Teorema de Boshernitsan

O artigo fornece uma prova simples de que o mapeamento de um espaço métrico compacto em si mesmo, sem diminuir a distância, é uma isometria.

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Exibição $$$f: E \ rightarrow E$ espaço métrico com métrica $$$\ rho (\ cdot, \ cdot)$ chamado isometria se por qualquer $$$x, y \ em E$ igualdade justa $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ . Aqui nós provamos a seguinte declaração:

Teorema Se $$$f: E \ rightarrow E$ um mapeamento de um espaço métrico compacto em si mesmo,

$$$\ rho (x, y) \ leq \ rho (f (x), f (y)) (1)$

para qualquer $$$x, y \ em E$ então mapeando $$$f$ - isometria.

Lembre-se de algumas declarações simples sobre conjuntos de métricas compactas e introduza algumas convenções e definições necessárias para uma exposição mais aprofundada.

Através de $$$| A |$ denotamos o número de elementos de um conjunto finito $$$A$ .

Para $$$x \ em E$ e $$$\ varepsilon> 0$ muitos $$$Q_ {x, \ varepsilon} = \ {y: y \ em E, \ rho (x, y) <\ varepsilon \}$ vamos ligar $$$\ varepsilon$ - pontos de vizinhança $$$x$ (ou bola aberta centralizada em $$$x$ e raio $$$\ varepsilon$ )

Conjunto finito $$$A \ subconjunto E$ vai ligar $$$\ varepsilon$ rede em $$$E$ (ou apenas $$$\ varepsilon$ -network) se por qualquer ponto $$$x \ em E$ há um ponto $$$y \ em A$ tal que $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ . Muitos $$$B \ subconjunto E$ vai ligar $$$\ varepsilon$ -recusado se $$$\ rho (x, y) \ geq \ varepsilon$ para qualquer $$$x, y \ em B$ tal que $$$x \ neq y$ .

Para qualquer conjunto finito $$$A = \ left \ {a_1, \ ldots, a_m \ right \} \ subconjunto E$ denotado por $$$l (A)$ a quantidade $$$\ sum _ {i \ leq j} \ rho \ left (a_i, a_j \ right)$ . Magnitude $$$l (A)$ chame o comprimento do conjunto $$$A$ .

1. Deixe sequências $$$\ left \ {a_n \ right \}$ , $$$\ left \ {b_n \ right \}$ muitos elementos $$$E$ convergir de acordo
para os pontos $$$a, b \ em E$ . Então $$$\ rho \ esquerda (a_n, b_n \ direita) \ rightarrow \ rho (a, b)$ às $$$n \ rightarrow \ infty$ .

Prova . Considere as desigualdades óbvias

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ leq \ rho (a, b) + \ rho \ left (a_n, a \ right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) (2)$

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) + \ rho \ left (a_n, a \ right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) \ geq \ rho (a, b) (3)$

Desde $$$a_n \ rightarrow a$ , $$$b_n \ rightarrow b$ às $$$n \ rightarrow \ infty$ então para $$$\ varepsilon> 0$ existe um natural $$$N$ isso para todos $$$n> N$ será

$$$\ rho \ left (a_n, a \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2}, \ rho \ left (b_n, b \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2} (4)$

A partir de $$$(2), (3), (4)$ segue-se que $$$\ left | \ rho (a, b) - \ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ right | <\ varepsilon$ para todos $$$n> N$ .

2. Para cada $$$\ varepsilon> 0$ em $$$E$ existe um finito $$$\ varepsilon$ rede.

Prova . Família de bola aberta $$$\ left \ {Q_ {x, \ varepsilon} \ right \}$ onde $$$x$ atravessa $$$E$ é um revestimento $$$E$ . T. para. $$$E$ compacto, escolha uma família finita de bolas $$$\ left \ {Q_ {x_1, \ varepsilon}, \ ldots, Q_ {x_m, \ varepsilon} \ right \}$ cobrindo também $$$E$ . É claro que o conjunto $$$A = \ left \ {x_1, \ ldots, x_m \ right \}$ - final $$$\ varepsilon$ rede.

3. Espaço $$$E$ limitado. Ou seja, existe esse número $$$d> 0$ que $$$\ rho (x, y) <d$ para qualquer $$$x, y \ em E$ .

A prova segue imediatamente de 2. De fato, colocamos $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ left (x_i, x_j \ right)$ onde $$$x_i$ , $$$x_j$ - elementos $$$\ varepsilon$ redes $$$A$ . Está claro que $$$\ rho (x, y) \ leq g + 2 \ varepsilon$ .

4. Se $$$B = \ left \ {a_1, \ ldots, a_n \ right \}$ - final $$$\ frac {\ varepsilon} {2}$ rede em $$$E$ então para qualquer $$$\ varepsilon$ conjunto esparso $$$K$ será $$$| K | \ leq | B |$ isto é $$$| K | \ leq n$ .

Prova . Balão$$ $ inline $ \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ unicode {222a}}} Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}} $ inline $ cobre $$$E$ . Se $$$| K |> n$ então dois elementos diferentes de $$$K$ estará em uma das bolas $$$Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}}$ , o que contradiz o fato de que $$$K$ - $$$\ varepsilon$ conjunto esparso.

5. Para todos $$$\ varepsilon$ conjunto esparso $$$A \ subconjunto E$ coincidir com o número $$$l (A)$ - o seu comprimento. Já provamos que uma função que coloca qualquer pessoa $$$\ varepsilon$ conjunto esparso $$$A$ número correspondente $$$| A |$ limitado. Observe que a função que cada $$$\ varepsilon$ conjunto esparso $$$A \ subconjunto E$ corresponde ao seu comprimento $$$l (A)$ também é limitado.

6. Deixe $$$c = \ sup l (A)$ onde $$$\ sup$ tomada em todos $$$\ varepsilon$ conjuntos esparsos $$$A \ subconjunto E$ . Então justo

Lema 1. Existe $$$\ varepsilon$ conjunto esparso $$$C = \ left \ {a_1, \ ldots, a_k \ right \}$ tal que $$$l (C) = c$ , $$$C$ é $$$\ varepsilon$ rede em $$$E$ , $$$f (C)$ também é $$$\ varepsilon$ rede em $$$E$ e para qualquer $$$a_i, a_j \ em C$ será $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) = \ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right)$ .

7. Lema 2. O mapa $$$f$ continuamente em $$$E$ . Mais precisamente: se $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ para qualquer $$$x, y \ em E$ então $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Prova . Considere $$$\ varepsilon$ rede $$$C$ do Lema 1. Se $$$x$ não pertence à bola $$$Q_ {a_i, \ varepsilon}$ então $$$x$ não pertence $$$Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ . Isso significa que existe $$$i$ que $$$x \ em Q_ {a_i, \ varepsilon}$ e $$$f (x) \ em Q_ {f \ esquerda (a_i \ direita), \ varepsilon}$ . Da mesma forma, há $$$j$ que $$$y \ em Q_ {a_j, \ varepsilon}$ e $$$f (y) \ em Q_ {f \ esquerda (a_j \ direita), \ varepsilon}$ . Taxa $$$\ rho (f (x), f (y))$ . Está claro que $$$\ rho (f (x), f (y)) <\ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right) + \ varepsilon + \ varepsilon = \ rho \ esquerda (a_i, a_j \ direita) +2 \ varepsilon$ . E desde $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ e $$$x \ em Q_ {a_i, \ varepsilon}$ , $$$y \ em Q_ {a_j, \ varepsilon}$ então $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) <3 \ varepsilon$ . Portanto, $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Então nós provamos que $$$f$ exibe continuamente $$$E$ em $$$E$ . Do Lema 1 resulta que, para cada $$$\ varepsilon> 0$ existe $$$\ varepsilon$ rede em $$$E$ tal que $$$f$ mantém distâncias entre elementos desta rede. Portanto, para quaisquer pontos $$$x, y \ em E$ pode encontrar sequências $$$x_n \ rightarrow x$ , $$$y_n \ rightarrow y$ tal que $$$\ rho \ esquerda (f \ esquerda (x_n \ direita), f \ esquerda (y_n \ direita) \ direita) = \ rho \ esquerda (x_n, y_n \ direita)$ . Mas $$$\ rho \ esquerda (x_n, y_n \ direita) \ rightarrow \ rho (x, y)$ às $$$n \ rightarrow \ infty$ . Da continuidade do mapeamento $$$f$ segue-se que $$$f \ esquerda (x_n \ direita) \ rightarrow f (x)$ , $$$f \ esquerda (y_n \ direita) \ rightarrow f (y)$ às $$$n \ rightarrow \ infty$ . Portanto, $$$\ rho \ esquerda (f \ esquerda (x_n \ direita), f \ esquerda (y_n \ direita) \ direita) \ rightarrow \ rho (f (x), f (y))$ às $$$n \ rightarrow \ infty$ . E já que para qualquer $$$n$ a igualdade vale $$$\ rho \ esquerda (x_n, y_n \ direita) = \ rho \ esquerda (f \ esquerda (x_n \ direita), f \ esquerda (y_n \ direita) \ direita)$ então $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ .

Observação

Essa prova do teorema de Boshernitsan é baseada em conversas com meu amigo estudante, agora matemático americano Leonid Luxemburg, durante uma de suas visitas a Moscou e é a minha apresentação de sua proposta de idéia.

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Slobodnik Semyon Grigoryevich ,
desenvolvedor de conteúdo para a aplicação “Tutor: matemática” (ver artigo em Habré ), candidato a ciências físicas e matemáticas, professor de matemática na escola 179 em Moscou