Continuo familiarizando os leitores de Habr com os capítulos de seu livro "Theory of Happiness", com o subtítulo "Fundamentos matemáticos das leis da maldade". Este livro científico ainda não foi publicado, informando de maneira muito informal sobre como a matemática permite que você olhe para a vida do mundo e das pessoas com um novo grau de conscientização. É para aqueles que estão interessados em ciência e para aqueles que estão interessados na vida. E como nossa vida é complexa e, em geral, imprevisível, a ênfase no livro está principalmente na teoria das probabilidades e nas estatísticas matemáticas. Aqui os teoremas não são provados e os fundamentos da ciência não são dados; isso não é de forma alguma um livro, mas o que é chamado de ciência recreativa. Mas é precisamente essa abordagem quase lúdica que nos permite desenvolver a intuição, animar as palestras para os alunos com exemplos vívidos e, finalmente, explicar aos não matemáticos e nossos filhos o que de tão interessante achamos em nossa ciência seca.Este é um dos primeiros capítulos em que, usando o exemplo de um ciclista, consideramos as ferramentas necessárias para medir a injustiça: a curva de Lorenz e o índice de Gini, assim como o notório Pareto e o formidável inspetor.
Lei é lei
Neste livro, falaremos sobre vários problemas. Familiar, esperado e tão previsível que eles receberam o status de leis. Muitos deles já foram formulados: essa é a lei do sanduíche que cai e a lei de Murphy: "
Se algum problema puder acontecer, isso acontecerá "
. E as leis de Chisholm sobre o tema: "
Quando as coisas correrem bem, algo deverá acontecer em um futuro próximo. "e a observação de Ettore:"
O próximo turno está sempre se movendo mais rápido. "A maioria deles é bastante trivial, mas, de acordo com a lei de Muir,"
quando tentamos extrair uma coisa, verifica-se que ela está conectada a todo o resto "
. Vamos tentar encontrar um núcleo racional dessas leis. mas não para para combatê-los, mas por prazer. E, como usaremos a matemática nesse caso, o prazer será peculiar e útil, em contraste com o resultado em si. Bem, se nosso raciocínio nos levar longe demais, podemos adotar o postulado da Persigue: “
O número de hipóteses razoáveis que explicam qualquer fenômeno é infinito. ” No final, Grossman, citando Kh. L. Menkin, apontou corretamente que “
Complex os problemas sempre têm soluções simples, fáceis de entender e erradas "
.Alguns dos problemas que acontecem conosco são naturais e determinados, e outros são de natureza estocástica e probabilística.
Por exemplo, se você reduziu seu salário em 10% e depois pediu desculpas e aumentou 10%, no final, você perdeu porque
Além disso, se o salário é aumentado primeiro e, em seguida, sem se desculpar, diminui os mesmos 10%, o resultado será o mesmo, pois não importa em que ordem multiplicar os coeficientes. É muito simples, ofensivo, mas não tem nada a ver com sorte.
Outro exemplo de problema determinístico é a mágica que acontece nos nossos bolsos com fones de ouvido: colocamos os fones de ouvido dobrados no bolso e, após meia hora, acontece um milagre lá, e tiramos do bolso um pacote selvagem de fios. Em 2007, um artigo científico sério foi publicado por dois cientistas da ensolarada e serena San Diego,
"Formação espontânea de nós em um fio excitado", no qual a ofuscação do fone de ouvido no bolso é analisada e modelada em detalhes. Os autores, baseados na teoria dos nós, na teoria das probabilidades e em experimentos físicos, mostram de maneira convincente que, com o método padrão de enrolamento, os fones de ouvido realmente precisam se enrolar, além disso, depois de apenas alguns segundos de agitação. No entanto, já estamos observando isso, apenas a velocidade de entrelaçamento inferida é inesperada aqui. É bem possível lidar com esse incômodo de maneira matemática: você precisa alterar a maneira como os fones de ouvido são dobrados - não com anéis que tendem a formar nós, mas com uma série de loops na direção oposta, como mostra a figura. Com esse método de dobrar, os loops se destroem mutuamente e os nós não são formados. Por muitos anos, tenho dobrado os fones de ouvido dessa maneira, me sentindo um topologista legal, e toda vez que me alegro, como um truque, quando eles se desenrolam com um simples aperto de mão.
Mas mesmo entre leis de natureza estocástica, nem todos são igualmente interessantes. Por exemplo, a lei de Buk:
"Você sempre encontra as chaves no seu último bolso". não tem nenhuma base racional. Um cálculo simples mostra que, com igual probabilidade de encontrar as chaves para todos os bolsos, o último não é diferente dos outros. Será que você irá verificar aleatoriamente todos os bolsos, olhando para eles de qualquer maneira e várias vezes. Nesse caso, a função de probabilidade para o número do bolso em que as teclas aparecem será
bolsos são descritos por
distribuição geométrica :
e o número do bolso esperado será igual
. Isto é, em certo sentido, a lei da faia está sendo implementada. No entanto, dessa maneira, estamos procurando por chaves, a menos que realmente precisemos urgentemente entrar no banheiro, e essa já é uma lei de maldade.
Estaremos interessados em leis paradoxais e instrutivas, leis que parecem rock do mal, escolhendo dentre uma infinidade de opções as mais irritantes e desagradáveis, contrariamente à intuição, sugerindo que essa escolha não deve ser a mais provável.
Se longo, longo, longo, se longo ao longo do caminho ...
Eu sou um grande fã de ciclismo amador. O que poderia ser melhor do que correr ao longo da pista no início da manhã, no frio, descendo uma ladeira fácil ... esse sentimento vale a pena superar subidas sem fim ou resistência ao vento contra ele! É verdade que, às vezes, parece que há mais subidas do que descidas, e o vento se esforça para chegar, onde quer que você vire. Nos livros sobre merfologia a esse respeito,
a lei do ciclista é dada:
Não importa para onde você vá - é subida e contra o vento.
Eu moro em Kamchatka, em Petropavlovsk existem muitos escorregadores e, andando pela cidade, eles não podem ser evitados. No entanto, eu deveria estar tranqüilizado com o pensamento de que, começando o caminho de casa, volto para casa novamente, o que significa que a descida total deve ser igual à subida total. Uma rota radial será especialmente honesta. Imagine uma pista de 2 km composta por uma colina simétrica: um quilômetro acima, um quilômetro abaixo. Consigo subir por um tempo suficiente a uma velocidade de 10 km / h e, na descida, tento manter uma velocidade de 40 km / h (sim, sou cuidadoso e uso capacete). Isso significa que passarei quatro vezes mais tempo na escalada do que na descida, e a figura geral será a seguinte: 4/5 do tempo da viagem serão gastos em uma subida suave e apenas 1/5 em uma descida agradável. É uma pena - 80% do tempo de caminhada é composto por seções difíceis do caminho! Se eu sair de nossa cidade montanhosa, em direção ao oceano ou para o vale do rio Avachi, quase não haverá escorregadores, mas ainda tenho vento de frente e vento bom, ou trechos com uma estrada ruim.
Vejamos a lei do ciclista a partir da teoria da probabilidade. Se eu tirar muitas selfies durante o meu passeio de bicicleta e começar a tirá-las sem olhar de uma mochila, uma parte significativa das fotos me mostrará uma figura dobrada em um capacete laranja, subindo humildemente para cima ou contra o vento. A probabilidade de ver um ciclista voador e brilhante em uma imagem de uma imagem publicitária, infelizmente, será de apenas 20%. E o que dirão as estatísticas? Se deixarmos uma grande multidão de ciclistas em uma pista montanhosa, esperar um pouco e observar sua densidade, veremos como a maioria dos atletas se aglomera em áreas difíceis, e a probabilidade de encontrar um rosto sereno e sorridente na massa geral não será tão grande!
O resultado da modelagem por simulação do movimento do conjunto de ciclistas em uma pista montanhosa. Para cada um dos participantes do movimento, seu poder é definido, ele determina sua velocidade máxima, tanto na subida quanto na descida (a resistência do ar é levada em consideração). Pode-se ver quanto tempo após o início do movimento, a maior parte do conjunto está concentrada nos altos.Vamos, como uma vez na escola, mostrar no gráfico a dependência do movimento do ciclista no tempo, ao percorrer uma colina triangular simétrica. Apenas fazemos tudo de maneira adulta, em nossa própria escala de tarefa: mediremos a distância não em quilômetros, mas em frações do caminho geral, faremos o mesmo com o tempo da viagem. A primeira metade do caminho (segmento
) o ciclista se moveu devagar e por um longo tempo -
o tempo todo e o segundo (segmento
) superou rapidamente - por
hora.
Horário do ciclista em ações do caminho e tempo total.Existe uma maneira completamente universal de julgar a injustiça deste mundo, adotada por economistas, demógrafos, ecologistas ou profissionais de marketing - a
curva de Lorentz e o
índice de Gini associado. Para uma distribuição conhecida de algo valioso, por exemplo, dinheiro, em uma determinada população, é possível, depois de classificar os membros do conjunto, aumentando o nível de riqueza, primeiro, construir uma curva cumulativa, normalizando o eixo X para o tamanho da população e o eixo Y para o seu bem-estar geral. O resultado é uma curva com o nome do economista americano Max Otto Lorenz. Quando traçamos o movimento do ciclista, traçamos essencialmente a curva de Lorenz para distribuir as velocidades ao longo dos trechos de um caminho que consiste em apenas duas colunas.
Distribuição da velocidade do ciclista ao longo do caminho percorrido.Obviamente, nem todo cronograma de movimento pode ser percebido como uma curva de Lorentz. Antes de construí-lo, você precisa classificar os períodos de viagem aumentando a velocidade e depois prosseguir para a construção. Em outras palavras, primeiro você precisa criar um histograma de velocidades e, em seguida, adicionar sequencialmente as contribuições de todas as colunas do histograma, começando com a contribuição de pequenos valores, terminando com o maior. O resultado deve ser uma curva côncava em qualquer lugar abaixo da diagonal (
) Essa diagonal é chamada
curva de igualdade ; no nosso caso, corresponde a uma velocidade constante (média) ao longo de todo o caminho ou a um histograma com uma única coluna (função de densidade de probabilidade em forma de delta). E no sentido econômico - a igualdade universal de bem-estar. Quanto mais a curva de Lorentz se desvia da curva de igualdade, menos "justa" pode ser considerada a distribuição. Assim que estudamos as leis da maldade e da injustiça do mundo, é aconselhável usar a terminologia e as ferramentas usadas para estudar a justiça.
A área sob a curva de Lorentz para qualquer distribuição diferente da distribuição do tipo delta será menor que a área sob a curva de igualdade. Sua diferença pode servir como uma característica formal da desigualdade ou "injustiça" da distribuição. Essa característica é refletida no
índice de Gini . É calculada como a área duplicada da figura formada pela curva de igualdade e pela curva de Lorentz. Para um mundo ideal, o índice de Gini é 0, na versão mais assustadora que costuma ser uma. No exemplo que examinamos, é 0,35. Este é um bom indicador. Por exemplo, a distribuição de riqueza entre a população na Rússia agora tem um índice de Gini de 0,39, nos EUA - 0,49, na Áustria e na Suécia não excede 0,3 e, para o mundo inteiro em 2017, foi de 0,66. Portanto, a situação com os ciclistas, é claro, é ofensiva e injusta, mas bastante tolerante.
Consideramos a distribuição das velocidades pela distância e o que acontecerá se recebermos a distribuição das velocidades pelo tempo (dividimos o tempo da viagem em intervalos e contamos o número de intervalos com uma ou outra velocidade). Devido à falta de dimensão do diagrama de Lorentz, podemos plotar novamente a curva correspondente e até comparar com o resultado anterior. Por exemplo, deixe metade do tempo de viagem, digamos, uma hora, um ciclista a uma velocidade de 10 km / h e uma hora a uma velocidade de 40 km / h (não importa em que ordem). Em seguida, 1/5 de todo o caminho cairá para uma velocidade baixa e 4/5 para uma velocidade alta. A curva de Lorentz, no caso de uma distribuição de velocidade ao longo do tempo, será um reflexo da curva de Lorentz para a distribuição de velocidades ao longo da distância, em relação à diagonal, perpendicular à linha de igualdade. Nesse caso, o índice de Gini será o mesmo, porque quando a curva é refletida, a área abaixo dela não muda. Então, de acordo com o nível de injustiça, essas duas condições diferentes acabam sendo as mesmas, embora o segundo caso pareça ser muito mais agradável!
Observe que, com a ajuda de algum índice formal, começamos a comparar coisas completamente diferentes e incomparáveis, é tentador e perigoso. Você precisa estar ciente de que índices e critérios formais são sempre iguais a alguma coisa, independentemente de fazer sentido ou não. Comparamos a distribuição da riqueza entre a população dos países e a distribuição do tempo gasto para superar o caminho em termos de diferenças em relação a algumas opções que seriam consideradas justas. Enquanto conduzimos conversas frívolas e, às vezes, hooligans sobre as leis da maldade, talvez essa seja uma comparação justificada, mas na matemática, é claro, isso não pode ser feito. A curva de Lorentz e, a partir dela, o índice de Gini pode ser formalmente calculado para o histograma do brilho dos pixels na imagem ou para a frequência de palavras no discurso ao vivo, isso não terá nenhuma relação com a justiça e haverá muito pouco sentido. Portanto, tendo em mente o índice de Gini para qualquer coisa horrível, o chamaremos de
índice de maldade, para não enganar o leitor pela loucura dos termos.
A conclusão que o ciclista tira, ofegando em menor velocidade: “o mundo é injusto e a maior parte da energia ocupa a parte mais estúpida do trabalho”, muitas vezes referida como
o princípio de Pareto ou
o princípio “80/20” . Isso é empirismo absoluto, ninguém provou o princípio de Pareto, mas é tão frequentemente citado que já dá a impressão de verdade. É usado como desculpa e como instrução, é encontrado em várias manifestações e, às vezes, funciona, por exemplo, o princípio de "80/20" corresponde ao índice de significância da ordem de 0,6 - quanto à distribuição da riqueza em todo o mundo. Entendendo que esse não é o enredo do destino, mas a matemática mais simples, com a qual não faz sentido lutar, pode-se aprender a desfrutar tanto dos prolongados prolongamentos quanto dos tediosos mas inevitáveis estágios do trabalho, pelo menos resolvendo problemas na mente ou meditando. Os taoístas se esforçaram para viver para sempre, e argumentaram corretamente que, juntamente com o trabalho no corpo, para atingir seu objetivo, é necessária a preparação da mente. De fato, para a vida eterna, você precisa não apenas da capacidade de abandonar o apego, mas também da paciência, bem como da capacidade de desfrutar de longos períodos.
O princípio de Pareto tem uma generalização mais rigorosa, útil para a compreensão. A lei da maldade, em homenagem ao ciclista sem nome, tem um título científico oficial: o
paradoxo da inspeção . Esse fenômeno bem conhecido é encontrado em uma variedade de estudos relacionados a pesquisas sociológicas, testando a teoria das falhas (uma seção da matemática aplicada que lida com a confiabilidade de sistemas complexos), deslocando implicitamente, mas sistematicamente, os resultados observados em direção aos fenômenos mais frequentemente observados.
Vamos dar um exemplo clássico, com uma pesquisa com passageiros de transporte público. Muitos ônibus operam na linha por dia, em uma hora do rush relativamente curta, os ônibus transbordam e o resto do tempo eles ficam quase vazios. Se interrogarmos os passageiros, uma parte significativa deles estará em um ônibus lotado (há simplesmente mais pessoas lá), e teremos uma expressão de descontentamento geral. Se entrevistarmos os motoristas, eles reclamarão da incompletude de uma parte significativa das rotas e da irracionalidade das autoridades que os conduzem em vão. Um horário flexível facilitará a situação, mas, em qualquer caso, a curva de Lorentz se desviará da curva de igualdade correspondente à incrível situação de sempre o mesmo número de passageiros em todos os ônibus.
Nas introduções à teoria da probabilidade, muitas vezes é encontrada uma bolsa opaca especial, na qual os matemáticos colocam vários objetos e os puxam aleatoriamente, às vezes tirando conclusões muito ponderadas. A solução para o paradoxo é que analisamos o sistema de fluxo de passageiros como um todo, colocamos os ônibus na mala e, realizando a pesquisa, retiramos os passageiros aleatoriamente (inspecionamos) e tentamos tirar conclusões com base neles. A imagem mostra qual é a diferença:
As estatísticas de ônibus dizem que 75% delas são gratuitas e inúteis. Ao mesmo tempo, uma pesquisa de passageiros constatou que 64% dos passageiros que viajavam naquele dia estavam em veículos superlotados.Vejamos essa situação, plotando a curva de Lorenz, desta vez, a real, para o número de passageiros nos ônibus da figura anterior. Para fazer isso, você precisa classificar os ônibus pelo número de passageiros e resumir sequencialmente a contribuição de cada um deles no fluxo total de passageiros:A curva de Lorenz ilustra bem a injustiça observada na situação dos ônibus: metade dos ônibus transporta apenas um quinto do fluxo de passageiros.A curva de Lorentz, neste caso, mostra como os quantis da distribuição do número de elementos em alguns grupos (eixo horizontal) são alterados ao analisar a distribuição dos elementos de acordo com a participação no grupo (eixo vertical). De fato, esse é o paradoxo da inspeção: a imagem que o inspetor observa fica distorcida, porque ele não analisa os grupos, mas os elementos dos grupos, enquanto a média e a mediana observadas são deslocadas para uma “cauda mais pesada” da distribuição.Por si só, a lei do nosso ciclista é muito simples, mas agrava as outras leis da maldade de vez em quando, acrescentando um tom emocional sombrio a elas. Pensando nas leis da maldade, gosto de pensar na distorção da percepção do mundo pelo inspetor em termos de alterar as curvas de cores de uma imagem. Nos editores gráficos de varredura, usamos a ferramenta Curvas para modificar imagens, alterando a distribuição do número de pixels em brilho. Aqui, por exemplo, como a curva de Lorentz que obtivemos para ônibus muda a percepção da realidade. A imagem do mundo está ficando mais sombria, como esperamos.A curva de Lorentz do exemplo, usada como filtro "Curva" no editor de gráficos de varredura, torna a imagem visível do ônibus Kamchatka mais escura. Reclamando que os ônibus estão “sempre atrasados” e “sempre cheios de pessoas”, sentem-se reconfortados pelo fato de ser apenas uma ilusão relacionada ao paradoxo da inspeção!O paradoxo da inspeção pode se manifestar em seus extremos: se entre os grupos de elementos colocados em nossa bolsa teórica, existem aqueles cujos elementos não são apenas raros, mas nem sequer observáveis, obtemos o erro sistemático de um sobrevivente. Esse fenômeno é frequentemente relatado em vários artigos desmotivadores, para empresários e programadores iniciantes, garantindo a eles que o caminho bem-sucedido descrito nos livros provavelmente não é para eles, porque, eles dizem, livros malsucedidos não são escritos. No entanto, isso não tem nada a ver com as leis da maldade, portanto, deixemos esses argumentos. Em geral, os paradoxos descritos são erros metodológicos cometidos ao receber e processar dados, é útil conhecê-los, mas, infelizmente, eles levam a uma opinião generalizada sobre estatísticas como manipulação injusta de dados reais entre pessoas muito distantes desses métodos.Vamos nos encontrar com a lei do ciclista e sua influência mais de uma vez: ficar na fila ou no ponto de ônibus, observando a injustiça da distribuição da riqueza. E as curvas de Lorentz e o índice da vilania nos permitirão comparar com ousadia coisas escandalosamente diferentes. A matemática é uma ciência exata, mas ninguém proíbe os matemáticos de se comportarem mal. No seu, é claro, círculo e sem brigas.
A experiência de publicar capítulos sobre Habré acabou sendo muito útil: os comentários dos leitores me permitiram corrigir a redação, expandir o conjunto de exemplos e meus próprios horizontes. Terei o prazer de falar no próprio livro sobre como nossa comunidade ajudou na edição e agradecer aos criadores e residentes de Habr por participarem de sua redação.