Troca de dados e equações diferenciais

Em um dos projetos em que trabalhei, foi implementado um mecanismo de troca de dados entre componentes remotos do sistema, que funcionava de acordo com o seguinte cenário: o componente de origem A, por seu lado, prepara dados destinados à transmissão; o componente-receptor B abre periodicamente uma sessão de comunicação e coleta todos os dados que A acumulou no momento da conexão. Os dados que chegam já durante uma sessão de comunicação são atrasados ​​até a próxima conexão.

Em algum momento, percebi que a transferência de dados nesse esquema é descrita usando uma equação diferencial comum. Descrição do modelo e as conclusões que foram obtidas com sua ajuda, sob o corte.

Nós denotamos $$$x (t)$- a quantidade de dados em algumas unidades arbitrárias acumuladas para troca no lado do componente A até o momento $$$t$. Deixe a pausa entre o final da sessão de intercâmbio e o início da próxima partida $$$a_0> 0$unidades de tempo e a transferência de uma unidade de dados requer $$$a_1> 0$unidades de tempo. Então na transferência $$$x (t)$unidades de dados necessárias $$$a_0 + a_1x (t)$unidades de tempo. A taxa de dados é

$$

$$\ frac {x (t)} {a_0 + a_1x (t)}. \ quad (1)$$

Se a taxa de armazenamento de dados no lado A for designada $$$f (t)$então $$$x (t)$é uma solução para a equação diferencial:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = - \ frac {x} {a_0 + a_1x} + f (t). \ quad (2)$$

Como um crescimento ilimitado no volume de dados ainda não enviados é uma situação extremamente indesejável, torna-se uma tarefa importante obter condições para o limite das soluções para essa equação.

Para simplificar, consideramos a função $$$f (t)$contínuo. Vamos

$$

$$f (t) = \ phi_0 + \ phi (t),$$

onde

$$

$$\ left | \ int_0 ^ t \ phi (s) ds \ right | \ leq K _ {\ phi} <+ \ infty$$

para todos $$$t \ geq 0$e $$$\ phi_0> 0$- constante, desempenhando o papel de valor médio.

Vejamos alguns exemplos. Vamos $$$f (t)$periódico e seu cronograma tem a forma:


Neste caso $$$\ phi_0 = 1/3$, $$$\ phi (t) = f (t) - \ phi_0$.
Integrando numericamente a equação (1) para vários valores de parâmetros $$$a_0, a_1$e valores iniciais $$$x (0)$, obtemos os seguintes gráficos de soluções:


Os exemplos mostram: quando $$$1 / a_1> \ phi_0$, as soluções também são limitadas para vários valores $$$x (0)$o sistema tende a algum estado estacionário. Pausas menos curtas entre as sessões $$$a_0$, mais rápida é essa convergência. At $$$1 / a_1 <\ phi_0$essa convergência não é observada e as soluções crescem com o tempo. Reduzir a duração das pausas diminui a taxa de crescimento, mas a tendência a um aumento ilimitado $$$x (t)$ainda salvo.

No caso geral, pode ser demonstrado que, se $$$1 / a_1> \ phi_0$, as soluções da equação (1) são delimitadas e, se $$$1 / a_1 <\ phi_0$- soluções ilimitadas serão obtidas. Ou seja, a limitação das decisões é determinada apenas pela proporção das taxas de acumulação e extração de dados. Duração das pausas entre as sessões de intercâmbio $$$a_0$, o único parâmetro que pode ser facilmente controlado não afeta fundamentalmente o comportamento do sistema. Embora, como pode ser visto na relação (1) e nos exemplos, com seu aumento, a taxa de câmbio diminua.

Como resultado, a análise do modelo permite tirar as seguintes conclusões. Se a taxa de câmbio for insuficiente e, no lado da fonte, a quantidade de dados para envio aumentar constantemente, não fará sentido tentar corrigir a situação reduzindo as pausas entre as sessões. Somente um aumento no desempenho do sistema pode ajudar aqui.

Por outro lado, no caso em que o serviço de troca carrega computadores constantemente em detrimento de outras tarefas, a decisão correta seria aumentar a duração da pausa dentro de limites razoáveis: isso afetará apenas a relevância dos dados, sem o risco de sobrecarregar a fonte com dados não enviados.

Cálculos detalhados para as condições de decisões limitadas e algumas outras questões relacionadas ao modelo considerado são publicados nos materiais do seminário escolar "Modelagem Matemática, Métodos Numéricos e Complexos de Programas", nomeado após E.V. Voskresensky. Você pode visualizar e baixar o artigo aqui .