Constante mágica

Existem quadrados chamados mágica. Bem, provavelmente todo mundo sabe que a soma dos números em tais quadrados horizontalmente, verticalmente e as diagonais principais é a mesma, ou seja, igual ao mesmo número, essa soma numérica é chamada de constante mágica (doravante Mn, onde n é o tamanho do quadrado; n> 2) De volta à escola, lembrei-me da fórmula para calcular esta constante: M _n = n * (n ² + 1) / 2, não estava claro para mim de onde veio ... vamos tentar deduzir aqui, talvez alguém já tenha deduzido, talvez o mesmo , talvez de uma maneira diferente, não importa apenas escrever.

Digitando mais uma vez números em quadrados, quando notei uma coisa dessas. Se você digitar números de 1 a n ² em colunas da esquerda para a direita, sempre obterá a constante mágica ao adicionar números em qualquer diagonal principal, aqui você pode ver:

M ₃ :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M ₄ :
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

De acordo com a fórmula:

M ₃ = n * (n ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
M ₄ = n * (n ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

Na diagonal (mostrado em negrito acima):

M ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

Diferentemente da fórmula, as diagonais são capazes de dar uma resposta ao que está acontecendo. Considere os números nas diagonais:

M ₃ = 1 + 5 + 9
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

Reescrevemos de maneira diferente:

M ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

Você já reparou? Agora na forma geral de n:

M _n = 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n)

Reagrupe-o (negrito)
M _n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

e isso (destacado em negrito)
M _n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) + n)

e obtenha:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

coloque n fora do suporte:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)) [1]

Agora, apresentamos uma nova notação,

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
então
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

Agora reescrevemos a fórmula [1] levando em consideração as notações [2] e [3] e obtemos:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

ou mais:

M _n = S _n * (n + 1) - n ²

[5]

S _n com isso em mente -



obviamente calculado pela fórmula S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2,
substituto em [5]:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = n * (n ² + 1) / 2

M _n = n * (n ² + 1) / 2

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