Teoria da felicidade. A lei da casca de melancia e a normalidade da anormalidade

Eu represento os capítulos desordenados do meu livro "Teoria da Felicidade" com o subtítulo "Fundamentos matemáticos das leis da maldade" para a corte dos leitores de Habr. Este livro científico ainda não foi publicado, informando de maneira muito informal sobre como a matemática permite que você olhe para a vida do mundo e das pessoas com um novo grau de conscientização. É para aqueles que estão interessados ​​em ciência e para aqueles que estão interessados ​​na vida. E como nossa vida é complexa e, em geral, imprevisível, a ênfase no livro está principalmente na teoria das probabilidades e nas estatísticas matemáticas. Aqui os teoremas não são provados e os fundamentos da ciência não são dados; isso não é de forma alguma um livro, mas o que é chamado de ciência recreativa. Mas é precisamente essa abordagem quase lúdica que nos permite desenvolver a intuição, animar as palestras para os alunos com exemplos vívidos e, finalmente, explicar aos não matemáticos e nossos filhos que encontramos coisas tão interessantes em nossa ciência seca.



Neste capítulo, começamos analisando as melancias e suas cascas, descobrimos sua conexão com a famosa lei de Murphy e garantimos, com toda a severidade, que os gostos não sejam debatidos.

Parece-me sozinho que sou normal?

Com que frequência, assistindo as notícias ou lendo os comentários sobre elas, ficamos perplexos: "Existem pessoas normais neste mundo?!" Parece que deveria haver, porque somos muitos e, em média, devemos ser normais. Mas, ao mesmo tempo, os sábios dizem que cada um de nós é único. E os adolescentes têm certeza de que são certamente diferentes da massa cinzenta das “pessoas normais” e não são como qualquer outra pessoa.

É claro que os leitores familiarizados com estatística viram muitas vezes como, para várias distribuições assimétricas, o modo (máximo no gráfico de densidade de probabilidade) não coincide com o valor médio ou a expectativa matemática. Ou seja, o valor médio não corresponde à maior densidade de probabilidade, mas, mesmo assim, espera-se que, se não for o mais frequentemente encontrado, seja pelo menos dominante. No entanto, nem tudo é tão simples. Até agora, consideramos distribuições univariadas - distribuições no espaço unidimensional de resultados. Mas a vida é multifacetada, e certamente não unidimensional! E ao adicionar dimensões extras, coisas inesperadas podem acontecer.

Um dos recursos da geometria multidimensional é um aumento no compartilhamento de valores de contorno em um volume limitado. É isso que se entende. Considere o problema clássico da melancia em espaços com diferentes dimensões e tente descobrir quanta polpa de açúcar maravilhosa obteremos dessa melancia enorme, forte e de dar água na boca; se a cortarmos, descobriremos que a espessura de sua casca não excede $$ do seu raio? Parece que $$ isso é muita dor, mas veja a figura no início do artigo, talvez encontremos uma melancia com tais proporções bastante aceitável.

Vamos começar com uma melancia unidimensional - essa é uma coluna rosa e sua casca tem dois pequenos segmentos brancos ao longo das bordas. O comprimento total da crosta - este é um análogo do volume em um mundo unidimensional - será $$ do comprimento total da melancia. Uma melancia bidimensional em forma de panqueca, a crosta na forma de um anel branco, terá uma área menor do que sua parte interna, já apenas três vezes. No mundo tridimensional usual, essa crosta será quase $$ volume total. Existe uma pegadinha.

As partes que a casca ocupa em uma melancia de várias dimensões.

Para uma bola, bem como para um corpo de forma arbitrária, podemos obter a dependência da razão entre o volume da crosta e o volume total do corpo. É expresso através da razão entre a espessura da crosta e o tamanho característico do corpo $$ e é uma função exponencial da dimensão do espaço $$ :

$$

Aqui está um gráfico do crescimento da proporção de um raio de quinze por cento da crosta de melancia em seu volume, com um aumento adicional na dimensão do espaço.


No espaço quadridimensional, nossa melancia convencionalmente com melão curto nos deixará apenas metade da carne e, no mundo das onze dimensões, só podemos nos deleitar $$ de toda a melancia, jogando fora a crosta que compõe $$ seu raio!

Então, estamos prontos para formular a profunda lei da casca de melancia :

Ao comprar uma melancia multidimensional, você obtém, basicamente, a casca.

É uma pena, é claro, mas o que isso tem a ver com a normalidade do nosso mundo e as leis da maldade? Infelizmente, é ele quem impede a busca pela chamada “média de ouro”, desvaloriza os resultados das pesquisas de opinião e aumenta o papel de problemas improváveis.

O fato é que o espaço das pessoas com todos os seus parâmetros é essencialmente multidimensional. Dimensões bastante independentes podem ser consideradas altura, peso, idade e riqueza óbvias, bem como níveis de desenvolvimento intelectual (QI) e emocional (EQ), finalmente, observáveis, embora características faciais mal formalizadas ou traços de caráter, como o nível de conversação, teimosia ou amorosidade. Podemos calcular facilmente uma dúzia e meia de parâmetros que caracterizam uma pessoa. E para cada um desses parâmetros, existe uma certa “norma” estatisticamente determinada - o valor mais esperado e, além disso, frequentemente observado. Quantas pessoas em um espaço tão rico de parâmetros serão típicas em todos os aspectos? A expressão que usamos para calcular a proporção dos volumes de casca e melancia também pode ser usada para calcular a probabilidade de estar entre pelo menos pessoas "anormais". De fato, a probabilidade de satisfazer todos os critérios de tipicidade é simultaneamente igual ao produto das probabilidades de ser típico para cada critério individualmente.

Agora vamos simplificar bastante a tarefa para não escrever fórmulas assustadoras, segundo as quais nada pode ser calculado adequadamente. Suponha que as qualidades das pessoas em cada direção obedeçam a uma distribuição normal (gaussiana) em torno de um determinado valor médio. Isso, é claro, é extremamente ousado, mas é bastante razoável para nossos propósitos, porque não estamos falando de um conjunto específico de características, mas, francamente, fantasiamos, tentando formular pelo menos algo específico em um tópico tão instável. Portanto, é muito cedo para carregar detalhes até que a imagem mais geral seja visível. Assim, subordinamos todos os critérios a uma distribuição normal com nossos meios e variações. Assim, podemos determinar os parâmetros da pessoa mais típica do mundo e contar os desvios deles. Além disso, não nos importamos com os valores de dispersão específicos que aparecem para cada critério, porque estamos interessados ​​apenas na probabilidade de ir além do desvio padrão, e esse valor não depende da escala da própria distribuição. Tudo isso leva ao fato de que, se designarmos para $$ a probabilidade de estar fora da região delimitada pelo desvio padrão (aparecer na "crosta" externa da distribuição, que provavelmente não é como a crosta de uma melancia, mas da atmosfera da Terra, indo muito para o espaço sideral, ficando cada vez mais fina), algo anormal ao considerar $$ os critérios serão calculados pela fórmula "melancia":

$$

Para uma distribuição gaussiana $$ onde $$ desvio padrão.

As probabilidades de ser "anormal" para um número diferente de critérios de comparação e para "severidade" diferente da definição da norma. Os gráficos superior e inferior diferem porque, ao determinar a "normalidade", eles usam um raio de um e dois desvios padrão, respectivamente.

Bem, acontece que é normal ser pelo menos um pouco anormal. Avaliando as pessoas pelos dez principais parâmetros, esteja preparado para o fato de que apenas 2% da população total será completamente comum. Além disso, assim que os encontrarmos, eles imediatamente se tornarão celebridades, perdendo a mediocridade!

A mesma lei da maldade

Uma das leis clássicas da maldade, formulada no coração do engenheiro Edward Murphy, afirma:

"Tudo o que pode dar errado vai dar errado."

É um pouco mais profundo do que a afirmação trivial de que todos os resultados, mesmo os mais improváveis, são observados na amostra completa.

Suponha que, para executar algum trabalho, seja necessário executar uma série de ações, e para cada uma delas há uma pequena probabilidade de falha. Qual é a probabilidade de que tudo corra sem problemas? É simples - você precisa multiplicar a probabilidade de sucesso de todas as etapas. E então a lei da casca de melancia é ativada: quanto maior o número de etapas, mais significativo é o papel das fronteiras, no nosso caso, situações de emergência. Uma dúzia de etapas é suficiente para que a probabilidade de erro de 5% em cada uma delas aumente para 50% a probabilidade de falha de tudo! O mesmo se aplica a sistemas complexos com muitas partes, cada uma das quais pode falhar. No caso mais simples, a probabilidade de falha do sistema é calculada a partir da probabilidade de falha de cada parte, de acordo com a mesma lei da casca de melancia.

Nosso raciocínio é extremamente simples, e a lei de Murphy é mais emocional que objetiva e parece um truísmo, mas, no entanto, foi a partir dessa observação que uma nova grande ciência começou nos anos quarenta e cinquenta do século XX: a teoria da confiabilidade. Ela acrescentou tempo, a interconexão dos elementos do sistema, a economia, bem como o fator humano, e encontrou aplicação fora das ciências da engenharia: em economia, teoria de controle e, finalmente, em programação.

Voltaremos a este tópico quando estudarmos a lei do último dia , o que força a impressora a ser indesejada no dia em que o projeto for concluído. Lei de Murphy, consagrada pelo tempo - uma força verdadeiramente terrível! Enquanto isso, voltemos ao tópico da singularidade e da normalidade.

Felicidade é encontrar amigos com o mesmo diagnóstico que o seu.

Somos todos diferentes, isso é compreensível, mas é possível levantar a questão do cumprimento de qualquer norma, estamos tentando avaliar e comparar? Você pergunta, o que há de errado nisso? Sempre comparamos alguém com alguém, na maioria das vezes, com outros, mas às vezes permitimos avaliar outra pessoa. No entanto, do ponto de vista da matemática, nem tudo é tão simples.

Comparar é determinar a relação de ordem . Ou seja, denotar que um elemento de um determinado conjunto, em certo sentido, precede outro. Aprendemos isso mesmo na escola: 2 com menos de 20 anos, um elefante é mais fraco que uma baleia, um contrato é mais caro que dinheiro, etc. Mas aqui estão algumas perguntas. O que vem antes de segunda ou terça-feira? E o domingo ou segunda-feira? E que domingo é isso antes da segunda-feira ou depois do sábado? E qual número é maior: 2 + 3i ou 3 + 2i? Podemos nomear as cores do arco-íris em ordem e até associar todas as cores intermediárias ao número real - a frequência da luz, mas além dessas cores existem muitas cores não espectrais, elas formam uma roda de cores que é familiar aos tipógrafos e designers, todas as cores visíveis ao olho podem ser organizadas em ordem? Esses exemplos mostram que há dificuldades com a relação de ordem. Por exemplo, a transitividade não funciona em muitos dias da semana (porque $$ deveria $$ mas para $$ deveria $$ não segue isso $$ sempre segue $$ ) Uma tentativa de introduzir o conceito de mais / menos no campo de números complexos não é consistente com a aritmética desses números, e as cores têm essas duas deficiências.

E como você pode comparar pessoas, livros, pratos, linguagens de programação e outros objetos com muitos parâmetros, mesmo formalmente condicional? Em princípio, é possível, mas apenas concordando primeiro com definições e métricas; caso contrário, será um debate interminável, tempestuoso e sem sentido. Infelizmente, o debate acalorado muitas vezes já surge na fase de escolha das métricas, uma vez que elas mesmas formam um determinado conjunto, no qual também é necessário determinar a relação de ordem.

No entanto, é possível oferecer uma maneira completamente significativa e inequívoca de raciocinar sobre a comparabilidade de objetos multidimensionais, por exemplo, pessoas. Em um espaço de parâmetros multidimensional, cada objeto pode ser representado por um vetor - um conjunto de números - os valores dos critérios que o caracterizam. Considerando um conjunto de vetores (por exemplo, sociedade humana), veremos que alguns deles são co-direcionados, ou pelo menos próximos em direções, agora eles já podem ser comparados em comprimento. Ao mesmo tempo, alguns vetores serão ortogonais (no sentido geométrico - perpendicular, em um sentido mais amplo - independentes), e as pessoas correspondentes a eles serão simplesmente incompreensíveis entre si: elas aparecerão em espaços conjugados em vários parâmetros, como os notórios físicos e letristas. Não faz sentido argumentar que um bom poeta é, de alguma forma, melhor ou pior do que um engenheiro talentoso ou atleta talentoso da natureza. A única coisa que pode ser julgada é o comprimento do vetor - o grau de superdotação, a distância da média.

Nesse sentido, pode surgir uma pergunta curiosa: qual proporção de vetores aleatórios no espaço de uma dada dimensão será codirecional e qual parte será ortogonal? Quanto você pode encontrar pessoas afins, ou pelo menos aquelas com quem você pode se comparar?

No mundo bidimensional, cada vetor corresponde a um espaço unidimensional de espaço colinear (codirecional) e unidimensional de vetores ortogonais. Se considerarmos os vetores "quase" co-direcionais e "quase" ortogonais, eles formarão setores da mesma área com a mesma escolha do desvio permitido. Ou seja, objetos semelhantes e diferentes, ao considerar dois critérios, terão a mesma quantidade.


Vetores quase colineares e quase ortogonais no espaço bidimensional e tridimensional.

No mundo tridimensional, a imagem mudará. Os vetores co-direcionados ainda formam um espaço unidimensional, enquanto os vetores ortogonais já preenchem o plano - espaço bidimensional. Fixando o comprimento dos vetores $$ e permitindo um ligeiro desvio das direções ideais por um ângulo $$ , o número de vetores quase co-direcionais pode ser comparado com a área de regiões circulares ao redor dos pólos $$ , e o número de vetores quase ortogonais - com a área da tira ao redor do equador: $$ . A atitude deles $$ enquanto reduz o desvio $$ crescendo ilimitadamente.

No mundo quadridimensional, os vetores ortogonais já formam o espaço tridimensional, enquanto os vetores codirecionais ainda estão no espaço unidimensional, e a diferença em seu número já cresce proporcional ao quadrado do desvio do ideal. Mas, nesse estágio, é melhor recorrer à teoria das probabilidades e descobrir quais são as chances de obter vetores ortogonais ou codirecionais, pegando dois vetores do espaço aleatoriamente. $$ ? A distribuição dos ângulos entre vetores aleatórios nos dirá sobre isso. Felizmente, discutindo as áreas das esferas multidimensionais, ele pode ser calculado analiticamente e apresentado na forma final:

$$

Aqui $$ É uma função gama, uma generalização de um fatorial para números reais (e até complexos).

Distribuições angulares de vetores aleatórios para espaços de várias dimensões.

Agora está claro que, para o espaço bidimensional, os ângulos são distribuídos uniformemente, para os tridimensionais - na proporção da função sinusoidal e com a dimensão crescente, a distribuição tende a normal com uma dispersão constantemente decrescente. Para todas as dimensões acima de duas, o modo de distribuição é de 90 graus e a proporção de vetores mutuamente ortogonais aumenta à medida que o número de parâmetros aumenta. A observação mais importante é que os vetores co-direcionais (com um ângulo de 0 ou 180 graus praticamente não permanecem com uma dimensionalidade de espaço suficientemente alta. Vamos considerar vetores mais ou menos semelhantes (co-direcionais, comparáveis) com um ângulo menor que 30 graus (este é um ângulo muito pequeno: $$ ) Então, quando comparado por dois critérios semelhantes a algum vetor selecionado, apenas um terço de todos os vetores aleatórios será. O uso de três critérios permitirá comparar apenas com um determinado vetor $$ todo o conjunto, por quatro critérios - já $$ , e cada adição subsequente de dimensão reduzirá essa fração pela metade. Se formos mais rigorosos e nos limitarmos a um ângulo menor, a proporção de vetores considerados semelhantes diminuirá ainda mais rapidamente.

Assim, obtemos a formulação vetorial da lei da casca de melancia:

Em espaços de alta dimensão, quase todos os vetores são ortogonais entre si.

ou equivalente: o sabor e a cor de nenhum parceiro.

Compare sabiamente, não procure normalidade na vida e não tenha medo de anormalidades. A própria matemática nos diz que em um mundo complexo de pessoas só podemos falar sobre o grau de similaridade, mas não sobre comparação. Portanto, não há razão para se envolver em disputas intermináveis, em busca da verdade; vale a pena ouvir e tentar ouvir uma opinião diferente, ver uma visão de outro espaço conjugado, enriquecendo sua percepção do mundo.

Os sábios estão certos: somos todos únicos e, em nossa singularidade, são exatamente os mesmos.

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Convido você, os primeiros leitores deste livro, a fazer perguntas, acréscimos e comentários que, sem dúvida, o tornarão mais preciso, mais rico e mais interessante.