, a cosmologia não é completamente descrita pela teoria especial da relatividade, embora a teoria especial da relatividade seja usada para descrever eventos locais na cosmologia. A teoria especial da relatividade não inclui os efeitos da gravidade e, em escala global, os efeitos da gravidade são muito importantes para a cosmologia. Portanto, a teoria especial da relatividade não é suficiente para entender muitas propriedades do universo, incluindo o desvio para o vermelho cosmológico. No entanto, verifica-se que existe uma maneira de descrever o desvio para o vermelho cosmológico, o que o explica ainda mais simplesmente do que a teoria especial da relatividade. Primeiro, vou descrevê-lo e depois falaremos sobre como esse resultado de aparência muito simples se compara à conclusão da teoria especial da relatividade, que também deve estar correta, pelo menos localmente.

Então, suponha que estamos olhando para uma galáxia distante, e a luz é emitida por uma fonte localizada nesta galáxia. Queremos entender qual é a relação entre a frequência da luz na radiação e a frequência que veremos quando a luz for recebida.


Para imaginar essa situação, vamos introduzir um sistema de coordenadas, $$$x$ . Este será o nosso sistema de coordenadas associado. $$$x$ medido em divisões. Vamos nos colocar na origem e na galáxia distante a alguma distância de nós. Ela tem uma coordenada específica. $$$l_c$ ( $$$c$ denota concomitante). $$$l_c$ É a distância que nos acompanha até a galáxia. A distância física que chamaremos $$$l_p$ ( $$$p$ significa físico), depende do tempo, porque o universo está se expandindo. Como dissemos antes $$$l_p (t) = a (t) l_c$ . Fator de escala $$$a (t)$ , que depende do tempo, é multiplicado pela distância que o acompanha, que não depende do tempo. Assim, as distâncias físicas simplesmente aumentam em proporção ao fator de escala $$$a (t)$ .

Suponha agora que a galáxia emita uma onda de luz e estamos tentando determinar a distância entre as cristas da onda, que é igual ao comprimento de onda. Como estamos interessados ​​apenas em cordilheiras, simplesmente imaginamos que cada cordilheira é um impulso, e o que acontece entre elas não nos interessa. Seguiremos os sucessivos pulsos de luz emitidos pela galáxia.

É importante que saibamos para o nosso modelo como as ondas de luz se propagam em um sistema de coordenadas que o acompanha. Se $$$x$ É a coordenada associada, então $$$dx / dt$ - a velocidade da luz que a acompanha, igual à velocidade normal da luz $$$c$ mas dividido pelo fator de escala:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

O fator de escala aqui desempenha o papel de converter medidores em divisões. $$$c$ medido em metros por segundo. Partilha $$$c$ em $$$a (t)$ obtemos a velocidade da luz em divisões por segundo, como queríamos, porque $$$x$ não medido em metros, mas em divisões. Divisão é uma unidade arbitrária que escolhemos descrever nosso sistema de coordenadas complementares.

Uma característica importante dessa equação é que a velocidade da luz no sistema de coordenadas que o acompanha depende do tempo, mas não depende $$$x$ . Nosso universo é homogêneo, então todos os pontos $$$x$ equivalente. Portanto, a cada momento, dois pulsos de luz se moverão com a mesma velocidade de acompanhamento, independentemente de onde estejam. É tudo o que precisamos. O primeiro impulso deixa a galáxia distante e se move em nossa direção, o segundo impulso segue o primeiro. O segundo impulso a qualquer momento se moverá com a mesma velocidade de acompanhamento que o primeiro, mesmo que a velocidade de acompanhamento mude com o tempo.

Isso significa o seguinte. A velocidade de acompanhamento dos pulsos pode variar com o tempo, mas desde que ambos se movam com a mesma velocidade de acompanhamento, a qualquer momento eles estarão exatamente à mesma distância um do outro no sistema de coordenadas que o acompanha. $$$Δx$ , a distância que acompanha entre dois pulsos não muda com o tempo. Se a distância que acompanha não muda com o tempo, e a distância física é sempre igual ao produto do fator de escala pela distância que o acompanha, então o comprimento de onda físico do pulso de luz será simplesmente esticado na proporção do fator de escala. O comprimento de onda aumentará com a expansão do universo, assim como qualquer outra distância em nosso modelo do universo aumentará com a expansão do universo. Essa é uma ideia-chave, é muito simples e contém tudo.

Que $$$Δx$ constantemente significa que $$$Δl$ distância física é proporcional $$$a (t)$ , o que significa que o comprimento de onda da luz $$$λ$ , em função de t, é proporcional $$$a (t)$ .

O comprimento de onda está relacionado ao período da relação de onda $$$λ = cΔt$ . Comprimento de onda é a distância que uma onda viaja em um período. Portanto, se $$$λ$ proporcional $$$a (t)$ então $$$Δt$ , o período da onda será proporcional $$$a (t)$ . Portanto:

$$$$ display $$ \ frac {Δt_ {acc.}} {Δt_ {fonte}} = \ frac {λ _ {acc.}} {λ _ {source}} = \ frac {a (t_ {acc. )}} {a (t_ {origem)}} $$ exibir $$

.

Portanto, a razão do comprimento de onda é simplesmente o número de vezes que o universo se estendeu. É igual à proporção de fatores de escala no tempo inicial e final. Determinamos o desvio para o vermelho usando o período da onda. A proporção de períodos, ou a proporção de comprimentos de onda, ou a proporção de fatores de escala, é 1 + z.

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs.)}} {A (t_ {fonte)}}$$

A relação do desvio para o vermelho cosmológico com a teoria especial da relatividade
Como o desvio para o vermelho cosmológico está relacionado ao desvio para o vermelho da teoria especial da relatividade, a fórmula pela qual derivamos anteriormente? Nosso resultado difere em dois aspectos do cálculo que fizemos na terceira palestra. A primeira razão que é importante para nós é que o cálculo cosmológico leva em consideração os efeitos que não foram levados em consideração pelos cálculos anteriores. Em particular, apesar de termos recebido a resposta usando um argumento cinemático muito simples, no qual, à primeira vista, praticamente não há matemática, ele é realmente muito forte, pois leva em conta não apenas a teoria especial da relatividade, mas também a teoria geral relatividade. Inclui todos os efeitos da gravidade. A gravidade não afeta o fato de que a velocidade da luz que acompanha $$$c / a (t)$ . Isso é apenas uma conversão de unidades, juntamente com a suposição física fundamental de que a velocidade da luz é sempre igual $$$c$ em relação a qualquer observador.

Portanto, quando consideramos a gravidade, essa proporção continua sendo mantida, e foi a única coisa que usamos, portanto a gravidade não pode afetar a resposta. Perdemos alguma coisa da teoria especial da relatividade? Não levei em consideração a dilatação do tempo, que foi crucial para o cálculo do desvio para o vermelho relativista.

Eu cometi um erro? Preciso adicionar dilatação do tempo em algum lugar? De fato, não. Tivemos duas horas envolvidas em nosso cálculo: o relógio na galáxia e nosso relógio, que usamos para medir o período de radiação e o período de recepção. Mas esses dois relógios estão parados em relação à questão local, mesmo que estejam se movendo em relação um ao outro. Portanto, por definição, eles medem o tempo cosmológico. O tempo cosmológico é um tipo muito peculiar de tempo, não é tempo em nenhum sistema inercial. Os relógios estão se movendo um em relação ao outro, portanto, se determinarmos a hora no sistema inercial, esse relógio nunca poderá ser sincronizado e a hora não coincidirá com eles.

Mas no sistema do tempo cosmológico, eles mostram o mesmo tempo. Como cada relógio está em repouso em relação à matéria local, eles medem $$$t$ tempo cosmológico. Assim, não é necessária dilatação do tempo. Não é que esquecemos, não está lá. Não é usado em cálculos.

Assim, o resultado obtido, por mais simples que pareça, cobre completamente os efeitos da teoria especial da relatividade e da gravidade. Deixe-me notar que não é óbvio onde a gravidade está aqui. Eu lhe disse que o resultado inclui todos os efeitos da gravidade. Onde a gravidade está escondida? Eu quero lhe fazer esta pergunta. Como a gravidade afeta os cálculos, mesmo que eu não tenha mencionado a gravidade quando fiz o cálculo?

ALUNO: Através do fator de escala.

PROFESSOR: Isso mesmo, através do fator de escala. Nós não falamos sobre como mudar $$$a (t)$ . Alterar $$$a (t)$ incluirá explicitamente efeitos de gravidade. É por isso que nosso resultado depende da gravidade, embora não precisemos usar ou mencionar a gravidade para obter uma resposta. A resposta para o desvio para o vermelho cosmológico é tão simples porque $$$a (t)$ já inclui muita informação. Nós apenas aproveitamos isso para obter uma expressão muito simples, dependendo $$$a (t)$ sem dizer nada ainda sobre como calcularemos $$$a (t)$ . Essa é a primeira diferença.

Outra diferença importante entre os dois cálculos são as variáveis ​​usadas na resposta. Pode haver várias respostas diferentes para a mesma pergunta, dependendo de quais variáveis ​​são usadas. Nesse caso, expressamos desvio para o vermelho $$$z$ para objetos em repouso em um sistema de coordenadas que o acompanha. O cálculo na teoria especial da relatividade, por outro lado, fornece z, dependendo da velocidade medida no sistema de coordenadas inerciais. Assim, os resultados são expressos em termos completamente diferentes.

O que acontece se tentarmos comparar as respostas que recebemos para os desvios relativísticos e cosmológicos? Há apenas um caso em que eles são legítimos para comparar. Como o cálculo que acabamos de fazer inclui os efeitos da gravidade, e o cálculo usando a teoria especial da relatividade não inclui os efeitos da gravidade, o único caso em que podemos compará-los e garantir que coincidam é o caso em que a gravidade é desprezível.

Podemos considerar o modelo cosmológico, onde a gravidade é pequena, não há contradição nisso. Se a gravidade é insignificante, como se comportará $$$a (t)$ ? Se não houver gravidade, $$$a (t)$ deve depender linearmente de $$$t$ . Isso significa que todas as velocidades são constantes. Assim, no caso particular da ausência de gravidade, $$$a (t)$ cresce linearmente com o tempo. Nesse caso, você sempre pode garantir que a constante adicionada ao termo linear se torne zero, apenas definindo o tempo zero no momento em que $$$a (t)$ igual a zero. Assim, na ausência de gravidade, podemos dizer que $$$a (t)$ deve ser proporcional a t.

Então, nesse caso em particular, nossos dois cálculos devem coincidir. Você pode verificar você mesmo. Não é tão simples, para isso você precisará entender o relacionamento entre os dois sistemas de coordenadas. A resposta para a teoria especial da relatividade é dada em um sistema de coordenadas inerciais, que na presença da gravidade não existe. Ele está conectado ao sistema de coordenadas em expansão de uma maneira complexa, devido à dilatação do tempo e à contração de Lorentz associadas ao movimento que ocorre no universo em expansão.

Você precisará descobrir a relação entre esses dois sistemas de coordenadas. Ao fazer isso e comparar as respostas, você descobrirá que elas realmente correspondem exatamente. Tudo isso está de acordo com a teoria especial da relatividade, no caso particular em que a gravidade está ausente.

Newton e o universo estático

Discutimos tudo o que eu queria contar sobre a cinemática de um universo em expansão uniforme, agora estamos prontos para avançar para a dinâmica. Precisamos descobrir como a gravidade afeta o universo para poder calcular como$$a ( t ) muda com o tempo. Este será o único objetivo para entender o comportamento.$a(t)$$$$a(t)$ .

Esta questão, em certo sentido, remonta a Isaac Newton. Quero observar que uma das coisas interessantes da cosmologia é que, se você olhar para a história da cosmologia, muitos grandes físicos cometeram grandes erros ao tentar analisar questões cosmológicas. Hoje vamos discutir um dos erros de Newton. Até grandes físicos como Newton poderiam cometer erros estúpidos. Ele realmente cometeu um erro estúpido ao analisar as consequências cosmológicas de sua própria teoria da gravidade.

Newton, como todo mundo antes de Hubble, acreditava que o universo era estático. Ele representou o universo como uma distribuição estática de estrelas espalhadas no espaço. No início de sua carreira, até onde eu sei história, ele assumiu que a distribuição de estrelas era finita no espaço infinito. Mas, em algum momento, ele percebeu que, se houver uma distribuição de massa finita no espaço vazio, e toda a substância for atraída uma pela outra com uma força atraente inversamente proporcional ao quadrado da distância, que ele sabia, desde que a abriu, como resultado, tudo deve ser comprimido ponto. Ele decidiu que sua suposição não funcionava, mas ainda tinha certeza de que o universo era estático, já que tudo parecia estático, as estrelas não se moviam em lugar algum.

Então ele se perguntou o que poderia ser mudado e decidiu que, em vez de assumir que as estrelas formam uma distribuição finita, é melhor supor que elas estejam distribuídas infinitamente no espaço. Ele argumentou da seguinte maneira, e esse é precisamente o erro de que, se as estrelas preencherem um espaço infinito, mesmo que todas se atraiam, elas não terão uma direção preferida para o movimento. Como eles não terão uma direção preferida para o movimento, porque são atraídos por todos os lados, eles permanecem no lugar. Assim, ele acreditava que uma distribuição infinita e uniforme da matéria seria estável, que não haveria forças gravitacionais surgindo em uma distribuição tão infinita de massa.

Ele aparentemente ouviu vários argumentos a favor disso. Um dos argumentos de que a distribuição infinita seria estável foi o argumento de que uma força infinita puxando-a para a direita e uma força infinita puxando-a para a esquerda atuam na partícula. Como os dois são infinitos, eles se neutralizam. Newton não aceitou esse argumento. Ele era sofisticado o suficiente para entender que o infinito menos o infinito não é necessariamente zero. No entanto, Newton estava convencido de que a distribuição infinita de massa seria estável.

O argumento que o convenceu não era a infinidade de matéria de cada lado, mas simetria. O argumento dele foi que, se você olhar para qualquer ponto dessa distribuição infinita, se olhar para esse ponto, todas as direções terão a mesma aparência, com a substância se estendendo até o infinito e, portanto, não haverá direção na qual a força deve agir sobre qualquer partícula em particular. E se a força não tem direção, deve ser zero. Esse foi o argumento que Newton adotou.

Agora vamos discutir isso em mais detalhes e tentar entender como os estudiosos modernos se relacionam com esse argumento. A propósito, quero mencionar um fato histórico. O argumento de Newton, tanto quanto eu sei, não é questionado por ninguém há centenas de anos, até Albert Einstein. Albert Einstein, tentando descrever a cosmologia usando sua nova teoria geral da relatividade, foi a primeira pessoa a perceber que, mesmo que você tenha uma distribuição de massa infinita, ela entra em colapso. Einstein percebeu que o mesmo aconteceria na física newtoniana, isso não é uma característica da teoria geral da relatividade. Simplesmente exigiu historicamente a criação de uma teoria geral da relatividade para fazer as pessoas repensarem e entenderem que Newton estava errado.

A impossibilidade de um universo estático

A dificuldade de tentar analisar o problema da maneira que Newton fez é que Newton via a gravidade como uma força agindo à distância. Se tivermos dois objetos localizados à distância$$r um do outro, eles se atraem com uma força proporcional à$r$$$$1/r^2$ .Desde a época de Newton, outras formas de descrever a gravidade newtoniana foram inventadas para tornar a situação muito mais clara. A dificuldade em usar a descrição de Newton é que, se tentarmos adicionar todas essas forças proporcionalmente$$1 / r 2 , obtemos valores divergentes, cuja interpretação precisamos entender. Mas, para entender que Newton estava errado, é mais fácil olhar para outras formulações da gravidade de Newton. Descreverei dois deles, com os quais você já deve estar familiarizado. Descreverei o primeiro por analogia com a lei de Coulomb. A lei de Coulomb é realmente a mesma que a lei da gravidade. A lei de Coulomb afirma que qualquer partícula carregada cria um campo elétrico igual à carga dividida pela distância ao quadrado e multiplicada por um vetor unitário direcionado a partir da carga.$1/r^2$

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

Esta é a lei de Coulomb. Às vezes, tem uma constante, dependendo de quais unidades é medida$$q , mas isso não é importante para nós. Suponho que usamos essa equação, onde a constante é 1.Como você sabe, da lei de Coulomb você pode obtera lei de Gauss. Se a lei de Coulomb for verdadeira, então podemos dizer definitivamente qual é a integraldo fluxo do campo elétricosobre qualquer superfície fechada. É proporcional à quantidade total de carga dentro da superfície.$q$

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

onde $$q in n é a quantidade total de carga dentro de uma superfície fechada. Você pode escrever a lei da gravidade de Newton, quase da mesma maneira que Newton a formulou. Você pode expressar a aceleração gravitacional a uma determinada distância do objeto:$q_{}$

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

Esta é a mesma lei do quadrado inverso e semelhante à lei de Coulomb, exceto pela constante no início. A constante tem o sinal oposto, o que é importante em alguns casos, mas não agora. O importante é que essa equação possa ser reformulada como a lei de Gauss, e é chamada de lei da gravidade gaussiana. A única maneira de diferir é a constante à frente:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

Agora vamos considerar a distribuição uniforme da matéria que Newton considerou. Newton argumentou que é possível obter uma distribuição homogênea da matéria que preenche todo o espaço infinito, e será estática, ou seja, não haverá aceleração. A falta de aceleração na linguagem de Newton significa que$$→ g deve ser zero em qualquer lugar. Mas a partir da última fórmula segue-se que se$\vec g$$$→ g é em todo lugar igual a zero, então a integral de$\vec g$$$→ g sobre qualquer superfície fechada também será igual a zero e, portanto, a massa total envolvida dentro dessa superfície também deve ser igual a zero. Mas se tivermos uma distribuição uniforme de massa, a massa total fechada, é claro, não será zero para nenhum volume diferente de zero. Assim, fica claro que a afirmação de que o sistema é estático contradiz diretamente a formulação da lei da gravitação de Gauss Newton.Apenas por diversão, darei outro argumento semelhante, usando outra formulação mais moderna da gravidade newtoniana. Se você não a conheceu e não entende do que estou falando, não se preocupe, isso não é tão importante. Para aqueles que a conhecem, eu a trago. Outra maneira de formular a gravidade newtoniana é introduzir o potencial gravitacional. Vou usar a letra$\vec g$

$$φ para potencial gravitacional. Está associado à aceleração gravitacional da seguinte forma:$φ$$$→g =- →∇ φ$\vec g = - \vec ∇φ$ onde $$→∇ φ$\vec ∇φ$É um gradiente $$$φ$ . Gradiente $$φ é igual a um vetor de unidade$φ$$$I na direcção de X multiplicado pelo derivado de$\hat i$$$φ por$φ$$$x , mais um vetor de unidade$x$$$J na direcção do eixo y, multiplicado pelo derivado de$\hat j$$$φ por$φ$$$y , mais um vetor de unidade$y$$$K multiplicado pelo derivado de$\hat k$$$φ por$φ$$$$z$ :

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

Uma vez determinado o potencial gravitacional, podemos escrever a forma diferencial da lei de Gauss, que se torna a chamada equação de Poisson. Alega que

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

onde ρ é a densidade de massa, e $$$∇^2φ$ definido como a segunda derivada de $$$φ$ por $$$x$ , mais a segunda derivada de $$$φ$ por $$$y$ , mais a segunda derivada de $$$φ$ por $$$z$ :

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = \ frac {\ parcial ^ 2 φ} {\ parcial x ^ 2} + \ frac {\ parcial ^ 2 φ} {\ parcial y ^ 2} + \ frac {\ parcial ^ 2 display} {\ parcial z ^ 2} $$ display $$

Isso é chamado de equação de Poisson. Se a densidade de massa for dada, você poderá encontrar o potencial gravitacional, calcular o gradiente e encontrar $$$\ vec g$ . Isso é equivalente a outras formulações de gravidade. Mas isso nos dá mais um teste da afirmação de Newton de que há uma distribuição uniforme da matéria sem nenhuma força gravitacional. Se não houver forças gravitacionais, então $$$\ vec g$ deve ser zero, como dissemos um minuto atrás. E pelo fato de que $$$\ vec g$ igual a zero, segue-se que o gradiente $$$φ$ igual a zero.

Se você observar a fórmula do gradiente, esse é um vetor. Para um vetor zero, cada um de seus três componentes deve ser igual a zero e, portanto, a derivada de $$$φ$ por $$$x$ derivado de $$$φ$ por $$$y$ a derivada de $$$φ$ por $$$z$ desaparecerá. Isso significa que $$$φ$ deve ser constante em todos os lugares; não possui uma derivada em relação a nenhuma coordenada espacial. Portanto, se $$$\ vec g$ igual a zero, em seguida, o gradiente $$$φ$ igual a zero e $$$φ$ é uma constante em todo o espaço. Se $$$φ$ é constante em todos os lugares, o que ocorre na ausência de gravidade, é imediatamente claro que $$$∇ ^ 2φ$ deve ser igual a zero, o que significa que ρ deve ser igual a zero, ou seja, não haverá densidade de massa. Mas Newton queria uma densidade de massa diferente de zero, uma substância uniformemente distribuída no espaço infinito. Essa é outra demonstração de que o argumento de Newton estava incorreto.

Integrais condicionalmente convergentes

Então, chegamos à conclusão de que Newton estava errado, mas precisamos analisar com mais cuidado o argumento de Newton para entender exatamente onde ele cometeu um erro. A próxima coisa que quero discutir é a ambiguidade associada à adição de forças gravitacionais newtonianas para um universo infinito. Mencionei que o problema real dos cálculos de Newton é que o valor que ele calculou é divergente, e você precisa ter cuidado ao tentar calculá-lo.

Para esclarecer isso, quero começar com um exemplo de uma integral que dê um valor ambíguo. Vou apresentar alguns conceitos matemáticos. Vamos imaginar que temos alguma função arbitrária $$$f (x)$ onde $$$x$ será apenas uma variável.

Nós o generalizaremos em três dimensões, o que nos interessa, mas começaremos com uma variável. Se tivermos uma função $$$f (x)$ , podemos considerar a integral de menos infinito a infinito de $$$f (x)$ Vou ligar pra ele $$$I_1$ :

$$

$$I_1 = \ int \ limites _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) dx$$

É uma integral que é obtida adicionando todas as forças gravitacionais que atuam no corpo. Agora eu quero considerar o caso quando $$$I_1$ é finito.

Preciso primeiro determinar com mais precisão o que quero dizer com $$$I_1$ , integral de menos a mais infinito. Podemos definir a integral de menos infinito a infinito como o limite da integral de $$$-L$ antes $$$L$ de $$$f (x)$ em que $$$L$ tende ao infinito:

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \ to \ infty} \ int \ limits _ {- L} ^ Lf (x) dx$$

Precisamos calcular a integral de $$$-L$ antes $$$L$ . Se assumirmos que $$$f (x)$ é finito, a integral também é sempre finita. Vou assumir que a própria função $$$f (x)$ for finito, apenas nos preocuparemos com a convergência da integral para $$$L$ tendendo ao infinito. Então, para qualquer dado $$$L$ a integral é algum tipo de número. Então, pode-se perguntar se esse número tende ao limite quando $$$L$ tende ao infinito? Nesse caso, chamaremos isso de valor $$$I_1$ . Esta é apenas uma definição do que entendemos por integral de menos infinito a infinito.

Agora considere o caso em que esse valor existe, quando $$$I_1$ menos infinito, ou seja, tem algum valor finito. Mas também quero considerar a integral, que chamarei $$$I_2$ , que também é definido como a integral de menos infinito a infinito, mas do valor absoluto $$$f (x)$ :

$$

$$I_2 = \ int \ limites _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | dx$$

Agora um pouco de terminologia. Se $$$I_2$ menos infinito, se convergir, então $$$I_1$ chamado absolutamente convergente . Absolutamente convergente significa que a integral converge, mesmo que o valor absoluto da função seja usado. Pelo contrário, se $$$I_2$ diverge, mas ao mesmo tempo $$$I_1$ converge então $$$I_1$ chamado condicionalmente convergente . Assim, se a integral de uma função convergir, mas a integral do valor absoluto da mesma função não convergir, esse caso será chamado convergência condicional.

A razão dessa separação é que integrais condicionalmente convergentes são muito perigosas. Eles são perigosos porque não estão bem definidos. Você pode obter qualquer valor que desejar adicionando o integrando em uma ordem diferente. Enquanto aderimos a uma determinada ordem, que está implícita no símbolo da integral, obtemos uma resposta única. Mas, se, por exemplo, simplesmente mudarmos o início da integração, podemos obter uma resposta diferente. Normalmente, não esperamos isso. Normalmente, simplesmente integramos ao longo da linha numérica, não importa onde começamos a calcular a integral. Assim, o resultado se torna muito menos definido quando trabalhamos com integrais condicionalmente convergentes.

Antes de passar para a integral específica que nos interessa, com a ajuda da qual tentaremos adicionar as forças gravitacionais da distribuição infinita da matéria, darei um exemplo de uma função muito simples que ilustra essa ambiguidade quando a integral converge, mas não converge absolutamente. Você pode obter qualquer resposta que desejar, adicionando as partes da integral em uma ordem diferente. Um exemplo que considerarei é a função f (x), que é +1 se x> 0 e -1 se x <0. Não indico o que é igual se x = 0, isso não importa durante a integração. Um único ponto não importa. Você pode pegar qualquer valor para a função com x = 0, isso não mudará nada.

Se o integrarmos simetricamente, seguindo a definição do que entendemos por integração de menos infinito a infinito, obtemos uma redução completa.

Quando integramos a partir de $$$-L$ antes $$$L$ , obtemos zero porque há uma redução completa entre as partes negativas e as partes positivas da integral. Então, se você tomar o limite, quando $$$L$ tende ao infinito, o limite zero será zero. Não há ambiguidade nesta declaração.

Assim, somando as partes da integral na ordem indicada, obtemos a integral, que é igual a zero. Mas o resultado depende da ordem em que colocamos essas partes. Em particular, se simplesmente mudarmos o início da integração, começando a nos afastar do novo começo, obteremos uma resposta diferente. Vamos olhar para o limite novamente quando $$$L$ tende ao infinito, mas em vez de integrar a partir de $$$-L$ antes $$$L$ vamos integrar a partir de $$$a-l$ antes $$$a + L$ .

Esta é realmente a mesma integral, apenas mudamos para a direita o nosso início de integração. Em um caso particular $$$a$ é igual a zero, e temos o mesmo de antes, mas se $$$a$ diferente de zero, isso significa que nossa integral é calculada a partir de $$$x = a$ não de $$$x = 0$ .

Primeiro, devemos calcular a integral de $$$a-l$ antes $$$a + L$ e então tome o limite quando $$$L$ lutar pelo infinito e ver o que obtemos.

É fácil entender o que temos. Assim que $$$L$ ficando maior $$$a$ , a resposta não muda mais com o aumento $$$L$ . Quando aumentamos $$$L$ , adicionamos uma parte negativa à esquerda e a mesma parte positiva à direita e elas se neutralizam. Quando $$$L = a$ , a integral será de 0 a 2 $$$a$ . Na integral, haverá apenas valores positivos da função, o intervalo de integração será 2 $$$a$ , isso significa que a integral será 2 $$$a$ . Para valores grandes $$$L$ a integral será a mesma porque, como $$$L$ como eu disse, acabamos de adicionar valores positivos à direita e valores negativos à esquerda. Portanto, o limite nessa integração possui um valor definido, que é igual a 2 $$$a$ .

$$$a$ - este é o número a partir do qual iniciamos a integração, para que possa ser qualquer coisa. Nós podemos escolher $$$a$ como nós queremos. Assim, podemos obter qualquer resposta que desejarmos, se pudermos adicionar partes da integral em uma ordem arbitrária. Essa é a incerteza fundamental das integrais condicionalmente convergentes. Veremos que uma tentativa de somar as forças que atuam sobre uma partícula em uma distribuição de massa infinita é apenas uma integral condicionalmente convergente. Portanto, podemos obter qualquer resposta que desejamos, e isso não significa nada, a menos que você faça isso com muito cuidado.

O problema da adição de forças gravitacionais

Agora, quero calcular a força que atua sobre uma partícula em uma distribuição infinita de matéria e mostrar que posso obter respostas diferentes, dependendo da ordem em que adicionarei forças gravitacionais. Em cada exemplo, adicionarei força em uma determinada ordem e receberei uma certa resposta; no entanto, receberei respostas diferentes, dependendo da ordem de adição que escolher.

Vamos tentar calcular a força gravitacional em algum momento $$$P$ na distribuição infinita da matéria. A substância preenche a lâmina e todo o espaço até o infinito. Adicionaremos a contribuição gravitacional de toda essa substância em uma determinada ordem.

Em nosso primeiro cálculo, adicionamos as forças gravitacionais de uma substância localizada em conchas concêntricas centradas em um ponto $$$P$ . Primeiro, pegamos a concha mais interna, depois a segunda, a terceira, etc. indo mais longe do centro. Nesse caso, é fácil entender que a força que atua no ponto $$$P$ calculado nesta ordem é 0, porque para cada shell $$$P$ localizado no centro e devido a considerações de simetria, as forças devem ser compensadas. De fato, é sabido, e em breve aproveitaremos esse fato de que o campo gravitacional da concha dentro da concha é zero. Isso foi provado por Newton. E fora da concha, o campo gravitacional parece exatamente como se todo o material da concha estivesse concentrado em seu centro. É claro que, neste caso, a força gravitacional no ponto $$$P$ igual a 0.

Agora vamos considerar um caso mais complexo, no qual também calculamos a força gravitacional em um ponto $$$P$ . Mas usaremos conchas esféricas centradas em outro ponto, $$$Q$ . Agora $$$Q$ define as conchas que usaremos para adicionar força. Também adicionaremos forças de todos os invólucros, de zero ao infinito, ou seja, somar todas as forças no ponto $$$P$ de toda a distribuição infinita da matéria. Mas adicionaremos essas forças em uma ordem diferente, porque tomaremos em ordem a concha centralizada em $$$Q$ . Primeiro, analisamos a contribuição da área sombreada, que é todas as conchas ao redor $$$Q$ tendo raios inferiores à distância de $$$Q$ antes $$$P$ . Para todas essas conchas, o ponto $$$P$ fica fora da concha. Portanto, cada concha age exatamente da mesma maneira que uma massa pontual igual à massa total da concha concentrada em um ponto $$$Q$ , o centro de todas as conchas. Assim, a substância que está na região sombreada contribui para a força no ponto $$$P$ igual à força que uma massa sombria criaria se estivesse concentrada em um ponto $$$Q$ .

Por outro lado, todas as outras conchas serão conchas para as quais $$$P$ localizado dentro. $$$P$ não está mais no centro dessas conchas, mas Newton descobriu que isso não importa. Dentro da concha esférica, a força gravitacional é zero em qualquer lugar, independentemente de quão próxima esteja da fronteira. Todas as forças de diferentes partes da carcaça são compensadas com precisão. Se nos aproximarmos da fronteira, podemos assumir que haverá uma atração na direção dessa fronteira. De fato, neste caso, a força de atração por uma partícula específica nesse limite se torna mais forte, porque é proporcional $$$1 / r ^ 2$ . Mas quando nos aproximamos da fronteira, mais e mais substância está do lado oposto. E esses dois efeitos se cancelam completamente. A propósito, o fato de que a força que atua sobre uma partícula dentro da concha é zero pode ser facilmente comprovado usando a lei de Gauss para a gravidade.

Portanto, as conchas externas não dão contribuição. Descobrimos que a força no momento $$$P$ igual à força criada pela massa sombreada. Aceleração gravitacional em um ponto $$$P$ é determinado por uma fórmula simples: é igual a G vezes a massa total da área sombreada dividida por $$$b ^ 2$ onde $$$b$ igual à distância entre $$$Q$ e $$$P$ e multiplicado por um vetor unitário direcionado de $$$Q$ aparte $$$P$ :

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

E este é um valor diferente de zero. Assim, obtemos um resultado zero ou diferente de zero, dependendo da ordem em que somamos as forças de nossa distribuição infinita da matéria. Além disso, podemos obter qualquer resposta, porque podemos escolher $$$b$ tanto faz. A resposta depende de $$$b$ e torna-se arbitrariamente grande à medida que cresce $$$b$ . Pode parecer que a resposta diminua com o aumento $$$b$ mas na verdade está crescendo à medida que a massa $$$M$ crescendo como $$$b ^ 3$ . Podemos ganhar força em qualquer direção, escolhendo $$$Q$ na direção certa de $$$P$ . De fato, podemos obter qualquer resposta usando esse método de aumentar a força.

O problema é que essas conchas realmente não existem. Apenas trabalhamos mentalmente com essas conchas. A substância é distribuída uniformemente e não há conchas. Os reservatórios são objetos puramente mentais que não devem afetar a resposta. Eles determinam apenas a ordem em que resumimos as forças gravitacionais.