Modulação de amplitude de um sinal arbitrário

Como você sabe, AM é um tipo de modulação em que a amplitude do sinal da portadora muda de acordo com a lei do sinal de modulação (informação). Existem muitas fontes com uma descrição teórica e prática da AM. A descrição é dada, em primeiro lugar, para mostrar a composição da frequência do sinal AM. Como sinal modulador, geralmente é considerado um sinal de tom único. Este sinal é definido por uma simples função senoidal. Eles sempre me perguntavam, e eu me perguntava como descrever a AM, caso houvesse um sinal arbitrário como sinal modulador. É um sinal arbitrário, cujo espectro de frequências consiste em muitos componentes, o que é de interesse, uma vez que o AM é usado na transmissão para transmitir som.

Vamos tentar descrever o AM para o caso acima, levando em consideração que o sinal modulador pode ser representado como uma soma contínua de sinais simples de tom único de diferentes frequências com diferentes amplitudes e fases. Sem entrar nos meandros da análise matemática, esse sinal pode ser escrito como uma soma contínua (integral de Fourier):

$$

$$S (t) = \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

onde $$$m$ - o limite superior da frequência do sinal (banda do sinal de modulação), $$$f$ A variável de integração é responsável pela frequência e $$$f \ in (0; m]$ . Funções $$$A (f)$ e $$$\ varphi (f)$ - a amplitude e fase do componente de sinal a uma frequência $$$f$ .

O integrando desta fórmula é o chamado convolução trigonométrica na forma de amplitude-fase do termo da série de Fourier na qual o sinal pode ser expandido. A integral em (1) pode ser chamada de integral de Fourier, pois, de fato, é uma soma contínua, ou seja, série contínua de Fourier na qual o sinal original é decomposto. A expansão do sinal em uma série semelhante dá uma idéia da composição de frequência desse sinal. Assim, o sinal de modulação inicial é apresentado como uma soma contínua de sinusóides (neste caso, por conveniência, $$$cos$ ) várias frequências $$$f$ de $$$0$ antes $$$m$ , cada um deles tem sua própria amplitude $$$A (f)$ mudança de fase $$$\ varphi (f)$ . Função $$$A (f)$ representa o espectro de frequência do sinal original $$$S (t)$ .

Vale ressaltar que o sinal é considerado por um período limitado de tempo. $$$t \ em [0; t_0]$ . De um modo geral, quando se trata de um sinal de áudio, geralmente o espectro de frequências faz sentido prático para considerar fragmentos de sinal muito curtos. Obviamente, quanto maior a duração do sinal, mais componentes de baixa frequência (se aproximando de zero) aparecerão na composição espectral, que não pode ser comparada com as frequências de som na faixa audível.

Além do sinal de modulação, há um sinal de tom, que é uma oscilação de portadora com uma frequência $$$f_c$ amplitude $$$C$ e zero fase inicial:

$$

$$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$$

além disso $$$f_c \ gg m$ . De fato, na transmissão, a frequência da portadora é muitas vezes maior que a largura de banda do sinal transmitido.

Agora nos voltamos diretamente para o processo de modulação de amplitude.

Sinal AM é conhecido $$$S_ {AM}$ existe o resultado da multiplicação do sinal da portadora e do sinal de modulação, previamente enviesado e "indexado" pelo índice de modulação $$$k$ , ou seja,

$$

$$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t)). \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$$

Para evitar a chamada supermodulação $$$k \ in (0; 1)$ .

Substituímos os dados iniciais (1) e (2) pela expressão (3), abrimos os colchetes, inserimos na integral independente da variável de integração $$$f$ alguns fatores:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Big (1 + k \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Big) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df.$$

Aplicamos a conhecida fórmula trigonométrica da escola para transformar o produto para funções integradas:

$$

$$\ sen a \ cos b = \ frac12 \ Big (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Big).$$

Esta fórmula é fundamental em AM e enfatiza esses mesmos "dois lados" na composição espectral do sinal AM.

Continuando a igualdade, dividimos a integral da soma resultante na soma de duas integrais, expandimos os colchetes e removemos os colchetes dos fatores necessários nos argumentos das funções:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ frac12 \ Big (\ sin (2 \ pi f_ct- (2 \ pi ft + \ varphi ( Se a resposta ajudou de alguma forma, por favor, marque como resposta, caso a sua dúvida não tenha sido solucionada, por favor, poste novamente. mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t + \ varphi (f)) df$$

Os três termos resultantes representam, respectivamente, como pode ser visto a partir da igualdade, o sinal da portadora, os sinais do lado "inferior" e "superior". Antes de dar uma explicação concreta, continuamos a igualdade aplicando o método de substituição de variáveis ​​na seguinte configuração:

$$

$$\ begin {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f), \; dw = \ pm df, \\ df = \ pm dw, \; f = \ pm (w-f_c), \\ w (0) = f_c, \; w (m) = (f_c \ pm m). \ end {bmatrix}.$$

Usaremos essa mesma substituição:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w) \ sin (2 \ pi wt - \ varphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ pi wt + \ varphi (w-f_c)) dw$$

Ao trocar os limites de integração na primeira integral (como resultado, o sinal na frente da integral mudará para o oposto), podemos combinar as duas integrais em uma. Além disso, o primeiro termo que descreve o sinal da portadora também pode ser introduzido lá. Nesse caso, naturalmente, as funções integradas da amplitude e fase devem ser generalizadas. Tudo isso é feito condicionalmente e para uma apresentação mais detalhada, sem entrar nos meandros da análise matemática. Assim, verifica-se:

$$

$$S_ {AM} (t) = \ int \ limits_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi peso + \ psi (w)) dw,$$

onde

$$

$$B (w) = \ begin {cases} \ frac12kCA (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C, \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (4)$$

e

$$

$$\ psi (w) = \ begin {cases} - \ varphi (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0, \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ varphi (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases}. \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; (5)$$

Assim, foram introduzidas novas funções definidas por partes (4) e (5) que descrevem a mudança de amplitude e fase em função da frequência. Observando os componentes da função (4), percebe-se que o terceiro componente é obtido por transferência paralela da função $$$A (f)$ em $$$f_c$ , e o primeiro - com uma propagação espelhada preliminar. As constantes constantes na frente das funções, que reduzem a amplitude, não levo em consideração. Ou seja, no espectro do sinal AM existem três componentes: a portadora, o lado superior e o lado inferior, que foram refletidos em (4).

Em conclusão, vale ressaltar que a AM pode ser descrita usando uma abordagem mais complexa, baseada em sinais e números complexos. O sinal usual discutido neste artigo não possui um componente imaginário. Levando em conta a representação usando diagramas vetoriais no plano complexo, um sinal sem um componente imaginário é composto de dois sinais complexos com ambos os componentes. Isso é óbvio se representarmos um sinal de tom único como a soma de dois vetores que giram em direções opostas simetricamente em relação ao eixo x (Re). A velocidade de rotação desses vetores é equivalente à frequência do sinal e a direção do sinal da frequência (positiva ou negativa). Daí resulta que o espectro de frequências do sinal sem um componente imaginário tem não apenas um componente positivo, mas também um componente negativo. E, é claro, é simétrico em relação a zero. É com esta representação que se pode argumentar que, no processo de modulação de amplitude, o espectro do sinal de modulação é transferido em uma escala de frequência para a direita, de zero para a frequência portadora (e também para a esquerda). Nesse caso, o “lado inferior” não ocorre, ele já existe no sinal de modulação original, embora esteja localizado na faixa de frequência negativa. Parece estranho à primeira vista, pois, na natureza, parece, não há frequências negativas. Mas a matemática apresenta muitas surpresas.